skkn một số dạng toán cơ bản về xác suất của biến cố ” ở đại số giải tích 11

Lí do chọn đề tài: Trong chương trình Toán THPT các bài toán có liên quan đến xác suất là một phần quan trọng của Đại số - giải tích 11, học sinh thường gặp nhiềukhó khăn khi giải các b

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lí do chọn đề tài:

Trong chương trình Toán THPT các bài toán có liên quan đến xác suất

là một phần quan trọng của Đại số - giải tích 11, học sinh thường gặp nhiềukhó khăn khi giải các bài toán liên quan

Chính vì vậy trong giảng dạy ngoài việc giúp cho học sinh nắm đượckiến thức cơ bản thì việc phát huy tính tích cực, tự lập của học sinh và biết

áp dụng các kiến thức đã học vào giải các bài toán và ứng dụng toán họcvào trong thực tế là rất cần thiết Xác suất của biến cố là một trong nhữngnội dung quan trọng của chương trình Toán phổ thông Sau khi học sinh đãhọc xong “xác suất của biến cố ” bản thân tôi muốn học sinh tìm xác suấtcủa một bài toán, của một ứng dụng trong thực tế một cách đơn giản, nên

trong bài viết này “ Một số dạng toán cơ bản về xác suất của biến cố ” ở

đại số - giải tích 11 sẽ giúp cho học sinh làm bài tập một cách nhanh chóng

và chính xác

2 Mục đích nghiên cứu:

Nhằm hệ thống lại những kiến thức về xác suất của biến cố để học sinhhiểu và vận dụng tốt hơn trong các bài toán liên quan

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Một số kiến thức liên quan đến xác suất của biến cố trong chương trìnhĐại số - giải tích 11 và học sinh lớp 11 của trường THPT Phạm Văn Đồng

4 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp suy luận, tổng hợp: Được đúc rút qua thời gian giảngdạy, hệ thống lại kiến thức, mở ra các hướng đi mới

Phương pháp trò chuyện: Trao đổi với nhiều học sinh để nắm tình hình

sử dụng kiến thức vào giải toán

Phương pháp phân tích lý luận: Phân tích giúp học sinh nắm rõ bảnchất của vấn đề

PHẦN II: PHẦN NỘI DUNG.

THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

Khái niệm xác suất của biến cố là một khái niệm mới đối với học sinh.Xác suất của một biến là một số được đưa ra để đánh giá khả năng xảy racủa biến cố đó Do đó, xác suất có biến cố gần 1 hay xảy ra hơn còn biến

cố có xác suất gần 0 thường hiếm xảy ra Khi nói đến việc tìm một số yếu

tố liên quan đến xác suất của biến cố thì đại đa số học sinh đều làm đượcnhưng khi bài toán yêu tìm xác suất của biến cố thì học sinh còn rất nhiềulúng túng vì không biết phải áp dụng quy tắc cộng xác suất hay quy tắcnhân xác suất hay dạng toán tổng hợp giữa quy tắc công và quy tắc nhân

Vì vậy tôi đã chọn đề tài này để nghiên cứu

Nội dung của đề tài chia thành các mục:

Chương I Một số kiến thức liên quan đến xác suất của biến cố.

Chương II Một số bài toán liên quan đến xác suất của biến cố.

CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ

XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ.

1 Phép thử, không gian mẫu.

- Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kếtquả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thửđó

- Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi làkhông gian mẫu

2 Biến cố.

Biến cố là một tập con của không gian mẫu

3 Định nghĩa cổ điển của xác suất.

- Giả sử A là một biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu

hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện Ta gọi tỉ số ( )

)(

Ω

n

A n

là xác suất củabiến cố A, kí hiệu là P(A)

ta có ( )

)()

- Với mọi biến cố A, ta có P(A)=1−P(A).

5 Các biến cố độc lập, công thức nhân xác suất.

Nếu sự xảy ra của một biến cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra củamột biến cố khác thì ta nói hai biến cố đó độc lập Tổng quát, đối vớihai biến cố bất kì ta có mối quan hệ sau:

A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B)=P(A).P(B).

CHƯƠNG II: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN XÁC

SUẤT CỦA BIẾN CỐ.

