Vận dụng kiến thức toán hình học sơ cấp để định hướng tìm lời giải bài toán cho học sinh giỏi toán THCS

KINH NGHIỆM DẠY HỌC ĐỀ TÀI: VẬN DỤNG KIẾN THỨC HÌNH HỌC SƠ CẤP ĐỂ ĐỊNH HƯỚNG TÌM LỜI GIẢI VÀ XÂY DỰNG ĐỀ BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS A... Sau một quá trình thực hiện, t

KINH NGHIỆM DẠY HỌC

ĐỀ TÀI:

VẬN DỤNG KIẾN THỨC HÌNH HỌC SƠ CẤP

ĐỂ ĐỊNH HƯỚNG TÌM LỜI GIẢI VÀ XÂY DỰNG ĐỀ BÀI TOÁN

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng, nhưng

mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng Toán học là một môn học giữ một vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông Tuy nhiên, nó là một môn học khó, khô khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình Chính vì vậy, đối với mỗi giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học, và

cơ sở tư duy để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả trong việc truyền thụ các kiến thức Toán học cho học sinh, phân tích, định hướng tìm lời giải là công việc cần phải sáng tạo, nghiên cứu, làm thường xuyên và khoa học

Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách Giải toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, bởi lẽ việc giải toán là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt là đối với những học sinh bậc THCS thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học toán

Qua nhiều năm giảng dạy cho học sinh THCS, đặc biệt là cho học sinh các lớp tạo nguồn, một đối tượng tiếp cận nhiều dạng bài tập khác nhau, mức độ tư duy cao… trong những dạng bài tập ấy cần được phân tích và tìm lời giải phù hợp trên đối tượng

học sinh trung học cơ sở Một trong những cơ sở giúp tìm lời giải trong một số dạng toán phức tạp là sử dụng kiến thức toán học sơ cấp mà mỗi giáo viên đã được học tập và rèn luyện tại trường sư phạm đề vận dụng tìm lời giải trong mỗi dạng toán và sáng tạo thêm một số bài toán nhằm phát triển và rèn luyện kỹ năng tư duy và sáng tạo của

học sinh Sau một quá trình thực hiện, tôi chọn đề tài “Vận dụng kiến thức hình học

sơ cấp để định hướng tìm lời giải và xây dựng đề toán bồi dưỡng cho học sinh THCS” nhằm tích lũy như một kinh nghiệm dạy học môn toán, đặc biệt áp dụng cho

đối tượng học sinh giỏi

2 Mục đích của đề tài

Trên cơ sở những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập của học sinh, tìm

ra những phương pháp giải bài toán hình học một cách hiệu quả nhất

Mục đích của đề tài này là trình bày các ứng dụng của kiến thức hình học sơ cấp (đặc biệt là một số phép biến hình trong mặt phẳng) để định hướng tìm lời giải bài toán cấp trung học cơ sở, cụ thể là các bài toán chứng minh, tìm điểm cố định….(riêng phần quỹ tích, dựng hình không đề cập đền trong phạm vi đề tài này)

3 Phạm vi thể nghiệm

Đề tài được thể nghiệm tại đơn vị công tác là trường THCS Chu Văn An Cụ thể là những học sinh lớp tạo nguồn và những học sinh tham gia đội tuyển học sinh giỏi Toán của trường

4 Cơ sở thực hiện

Để thực hiện đề tài này, tôi dựa trên cơ sở các kiến thức đã học ở Trường sư phạm, các tài liệu về phương pháp giảng dạy, các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo… của bộ môn Toán bậc trung học cơ sở

5 Phương pháp nghiên cứu

Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây:

– Phương pháp nghiên cứu lý luận

– Phương pháp khảo sát thực tiễn

– Phương pháp phân tích

– Phương pháp tổng hợp

– Phương pháp khái quát hóa

– Phương pháp quan sát

– Phương pháp kiểm tra

– Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

6 Thời gian thực hiện

Đề tài được thực hiện từ ngày 05/09/2013 đến ngày 30/1/2016

7 Giới hạn của đề tài

Đề tài thực hiện như những kinh nghiệm được sử dụng trong việc bồi dưỡng đội

tuyển học sinh giỏi các cấp, với đối tượng là những học sinh giỏi bộ môn Toán Trên

cơ sở những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập của học sinh, định hướng để tìm ra những phương pháp giải bài toán hình học một cách hiệu quả nhất

