Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)

Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)

KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN

VIỆN TOÁN HỌC

NGUYEN HUYEN TRANG

ĐỊNH LÝ SARD NỬA ĐẠI SO CHO TẬP

GIÁ TRỊ TỚI HẠN SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015

KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN

VIỆN TOÁN HỌC

NGUYEN HUYEN TRANG

DINH LY SARD NUA DAI SO CHO TAP

GIA TRI TOI HAN SUY RONG

Chuyên ngành: Hình học và tô pô

Mã số: 60 46 01 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS DINH SĨ TIỆP

Hà Nội - 2015

Định lý Sard là một trong những định lý quan trọng, và được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học Định lý Sard được phát biểu như sau:

Dinh ly: Cho f : R" > RẺ là ánh za kha vi vd han, U la tap mé trong

R" Dat S = {x €U: rank (df,) < k}, tập các điểm tới hạn của ƒ Khi

do Ky (f) = f (©) C R*, tập các giá trị tới hạn của f, c6 do do Lebesgue

bằng không

Nếu Đ = 0 (ƒ (>) = Ø) và ƒ là riêng thì theo định lý phân thé Ehres- mamn, ƒ là phân thớ tầm thường địa phương Hơn nữa nếu Ð # ñ và ƒ

là riêng thì ƒ là phân thớ tầm thường địa phương trên IR*\ƒ (3)

Goi B(f) la tap các y € R* sao cho ƒ không phải là phân thớ tầm

thường địa phương tại y, hay tap các giá trị rẽ nhánh của ƒ Dễ thấy

B(f) Đ Ko(7ƒ) Nêu ƒ không riêng, nói chung Ö (ƒ) # Ko (ƒ) (Xem Ví

dụ 3.24) Việc đặc trưng Ö (ƒ) vẫn là một câu hỏi mở ngay cả cho trường hợp ƒ là đa thức

Xót ƒ : R" —› IR* là ánh xạ nửa đại số, khả vi vô hạn Theo [8],

B(f) C K(f) = Ko(f) U Ko (f) v6i Koo (f) 1a tap cdc gid tri téi han

tại vô hạn của ƒ được định nghĩa như sau

ụ €IRẺ: 3z, € R”, |\a1|| > oe,

fei) > y, 0 + lleu)u(df (ai) > 9

K(f) =

với 1 là hàm Rabier (xem Định nghĩa 3.2)

Mục đích chính của luận văn này là tìm hiểu Định lý Sard nửa đại

số cho tập các giá trị tới hạn suy rộng # (ƒ)(Định lý 4.1) Dinh ly nay

khẳng định tập K (7) là một tập "bé"(có độ đo Lebesgue bằng 0) và

do đó ƒ là phân thớ tầm thường địa phương trên một tập đủ lớn mà cụ thể hơn là tập nửa đại số mở trù mật của IRẺ

Luận văn cấu trúc gồm bốn chương Chương 1 trình bày kiến thức

về Giải tích hàm và Hình học vi phân Chương 2 trình bày khái niệm

cơ bản của hình học nửa đại số như tập nửa đại số, hàm nửa đại số và trình bày Định lý 'Tarski-seidenberg và một số hệ quả Chương 3 trình

bày về hàm Rabier, tập các giá trị tới hạn suy rộng và tập các giá trị rẽ

nhánh Trong Chương 3 tác giả cũng trình bày kỹ một vài ví dụ minh

họa cho các tập trên Chương 4 trình bày nội dung và chứng minh cụ thể của Định lý Sard nửa đại số cho tập các giá trị tới hạn suy rộng Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Đinh Si Tiệp

Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến thầy, người hướng

dẫn khoa học của mình, người đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá

trình nghiên cứu của tôi Đồng thời tôi cũng xin được chân thành cảm

ơn các thầy cô phản biện đã đọc kỹ bản thảo luận văn và chỉ dẫn cho

tôi những ý kiến quý báu

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Viện Toán học-Viện Khoa hoc và Công nghệ Việt Nam, Trung tâm đào tạo sau đại học và các thầy cô trong tổ hình học và topo đã tạo mọi điều kiện cho tôi về tài liệu và thủ tục hành chính để tôi hoàn thành bản luận văn này

Cuối cùng tôi xin được bày tổ sự biết ơn tới gia đình, người thân và

bạn bè về những lời khích lệ động viên tôi trong suốt quá trình học tập,

để tôi có thể vượt qua mọi khó khăn và đạt kết quả như ngày hôm nay

Do điều kiện về thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận

văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tôi rất mong nhận

được sự chỉ bảo nhiệt tình của các thầy cô và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cám ơn!

