Mặc dù, sách giáo khoa giải tích 12Cơ bản đã nêu ra hai phương pháp giải là: phương pháp đổi biến số và phương pháp tính tích phân từng phần, nhưng không nêu rõ các bước để thực hiện phư
Trang 1MỤC LỤC
3 ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU Trang 2
Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN Trang 3
Trang 2PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài :
Toán học là một môn khoa học đòi hỏi sự tư duy rất lớn với một sự lập luận chặt chẽ
và logic Để có được những kỹ năng đó, đòi hỏi học sinh cần phải có một vốn kiến thức cơ bản về toán học phổ thông Tuy nhiên, thật tế cho thấy đa số học sinh thường hay lúng túng
và lập luận thiếu chặt chẽ khi đứng trước một bài toán nào đó, thậm chí các em bị bế tắc không tìm được lời giải khi đối diện với một bài toán Một mặt, do các em thiếu kỹ năng về phương pháp trình bày Mặt khác, do các em chưa nắm chắc về phương pháp giải, hoặc đã nắm rõ phương pháp nhưng chưa phân loại được bài toán để áp dụng phương pháp giải phù hợp
Trong chương trình môn Toán Giải tích lớp 12, mảng kiến thức về tích phân chiếm một vị trí quan trọng, thường được ra trong các đề thi tốt nghiệp, ĐH-CĐ, TCCN Mặc dù, sách giáo khoa giải tích 12(Cơ bản) đã nêu ra hai phương pháp giải là: phương pháp đổi biến
số và phương pháp tính tích phân từng phần, nhưng không nêu rõ các bước để thực hiện phương pháp, cũng như phân loại dạng toán để áp dụng đối với từng phương pháp (đặc biệt
là phương pháp đổi biến số) Do đó, khi đứng trước một bài toán tích phân học sinh thường hay lúng túng, không phân được dạng để áp dụng phương pháp, hoặc nếu phân được dạng thì cũng không biết bắt đầu như thế nào, đặc biệt là đối với đa số học sinh có học lực trung bình và yếu như ở trường THPT Nguyễn Trường Tộ
Nhằm nâng cao kỹ năng nhận dạng, cũng như rèn luyện kỹ năng giải toán tích phân
cho học sinh, tôi đã chọn đề tài: “ MỘT SỐ KINH NGHIỆM TRONG VIỆC NHẬN DẠNG
BÀI TẬP TÍCH PHÂN VÀ HƯỚNG GIẢI QUYẾT ” nhằm nêu ra một số kỹ năng nhận dạng
bài tập tích phân và hướng giải quyết những bài toán tích phân đó, qua đó giúp cho học sinh với học lực đa số trung bình và yếu như trường THPT Nguyễn Trường Tộ có một số kỹ năng tối thiểu để giải các bài toán tích phân trong các đề thi tốt nghiệp THPT nói riêng và các kỳ thi tuyển sinh nói chung
2 Mục đích của đề tài :
trong việc giải các bài toán tích phân, nhằm giúp cho học sinh có được những kỹ năng cơ bản để nhận dạng cũng như vận dụng phương pháp giải phù hợp khi đối diện với một bài toán tích phân
3 Đối tượng và phạm vi của đề tài :
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài là một số dạng bài tập về tích phân trong sách Giải Tích lớp 12-Cơ bản và một số bài toán tích phân trong các đề kiểm tra học kỳ II của Sở Giáo dục và Đào tạo , cũng như các bài toán tích phân trong các đề thi tốt nghiệp THPT của Bộ Giáo dục và Đào tạo
4 Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp:
- Nghiên cứu lý luận chung
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học
- Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm
Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy
Trang 3- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 12 trong các năm học.
5 Thời gian nghiên cứu:
Trong suốt thời gian trực tiếp giảng dạy các lớp 12 tại trường THPT A Lưới từ năm
2007 đến nay
PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN.
