skkn một vài HƯỚNG tạo RA bài TOÁN hệ PHƯƠNG TRÌNH mũ và LÔGARIT mới

- Bước 2: Thay hai biến bằng các hàm số mũ, lôgarit thích hợp để có được bài toán hệ phương trình mũ và lôgarit mới.. Cách 1 Ở bước 1 ta xét bài toán hệ phương trình đại số thường gặp nh

MỘT VÀI HƯỚNG TẠO RA BÀI TOÁN

HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT MỚI

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Hệ phương trình mũ và lôgarit là một nội dung được đưa vào giảngdạy trong chương trình toán lớp 12 ở ban nâng cao Và hệ phương trình mũ

và lôgarit lại thường có mặt trong các đề thi tuyển sinh đại học

Trong quá trình giảng dạy phần hệ phương trình mũ và lôgarit, giáoviên thường lấy bài toán có sẵn mà ít khi tự mình tạo ra các bài toán mới

Do đó bài tập được đưa ra có thể không phong phú về thể loại Đặc biệttrong việc kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh nếu giáo viên chỉ dựa vàocác bài toán có sẵn thì việc kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh sẽ thiếutính khách quan và chính xác

Ngoài ra tôi nhận thấy sách giáo khoa nói về vấn đề này còn ít, cònnhiều hạn chế Chưa thực sự giúp cho giáo viên và học sinh định hướngđược về vấn đề này trong quá trình dạy và học của mình

Chính vì những lí do trên mà tôi viết đề tài này với mục đích giúphọc sinh lớp 12 nâng cao và học sinh luyện thi cao đẳng, đại học có nhiềubài tập tham khảo về dạng toán này để ôn luyện tốt hơn Qua đó học sinh

có định hướng tốt trong quá trình làm các bài toán về dạng này Đồng thờigiúp giáo viên tự mình tạo được những đề toán phục vụ cho việc dạy học,kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh của mình

Đề tài này được tôi ấp ủ và hoàn thành trong hai năm Tuy nhiêntrong quá trình viết đề tài có thể không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rấtmong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy, cô để đề tài này của tôiđược hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

a gọi là cơ số, n là số mũ của lũy thừa a n

+ Luỹ thừa với số mũ nguyên âm n và 0 : 0 ∀ ≠ n − ∀ ≠

a a a

m m

a b m

= b b

I.3 Lôgarit

1 Khái niệm lôgarít α = log b a ⇔ a = b (a,b > 0 ; a 1)α ≠

Lôgarit thập phân:log 10b= l go b= lgb.

Lôgarit tự nhiên: log = ln (e b b b>0)với

1 lim 1 2,7183

x x

⇒Tổng quát: log b log c a > a ⇔ −(a 1)(b c) 0− >

I.4 Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit

- Bước 1: Thiết lập bài toán hệ phương trình đại số quen thuộc hoặc lấy

một bài hệ phương trình đại số có sẵn Ở phạm vi đề tài này ta thường chỉxét hệ phương trình đại số chỉ có hai biến

- Bước 2: Thay hai biến bằng các hàm số mũ, lôgarit thích hợp để có được

bài toán hệ phương trình mũ và lôgarit mới

2 Cách 2

- Bước 1: Thiết lập một bài toán hệ phương trình mũ và lôgarit ở cách 1.

- Bước 2: Sau đó sử dụng các phép toán và tính chất của lũy thừa, căn thức

và lôgarit để biến đổi các phương trình của hệ phương trình mũ và lôgarit ởbước 1 Để có được hệ phương trình mũ và lôgarit mới với mức độ khó hơn

hệ phương trình mũ và lôgarit ở bước 1

3 Cách 3

- Bước 1: Dựa vào sự biến thiên của hàm số mũ, lôgarit ta thiết lập một

phương trình mũ, lôgarit Sao cho từ phương trình đó ta được hai biến bằngnhau :

- Bước 2: Thiết lập một phương trình mũ, lôgarit một biến thông thường

hoặc lấy một bài phương trình mũ, lôgarit một biến đã có sẵn Rồi bằngcách thay biến để đưa phương trình mũ, lôgarit một biến thành phươngtrình mũ, lôgarit hai biến Và cũng có thể lấy một bài phương trình đại sốhai biến Kết hợp hai phương trình ở hai bước ta có hệ phương trình mũ vàlôgarit mới