Dạng toán 1: Bài tập về xác suất dựa vào các liệt kê các phần tử, dựa vào quy tắc cộng, quy tắc nhân và dựa vào công thức tính các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Ví dụ 1: Gieo ba đồng tiền cân đối và đồng chất Tính xác suất của các

B = { SSN, NSS, SNS} ⇒n (B)= 3

3)

(B =

P

Ví dụ 2: Một tổ học sinh có 12 người trong đó có 7 nam và 5 nữ Chọn

ngẫu nhiên hai người trong tổ Tìm xác suất để :

a Hai người được chọn đều là nữ

b Hai nguời được chọn đều là nam

c Hai người được chọn có 1 nam và 1 nữ

10)

21)

Và có C = 7 cách chọn 1 nam trong 7 nam.71

3566

7.5)

B : “ Xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3”

C: “ Xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn 3”

3)

2)

4)

(C = =

P

Ví dụ 4: Có chín miếng bìa như nhau được ghi từ 1 đến 9 Lấy ngẫu nhiên

hai miếng bìa và xếp theo thứ tự từ trái sang phải Tính xác suất của các biến cố sau :

a A: “ Số tao thành là số chẵn”

b B : “ Số tạo thành là số chia hết cho 5”

c C: “ Số tạo thành có chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị”.Phân tích: Với đề ra như trên học sinh đọc đề không kỹ sẽ dẫn đến tìm sai

số phần tử của không gian mẫu đó chính là học sinh không nhận ra được có

sự sắp xếp thứ tự Đối với câu c học sinh có thể tính số phần tử theo haicách: đó là theo tổ hợp hoặc theo quy tắc đếm

32)

Theo quy tắc nhân, ta có: n( B) = 1.8 = 8.

172

8)

36)

Vậy 2

172

36)

(C = =

P

Ví dụ 5: Một tổ có 9 học sinh, trong đó có 5 nam và 4 nữ được xếp thành

một hàng dọc Tính xác suất sao cho không có hai bạn nam nào đứng kề nhau

Bài giải

Có 9 học sinh xếp thành một hàng dọc thf số cách xếp bằng số hoán vị của

9 phần tử, do đó không gian mẫu có 9! phần tử

Tổ có 9 học sinh, trong đó 5 nam và 4 nữ, muốn xếp thành một hàng dọc sao cho không có hai bạn nam nào đứng kề nhau thì phải xếp một học sinh nam đứng trước, rồi đến một học sinh nũ, tiếp tục cứ xếp xen kẽ nhau, học sinh xếp cuối cùng là nam

Số khả năng xảy ra bằng số hoán vị của 5 học sinh nam nhân với số hoán vịcủa 4 học sinh nữ, do đó có 5!.4!

1

!9

!4

!

5)

(A = =

P

Bài tập áp dụng:

1 Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến

20 Tìm xác suất để thẻ được lấy ghi số

a Chắn

.

; 20

3)(C =

P

; 6

1)(C =

P

; 36

11)(D =

P

3 Một bộ sách có 4 tập mà nhìn bề ngoài giống hệt nhau lấy ngẫu nhiên

các tập sách xếp trên giá sách Tính xác suất để các tập sách được xếp trêngiá theo đúng thứ tự từ tập một đến tập bốn (kể từ trái qua phải hoặc từphải qua trái)

( Sách toán cơ bản – nâng cao đại số - giải tích 11 – trang 64)

Đáp số: 12

1)(A =

P

4 Một hộp chứa 10 viên bi, trong đó có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và 2

viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi Tính xác suất để:

a Cả hai bi lấy ra đều là bi đỏ

b Trong hai bi lấy ra có 1 bi xanh và 1 bi vàng

( Sách rèn luyện giải toán đại số - giải tích 11 – trang 74)

Đáp số: a 9

2)(A =

P

b 15

2)(B =

P

Dạng toán 2: Bài tập về xác suất của biến cố hợp - quy tắc cộng xác suất.