1 Cơ sở lý luận :
Mỗi một con người tồn tại trong cuộc sống đều hình thành cho mình một kỹ năng sống riêng Kỹ năng của con người không phải sinh ra là đã có mà được hình thành từ môi trường sống, từ kinh nghiệm sống của mỗi con người
Để hình thành một kỹ năng không phải đơn giản mà phải trải qua một quá trình dài trên cơ sở đúc rút những kinh nghiệm vốn có, trên cơ sở phân tích, tổng hợp và khái quát hoá
Kỹ năng trong giải toán cũng có thể được hiểu như là những kỹ xảo, những thủ thuật trong quá trình giải toán Đối với mỗi dạng toán đều mang trong nó những cách giải với những thủ thuật riêng mà việc hình thành cho học sinh những thủ thuật đó là một điều thật
sự cần thiết cho người học toán
Việc hình thành cho học sinh kỹ năng trong giải toán không chỉ mang lại cho học sinh
có một cách nhìn tổng quát về mặt phương pháp đối với một dạng toán nào đó mà còn giáo dục cho học sinh biết phân tích, xem xét để trong mỗi tình huống cụ thể, công việc cụ thể sẽ vận dụng khả năng nào là hợp lý Đồng thời nó góp phần bồi dưỡng cho ngưòi học những đức tính cần thiết của người lao động sáng tạo như tính chủ động, tính kiên trì vượt khó, tính
kế hoạch, kỹ năng phân tích, tổng hợp của một sự vật, hiện tượng
2 Cơ sở thực tiễn :
Nhiệm vụ trọng tâm trong mỗi năm học của trường THPT Nguyễn Trường Tộ là nhằm nâng cao tỷ lệ thi đỗ tốt nghiệp trung học phổ thông, mà môn Toán là một trong những môn thi bắt buộc trong sáu môn thi do Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định hàng năm, trong đó tích phân là một trong những mảng kiến thức hầu như phải có trong các đề thi Tốt nghiệp THPT của Bộ GD-ĐT Do đó, việc hình thành cho học sinh kỹ năng nhận dạng, chọn cách giải phù hợp khi đứng trước một bài toán tích phân thực sự là một điều cần thiết và thiết thực cho học sinh mà đặc biệt là học sinh dân tộc tiểu số với học lực đa số là trung bình và yếu như trường THPT Nguyễn Trường Tộ
Trang 4Chương II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
Học sinh trường THPT Nguyễn Trường Tộ đa số là người dân tộc thiểu số nên nhận thức còn chậm, chưa hệ thống được kiến thức Khi gặp các bài toán về tích phân đa số học sinh chưa phân loại và định hình được cách giải, hướng giải Bên cạnh đó, sách giáo khoa
Giải tích 12-Cơ bản- Trang 108 trong phần “ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN ”, ở phần
“ phương pháp đổi biến số ” sau khi đưa ra định lý:
sách giáo khoa đưa ra một ví dụ áp dụng là: “ Ví dụ 5: Tính
1
0 2
1
1
dx
x , và được giải bằng cách đặt xtant , 2 t2 ”
Sau định lý và ví dụ trên sách giáo khoa lại đưa ra chú ý:
“ Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn a; b Để tính
b
a
dx x
f( ) , đôi khi ta chọn hàm số u u (x) làm biến số mới, trong đó trên đoạn a; b, u (x)có đạo hàm liên tục và
;
)
(x
u Giả sử có thể viết:
) ( ' )) ( ( )
f , xa;b, với g(u) liên tục trên đoạn ; .
Khi đó, ta có:
b
a
b u
a u
du u g dx
x f
) (
) ( ) ( )
Sau phần chú ý trên, sách giáo khoa lại đưa ra hai ví dụ áp dụng, là: “ Ví dụ 6: Tính
2
0
2 cos
sin
xdx
x , và được giải bằng cách đặt u sinx ; Ví dụ 7: Tính
1
0
3 2
1 x dx
x
, và được
giải bằng cách đặt u1 x 2 ”.