Hà Nội, năm 2015

Học viên

Nguyễn Huyền Trang

Tích vô hướng của hai vecto œ và 0

Bao đóng của A trong không gian topo

Phan trong cia A

Mặt cầu tam x ban kinh R trong không gian X Hình cầu mở tâm x ban kính #‡ trong không gian X Gradient cua f tai a

Không gian các đa thức hệ số thực

Toán tử liên hợp của toán tử ƒ

Chuẩn Euclide trén R”

Hạn chế của ƒ trên D

LỜI NÓI ĐẦU 2

3.2 Tập các giá trị tới hạn suy rộng ee ee 42

4 Dinh ly Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng 48

Kiến thức chuẩn bị

Trong phần này tác giả nhắc lại một số kiến thức về Giải tích hàm và

Hình học vi phân cần thiết để định nghĩa hàm Rabier và tập các giá trị

tới hạn, đồng thời được sử dụng trong chứng minh Định lý Sard nửa đại

số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (Định lý 4.1)

1.1 Một số khái niệm và định lý của giải tích hàm

Định nghĩa 1.1 Cho X là không gian tuyến tính trên trường R Ta noi

|.|| là chuẩn trên X nếu nó thỏa 3 tinh chat sau:

1)||z|| > 0,vz e X;||z||=0 z =0

2)||kz|| = |k|.||+||;W X,k eR

3)|lz + s|| < llzl| + llu|l,Vz, u € *

Nếu ||[.|| là chuẩn trên X, ta mới (X, |.||) là không gian tuyến tính

định chuẩn (còn đọc tắt là không gian định chuẩn)

Định nghĩa 1.2 Không gian Banach là không gian tuyến tính định chuẩn đầu đủ Cụ thể hơn, X là không gian Banach nếu X là không

gian định chuẩn sao cho mọi đấu Cauchy (tuong ting voi metric d(x, y) =

lz —y||) déu c6 gidi han trong X

Cho X va Y là các không gian banach trên R Tập hợp các ánh xạ

tuyến tính liên tục ƒ : X —> Y được ký hiêu là £(X,Y)

Néu Y = R ta dat X’ = L(X,R)

Nhận xét 1.3 1) Với các không gian định chuẩn hữu hạn chiều thì mọi

toán tử tuyến tính đều liên tục

2) /(X,Y) với chuẩn ||A|| = sup |{Aa||, A €

zeX,|lzl| = 1

£(X,Y) là không gian Banach

Định nghĩa 1.4 Cho một không gian tuyến tính X trên R Ham 86

ƒ:X — được gọi là dưới tuyến tính nếu

Ƒ(az) = œƒ(z);Vx € X,Vo €R¿

ƒ(œ +) <ƒ()+ ƒ();V+,u € Ä

Định nghĩa 1.5 Ánh zạ tuyến tính ƒ : X —> IR được gọi la phiém ham

tuyến tính

Định nghĩa 1.6 Cho A oà B là hai tập hợp con của không gian định

chun X Ta noi siéu phang H = {x € X: f(x) =a € R} tach A uà B niếu:

Va € A, f(z) <a

Ve € B, f(x) 2a

Dinh li 1.7 (Dinh ly Hahn—Banach dang gidi tich) Gia si f:X +R

là dưới tuyến tính uà yp: U — R la mét phiém ham tuyén tính trên một

khong gian con U ctia X Néu ¿ bị chặn trên bởi ƒ trên U (|e@(z)| <

ĩ

ƒ(z),V+ € U) thì tồn tại một mở rộng tuyến tính : X > R của yp (w (x) = p(x) , Vx €U) cting bi chan trên bởi ƒ trên X