Ví dụ 1: Một hộp đựng 6 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ có kích thước và

trọng lượng như nhau Lấy ngẫu nhiên ra 5 viên bi Tìm xác suất để lấyđược ít nhất ba viên bi màu đỏ

Phân tích: Yêu cầu của bài toán là lấy được ít nhất ba viên bi màu đỏ, do đó

để tìm được xác suất của bài toán ta phải đưa về theo quy tắc hợp của haibiến cố

15.4)(A1 = =

P

• A2 là biến cố “ 4 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh”

Có C = 1 cách lấy 4 viên bi đỏ.44

và có C = 6 cách lấy 1 viên bi xanh.16

6252

6.1)(A2 = =

66252

6252

60

=

=+

=

Ví dụ 2: Một chiếc hộp kín đựng 12quả cầu trắng và 8 quả cầu đỏ có kích

thước và trọng lượng như nhau Lấy ngẫu nhiên ra 6 quả Tìm xác suất đểtrong 6 quả lấy ra có ít nhất 5 quả cầu đỏ

• A1 là biến cố “ 5 quả cầu đỏ và 1 quả cầu trắng”

Vậy 38760

67238760

12.56)

(A1 = =

P

• A2 là biến cố “ 6 quả cầu cùng màu đỏ ”

Nên 38760

28)

70038760

2838760

672

=

=+

=

Ví dụ 3: Một bình đựng 5 viên bi xanh, 3 viên bi vàng và 4 viên bi trắng.

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi Tính xác suất sao cho:

a Lấy được 3 viên bi màu xanh

b Lấy được ít nhất 1 bi vàng

c Lấy được 3 viên bi cùng màu

Phân tích: Bài toán yêu cầu tìm xác suất của các biến cố, đối với yêu cầuthứ nhất thì đơn không kỹ thì sẽ không đưa ra hết được các trường hợptheo yêu cầu của bài toán

Bài giải

Trong bình có tất cả 12 viên bi Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi Vậy không gian mẫu có C = 220 phần tử.123

a Gọi A là biến cố “ lấy được 3 viên bi xanh”

Ta có C = 10 cách chọn 3 viên bi xanh Vậy 53 22

1220

10)(A = =

P

b Cách 1:

Gọi B là biến cố “ lấy được ít nhất một viên bi vàng” nên B sẽ là hợp

của các biến cố sau:

B1 là biến cố “lấy được 3 viên bi vàng” 220

1220)

(

3 3

.)

(

1 5

2 3

.)

(

1 4

2 3

3 = =

B4 là biến cố “lấy được 1 viên bi vàng, 2 viên bi xanh”

220

30220

.)

(

2 5

1 3

.)

(

2 4

1 3

)

(

1 5

1 4

1 3

136220

6018301215

=

Cách 2:

Gọi B là biến cố “ trong 3 viên bi lấy được không có viên bi vàng nào” Vậy B là hợp của các biến cố sau:

A là biến cố “ lấy được 3 viên bi xanh” ⇒ 22

1220

10)(A = =

P

B’1 là biến cố “ lấy được 3 viên bi trắng” 220

4220)

'(

3 4

)

'

(

1 4

2 5

.)

'

(

1 5

2 4

220

84220

30404

136220

841)(1)

(B = −P B = − = =

P

c Gọi C là biến cố “ lấy được 3 viên bi cùng màu” là hợp của các biến cố:

A là biến cố “ lấy được 3 viên bi xanh” ⇒ 22

1220

10)(A = =

P

B1 là biến cố “lấy được 3 viên bi vàng” 220

1220)

(

3 3

'(

3 4

15220

1410

=

=++

=

Ví dụ 4: Một chiếc hộp kín đựng 12 quả bóng bàn trong đó có 3 quả màu

vàng và 9 quả màu trắng có kích thước và trọng lượng như nhau Lấy ngẫunhiên ra 3 quả Tìm xác suất để :

a Ba quả bóng lấy ra đều màu trắng.

b Ba quả bóng lấy ra có không quả một quả màu vàng

84)

192

3 12

2 9

1 3 3 12

C

Ví dụ 5: Một tổ công nhân có 7 nữ và 5 nam Chọn ngẫu nhiên ra 3 người

để thực hiện một công việc Tìm xác suất để ba người được chọn có ít nhấtmột nam công nhân

Bài giải:

Tổng số công nhân trong tổ là 12 người Chọn ngẫu nhiên 3 người Vậy không gian mẫu có C = 220 phần tử.123

1 A A A

185

3 12

3 5 3

12

1 7

2 5 3

12

2 7

C C C

3511

)(1

P

A

P

Bài tập áp dụng:

1 Một hộp chứa 12 viên bi, trong đó có 5 viên bi đỏ, 4 viên bi trắng và 3viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi Tính xác suất để 3 viên bi lấy racùng màu