Rõ ràng sách giáo khoa đã nêu ra hai phương pháp đổi biến số trong tính tích phân là đổi biến số bằng cách đặt x (t) và đổi biến số bằng cách đặt u (x) Tuy nhiên, qua thực tế nhiều năm giảng dạy các lớp 12 ở trường THPT Nguyễn Trường Tộ, với học lực của học sinh chủ yếu là trung bình và yếu thì riêng việc tiếp thu, hiểu định lý và chú ý trên đã là quá khó chứ chưa nói đến việc áp dụng chúng để giải toán Hơn nữa, sách giáo khoa cũng không nêu ra các bước để thực hiện phương pháp đổi biến số một cách rõ ràng để học sinh vận dụng, cũng như phân loại dạng toán để khi nào thì áp dụng phương pháp đổi biến số và đổi sang biến mới thì đặt như thế nào Bởi vậy, dù học sinh có nắm rõ các bước để thực hiện phương pháp đổi biến số, nhìn được bài toán tích phân đã cho là sử dụng phương pháp đổi
Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn a; b Giả sử hàm
số x (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn ; sao cho ( ) a, ( ) b và a (t) b với mọi t ;
Khi đó:
b
a
dt t t f dx x f
( )) ' ( ) (
) (
Trang 5biến số, thì đổi biến bằng cách đặt như thế nào, tôi thấy học sinh vẫn còn lúng túng và thiếu
tự tin
Đối với “ phương pháp tính tích phân từng phần ”, sách giáo khoa đã đưa ra định lý
để làm cơ sở cho việc xây dựng công thức Tuy nhiên về phân loại dạng toán để sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần thì phải sử dụng bảng tổng hợp các dạng toán tính nguyên hàm từng phần ở Hoạt động 8 – Sách giao khoa - Cơ bản - Trang 100, nhưng bảng tổng hợp ở phần này cũng chưa đầy đủ về phương pháp và dạng toán Bởi vậy chúng ta cũng cần phải bổ sung để học sinh có một cách nhìn tổng quát, đầy đủ về phương pháp và dạng toán, từ đó học sinh có một cách nhìn tổng thể nhằm giúp cho học sinh sử dụng phương pháp tích phân từng phần một cách chính xác và hiệu quả
CHƯƠNG III: MỘT SỐ GIẢI PHÁP
Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế tôi mạnh dạn xây dựng những phương pháp, đưa ra một số kinh nghiệm trong việc nhận dạng bài tập tích phân và hướng giải quyết những bài tập đó, qua đó giúp cho học sinh hình thành được những kỹ năng, cách nhìn nhận để từ đó có hướng giải quyết khi đứng trước một bài toán tích phân -một mảng kiến thức quan trọng thường được ra trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT, cũng như các kỳ thi tuyển sinh ĐH-CĐ và TCCN
I Phương pháp đổi biến số:
1) Đổi biến số loại I ( đặt u (x)):
a) Phương pháp:
Giả sử cần tính:
b
a
dx x
f( )
Bước 1: Đặt u (x) du ' (x)dx
Bước 2: Đổi cận :
) ( ) (
b u
b x
a u
a x
Bước 3: Biểu thị : f(x)dxg(u)du
Lúc đó: ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( ))
) (
) (
) (
) (
a G b G u
G du u g dx x f
b
a
b
a b
a
b) Cách nhận dạng một bài toán tích phân khi sử dụng phương pháp đổi biến số loại I:
* Dạng 1: Hàm số dưới dấu tích phân là hàm có dạng ( ( ))
) (
x Q
x P
Cách giải: Thông thường ta đặt u Q (x)
Ví dụ 1: Tính
dx x
x
3
3 2
1
( Bài tập 3a – Giải Tích 12 – Cơ bản – Trang 113)
Bài giải: Đặt u 1 x dudx
Đổi cận:
4 3
1 0
u x
u x
Trang 6Biểu thị:
u
u dx
x
x
2 3 2
2 3
1
Do đó:
u
u u
u u
du u
u dx
x
x
4
3 2
2
3 2
3 4
3
2 3
3
2
2 1 1
1
4
1 2 3 2 1 2 1 4
1
2 1 2 1 2 3
Vậy
5 1
3
0 2
3
2
dx
x
x
* Dạng 2: Hàm số dưới dấu tích phân là hàm có dạng
) ( ).
P
Cách giải: Thông thường ta đặt u Q (x)
Ví dụ 2: Tính x x dx
1
0
4 3
2 ( 1 )
( Đề thi TN THPT – Năm 2008)
Bài giải: Đặt u x du x dx x dx du
3
1 3
Đổi cận:
0 1
1 0
u x
u x
Biểu thị: x2 x3 4dx u4du
3
1 )
1
Do đó:
15
1 15
1 3
1 3
1 )
1 (
1
0
0
1
1
0
5 4
4 1
0
4 3 2
Vậy ( 1 ) 151
1
0
4 3 2
x x dx .