Dinh li 1.8 (Dinh ly Hahn—Banach dang hinh hoc) Cho A va B la hat

tập hợp khác rỗng, lồi, uà rời nhau của không gian định chuẩn X, A là

tập mở Khi đó tồn tại siêu phẳng tach A va B

Định li 1.9 (Nguyén ly ánh zạ mỏ) Nếu ƒ : X — Y là một toán tử

tuyến tính toàn ánh liên tục giữa các không gian Banach X tà Y, th ƒ

là một ánh œạ mở Đặc biệt 3r >0: ƒ (Bx (0,1)) D By (0,r)

1.2 Một số khái niệm và định lý của độ đo

Định nghĩa 1.10 Cho tap hợp X, kí hiệu 2Ÿ là các tập con của X Tập ĐC 2Ÿ được gọi là ơ-đại số nếu:

1)» z Ú

NAEVS X\AEY

3)A; € U,i € I dém duoc thi U A; € 3

iel Dinh nghia 1.11 Ham pw: % 4 RU {+00} được gợi là một độ đo trên

Định nghĩa 1.12 Cho (XI, Đị,4); (Xa, 33v, 8a) là các không gian đo

được Hàm ƒ : Xì —> Xa được gọi là đo được nếu VA € 3¿, Ƒ~1(A) € 3ì¡

Định nghia 1.13 Cho (X, %, 1) là một không gian do duoc, A € È

Mot day ham {f,,} được gọi là hội tụ hầu khắp nơi tới hàm sé f trén tap

A nếu 3B C A,B€3n(B) =0 sao cho lìm f,(r) = ƒ(+),V+ € A\B

Dinh nghia 1.15 Cho hinh hép B = [a1, yi] X X [@n, Yn] , (Ui < 9ì)

Kí hiệu thể tích cúa B là Vol„(B) = [] (w¡ — #;):

i=i

Định nghĩa 1.16 Cho A €R" Độ đo ngoài Lebesgue, ki hiéu Vol*(A),

được định nghĩa bởi

Vol; (A) = nD vata.)

ael uới {B.}„c¡ là một phủ đếm được của A bằng các hành hộp

Độ do Lebesgue của A được cho bởi độ đo ngoài Lebesgue Vol„(A) =

Vol*(A) néu vdi E CR"

Vol*(E) = Vol*(AN B) + Vol*((R"\A) NB)

9

Nhận xét 1.17 Tập AC IR" có độ đo không nếu Ve > 0,3 phú mở đếm

được của A bằng một họ các hành hộp {B.}„.ị sao cho }) Vol„(B,) < e

acl

Dinh nghia 1.18 Cho ƒ : R" —y RẺ kha vi v6 han lan Anh xa f

duoc goi la mot phan thé kha vi tam thường trên R* néu ton tai vi phôi

@:IR" 3 R x F véi F là đa tạp n — k chiều sao cho biểu đồ sau giao hoán

Định nghĩa 1.19 Cho f : R” > R* kha vi vd han lan, V C R* la tap

mé Anh «a f được gọi là phan thé kha vi tam thường địa phương trên

V néu flpawy: f-'(V) —> V là một phân thó tầm thường trên V

Định nghĩa 1.20 Cho ƒ : R" — IRẺ khả ơi 0ô hạn lần, a e RẺ Ánh xạ

f được gọi là phân thớ (khả tì) tầm thường tại a nếu ƒ là một phân thớ

tầm thường địa phương trên một lân can V, cia a

Hình học nửa đại số

2.1 Tập nửa đại số

Trước tiên, ta trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của tập

nửa đại số Dồng thời trình bày Định lý Tarski-seidenberg cùng một số

hệ quả của nó

2.1.1 Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 2.1 (|3]) Một tập con nửa đại số trong R” là tập các điểm

của IR" thỏa mãn tổ hợp hữu hạn các phương trành 0à bất phương trình

da thúc uới hệ số thục Cu thé hon, cdc tập con nửa đại số của IR" hành thành lớp nhỏ nhất S.A„ các tập con của IÑ" sao cho:

1) Néu PE R[x, , Un] thi {a € R": P(x) =0} € SA, va {x ER":

tập con nửa đại số có dạng:

véil € N; P,Q1, ,Q: € R [a] Phuong trình P(z) = 0,z+ € R có hữu han

nghiệm Các bất phương trinh Q;(x) > 0,2 € R cho ta hitu han khoang

mở Vậy tập con nửa đại số trong IR là hợp của hữa hạn điểm và khoảng

_

e Tập đại số trong IR” là tập nửa đại số

e Cho F’: R” —> R" là ánh xạ đa thức ` = (Hị, , F„), với F¡ €

Rịz, ,+„| Nễu A là tập con nửa đại số trong IR" thì 14) là tập con nửa đại số của R™

