Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và lăng trụ

MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP VÀ LĂNG TRỤPhát biểu định nghĩa mặt cầu ngọai tiếp hình chóp hoặc hình lăng trụ?. Định nghĩa: Một mặt cầu gọi là ngọai tiếp một hình chóp hoặc hình lăng t

KiÓm tra bµi cò

Mặt cầu S( O’; R’) đi qua mọi đỉnh của lăng trụ

A 1 A 2 A 3 A 4 A’ 1 A’ 2 A’ 3 A’ 4

Câu 1: Khi nào một đường tròn được gọi là ngoại

tiếp 1 đa giác ? Trả lời: Khi đường tròn đi qua mọi đỉnh của đa giác

Câu 2: Quan sát hình vẽ:

Các đỉnh của hình lăng trụ có vị trí như thế

nào với mặt cầu S(O’;R’) ?

* Đường tròn (O) đi qua mọi đỉnh của đa giác.Ta nói (O)

ngọai tiếp đa giác

Tương tự: S( O; R ) đi

qua mọi đỉnh của

hình chóp S.A 1 A 2 A 3 A 4

0’

A2

A3

A’3 A’4

1

A4

A1

0

A3

A1

A2 S

A4

∆

a Mặt cầu S(O,R) ngọai

tiếp hình chóp S.A1A2A3A4

b Mặt cầu S’(O’,R’) ngọai tiếp hình lăng trụ

A1A2A3A4.A’1A’2A’3A’4

§3 MẶT CẦU NGOẠI TIẾP

HÌNH CHÓP VÀ LĂNG TRỤPhát biểu định nghĩa mặt cầu ngọai tiếp hình chóp

(hoặc hình lăng trụ) ?

1 Định nghĩa:

Một mặt cầu gọi là ngọai tiếp một hình chóp (hoặc hình lăng trụ) nếu nó đi qua mọi đỉnh của hình chóp đó (hoặc hình lăng trụ đó).

S

O

A3

A4

A2

A1

∆

A3

A’4

A2 A’1 A’2 A’3

O’

1 Định nghĩa:

Một mặt cầu gọi là ngọai tiếp một hình chóp (hoặc hình lăng trụ) nếu nó đi qua mọi đỉnh của hình chóp đó (hoặc hình lăng trụ đó).

Câu hỏi củng cố:

Mệnh đề sau đúng hay sai, tại sao?

“ Một mặt cầu S( O;R ) gọi là ngọai tiếp một hình chóp (hình

lăng trụ) nếu :

a Nó đi qua mọi điểm của hình chóp (hoặc hình lăng trụ) đó”.

b Nó đi qua mọi đỉnh của hình chóp (hoặc hình lăng trụ) đó”.

c Khỏang cách từ O đến 3 đỉnh của hình chóp (hoặc hình lăng trụ) bằng nhau và bằng R”.

S

S

Đ

§3 MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP VÀ LĂNG TRỤ

§3 MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP VÀ LĂNG TRỤ

A3

A2

4

A’2 A’3

O’

Với trường hợp a,

ta có: OS = OA 1 = OA 2

=OA 3 = OA 4 = R

Với trường hợp b, ta có:

O’A 1 = O’A 2 = O’A 3 = O’A 4 = O’A’ 1 = O’A’ 2 = O’A’ 3

= O’A’ 4 = R’

S

O

A3

A4

A2

A1

∆

A3

A4

A2

A1

S

A3

A4

A2

A1

§3 MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP VÀ LĂNG TRỤ

2 Các ví dụ:

a Ví dụ 1:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với mặt

đáy một góc α Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngọai tiếp hình

chóp.

? Tóm tắt yêu cầu bài

tóan

Gt Cho hình chóp đều S.ABC

AB = BC = CA = a.

(( SBC ) , ( ABC )) = α.

Kl X ác định tâm và tính bán kính

mặt cầu ngọai tiếp hình chóp S.ABC

Gt Cho hình chóp đều S.ABC

AB = BC = CA = a.

(( SBC ) , ( ABC )) = α.

Kl X ác định tâm và tính bán kính

mặt cầu ngọai tiếp hình chóp S.ABC

Các bước vẽ một hình chóp

đều ?

B

S

α

a

Góc (( SBC ) , ( ABC )) có thể xác định bằng góc giữa 2 đường thẳng nào ? Vì sao ?

M I

Bài giải:

(*) Xác định tâm mặt cầu:

OS = OA = OB = OC

(1) O thuộc trục của ∆ABC

( O SI )

trực (P) củaSA ((P) chứa mọi

đường trung trực của SA)

Vậy O là giao điểm của SI và một

đường trung trực của SA.

Gọi I là tâm của ∆ABC  SI ⊥(ABC)

( Do hình chóp SABC đều ) SI là trục của ∆ABC.

Trong (SAI): Gọi N là trung điểm của SA.

Đường trung trực d của SA cắt SI tại O

Ta có:















) 2 (

) 1

(

OS OA

OC OB

OA

Vậy mặt cầu S(O;R) là mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp S.ABC

B

S

M I

α

O

N

B

S

M I

α

O

N

R OS

OC OB

OA

OS OA

OC OB

OA d

O

SI O



































Gọi O là tâm của mặt cầu ngọai

tiếp hình chóp S.ABC.

? O phải thỏa mãn điều kiện gì ?

? Với điều kiện (2): O phải thuộc mặt phẳng nào của đọan thẳng

SA?

? Với đ iều kiện (1): O phải thuộc đường thẳng nào của ∆ABC?