* Dạng 3: Hàm số dưới dấu tích phân là hàm lượng giác.
b
a
dx x x
f(sin ) cos đặt u sinx
b
a
dx x x
f(cos ) sin đặt u cos x
b
a
dx x x
cos
1 ).
(tan đặt utanx
b
a
dx x x
sin
1 ).
(cot đặt u cot x
( f (u): là biểu thức biểu diễn theo u )
Ví dụ 3: Tính
6
0 1 sin cos
dx x
x I
( Đề kiểm tra HKII – Năm học:2008-2009 – Sở GD-ĐT T.T.Huế )
Bài giải:
Trang 7Phân tích:
6
0
6
0
cos sin 1
1 sin
1 cos
xdx x
dx x
x
b
a
dx x x
f(sin ) cos )
Đặt u 1 sinx du cosxdx
( Lẽ ra đặt u sinx nhưng ta đặt u 1 sinx để mẫu số theo biến u được gọn hơn)
Đổi cận:
2 6
1 0
u x
u x
u
dx x
sin 1
cos
Do đó:
2
3 ln ln
1 sin
1
3
1 2
3
1 6
0
x x dx u du u
I
Vậy
2
3 ln sin
1
cos 6
0
dx x
x
Ví dụ 4: Tính
3
4
2 tan cos
dx
( Đề kiểm tra HKII – Năm học:2005-2006 – Sở GD-ĐT T.T.Huế )
Bài giải:
Phân tích:
3
4
2 3
4
1 tan
1 tan
cos
dx x x
x x
dx
(Dạng:
b
a
dx x x
cos
1 ).
x du
x
cos
1 tan
Đổi cận:
3 3
1 4
u x
u x
u x x
2
1 tan , cos
tan cos
4 3
1
3 1
2
1 2
1 3
4
tan cos
4 3
4
dx
* Dạng 4 : Hàm số dưới dấu tích phân chứa lnx
b
a
dx x x
f(ln ).1 đặt u lnx
( f (ln x) : là biểu thức chứa lnx)
Ví dụ 5: Tính
3
1
) cos(ln
e
dx x
x
Trang 8( Đề kiểm tra HKII – Năm học:2006-2007 – Sở GD-ĐT T.T.Huế )
Bài giải:
x x dx
x
e
3 3
1 1
1 )
cos(ln )
cos(ln
( Dạng
b
a
dx x x
f(ln ).1 )
x du x
u ln 1
Đổi cận:
3 0 1
u e
x
u x
Biểu thị: dx udu
x
x
cos )
cos(ln
Do đó:
2
3 sin
cos )
0
3 0 1
3
u udu
dx x x
e
Vậy
2
3 )
cos(ln
3
1
e
* Dạng 5: Hàm số dưới dấu tích phân chứa n f(x)
Cách giải: Chúng ta có thể đặt un f(x)
( Để đơn giản, sau khi đặt un f(x) ta nên nâng lũy thừa bậc n hai vế trước khi lấy
vi phân )
Ví dụ 6: Tính
2
2
x
xdx J
( Đề thi TN THPT – Năm 2007)
Bài giải:
Đặt u x2 1 u2 x2 1 2udu 2xdx xdxudu
Đổi cận:
5 2
2 1
u x
u x
u
udu x
xdx
2 2
1
2
1
2
5
2
2
1 2
Vậy 2 5 2
1
2
2
1 2
x xdx
Ví dụ 7: Tính dx
e
e e I
x
x x
5 ln
2
1
( Đề thi TN THPT – Năm 2006)
Bài giải:
Đặt u e x 1 u2 e x 1 2udu e x dx e x dx 2udu
Đổi cận:
5 5
ln
2 2
ln
u x
u x
Biểu thị: udu u du
u
u dx e
e e
x
x x
2 2 2
1 1 1
Trang 9Do đó: 2 50
3
1 2 2 2 1
2
5
2
3 2
5 ln
2 ln
x x
1
1
5 ln
2 ln
e e x e dx
x x
2) Đổi biến số loại II ( đặt x (t))
a) Phương pháp:
Giả sử cần tính:
b
a
dx x
f( )
Bước 1: Đặt x (t) dx ' (t)dt
Bước 2: Đổi cận :
t b t b
x
t a t a
x
) ( ) (
Bước 3: Biểu thị : f(x)dxg(t)dt
Lúc đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
G G
t G dt t g dx x f
b
a
b) Cách nhận dạng một bài toán tích phân khi sử dụng phương pháp đổi biến số loại II:
* Dạng 1: Hàm số dưới dấu tích phân có chứa a 2 x2 ( a 0 )
Cách giải: Ta có thể đặt xasint ( hoặc x acost)
( Vì hàm số y sint có hàm số ngược trên đoạn / 2 ; / 2 nên ta chỉ xét biến số t trên đoạn / 2 ; / 2, và hàm số y cost ta chỉ xét t0 ; )