B NỘI DUNG

ỨNG DỤNG KIẾN THỨC HÌNH HỌC SƠ CẤP TRONG XÂY DỰNG ĐỀ

TOÁN VÀ DỰ ĐOÁN LỜI GIẢI

I ỨNG DỤNG TRONG XÂY DỰNG ĐỀ TOÁN

Những kiến thức trong phần hình học sơ cấp là cơ sở và nền tảng cho việc hình thành phần hình học phẳng trong chương trình toán THCS Từ những kiến thức đã tích lũy được trong quá trỉnh học tập từ trường sư phạm, người giáo viên có thể vận dụng những kiến thức và kinh nghiệm giải toán này trong việc định hướng tìm lời giải, xây dựng những đề toán mới, giúp học sinh thêm cách suy luận và phân tich tìm lời giải cách hiệu quả, như các ví dụ minh họa sau:

1 Vận dụng kiến thức về phương tích

Phương tích là một trong những nội dung của môn hình học sơ cấp, nhưng lại được sử dụng rất nhiều trong việc hình thành và là nội dung tiềm ẩn rải rác trong các bài toán cấp THCS đặc biệt là hình học lớp 9 Những người thầy sử dụng kiến thức này để có thể nhận ra, định hướng tìm lời giải hay đề ra một số bài toán thích hợp giúp

học sinh có cơ sở định hướng tìm lời giải, hay rèn luyện kỹ năng suy luận, có thể như các ví dụ sau

Ví dụ 1: Từ kiến thức phương tích MA.MB = MO2−r2

Ta xây dựng bài toán sau

Bài 1 Cho điểm M nằm ở phía bên ngoài của đường

tròn (O) Vẽ đường tiếp tuyến MT đến đường tròn Và

cát tuyến MAB Chứng minh MA.MB=MT2=MO2−r2

HD: Học sinh dễ dàng : Sử dụng định lý Pi-ta-go để

chứng minh : MT2=MO2−r2 ( M nằm ngoài đường tròn)

Sử dụng tam giác đồng dạng MAT và MTB để chứng minh MA.MB=MT2

Ví dụ 2 Từ kiến thức phương tích MA.MB= r2−MO2 (M nằm trong đường tròn) Ta xây dựng bài toán sau

Bài 2: Cho điểm M nằm ở phía bên trong của đường tròn (O) Vẽ đường

thẳng AB vuông góc với MO

Chứng minh MA.MB=MA2= r2−MO2

Sử dụng định lý Pitago

để chứng minh MA.MB=MA2= r2−MO2 (với MA = MB)

Ví dụ 3 Từ kiến thức về phương tích: mọi điểm P nằm trên

đường thẳng IJ Ta có phương tích đến hai đường

tròn (O1) và (O2) là bằng nhau

Từ đó ta xây dựng bài toán sau

B

Bài 3 Cho hai đường tròn (O1, r1) và (O2, r2) cắt nhau tại hai

điểm I và J Chứng minh rằng mọi điểm M nằm trên đường

thẳng IJ ta luôn có 2 2 2 2

MO r MO r

HDẫn Học sinh vẽ MO1 và MO2 cắt mỗi đường tròn lần

lượt tại E, F và G, H Và sử dụng các cặp tam giác đồng

dạng MEI và MJF ; MIG và MHJ để

Chứng minh ME.MF=MI.MJ=MG.MH

tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC

Chứng minh OI2 = R2 -2Rr (Đẳng thức Euler)

HD

Gọi D là giao điểm của phân giác AI với (O)

Trong (O) chứng minh được

IA.ID = R2- OI2 hay OI2 = R2- IA.ID

(xem phần chứng minh phương tích của một điểm nằm trong đường tròn kết hợp vẽ thêm một đường kính qua I ) (1)

Vẽ đường kính DE ( tạo ra tam giác vuông có cạnh là 2R)

Vẽ IH vuông góc với AB

Khi đó

chứng minh được tam giác BDI cân tại D suy ra DB = DI (2)

chứng minh được tam giác AIH và EDB đồng dạng

Suy ra IA.DB = ED.IH = 2R.r hay IA.ID = 2R.r (3)

C A

O 2

O 1

I

J M

Từ tính chất của phép tịnh tiến, được vận dụng định hướng tìm lời giải như vài ví dụ minh họa sau:

Ví dụ 1: Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó

Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định

Phân tích lời giải theo kiến thức phép tịnh tiến

- Kẻ đường kính BB’ Nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì

AH=B’C Do C, B’ cố định, cho nên B’C là một véc tơ cố định

'

  Theo định nghĩa về phép tịnh tiến điểm A đã biến

thành điểm H Nhưng A lại chạy trên (O;R) cho nên H chạy trên

đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo

'

vB C

- Cách xác định đường tròn (O’;R) Từ O kẻ đường thẳng song

song với B’C Sau đó dựng véc tơ : OO' B C' Cuối cùng từ O’

quay đường tròn bán kính R từ tâm O’ ta được đường tròn cần tìm

Từ đó hướng dẫn học sinh THCS lời giải như sau:

- Vẽ đường kính BB’

- Dựng O’ sao cho CB’CO’ là hình bình hành

- Chứng minh AOO’H là hình bình hành

- Mà B’C cố định suy ra O’ Cố định

- O’H = R nên H thuộc đường tròn (O’;R ) cố định

Ví dụ 2 Hai thôn nằm ở hai vị trí A,B cách nhau một con sông ( Xem hai bờ sống là hai đường thẳng song song ) Người ta dự kién xây một cây cầu bắc qua sông (MN)

và làm hai đoạn đường thẳng AM và BN Tìm vị trí M,N sao cho AM+BN là ngắn nhất

Giải

- Vì khoảng cách giữa hai bờ sống là không đổi , cho

nên MNU

- Tìm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo U Khi đó

AMNA’ là hình bình hành : A’N=AM

- Do đó : MA+NB ngắn nhất Vì : MA+NB=A’N+NB

Từ đó hướng dẫn học sinh THCS lời giải như sau:

- Từ A dựng AA’= h vuông góc với bờ sông về

phía B (h là khoảng hai bờ sông)

- A’B cắt bờ sông tại N (như hình vẽ)

- Dựng NM vuông góc với bờ sông

- Có AM+MN+NB= A’N+MN+NB=A’B+MN là ngắn nhất

(người đọc tự chứng minh)

Ví dụ 3 Cho hình chữ nhật ABCD Trên tia đối của tia AB lấy điểm P, trên tia đối

của tia CD lấy điểm Q Hãy xác định điểm M trên BC và điểm N trên AD sao cho

N A' A

B

- Tìm ảnh của điểm Q qua phép tịnh tiến theo

C U QQ Khi đó MN=QQ’, suy ra

MQ=NQ’ Cho nên PN+MQ=PN+NQ’ ngắn

nhất khi P,N,Q’ thẳng hàng

- Các bước thực hiện :

+/ Tìm Q’ sao cho : CD U QQ'

+/ Nối PQ’ cắt AD tại điểm N

+/ Kẻ NM //CD cắt BC tại M Vậy tìm được M,N thỏa mãn yêu cầu bài toán

Từ đó hướng dẫn học sinh THCS lời giải như sau:

- Trên tia CD Dựng Q’ sao cho QQ’ = AB

Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và góc lượng giác  không đổi Phép

biến hình biến điểm O thành điểm O, biến điểm M khác O thành điểm M’ sao cho

OM=OM’và góc (OM;OM’)=  Được gọi là phép quay tâm O góc quay là 

(xem thêm phần phụ lục)

Từ cơ sở tính chất về phép quay, trong một số dạng toán chứng minh hoặc định hướng vẽ thêm đường phụ, phép quay là công cụ giúp cho người thầy nhìn trước kết quả bài toán và từ đó chỉ ra cách vẽ đường phụ hoặc tìm cách chứng minh giải quyết nhanh cho bài toán, như các ví dụ sau:

Ví dụ 1

N B

A

Q M

P

Q'

Cho hai tam giác đều OAB và OA’B’ Gọi C và D lần lượt là trung điểm của các

đoạn thẳng AA’ và BB’ Chứng minh rằng tam giác OCD là tam giác đều ?

Giải

Xét phép quay tâm O với góc quay bằng góc lượng

giác ( OA,OB)= 0

60 Rõ ràng A biến thành B và A’

biến thành B’ , vì thế cho nên phép quay đã biến

đoạn thẳng AA’ thành đoạn thẳng BB’ Từ đó suy ra

phép quay đã biến C thành D , do đó OC=OD Vì

góc quay bằng 0

60 cho nên tam giác cân OCD là tam giác đều

Từ đĩ hướng dẫn học sinh THCS lời giải như sau:

- Chứng minh hai tam giác bằng nhau AOA’

và BOB’

- Chứng minh hai tam giác bằng nhau B’OD và A’OC

- Chứng minh gĩc COD bằng 600

- Kết luận tam giác COD đều

Ví dụ 2



Cho hai hình vuông ABCD và BEFG

Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AG và CE

Chứng minh BMN vuông cân

Từ đĩ hướng dẫn học sinh THCS lời giải như sau:

Tương tự như ví dụ 1

- Chứng minh hai tam giác bằng nhau AGB và CEB

- Chứng minh hai tam giác bằng nhau AMB và CNB

Cho ABC Qua điểm A

dựng hai tam giác vuông cân ABE và ACF

Gọi M là trung điểm của BC

(A;90 )  



a MA AK (1) Trong DEF , vì AK là đường trung bình nên AK // FE (2)

Từ (1),(2) suy ra : AM FE AH là đường cao của AEF

Từ đĩ hướng dẫn học sinh THCS lời giải như sau:

Kéo dài FA mợt đoạn AD = AF

- Gọi K là trung điểm DE

- Chứng minh được AK //FE

- Chứng minh tam giác ABC bằng tam giác AED suy ra gĩc ADE bằng gĩc

ACB

Và DK= MC (1/2DE=1/2BC)

- Chứng minh tam giác ADK bằng tam giác ACM (cgc)

- Suy ra DAK bằng gĩc CAM, suy ra MAK bằng 900 hay AK vuơng gĩc với

AM suy ra AM vuơng gĩc với FE

4 Phép đối xứng

Vận dụng kiến thức về phép đối xứng

Phép đới xứng qua đường thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’

đới xứng với M qua d

Phép đới xứng qua đường thẳng d được gọi là phép đới xứng trục Ký hiệu Đd

+ Phép đới xứng trục d biến M thành M’,

ký hiệu: M’ = Đd(M)

+ Phép đới xứng trục là phép dời hình, nên có đầy đủ tính chất

của phép dời hình (Xem thêm phần phụ lục)

Trong mợt sớ bài toán, phép đới xứng giúp cho người thầy

phát hiện rất nhanh kết quả và cách chứng minh bài toán, từ

đó giúp cho người thầy nghiên cứu lời giải phù hợp học sinh

cấp THCS, như các ví dụ sau:



VD1:Gọi H là trực tâm ABC

CMR :

Bốn tam giác ABC , HBC , HAC , HAB có

đường tròn ngoại tiếp bằng nhau

Ta có : A = C (cùng chắn cung BK )

A = C (góc có cạnh tương ứng ) C = C

CHK cân K đối xứng với H qua BC

Xét phép đối xứng trục BC

ĐBC ĐBC

Vậy : Đường tròn ngoại tiếp KBC Đường tròn ngoại tiếp HBC

II

Từ đĩ hướng dẫn học sinh THCS lời giải như sau:

- Gọi (ABC) là đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

- AH cắt (ABC) tại K, chứng minh tam giác CHK cân, BHK cân , suy ra tam giác HBC bằng tam BKC suy ra (ABC) bằng (BHC)

- Chứng minh tương tự, suy ra bớn tam giác ABC, HBC, HAC, HAB có đường trịn ngọai tiếp bằng nhau

5 Phép vị tự

Vận dụng kiến thức về phép Vị tự

Cho điểm O và sớ k ≠ 0 Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OMk OM. được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ sớ k

Phép vị tâm O, tỉ sớ k thường được kí hiệu là V(O,k)

· Tính chất 1: Nếu phép vị tự tỉ sớ k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M', N' thì M N  k MN. và M'N' = |k|.MN

· Tính chất 2: Phép vị tự tỉ sớ k:

a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm;

b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng;

c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nĩ;

d) Biến đường trịn bán kính R thành đường trịn bán kính |k|.R

(Xem thêm phần phụ lục)

Từ các tính chất của phép vị tự, trong mợt sớ bài toán chứng minh các điểm thẳng hàng, hay đồng quy…người thầy có thề phát hiện nhanh phương pháp chứng minh qua phép vị tự, từ đó vận dụng kiến thức THCS như tam giác đồng dạng…để định hướng học sinh trình bày lời giảỉ chứng minh cho phù hợp cấp học THCS

Cho ABC Gọi I , J M

theo thứ tự là trung điểm của AB, AC và IJ

Đường tròn ngoại tiếp tâm O

của AIJ , cắt AO tại A

Gọi M là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC

Như thế : M1 M A,M,M thẳng hàng ( vì A,M

,M thẳng hà1 ng )

Từ đĩ hướng dẫn học sinh THCS lời giải như sau:

- Cĩ I, J, M là trung điểm của AB, AC, IJ (O) là đường trịn ngoại tiếp tam giác AIJ nên IJ//BC

- AM cắt BC tại M1, nên

1

2 '

AI AM AO

AB  AM  AA  nên OM//A’A1

- Mà OM IJ, nên A’M1BC, mà AM’ BC suy ra M1 trùng với M’

Hay A, M, M’ thẳng hàng

II ỨNG DỤNG TRONG DỰ ĐỐN LỜI GIẢI

1.Các bài tốn chứng minh đường thẳng cố định, điểm cố định