C B

A

M α

S

I

O N

(*) Tính bán kính R = OS:

A

S

I

O

N

? Có thể tính OS dựa vào các tam giác đồng dạng nào ?

* SNO SIA ⊿ ∽ ⊿

3 6

a

S

M

α

I

3 6

a

*Mặt khác:

+ Do ∆ABC đều cạnh a

+ SMI c ⊿ ó: SI = IM.tg α

SA = ?SI = ? <= IM = ?AI = ? <= Dựa vào ∆

đều ABC

+ SAI c ⊿ ó: SA 2 = SI 2 + AI 2

2 2

2 3 2 3 (4 )

2

12.

R

tg

a a

+

=

Vậy:

SI

SA SO

SI

SN

SA SO

SI

SN SA

SO

2









6

3

; 3

3 IM a

a



SI = ?

? Tính SA= ? R= ?

? Hãy tổng qu át Các bước xác định

tâm, bán kính mặt cầu ngọai tiếp một hình chóp?

★ Xác định tâm, bán kính mặt cầu

ngọai tiếp một hình chóp:

+ Xác định tâm I của đáy.(Nếu có)

+Xác định trục ∆ của đa giác đáy

+Xác định giao điểm của ∆ với

trung trực của 1 cạnh bên của

hình chóp

S

O

A3

A4

A2

A1

∆

I

S

A3

A4

A2

A1

S

A3

A4

A2

∆

I

O

b Ví dụ 2 : Cho tứ diện SABC

có SA, SB, SC đôi một vuông

góc với nhau

và có độ dài lần lượt là a,b, c.

Hãy xác định tâm, bán kính

mặt cầu ngọai tiếp tứ diện

? Tóm tắt yêu cầu bài tóan ?

Gt Cho tứ diện SABC

SA ⊥SB, SB ⊥ SC,

SC ⊥ SA

SA = a, SB = b, SC = c.

Kl Xác định tâm, tính bán kính Mặt cầu ngọai tiếp tứ diện.

? vẽ hình ?

A

C M

B

I

O S

? Tâm I của ⊿ SAC Nằm ở vị trí nào ?

? Trục ∆ của tam giác SAC phải song song với đường thẳng nào?

Vì sao?

∆

? Cần xác định trung trực

của cạnh bên nào?

? Trong mặt phẳng (SA;∆ ):

Đường trung trực của SA phải song song với đường thẳng nào?

a

c b

Bài giải:

b Ví dụ 2:

* Xác định tâm mặt cầu:

+ Gọi I là trung điểm của AC

 I là tâm SAC ⊿

+ Kẻ đường thẳng ∆ đi qua I, ∆ SB ∥

 ∆ ⊥ (SAC) ∆ là trục của ⊿ SAC

Trong mặt phẳng (SB, ∆ ): Đường

trung trực Mx của SA song song

với SI cắt ∆ tại O.

 OB =OS = OA = OC = R.

Vậy O là tâm mặt cầu ngọai tiếp tứ

diện SABC.

S

A

C M

B

I

∆

O

a

c b

* Tính bán kính R = OS:

B

? Tính OS có thể dựa vào tam giác đặc biệt nào?

OI = ?

2

AC

SI =

S

A

C M

I

∆

O

a

c

2

b

OI = MS =

2 a b c + +

)

( 2

1

)

( 4

1

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

c a

b SO

c a

b SO

OI SI

SO

















★ Một hình chóp có mặt cầu

ngọai tiếp nếu và chỉ nếu

đáy của nó là một đa giác

nội tiếp

? Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngọai tiếp là gì?

Với một tứ diện

thì sao?

★ Trường hợp 1: Hình chóp có các cạnh bên đều bằng a

Tóm lại : Trong ví dụ 1 ta gặp bài tóan : Xác định tâm, bán kính mặt cầu ngọai tiếp hình chóp với:

B

S

I

O

B

S

I

O

? Cần thực hiện

bài tóan theo các

bước nào ?

+ Xác định tâm I của đáy hình

chóp.

+ Xác định trục SI của đáy.( SI = h

là đường cao hình chóp.

+ Trong (SAI) :Đường trung trực

của SA cắt SI tại O

Mặt cầu ngọai tiếp hình chóp có

tâm O, bán kính R

( Đáy hình chóp có thể là ∆ vuông, ∆ đều , ∆ thường

Hình vuông, chữ nhật , tứ giác nội tiếp

2 2

R

= =

Trong ví dụ 2, ta gặp bài tóan : Xác định tâm, bán kính mặt cầu ngọai tiếp hình chóp với:

Trường hợp 2: Hình chóp có một cạnh bên SA ⊥ với mặt phẳng đáy, SA = h ( Đáy là: ∆ vuông, ∆ đều , ∆ thường,

Hình vuông, chữ nhật , tứ giác nội tiếp)

S

A

M

B

I

x

O

? Các bước giải bài tóan?

+ Xác định tâm I của đáy.

+ Trục của đáy là đường

thẳng ∆ qua I, ∆ SA ∥

+Trong (SA;I):Đường

trung trực d của SA song

song với AI cắt ∆ tại O.

 Mặt cầu ngọai tiếp hình

chóp có tâm O,bán kính R.

S

I

h S

A

O

∆ S

2 2

2 2

4

2

r

h R

IA

SA R





















Bài tập về nhà:

.Học thuộc định nghĩa

.Xem lại 2 ví dụ, bài tóan tổng quát.

.Làm bài tập 1, 2, 3, 4, 5 (112-sách gk) (HD: Bài tập 1, 3, 4 thuộc dạng tóan 1 Bài tập 2 thuộc dạng tóan 2 )