Chứng mãnh Ta có A là tập nửa đại số nên A là hợp hữu hạn của các tập có dạng

{y € R": P(y) = 0, Qi(y) > 0, , Qi(y) > OF

với Ï € Ñ và P,Q\, ,Q¡ € R[pi, , yn] Dé don gian ta gia sit chinh A

có dạng đó Khi đó

F(A)

= {zx eR”: F(z) € A}

= {x €R”: P(F(z)) =0,Qi(F(2)) > 0, , Q:(F(a)) > 0}

= {x ER”: (Po F)(x) =0,(Q, 0 F)(x) > 0, , (Qi 0 F)(x) > O}

Vì ánh xạ #' là ánh xạ đa thức và P,Q, ,Q¡ € IRịui, ,„| nên

{z €R”: (Po F)(x) =0,(Q¡sƑ)(+) >0, ,(Q¡o F’)(x) > 0} là nửa đại

e Néu A la tap con niia dai sé cia R” va L C R” 1A mot dudng thang thi LQ A 1A hợp của hữu hạn diém va khoang md Do dé LN A 1a nita dai sé

e Néu ACR” va B CR" 1a cdc tap nửa đại số thì A x B 1a tập con nita dai s6 cua R™” x R”

Chitng minh Gia st

A= {x ER”: P(x) =0,Qi(x) > 0, , Qi(x) > 0}

B= {y eR": P*(y) =0,Q7(y) > 0, , QE(y) > ụ

trong đó l,k € Ñ, P!,OI, Q} € Rịzi, ,z„| và P”,Q7, ,Q2 € Rløi, , „| Khi đó

2.1.2 Đinh lý Tarski-Seidenberg và hệ quả

Định lí 2.4 (Tarski-Seidenberg-dang thứ nhất) (3|) Cho hệ phương trinh uà bắt phương trình đa thúc theo biến là T = (TÌ, , T,) uà X, với

6 dé >; € {=,4,>, >} Khi đó tồn tại một thuật toán cho ta một danh

sách hữu hạn C1(T), , Cy(T) các hệ phương trình uà bắt phương trinh

ẳa thức trong T' uới hệ số thực sao cho vdi moi t € R?, hé S(t, X) c6 nghiệm thực khi oà chỉ khi một trong các Œ;(t) được thỏa mãn

Nói cách khác, công thức "3X,S(7; X)" tương đương với "Œ¡(X)

hoặc hoặc Œz(X)" Định lý Tarski-Seidenberg khẳng định sự tồn tại của một thuật toán để loại trừ biến thực X

Dinh li 2.5 (Tarski-Seidenberg-dang thứ hai)([3]) Cho A là tập

con nia dai s6 cia R"*! va 7: Rt! 5 R” là ánh xạ chiếu lên n tọa độ đầu tiên Khi đó n(A) là tập con nửa dai 6 cia R”

Theo định lý 2.4, tồn tại một tổ hợp (#, +„) các phương trình và

bất phương trình đa thức sao cho mỗi phần tử của z(44) đều thỏa mãn

C(øi,#a, z„), do đó (4) là nửa đại số Oo

Hệ quả 2.6 1) Nếu 4 là tập con nửa đại số của IR“** thì ảnh của nó bởi phép chiếu lên n toa độ đầu tiên là một tập con nửa đại số của R”

2) Nếu A la mét tap con nita dai sd cla R™ va F: R™

R” 1A mot Anh xa da thttc thi anh truc tiép F(A) 1A một tập con nửa đại

số của R”

Chứng mĩnh Hệ quả 1) dễ dàng được suy ra từ Dịnh lý 2.5 bởi quy nạp

theo k Với hệ quả 2), trước hết ta có {(,+) € IR" xIÑ"':z€ A4; = P(z)}

là tập con nửa đại số của R™ x R” Xét phép chiếu của tập đó lên IR" ta

thu được (4) Áp dụng 1) ta có (4) là nửa đại số oO

Hệ quả 2.7 Nếu A là tập con nửa đại số cia R” thi bao đóng của nó trong IR” cũng là nửa đại số