Ví dụ 8: Tính
1
0
2
( Bài tập 3b/ – Sách giáo khoa – Trang 113)
Bài giải: Đặt x sint ( với 2 t2 ) dx costdt
Đổi cận:
2 1
sin 1
0 0
sin 0
t t
x
t t
x
Biểu thị: 1 x2dx 1 sin 2tcostdt cos 2tcostdt costcostdt
2
0
2
0 2 1
0
2 cos cos cos 1
tdt tdt
t dx
2
0 t t )
4 ) 2 sin 2
1 ( 2
1 2
2 cos
0
2
0
1
0
x dx
* Dạng 1: Hàm số dưới dấu tích phân có chứa a 2 x2 ( a 0 )
Cách giải: Ta có thể đặt xatant ( hoặc xacott)
( Vì các hàm số y tant và y cott có hàm ngược trên khoảng
2
; 2
nên ta chỉ
xét biến số t trên là khoảng
2
; 2
)
Trang 10Ví dụ 9: Tính
2
0
2
dx
Bài giải: Đặt x 2 tant
2 2
t
dx 2
cos
2
Đổi cận:
4 2
tan 2 1
0 0
tan 2 0
t t
x
t t
x
t t dt
t t x
dx
2
1 cos
2 cos 4
1 cos
2 tan 4 4
1
2 2
2
4
0
4 0
2
0
1 2
1 4
t dt x
Vậy 4 8
2
0 2
dx x
3) Một số lưu ý về phương pháp đổi biến số:
Các bài toán tích phân trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ, TCCN thường được giải bằng phương pháp đổi biến số loại I nhiều hơn phương pháp đổi biến số loại II Tuy nhiên, khi đứng trước một bài toán tích phân nhiều khi chúng ta khó phân biệt phải sử dụng phương pháp đổi biến số loại nào Vì vậy, khi đối diện với một bài toán tích phân mà chúng ta đã xác định được bài toán đó thuộc một trong các dạng phải sử dụng phương pháp đổi biến số, thì trước tiên chúng ta nên bắt đầu từ phương pháp đổi biến
số loại I, và nếu với phương pháp này chúng ta gặp khó khăn ở bước 3, nghĩa là việc biểu thị biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx theo g(u)du không thuận lợi thì chúng ta nghĩ ngay đến phương pháp đổi biến số loại II
Chẳng hạn, như Ví dụ 8: Tính
1
0
2
1 x dx, nếu chúng ta nhận định rằng vì hàm số dưới dấu tích phân có chứa n f(x) là 1 x2 , nên sử dụng phương pháp đổi biến số loại I bằng cách đặt u 1 x 2 , thì từ đó ta có:
udu xdx
xdx udu
x u
x
Nhưng, như chúng ta thấy hàm số dưới dấu tích phân chỉ có dx , nếu thêm xdx vào biểu thức dưới dấu tích phân thì phải có phép chia cho x , nghĩa là biểu thức dưới dấu tích phân sẽ trở
x
x2
1 , và khi đó chúng ta sẽ gặp khó khăn vì hai nhẽ:
i) Vì tích phân được lấy từ 0 đến 1 nên có chứa x 0, do đó phép chia không hợp lệ ii) Theo cách đặt ở trên thì chúng ta có thể biểu thị được x2 1 u 2 , nếu chúng ta biểu thị x theo u thì lại xuất hiện dấu căn mới
Vì vậy, bài toán này không phù hợp với phương pháp đổi biến số loại I nên chúng ta phải sử dụng phương pháp đổi biến số loại II
II Phương pháp tính tích phân từng phần:
1) Công thức:
Nếu u u (x) và v v (x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn a; b
thì:
b
a b
a b
a
dx x v x u x
v x u dx x v x
u( ) ' ( ) ( ( ) ( )) ' ( ) ( )