( Sách rèn luyện giải toán đại số - giải tích 11 – trang 79)

Đáp số:

44

3)

()()(

)

12

3 3 3 12

3 4 3 12

3

5 + + =

=+

+

=

C

C C

C C

C V P T P Đ

( Sách rèn luyện giải toán đại số - giải tích 11 – trang 79)

Đáp số:

Gọi A là biến cố “ chọn được thẻ số 1 và số 4”, B là biến cố “ chọn đượcthẻ số 2 và số 3” Gọi X là biến cố “ chọn được hai tấm thẻ có tổng các sốghi trên hai tấm thẻ đó bằng 5”

.

)

14

1 2

1 5 2

14

1 3

1

4 + =

=+

+

C

C C C

C C B P A

P

b 11

7)(B =

P

c 22

21)(C =

P

Dạng toán 3: Bài tập về xác suất của biến cố đối

Ví dụ 1: Một hộp đựng 20 viên bi trong đó có 12 viên bi đỏ và 8 viên bi

xanh có kích thước và trọng lượng như nhau Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi.Tìm xác suất để:

a Cả 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ

b Cả 3 viên bi đều màu xanh

c Có ít nhất một viên bi đỏ

Bài giải:

Tổng số bi trong hộp là 20 viên, lấy ngẫu nhiên 3 viên bi nên không gian mẫu là C = 1140 phần tử.203

a Gọi A là biến cố “ cả 3 viên bi lấy được đều màu đỏ”

Nên 57

111140

220)

(A = =

P

b Gọi B là biến cố “ cả 3 viên bi lấy được đều màu xanh”

141140

56)

141)(1)(C = −P B = − =

P

Ví dụ 2: Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lý và 2 quyển

sách Hóa Lấy ngẫu nhiên ra 3 quyển sách Tìm xác suất để 3 quyển sáchlấy ra có ít nhất một quyển sách Toán

Vậy xác suất để 3 quyển sách lấy ra có ít nhất một quyển sách Toán là:

3784

1011

)(1

Gọi A là biến cố “ xuất hiện ít nhất một lần hai mặt 6”, vậy A là biến cố “

không xuất hiện hai mặt 6” Khi đó P(A)=1−P(A)

Số khả năng có thể xảy ra khi gieo hai con súc sắc là 62= 36

Số khả năng để không xuất hiện hai mặt 6 là 35

Vậy xác suất để một lần gieo không xuất hiện mặt 6 là 36

35

Vậy xác suất để n lần gieo không xuất hiện mặt 6 là

Do đó:

n A

P A

)(1)

(

Bài tập áp dụng:

.

1 Có 7 người nam và 3 người nữ Chọn ngẫu nhiên 2 người Tìm xác suất

)(1

P B

P

2 Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng, hai quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng

thời hai quả Tính xác suất sao cho:

a Hai quả lấy ra khác màu

b Hai quả lấy ra cùng màu

( Sách đại số - giải tích 11 – trang 69)

Đáp số:

3

)

5

1 2

(B =P A = −P A =

P

Dạng toán 4: Bài tập về xác suất của biến cố giao - quy tắc nhân xác suất.

Ví dụ 1: Gieo hai con súc sắc Tìm xác suất để:

a Cả hai con súc sắc đều xuất hiện mặt 6 chấm

b Có đúng một trong hai con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm

Bài giải:

a Gọi hai con suác sắc là M và N, A là biến cố “ Súc sắc M xuất hiện mặt 6chấm”, B là biến cố “ súc sắc N xuất hiện mặt 6 chấm” Ta nói A và B là các biến cố độc lập

1)(A =

P

1)(B =

P

Biến cố “ Cả hai con súc sắc đều xuất hiện mặt 6 chấm” là AB và cả hai biến cố A và B đồng thời xảy ra Vậy xác suất để hai con súc sắc đều xuất hiện mặt 6 chấm là:

P(AB) = P(A).P(B) = 36

1

b.Gọi X là biến cố “ có đúng mmột trong hai con súc sắc xuất hiện mặt 6

chấm”, ta có X là hợp của hai biến cố xung khắc B A và B A , tức là

X = B A  B A Do đó P(X)=P(A B)+ P(A B).