Chứng mính Bao đóng của A 1a:

A={eeR':velR,e >0,3y€ A: |Jz — glỦ < e°}

trong đó Z1(,£) =x và 7a(,£, U) = (z,£)

Ta thấy {(z,c,z) € IR" xIR x R",€ A,||z — g||?® < e?} là nửa đại

số, suy ra a {(z,e,) € IR" xIR x R",y A,|| z — ø||Ÿ < e?} là nửa đại

số Vì {(œ,e) € IR" xIR,e > 0} là nửa đại số nên IR"\ A là nửa đại số Do

'Ta thấy rằng việc viết ra phép chiếu để chứng tỏ một tập con là nửa

đại số thường khá phức tạp Do đó, chúng ta sẽ sử dụng cách viết công

thức nhiều hơn Trước hết ta cần định nghĩa "công thức thứ tự đầu

2) Nếu ® uà là công thúc thú tự đầu tiên thì "® uà Â", "$ hoặc

Ww", "không ®" (kí hiệu tương ứng là ®AW,®VẦ,¬®) là công thúc thú

tự đầu tiên

3) Nếu ® là công thức thú tự đầu tiên va x thuéc R thi Ixe® va Vx®

là công thức thú tự đầu tiên

Công thức thu được bởi chỉ quy tắc 1) và 2) được gọi là "công thức lượng hóa tự do".Theo định nghĩa, tập con A C ]R" là nửa đại số khi và chỉ khi tồn tại công thức lượng hóa tự do ®(z, , #„) sao cho

(ZI, ,n„) € A © ®(m, , #n)

Định li 2.9 (Tarski-Seidenberg-dang thứ ba) ((3]) Néu ®(a1, ., rn)

là công thúc thú tự đầu tiên thà tập các (z\, ,#„) € ]Ñ" thỏa mãn

®(zi, ,„) là nửa đại số

Chứng minh Dễ thấy quy tắc 1) và 2) chỉ sinh ra các tập nửa đại số Đối với quy tắc 3), nếu

ta có (0,0) € {z€lR?:z‡— zj— zj >0} nhưng với mọi z € A thì z¡ >1, do đó (0,0) £ 4

2) Cho tap ntta dai s6 A = {2 € R”: h(x) > 0} thì nói chung 4° ‘ {z €IR": h(z) > 0} Vídụ A= {z€clR:(1—z)z?(1+z) >0} =

Ta có 0 € 4° = (—1,1) nhưng tập {z € R”, (1 — z)z?(1 + z) > nà không chứa 0

2.2_ Hàm nửa đại số

Tiếp theo, ta trình bày định nghĩa và một số tính chất của hàm nửa dai

SỐ

Định nghĩa 2.13 ([3]) Cho AC IR" oà BC RẺ là các tập nửa đại số

Anh xa ƒ: A-› B dược gọi là nửa đại số nếu đồ thị của nó

Ty ={(,y) €Ax Bry = f(a)}

la tap con mita dai sé ctia R” x R*

Ví dụ 2.14 e Néu f : A> B 1a ánh xạ đa thức (tất cả tọa độ của ƒ

đều là đa thức) thì nó là nửa đại số

Chứng mính 'Ta có

Ứ;={(,)<AxB:u= ƒ()}

={(,u)<AxB:ƒ()—u=0}

là tập nửa đại số nên ƒ là hàm nửa đại số O

e Nếu ƒ: A — là ánh xạ hữa tỉ chính quy (tất cả các tọa độ của

ƒ là phân thức hữu tỉ không triệt tiêu trên 4) thì nó là nửa đại số

là tập nửa đại số nên ƒ là hàm nửa đại số L

e Nếu ƒ: A — IR là hàm nửa đại số thì |ƒ| là hàm nửa đại số

Chứng mình Do ƒ là nửa đại số nên ta có T'¿ là hợp của hữu hạn các

tập có dang {(a,y) € Ax R: P(x, y) = 0,Qi(z, y) > 0, , Qi(x, y) > OF với Ï € Ñ; P(z, 0), Qi(z, 9), , Q,(+, ) € R[x, y] Dé don gian ta c6 thé