4 Cách 4

- Bước 1: Dựa vào sự biến thiên của hàm số ta thiết lập một phương trình

đại số Sao cho từ phương trình đó ta được hai biến bằng nhau :

- Bước 2: Thiết lập một phương trình mũ, lôgarit một biến thông thường

hoặc lấy một bài phương trình mũ, lôgarit một biến đã có sẵn Rồi bằngcách thay biến để đưa phương trình mũ, lôgarit một biến thành phươngtrình mũ, lôgarit hai biến Và cũng có thể lấy một bài phương trình đại sốhai biến Kết hợp hai phương trình ở hai bước ta có hệ phương trình mũ vàlôgarit mới

Nhận xét: Bốn cách tạo ra bài toán hệ phương trình mũ và lôgarit mới trên

được đưa ra với mức độ thực hiện từ dễ đến khó Nên các bài toán tạo racũng với mức độ từ dễ đến khó Sau đây ta sẽ lần lượt tạo ra các bài toán hệphương trình mũ và lôgarit mới bằng bốn cách trên

II.2 Các ví dụ

1 Cách 1

Ở bước 1 ta xét bài toán hệ phương trình đại số thường gặp như:

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ gồm một phương trình bậc nhất và mộtphương trình bậc hai hai ẩn, hệ phương trình đối xứng hai ẩn, hệ phươngtrình đẳng cấp hai ẩn, hệ phương trình hai ẩn giải bằng cách đặt ẩn phụ…

Từ đó ta có nhiều bài toán hệ phương trình mũ và lôgarit mới Sau đây làmột số bài toán như vậy

Bài toán 1: Giải hệ phương trình 1

- Bước 2: Thay hai biến u, v bằng hai hàm số lôgarit lg ,lgx y để có được

bài toán hệ phương trình lôgarit mới sau:

Bài toán 2: Giải hệ phương trình 2 2

Đặt ẩn phụ u=lg ,x v =lgy ta có hệ phương trình 2 2

02

- Bước 2: Thay hai biến u, v bằng hai hàm số 2 ,logx 2 y để có được bài

toán hệ phương trình mũ và lôgarit mới sau:

Bài toán 3: Giải hệ phương trình

2 2 2

có được bài toán hệ phương trình mũ mới sau:

Bài toán 4: Giải hệ phương trình

- Bước 2: Thay hai biến u, v bằng hai hàm số lôgarit log ,log2 x 2 y và biến

đổi để có được bài toán hệ phương trình lôgarit mới sau:

Bài toán 5: Giải hệ phương trình

2log logy

x

x y

Đặt ẩn phụ u=5 ,x v=5y ta có hệ phương trình

7

1

- Bước 2: Thiết lập một phương trình lôgarit một biến giải bằng cách đưa

về phương trình cơ bản(chuyển về cùng cơ số) lg lgx+ x2 =lg 9x Rồi

bằng cách thay biến để đưa phương trình lôgarit một biến thành phương

trình lôgarit hai biến lg lgx+ x2 =lg 9y, ta được bài toán sau:

Bài toán 7: Giải hệ phương trình lg lg 2 lg 9

Qua lời giải bài toán trên ta thấy phương trình lg lgx+ x2 =lg 9x dễ

với học sinh Do đó bài toán dành cho học sinh trung bình khá

Ở bước 1 ta có thể thay phương trình 2x −2y = −y x bằng phương

    Và như vậy cùng với bước 2 ta lại có một số

bài toán mới mà sẽ được đưa vào phần bài tập đề nghị

Nếu ta thiết lập một phương trình lôgarit một biến giải bằng cáchđưa về phương trình cơ bản(chuyển về cùng cơ số)

log x+log x+log x+log x =0 Rồi bằng cách thay biến để đưa phươngtrình lôgarit một biến thành phương trình lôgarit hai biến

log x+log y+log x+log y =0, ta được bài toán khó hơn sau:

Bài toán 8: Giải hệ phương trình log2 log3 log4 log5 0



Nếu ta thiết lập một phương trình lôgarit một biến giải bằng cách

đưa về phương trình tích log5x+log7x =1+lo g5x l g o 7x Rồi bằng cách

thay biến để đưa phương trình lôgarit một biến thành phương trình lôgarit

hai biến log5x+log7y =1+lo g5x l g o 7y, ta được bài toán khó hơn sau:

Bài toán 9: Giải hệ phương trình 5 7 5 7

x y log log

lôgarit một biến thành phương trình lôgarit hai biến

được bài toán khó hơn sau:

Bài toán 10: Giải hệ phương trình

3 Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình

lôgarit một biến thành phương trình lôgarit hai biến

4log x + log y =

3 ,

ta được bài toán khó hơn sau:

Bài toán 11: Giải hệ phương trình

Bài toán 12: Giải hệ phương trình 5 5

−





Nếu ta thiết lập một phương trình lôgarit một biến giải bằng cách sử

dụng hàm số lg(x2 + − +x 6) x =lg(x+ +2) 4 Rồi bằng cách thay biến để

đưa phương trình lôgarit một biến thành phương trình lôgarit hai biến

2

lg(x + − +x 6) y =lg(x+ +2) 4, ta được bài toán khó hơn sau:

Bài toán 13: Giải hệ phương trình lg( 2 6) lg( 2

Nếu ta thiết lập một phương trình đại số hai biến x2 +xy y+ 2 =12,

ta được bài toán sau:

Bài toán 14: Giải hệ phương trình 2 2

- Bước 1: Ta có hàm số ( ) lnf t = t t+ đồng biến trên (0;+∞) Do đó ta

thiết lập một phương trình lôgarit lnx x+ =lny y+ ⇔ =x y.

- Bước 2: Thiết lập một phương trình mũ một biến giải bằng cách đưa về

phương trình cơ bản(chuyển về cùng cơ số)2 +2 +2 =3 +3 +3x x+1 x+2 x x−1 x−2

Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình mũ một biến thành phương

trình mũ hai biến 2 +2 +2 =3 +3 +3x x+1 x+2 y y−1 y−2, ta được bài toán sau:

Bài toán 15: Giải hệ phương trình +1 +2 1 2

Ở bước 2 ta thiết lập một phương trình mũ một biến lần lượt theo các phương pháp giải phương trình mũ ta sẽ có nhiều bài tập mới Và

cũng có thể thiết lập một phương trình lôgarit hay một phương trình đại số.Sau đây là các bài tập như thế

Ngoài ra ở bước 1 nếu ta xét hàm số nghịch biến

1 2

Và như vậy cùng với bước 2 ta lại có một

số bài toán mới mà sẽ được đưa vào phần bài tập đề nghị

Nếu ta thiết lập một phương trình mũ một biến giải bằng cách đưa về

phương trình tích 4.3x +3.2x = +12 6x Rồi bằng cách thay biến để đưa

phương trình mũ một biến thành phương trình mũ hai biến

4.3x +3.2x = +12 6y, ta được bài toán sau:

Bài toán 16: Giải hệ phương trình

ln ln4.3x 3.2x 12 6y

thay biến để đưa phương trình mũ một biến thành phương trình mũ hai biến

(7 3 5+ ) (x +5 7 3 5− )x =14.2y

, ta được bài toán sau:

Bài toán 17: Giải hệ phương trình ( ) ( )

Nếu ta thiết lập một phương trình mũ một biến giải bằng cách đặt ẩn

phụ 22x − 2x + =6 6 Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình mũ

một biến thành phương trình mũ hai biến 22x − 2y + =6 6, ta được bài

Nếu ta thiết lập một phương trình mũ một biến giải bằng cách đặt ẩn

phụ 6.9x −13.6x +6.4x =0 Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình

mũ một biến thành phương trình mũ hai biến 6.9x −13.6y +6.4x =0, ta

được bài toán sau:

Bài toán 19: Giải hệ phương trình

Nếu ta thiết lập một phương trình mũ một biến giải bằng cách sử

dụng hàm số 3x +4x =5x Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình mũ

một biến thành phương trình mũ hai biến 3x +4x =5y, ta được bài toán sau:

Bài toán 20: Giải hệ phương trình

x + y − x− y− = , ta được bài toán sau:

Bài toán 21: Giải hệ phương trình

*Ví dụ 9

- Bước 1: Ta có hàm số

1( )

- Bước 2: Thiết lập một phương trình lôgarit một biến giải bằng cách đưa

về phương trình cơ bản(chuyển về cùng cơ số) logx 2.log (2 x+ =6) 1 Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình lôgarit một biến thành phương

trình lôgarit hai biến logx 2.log (2 y+ =6) 1, ta được bài toán sau:

Bài toán 22: Giải hệ phương trình 2

Nếu ta thiết lập một phương trình lôgarit một biến giải bằng cách đặt

ẩn phụ log x2.log2x2=log16x2 Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình lôgarit một biến thành phương trình lôgarit hai biến

log log =log , ta được bài toán khó hơn sau:

Bài toán 23: Giải hệ phương trình 2 16

- Bước 1: Ta có hàm số ( )f t = t+ −1 3−t đồng biến trên [−1;3] Do

đó ta thiết lập một phương trình đại số

- Bước 2: Thiết lập một phương trình mũ một biến giải bằng cách đưa về

phương trình cơ bản(chuyển về cùng cơ số) 2x 12− +2x2+2=3x2 +3x 12− Rồi

bằng cách thay biến để đưa phương trình mũ một biến thành phương trình

mũ hai biến 2x 12− +2x2+2=3y2 +3y 12− , ta được bài toán sau:

Bài toán 24: Giải hệ phương trình

Tương tự *Ví dụ 9 ở bước 1 ta có thể thay phương trình

Nếu ta thiết lập một phương trình mũ một biến giải bằng cách đặt ẩn

phụ 5 +5 =6x 1−x Rồi bằng cách thay biến để đưa phương trình mũ một biến

thành phương trình mũ hai biến 5 +5 =6x 1−y , ta được bài toán sau:

Bài toán 25: Giải hệ phương trình 1

*Bài 10 Giải hệ phương trình log (log4 2 ) log (log2 4 ) 2

Trong quá trình dạy học, tôi đã đưa những bài tập đã tạo ra ở trênvào dạy ở Chương II giải tích 12 nâng cao và định hướng cho các em làmcác bài tập này Đồng thời khi kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh lớp 12nâng cao về Chương II giải tích 12 nâng cao, tôi cũng dùng các bài tập tựmình tạo ra ở trên Tôi nhận thấy việc kiểm tra, đánh giá trình độ học sinhcủa mình khách quan và chính xác hơn Còn với các em học sinh thì nắmvững kiến thức hơn và biết cách vận dụng kiến thức đã học để giải các bàitập dạng này Qua đó các em cũng được ôn luyện một phần kiến thức cho

kì thi tốt nghiệp và cao đẳng, đại học

Từ khi có ý tưởng tôi đã cố gắng tự mình làm và hoàn thiện vớimong muốn có được một đề tài đảm bảo về mặt khoa học, mang tính sángtạo và có ứng dụng trong thực tế dạy và học Vì vậy tôi rất mong nhậnđược những ý kiến đóng góp từ quý thầy, cô và bạn đọc để đề tài này đượchoàn thiện hơn nhằm mục đích phục vụ tốt hơn cho việc dạy và học Mọi ýkiến đóng góp của quý thầy, cô và bạn đọc xin gửi về địa chỉ

minhtoannbk@gmail.com.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Chư Sê, ngày 20 tháng 02 năm 2015

Người viết: Võ Ngọc Minh.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1) Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Trần

Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục, 2008.

2) Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân

Liêm, Phạm Thị Bạch Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng, Bài tập giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục, 2008

3) ThS Lê Hồng Đức (Chủ biên), NGƯT Đào Thiện Khải, Lê Bích

Ngọc, Lê Hữu Trí, Phương pháp giải toán phương trình, Bất Phương trình, hệ mũ – lôgarit, NXB Đại học sư phạm, 2006.

4) Đề thi tuyển sinh Đại học từ năm 2002 đến năm 2014 của Bộ giáo dục

và đào tạo

MỤC LỤC

A ĐẶT VẤN ĐỀ……… 1

B NỘI DUNG 2

I CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ………2

I.1 Lũy Thừa……… … ……… 2

I.2 Căn bậc n……… 2

I.3 Lôgarit… ……….……… ……… 3

I.4 Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit ……….3

II MỘT VÀI HƯỚNG TẠO RA BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT MỚI ………… ……….4

II.1 Cách giải quyết vấn đề……… ……… 4

1 Cách 1……… ……… 4

2 Cách 2……… ……… 4

3 Cách 3……… ……… 4

4 Cách 4……… ……… 5

II.2 Các ví dụ……….……… ……… 5

1 Cách 1……… ……… 5

2 Cách 2……… ……… 7

3 Cách 3……… ……… 9

4 Cách 4……… ……… 15

III CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ………18

C KẾT LUẬN………19

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 20