Vì 6

56

11)(1)

(A = −P A = − =

P

5)(1)(B = −P B =

P

nên

)()()

(X P A B P A B

Ví dụ 2: Có hai bình, mỗi bình chứa 3 viên bi chỉ khác nhau về màu: một

viên bi xanh, một viên bi vàng , một viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên mỗi bìnhmột viên bi Tìm xác suất để lấy được hai viên bi xanh

⇒P A

A2 là biến cố “ lấy được một bi xanh từ bình thứ nhất” 3

1)( 2 =

1.3

1)()

()(

)

(A =P A1 A2 =P A1 P A2 = =

Ví dụ 3: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần Tìm xác suất

sao cho tổng số chấm trong hai lần gieo không bé hơn 10, nếu:

a Lần gieo đầu tiên xuất hiện mặt 5 chấm

b Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhât một lần

Bài giải:

Không gian mẫu Ω={(a,b)/1≤a,b≤6}⇒n(Ω)=36.

Kí hiệu: A “ Tổng số chấm trong hai lần gieo lớn hơn hoặc bằng 10”

B: “ Lần đầu xuất hiện mặt 5 chấm”

P

;

18

2)(A B =

1)

(

)(

)/

B P

B A P B A

b C = { ( 5,1); ( 5,2); ( 5,3); ( 5,4); (5,5); ( 5,6); (1,5) ; ( 2,5); (3,5); (4,5);(6,5)}

Mà A C = { (5,5) ; (5,6); (6,5)}

36

11)(C =

P

;

3)(A C =

Vậy:

113361136

3)

(

)(

)/

C P

C A P C A

Bài tập áp dụng:

1 Có hai hộp Hộp thứ nhất chứa hai bi trắng và một bi đen, hộp thứ hai

chứa hai bi trắng và hai bi đen Từ hộp thứ nhất, lấy ngẫu nhiên một bi,xem màu của nó rồi bỏ vào hộp thứ hai Sau đó từ hộp thứ hai, lấy ngẫunhiên ra một bi Tìm xác suất sao cho cả hai bi lấy ra đều màu trắng

( Sách tuyển chọn 400 bài tập đại số và giải tích 11 – trang 89)

Đáp số:

Kí hiệu: A “ Bi lấy được từ hộp thứ nhất ra là màu trắng”

.

B: “ Bi lấy được từ hộp thứ hai ra là màu trắng”

5

2)(A B =

a Cả ba máy đều hoạt động tốt

b Cả ba máy đều hoạt động không tốt

( Sách 500 bài tập cơ bản và nâng cao toán 11 – trang 70)

Gọi A là biến cố “ trong một lần lấy ra được đung một bi đỏ”, Ai là biến cố

“ lấy được bi đỏ ở hộp thứ i” với i = 1,2 Ta có: A= A1A2  A2A1.

297

2.10

77

5.10

3)()()

(A =P A1A2 +P A2A1 = + =

P

Ví dụ 2: Chọn ngẫu nhiên 3 giáo viên trong tổ chuyên môn Hóa – Sinh –

Thể dục để thành lập một đoàn công tác sao cho mỗi môn phải có một giáoviên Biết tổ có 6 giáo viên Hóa, 5 giáo viên Sinh, 3 giáo viên Thể dục,trong đó môn Hóa có 3 giáo viên nữ, môn Sinh có 2 giáo viên nữ và mônThể dục có 1 giáo viên nữ Tính xác suất để đoàn công tác:

a Có đúng 1 giáo viên nữ

b Có ít nhất 1 giáo viên nam

Bài giải:

a.Gọi H là biến cố “ có 1 giáo viên nữ môn Hóa trong đoàn”, S là biến cố

“có 1 giáo viên nữ môn Sinh trong đoàn” , T là biến cố “ có 1 giáo viên nữ môn Thể dục trong đoàn”

1)(

;5

2)(

;2

16

3)(H = = P S = P T =

P

2)(

;5

3)(

;2

16

Ta có X =H S T  H S T  H S T , đây là hợp của các biến cố xung khắc

Theo quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất, ta có:

)(

)(

)(

1.5

3.2

1)(

;15

23

2.5

2.2

1)(

;5

13

2.5

3.2

1)(H S T = = P H S T = = P H S T = =

P

Suy ra

)(

)(

)(

1.5

2.2

11)(1)(Y = −P Y = − =

P