Qi(z, —y) > 0, wo Qa, —y) > 0,y >0

là tập nửa đại số nên |ƒ| là hàm nửa đại số |

e Nếu ƒ : 4 — I là hàm nửa đại số và ƒ > 0 trên A thi /f 1A ham

nửa đại số

Chitng minh Do f là nửa đại số nên ta có I'; là hợp của hữu hạn các

19

tập có dạng

{(z,y) € Ax R: P(a,y) = 0, Qi(a, y) > 0, ,Q¡(z, y) > 0}

với 1 € N; P(z,y), Qi(z,y), , Q(z, y) € R[x, y] Dé don gian ta c6 thé

giả sử rằng chính Ù'; có dạng đó Khi đó

le = {(x,) €AxR:„= v7œ}

(z,/)<AxR: P(z,w?) =0,

Qi(x,y") > 0, ., Qi(#, 1/”) > O,y 2 0

Mệnh đề 2.15 Cho A4 C R", 4 # Ú là tập nửa đại số Khi đó, hàm

khoảng cách là nửa đại số:

dist(.,A):R" > R

ze inf || x — a | | Chứng mình Ta có s4, A

là tập nửa đại số nên ƒ là hàm nửa đại số theo định lý 2.8 L]

Hệ quả 2.16

1) Ảnh và nghịch ảnh của tập nửa đại số bởi ánh xạ nửa đại số là nửa đại số

Chứng mình Cho A C TR" và B C RẺ là các tập nửa đại số Giả sử ánh

xạ ƒ: A —> B là hàm nửa đại số Cho A C A,B C B 1a nita dai sé

e Ta có ƒ(4) là nửa đại số Thật vậy,

=m {(œ.9) cR ˆxIR:zc Aec B,y = f(a)}

véi 7 (x,y) = + là phép chiếu lên m tọa độ đầu tiên Do đó ƒ~1!(Ø) là

2) Hợp thành của hai ánh xạ nửa đại số là nửa đại số

Chiing minh Cho A C R™, B CR’ vA C C R* la cdc tap niia dai sé

Gia st f: A> Bvag: B > C [a cac ánh xạ nửa đại số Khi đó

21

gof:A—>C là nửa đại số Ta có

E; ={(œ,)<AxB:u= ƒ()}

suy ra

[yx C={(a,y,z)€ Ax BxC:y= f(x)}

là tập nửa đại số Tương tự ta có

AxI,ạ={ứø,uw,z)<AxBxC:g(w)=z}

cũng là nửa đại số Do đó,

(Ty x C)N (A xT,)

= {(2,y,z) € Ax Bx C:y= f(x); g(y) = 2}

= {(#,y,z2) €Ax BxC:z=9(f(2)),y = flx)}

là nửa đại số Vì vậy

z((T/ x Ø)n(A xT,)) = {(œ,z) € A x Œ:z = Glf(0))} = Does

là nửa đại số, với Z(z, y, z) = (x, z) là phép chiếu lên R'“+*, Oo

Trong phần còn lại tác giả phát biểu một số kết quả không tầm thường

được sử dụng trong chứng minh Định lý 4.1

Định nghĩa 2.17 (|6]) Tu nói tap A C R” có tính chất Whitney voi hằng số M nếu bắt kỳ hai điểm +,ụ € A có thể được nối trong A bởi một

đường cơng trơn từng khúc có độ đài S M ||z — 9Ị|

Cho A C R" x RY, t € IRP và kí hiệu 4, = {z €IR“: (z,f) € A} Ta

có định lý sau:

Định li 2.18 ([6]) Ton tai M = M(n) > 0 sao cho vdi moi tap nita dai

số A C ]R" x R? ton tại phân hoạch hữu hạn A = H L1 thỏa mãn tới

Cho A C R® la tap ntia đại số Cho x € A Khi đó tồn tại một ánh

xạ nửa đại số liên tục + : [0,e) —> IR” sao cho +(0) = z và +((0,e)) C A

Bổ đề 2.20 ([1],|2])(Bồ đề chọn đường cong tại vô hạn)

Cho A C R" va cho @: 4 — R2 là ánh xạ nửa đại số Giả sử tồn

tai day 2; € A sao cho 2; —> œ,ở(#¡) —> với € IR+ Khi đó tồn tại

đường cong nửa đại số + : (œ,/) —> IÑR" sao cho 7(t) € A, lim |+()| =

sf

+00, lim 9(7(t)) = y

Bổ đề 2.21 ([1])(Bổ đề cánh)

Cho 9 va là hai tập con nửa đại số của IR" Giả sử Ð = BC Ø9

Khi đó, tồn tại một tập nửa đại số A C © sao cho

B=AN(Q\Q)

Dinh nghia 2.22 Dat B' = {x ER’: |r| <1} CR’ Tacé6e CR"

được gọi là một buồng ¡ chiều nếu e đồng phôi với BÌ

Định lí 2.23 (Định lú phân ngăn trụ) Cho S C IR" là tập nửa đại số Khi đó tồn tại một phân hoạch S thành họ hữu hạn các buồng nủúa dai

số {e©¡};cạ, tức là 9 = |] e¡ uới e¡ là nửa đại số 0à e¡ [\e; = ÍJ tới ¡ # j

¡e1

23

Định nghĩa 2.24 (Chiều của tập mửa dại số) Tu định nghĩa chiều của

một tập nửa đại số SŠ như sau:

DimS = max dim ej

,€

Ham Rabier và tập các giá trị tới

2

A

hạn suy rộng của hàm sô

Chương này trình bày về hàm Rabier và tập các giá trị tới hạn suy rộng Ngoài ra, chương này trình bày một vài ví dụ minh họa tập các giá trị tới hạn suy rộng và tập các giá trị rẽ nhánh

(A*2)(z) = ¿(A(z)),Yz € X,ø €Y”

Định nghĩa 3.2 ([S]) Cho X,Y” là các không gian Banach trên trường

R, AE L(X,Y) Khi đó, ta định nghĩa hàm Rabier bởi

v(A) = (A) fetes inf A* || el

25

Mệnh đề 3.3 ¿⁄(4) > 0 khi và chỉ khi 4 là toàn ánh

Chứng mnh Trước hết giả sử (A) > 0 và giả sử A không là toàn ánh

Ta chứng mình 3¿ € Y', ||¿||[ = 1,ker¿ 2 ImA Dat Z = Y/ma, do

Z z {0} nên Z' # {0} Lấy Ø e Z',¿ #0, llê|| = 1 Ánh xạ ¿: Y —>IR

được xác định như sau

Z(0l) ye ¥\ImA

yy) =

Dễ thấy 2 # 0 nên ¿ # 0 Với mọi € Im4 thì € ker¿, do đó

Im A4 kery Ma ||| = |l£|| = 1 nên ta chỉ cần chứng minh ¢ 1a phiém

hàm tuyến tính

Lay \,a € Y,k € R,k z 0, trước hết ta chttng minh [y, + yo] =

[vi] + [ye] và [ky] = k[m| Lây z € [gì +a| thì z = ÿì + + a =

yi + (yo + @) € [m] + [ya] voi a € ImA Lay z € [yi] + [yo] thì z =

Yr + ay + yo + a2 = yr + yo + (a1 + a2) € [ys + 9a] với ai, ø¿ € Im A Do vay [yi + yo] = [1] + [ye] Dang thtic cdn lai chttng minh tung ty Bay

giờ ta có p(y +y2) = 9 (Ly + 2]) = ý (n] + [ua]) = 2 (u]) + 2 (ua]) =

#0) + (0s) và ply) = ø ([Eui]) = 6 ( [ji]) = ke (Lui) = Aen) nen

¿ là phiém ham tuyén tinh

Với y chi ra 6 trén, ta cé ||A*y]| = ||p o Al] = 0 nên v(A) = 0 (mau

thuẫn) Vậy A là toàn ánh

Bây giờ giả sử A là toàn ánh và giả sử ⁄(4) = inf ||/A*y|| = 0 Khi

lszll=1

= 1 sao cho ||A*y-

đó với moi e > 0, tồn tại y: € Y’, | Pe |<e Ta có

4*¿:||<e = sup | A*p-(x)|| < e

26

Mệnh dé 3.4 ((8]) Cho X,Y,Z là các không gian Banach trén R,

A,BEL(X,Y), CE L(Y, Z) Ta c6 cdc tinh chat sau: