Lý thuyết điều khiển tự động bài giảng dành cho sinh viên Đại học và cao đẳng

Lý thuyết điều khiển tự động bài giảng dành cho sinh viên Đại học và cao đẳng là bộ tài liệu hay và rất hữu ích cho các bạn sinh viên và quý bạn đọc quan tâm. Đây là tài liệu hay trong Bộ tài liệu sưu tập gồm nhiều Bài tập THCS, THPT, luyện thi THPT Quốc gia, Giáo án, Luận văn, Khoá luận, Tiểu luận…và nhiều Giáo trình Đại học, cao đẳng của nhiều lĩnh vực: Toán, Lý, Hoá, Sinh…. Đây là nguồn tài liệu quý giá đầy đủ và rất cần thiết đối với các bạn sinh viên, học sinh, quý phụ huynh, quý đồng nghiệp và các giáo sinh tham khảo học tập. Xuất phát từ quá trình tìm tòi, trao đổi tài liệu, chúng tôi nhận thấy rằng để có được tài liệu mình cần và đủ là một điều không dễ, tốn nhiều thời gian, vì vậy, với mong muốn giúp bạn, giúp mình tôi tổng hợp và chuyển tải lên để quý vị tham khảo. Qua đây cũng gởi lời cảm ơn đến tác giả các bài viết liên quan đã tạo điều kiện cho chúng tôi có bộ sưu tập này. Trên tinh thần tôn trọng tác giả, chúng tôi vẫn giữ nguyên bản gốc. Trân trọng. ĐỊA CHỈ DANH MỤC TẠI LIỆU CẦN THAM KHẢO http:123doc.vntrangcanhan348169nguyenductrung.htm hoặc Đường dẫn: google > 123doc > Nguyễn Đức Trung > Tất cả (chọn mục Thành viên)

KHOA KĨ THUẬT CÔNG NGHỆ

-*** -

BÀI GIẢNG

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

(Bậc ĐH ngành Công nghệ kỹ thuật cơ khí)

(Đào tạo tín chỉ: 02 tín chỉ)

Biên soạn: ThS Phạm Trường Tùng

Quảng Ngãi, 2014

1

LỜI NÓI ĐẦU

Lĩnh vực điều khiển tự động là một lĩnh vực rất rộng và sâu Lý thuyết điều khiển được xây dựng trên nền tảng toán học Chính vì vậy, lĩnh vực này thực sự

là một thách thức cho nhiều người khi nghiên cứu đến

Hiện nay, các hệ thống tự động được sử dụng rộng rãi trong công nghiệp

và cuộc sống Nhằm giúp cho các bạn sinh viên và những người quan tâm đến lĩnh vực điều khiển thuận lợi cho việc nghiên cứu và học tập, tôi đã tham khảo

và biên soạn bài giảng này

Bài giảng được biên soạn trên cơ sở chương trình đào tạo môn Lý thuyết điều khiển tự động của Trường ĐH Phạm Văn Đồng Quá trình biên soạn tôi có tham khảo nhiều tài liệu trong và ngoài nước, nhưng nền tảng chính là tài liệu Modern control engineering của P.N Paraskevopoulov

Quá trình biên soạn không tránh những thiếu sót, mong nhận được sự góp

ý của bạn đọc

Mọi góp ý xin gởi về:

Phạm Trường Tùng – Khoa kĩ thuật công nghệ - Trường ĐH Phạm Văn Đồng – TP Quảng Ngãi

E-mail:phamtruongtung@gmail.com

2

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

MỤC LỤC 2

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU VỀ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 5

1.1 Giới thiệu 5

1.2 Lịch sử của hệ thống điều khiển tự động 6

1.3 Cấu trúc của một hệ thống điều khiển tự động 9

1.4 Một số các ví dụ điều khiển trong thực tế 15

Bài tập chương 1 16

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ TOÁN HỌC 17

2.1 Những tín hiệu cơ bản 17

2.2 Phép biến đổi Laplace 20

2.3 Biến đổi Laplace ngược 29

2.4 Một số ứng dụng biến đổi Laplace 35

Bài tập chương 2 37

CHƯƠNG 3 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNG 40

3.1 Giới thiệu 40

3.2 Những vấn đề chính của mô hình toán học 41

3.3 Các hình thức của mô hình toán học 42

3.4 Phương trình vi phân 43

3.5 Hàm truyền đạt 46

3.6 Đáp ứng xung 48

3.7 Phương trình trạng thái 49

3.8 Sơ đồ khối 52

3.9 Graph tín hiệu 60

3.10 Mô hình toán học cho các thành phần của hệ thống điều khiển 64

3

Bài tập chương 3 74

CHƯƠNG 4 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TRONG MIỀN THỜI GIAN 77

4.1 Giới thiệu 77

4.2 Đáp ứng của hệ thống 77

4.3 Đáp ứng thời gian của hệ thống bậc một và bậc hai 84

Bài tập chương 4 90

CHƯƠNG 5 ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 93

5.1 Giới thiệu 93

5.2 Định nghĩa về ổn định 93

5.3 Các tiêu chuẩn ổn định đại số 99

Bài tập chương 5 110

CHƯƠNG 6 CÁC PHƯƠNG PHÁP THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN 112

6.1 Giới thiệu về bộ điều khiển PID 112

6.2 Các bộ điều khiển PD 113

6.3 Bộ điều khiển PI Hàm truyền đạt của bộ điều khiển PI là: 117

6.4 Bộ điều khiển PID 119

6.5 Thiết kế bộ điều khiển PID sử dụng các phương pháp Ziegler – Nichols 124

Bài tập chương 6 127

CHƯƠNG 7 MÔ PHỎNG HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG BẰNG MATLAB\SIMULINK 129

7.1 Giới thiệu Matlab 129

7.2 Các lệnh cơ bản trong Matlab 130

7.2.1 Định nghĩa biến 130

7.2.2 M-file 130

7.3 Matlab/Simulink trong điều khiển tự động 131

4

7.3.1 Mở Simulink 131

7.3.2 Lập mô hình với Simulink 132

Bài tập chương 7: 135

BÀI TẬP TỔNG HỢP 139

BẢNG ĐỐI CHIẾU CÁC TỪ THUẬT NGỮ TIẾNG ANH 142

TÀI LIỆU THAM KHẢO 143

5

Hình 1.1 Máy điều hòa nhiệt độ

Hình 1.2 Robot TOSY, một sản

phẩm mang công nghệ tự động

hóa cao của người Việt Nam

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU VỀ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Mục tiêu :

Giúp sinh viên có một cái nhìn cơ bản về các khái niệm của hệ thống điều khiển tự động

- Sinh viên biết được khái niệm hệ thống và hệ thống điều khiển tự động

- Phân biệt được hệ thống kín và hở

- Phân biệt được các dạng bài toán trong lý thuyết điều khiển

- Phân tích được nguyên lý hoạt động của một số hệ thống điều khiển tự

động

1.1 Giới thiệu

Một hệ thống điều khiển tự động là một tập hợp các thành phần hoạt động cùng nhau theo một phương pháp nào đó làm cho hệ thống hoạt động một cách tự động để đạt được một kết quả mà ta đặt trước

Một cuộc điều tra gần đây với nhiều máy móc và vật dụng khác nhau được

sản xuất ngày nay đã đi đến kết luận rằng chúng có một phần hoặc toàn bộ đã được

tự động hóa

Tủ lạnh, máy nước nóng, máy giặt, thang máy, TV điều khiển từ xa, hệ thống thông tin liên lạc toàn cầu và Internet là các sản phẩm được điều khiển tự động ứng dụng trong cuộc sống

Thiết bị điện năng, các lò phản ứng (phản ứng hạt nhân và phản ứng hóa học),

hệ thống giao thông (xe hơi, máy bay, tàu biển, trực thăng, tàu ngầm…), robot ( lắp ráp, hàn…), hệ thống vũ khí ( điều khiển tên lửa, rađa…), máy tính ( máy in, điều khiển

ổ đĩa, băng từ…), sản xuất nông nghiệp (nhà sinh thái, hệ thống tưới tiêu…) là các hệ thống điều khiển trong sản xuất, quốc phòng

Hệ thống điều khiển tự động là một đối tượng không chỉ đáp ứng cho nhu cầu kĩ thuật công nghệ mà còn cho các lĩnh vực khác như là sinh học, y học, kinh tế, quản lý

và khoa học xã hội Cá biệt, về mặt sinh học, một hệ thống tự động có thể bắt chước sinh vật ở các hệ điều khiển sẵn có của nó Để hiểu được quan điểm này, chúng ta xem một ví dụ về cơ thể con người, nơi mà có một số lượng lớn các quá trình được thực hiện một các tự động: như việc bị đói, sự khát nước, sự tiêu hóa thức ăn, sự hô hấp, điều tiết nhiệt độ cơ thể, hệ tuần hoàn của máu, việc tái sản xuất tế bào, việc tự chữa lành vết thương… Rõ ràng là không một hình thái sống nào có thể tồn tại nếu như không có các hệ thống điều khiển tự động, nó chi phối tất các quá trình trong mọi tổ chức sống

1.2 Lịch sử của hệ thống điều khiển tự động

Hệ thống điều khiển tự động đã tồn tại từ thời cổ đại

Một hệ thống điều khiển tự động cổ điển nổi tiếng là bộ điều khiển đóng mở cửa

đền thờ của Heron Alexandria ( hình 1.5)

Hệ thống được thiết kế để mở cửa đền thờ một cách tự động khi lửa được đốt trên bệ thờ được đặt bên ngoài đền thờ và đóng cửa

khi lửa tắt

Hệ thống hoạt động như sau: lửa đốt nóng không khí ở dưới bệ thờ, không khí nóng sẽ đẩy nước từ thùng chứa vào trong

xô Vị trí của thùng chứa nước đã được cố định, trong khi đó xô nước đang treo từ sợi dây thừng được quấn quanh hệ thống cơ (

7

Hình 1.6 Hệ thống rót rượu tự

động của Heron Alexandria

trục cửa ) với một trọng khối Khi xô nước trống, hệ thống cơ dưới tác dụng của

trọng khối giữ cho cửa đóng Khi xô nước được làm đầy với một lượng nước tương đương từ thùng chứa, nó sẽ di chuyển xuống, trong khi trọng khối di chuyển lên Kết quả là làm xoay trục cửa và làm cửa mở Khi lửa tắt, nước từ xô nước sẽ trở về lại thùng chứa, trọng khối di chuyển xuống làm cho cửa đóng lại

Ngoài hệ thống này, Heron Alexandria còn tạo ra nhiều hệ thống tự động

khác nữa

Cho đến khoảng giữa thế kỉ thứ 18, hệ thống tự động đã không có một khác biệt nào so với quy trình đã kể trên Việc ứng dụng điều khiển đã bắt đầu phát triển lên giai đoạn 2 từ thế kỉ 18 bởi Jame Watt, người mà năm 1769 đã lần đầu tiên phát minh ra hệ thống điều chỉnh tốc độ để rồi sau đó đã được ứng dụng rộng rãi, nhất là trong các đầu máy xe lửa Thông thường, bộ điều chỉnh này được sử dụng để điều khiển tốc độ của động cơ hơi nước

Hình 1.6 Hệ thống điều chỉnh tốc

độ của Jame Watt

Hệ thống hoạt động như sau: trong trường hợp vận tốc góc của động

cơ hơi nước tăng lên, lực ly tâm sẽ đẩy trọng khối m lên và khi đó van hơi nước sẽ đóng lại Khi mà van đóng, hơi nước vào động cơ từ nồi hơi nước giảm xuống và vận tốc góc của máy hơi nước sẽ giảm Ngược lại, khi vận tốc góc của động cơ hơi nước giảm xuống, trọng khối m sẽ đi xuống, van hơi nước

sẽ mở, lượng hơi nước vào động cơ sẽ tăng lên, kết quả là làm tăng vận tốc góc Theo cách này có thể điều chỉnh được tốc độ động cơ

8

Thời kì này kéo dài đến giữa thế kỉ 19, mang đặc điểm bởi sự phát triển hệ thống tự động trên cơ sở trực giác mà không có một cơ sở toán học nào cho việc thiết kế điều khiển

Đến năm 1868 – Maxwell và năm 1877 – Vyshnegradskill lần đầu tiên sử dụng cơ sở toán học cho việc thiết kế điều khiển và ứng dụng lý thuyết của họ đưa ra kết quả bộ điều chỉnh vận tốc ly tâm của Watt Thành quả toán học của Routh về sự ổn định được giới thiệu năm 1877 được xem là rất quan trọng

Lý thuyết về điều khiển tự động và ứng dụng của nó đã được phát triển một cách nhanh chóng sau đó khoảng 60 năm Khoảng thời gian 1930 - 1940 là khoảng thời gian rất quan trọng đối với lịch sử điều khiển tự động, với các lý thuyết và ứng dụng xuất sắc như của Nyquist và Black được công bố Trong suốt những năm đầu thế kỉ XX cho đến thập kỉ 1960, có những nghiên cứu và phát triển có ý nghĩa đã được công bố như là của Ziegler và Nichols, Bode, Wiener và Evan

Tất cả các kết quả của thế kỉ trước cho đến những năm 1960, cấu thành thời

kì điều khiển cổ điển Sự phát triển ấn tượng của lý thuyết điều khiển cổ điển được tạo nên bởi sự đòi hỏi của Thế chiến thứ 2

Sự tiến bộ từ những năm 1960 cho đến ngày nay đặc biệt ấn tượng từ cả hai lĩnh vực lý thuyết và ứng dụng Giai đoạn này được xem là giai đoạn của điều khiển hiện đại với các kết quả ấn tượng của Astrom, Athans, Bellman, Brokett, Doyle, Francis, Jury, Kailath, Kalman, Luenberger, MacFarlane, Rosenbrock, Saridis, Wonham, Wolovich, Zames và của nhiều tác giả khác

Kĩ thuật điều khiển hiện đại được khởi đầu ở Sputnik trong năm 1957 bởi các nhà sáng tạo của Liên Xô và dự án Apollo của Mỹ với việc đưa con người lên mặt trăng năm 1969, và đó được xem là sự khởi đầu xuất sắc Trong những năm gần đây, một sự phát triển ấn tượng trong điều khiển hệ thống là việc áp dụng máy tính số Sức mạnh và sự linh hoạt của nó làm cho nó có thể điều khiển các hệ thống phức tạp một cách có hiệu quả, bằng cách sử dụng các kĩ thuật chưa từng được biết đến cho đến nay

Sự khác nhau về cách tiếp cận giữa điều khiển hiện đại và cổ điển như sau: vấn đề chính mà hệ thống điều khiển cổ điển nghiên cứu là hệ thống một đầu vào

9

một đầu ra Phương thức thiết kế thường được sử dụng là đồ thị ( ví dụ: quỹ đạo nghiệm số, biểu đồ Bode hoặc Nyquist…) và do đó nó không cần yêu cầu về toán học cao cấp Trong khi đó, vấn đề chính mà hệ thống điều khiển hiện đại nghiên cứu là hệ thống phức tạp nhiều đầu vào nhiều đầu ra Phương thức thiết

kế thường sử dụng là sự phân tích dựa trên yêu cầu về toán học cao cấp

Trong những ứng dụng kĩ thuật điều khiển ngày nay, cả hai phương pháp điều khiển hiện đại và cổ điển đều được sử dụng Khi mà điều khiển cổ điển tương đối đơn giản dễ áp dụng hơn là hệ hiện đại, một kĩ sư điều khiển có thể chấp nhận theo cách tiếp cận chính sau: những trường hợp đơn giản, khi mà yêu cầu kĩ thuật thiết kế không đòi hỏi quá khắt khe, anh ta có thể sử dụng kĩ thuật điều khiển cổ điển, trong trường hợp yêu cầu kĩ thuật đòi hỏi quá khắt khe, anh

ta có thể sử dụng kĩ thuật điều khiển hiện đại

Ngày nay, hệ thống điều khiển tự động rất quan trọng trong lĩnh vực nghiên cứu khoa học và phát triển kĩ thuật Trên toàn thế giới, một số lượng lớn những nghiên cứu nhằm mục đích phát triển những kĩ thuật điều khiển mới và ứng dụng chúng vào những lĩnh vực hoạt động của con người nếu có thể

1.3 Cấu trúc của một hệ thống điều khiển tự động

Một hệ thống là sự bao gồm các thành phần ( được nối vào nhau một cách thích hợp ) mà nó hoạt động cùng nhau theo một kiểu nào đó để thi hành một nhiệm vụ nào đó

Để một hệ thống thi hành một nhiệm vụ nào đó, nó phải được kích thích bởi một tín hiệu vào đúng cách Hình 1.7 cho ta một cái nhìn đơn giản của khái

niệm trên Chú ý rằng đáp ứng y(t) có thể được gọi là ứng xử hoặc kết quả của hệ

thống

Hình 1.7 Sơ đồ nguyên lý của hệ thống với đầu vào và đầu ra

Sử dụng kí hiệu, đầu ra y(t) có mối quan hệ với tín hiệu vào u(t) theo phương trình:

y(t) = T.u(t) (1.1)

- Với T là một toán tử

Hệ thống u(t)

Tác nhân kích thích

y(t)

Đáp ứng của hệ thống

10

Có 3 phần tử trong phương trình (1.1): đầu vào u(t), toán tử hệ thống T, đầu

ra y(t) Trong hầu hết các bài toán công nghệ, ta thường biết được 2 trong 3 phần

tử này và chúng ta phải đi tìm phần tử thứ 3 Do đó, sẽ có 3 bài toán công nghệ

3 Bài toán về đo lường: Ở đây, người ta cho hệ thống T và đầu ta y(t), yêu cầu

ta đo đại lượng đầu vào x(t)

Bài toán về thiết kế điều khiển không thuộc vào 3 bài toán trên và nó sẽ được định nghĩa riêng ở dưới đây

Định nghĩa 1.3.1

Cho một hệ thống T được điều khiển và đáp ứng mong muốn của hệ thống

là y(t), tìm một tín hiệu vào u(t) thích hợp, theo đó, khi mà tín hiệu này đặt vào

hệ thống T, đầu ra của hệ thống có đáp ứng mong muốn y(t) Ở đây, tín hiệu vào u(t) thích hợp đó được gọi là tín hiệu điều khiển

Từ định nghĩa 1.3.1 thấy rằng bài toán về thiết kế điều khiển là một bài toán tổng hợp tín hiệu: cụ thể là tổng hợp tín hiệu điều khiển u(t) Tuy nhiên, trong thực tế bài toán thiết kế điều khiển được đơn giản hóa bằng việc thiết kế bộ điều khiển ( xem định nghĩa 1.3.4)

Hệ thống điều khiển chia thành hai bộ phận: là hệ thống hở và hệ thống kín

11

Hinh 1.9 Máy giặt – một mô

hình hệ thống hở

Hình 1.8 Hai kiểu hệ thống, hệ mở (a); hệ kín (b)

Trong hệ thống điều khiển, tín hiệu điều khiển u(t) không phải là đầu ra của một máy phát, nhưng là đầu ra của một thành phần khác mới được ta thêm vào

để có thể điều khiển được Thành phần mới thêm vào được gọi là bộ điều khiển – controller ( trong trường hợp đặc biệt có thể gọi là bộ điều chỉnh hay bộ phận bù)

Hơn nữa, trong các hệ thống điều khiển, bộ điều khiển được kích thích bởi một tín hiệu r(t), được gọi là tín hiệu đặt Tín hiệu đặt r(t) chỉ rõ kết quả mong muốn ( mong muốn đầu ra y(t) của hệ thống kín hoặc hở) Theo đó, chúng ta nhắm đến việc thiết kế một bộ điều khiển thích hợp sao cho đầu ra y(t) càng gần r(t) càng tốt Trong thực tế, trong một hệ thống hở, bộ điều khiển chỉ chịu kích thích bởi tín hiệu r(t) và nó được thiết kế sao cho đầu ra u(t) của nó là một tín hiệu đầu vào thích hợp để điều khiển hệ thống Trong hệ thống kín, bộ điều

khiển không chỉ chịu kích thích bởi r(t) mà còn bởi đầu ra y(t) Do đó, trong trường hợp này, tín hiệu điều khiển u(t) phụ thuộc cả hai r(t) và y(t) Để có thể hiểu dễ dàng hơn về hệ kín và hệ hở, chúng tôi giới thiệu một số các

ví dụ sau

Một ví dụ rất đơn giản của một hệ thống hở là máy giặt quần áo ( hình 1.9) Ở đây, tín hiệu đặt r(t) chỉ định những điều kiện hoạt động khác nhau mà chúng ta thiết lập trên “bộ lập chương trình”, như là nhiệt độ nước, khoảng thời gian thay đổi chu

điều khiển Tín hiệu điều khiển này là đầu vào và là động lực cho máy giặt thực

hiện hoạt động theo mong muốn được thể hiện qua tín hiệu đặt r(t) Đầu ra y(t) của hệ thống là chất lượng giặt giũ Trong suốt quá trình hoạt động của máy giặt, đầu ra ( được hiểu như là việc quần áo đã được giặt tốt hay chưa) đã không được

đưa vào hệ thống để xem xét Máy giặt chỉ thực hiện theo một chuỗi các hoạt

động được chứa trong u(t) mà không xét đến sự ảnh hưởng của y(t) Điều đó có nghĩa là u(t) không phải là một hàm của y(t) và theo đó, máy giặt chính là một kiểu ví dụ cho hệ thống vòng hở Một số các ví dụ khác như là hệ thống lò sưởi điện, hệ thống báo giờ, thang máy, đèn giao thông, hệ thống viễn thông quốc tế, máy tính, internet…

Một ví dụ rất đơn giản để giới thiệu về hệ thống vòng kín là máy nước

nóng Ở đây, hệ thống là máy nước nóng và đầu ra là nhiệt độ của nước Chúng ta hãy xem xét nhiệt độ của nước trong khoảng từ

650C đến 70 0 C

Trong ví dụ này, nước được đun nóng bởi năng lượng điện bằng một điện trở bằng một dòng điện chạy qua Bộ điều khiển là một bộ điều chỉnh nhiệt độ với cách làm việc như là những công tắt như sau: nếu nhiệt độ lớn hơn 700C thì công tắt mở và ngắt dòng điện Kết quả là nhiệt độ nước bắt đầu giảm xuống và khi nhiệt độ xuống dưới 650C,

công tắt sẽ đóng và dòng điện được cung cấp trở lại Sau đó, nhiệt độ lại tăng lên đến 700C và công tắc lại mở Quá

có một ví dụ đặc trưng về hệ thống vòng kín

Những ví dụ khác về hệ thống vòng kín có thể kể đến như là tủ lạnh, bộ ổn

áp, hệ thống điều khiển mực chất lỏng, bộ điều chỉnh vị trí, điều chỉnh vận tốc,

hệ thống điều khiển phản ứng hạt nhân, robot, hệ điều khiển máy bay… Tất cả các hệ thống vòng kín đều có nguyên tắc hoạt động giống như máy nước nóng

đã được trình bày ở trên

Cần chú ý rằng trong một số trường hợp hệ thống không chỉ hoàn toàn là tự động Con người có thể tác động như là một bộ điều khiển hoặc là một phần của

bộ điều khiển, ví dụ như việc lái xe, đi bộ, và nấu nướng Trong trường hợp lái

xe, xe là một hệ thống và đầu ra của hệ thống là góc rẽ hoặc/ và tốc độ của xe Người lái xe điều khiển chiếc xe và tác động nó như sau: anh ta đạp vào chân ga nếu như tốc độ của xe xuống quá thấp và xoay vô lăng xe nếu như muốn xe rẽ trái hay rẽ phải Theo đó, có thể xem như việc điều khiển xe như là một cấu trúc của một hệ thống vòng kín, với người lái xe là một bộ điều khiển Còn khi chúng

ta nấu nướng, chúng ta kiểm tra thức ăn trong lò và điều chỉnh nhiệt độ cho phù hợp Trong trường hợp này, việc nấu ăn cũng có thể xem như là một hệ thống vòng kín

Từ các ví dụ trên, chúng ta có thể thấy là có sự khác biệt giữa hệ thống vòng kín và hệ thống vòng hở Sự khác nhau ở chỗ là có hay không việc thông tin đầu ra của hệ thống được đưa về đầu vào của hệ thống Hoạt động này được

gọi bằng thuật ngữ feedback (hồi tiếp) và là cơ sở của hầu hết các lý thuyết về

điều khiển tự động

Thật vậy, một điểm quan trọng có thể chỉ ra rằng trong một hệ thống vòng

hở, nếu như kết quả của hệ thống không được như ý, bộ điều khiển không thể

14

Hình 1.13 Cấu trúc của một hệ thống điều khiển hở

Hình 1.14 Cấu trúc của một hệ thống điều khiển kín

làm được gì để cải thiện Ngược lại, trong hệ thống vòng kín, bộ điều khiển vẫn

có cách để giữ cho kết quả của hệ thống nằm trong một giới hạn mong muốn

Hệ thống vòng kín được sử dụng trong hầu hết các lĩnh vực đòi hỏi chất lượng cao (cần độ chính xác, tốc độ…) trong khi hệ thống vòng hở được sử dụng trong các vấn đề điều khiển đơn giản Trong hầu hết các trường hợp, hệ thống vòng kín khó thiết kế và thực hiện hơn so với hệ thống vòng hở

Trên các cơ sở đã nêu trên, chúng ta có thể đưa ra một định nghĩa nổi tiếng

về vấn đề thiết kế điều khiển

Định nghĩa 1.3.4

Cho một hệ thống T được điều khiển với đáp ứng đầu ra là y(t), tìm bộ điều khiển tạo ra đầu vào u(t) cho hệ thống,sao cho khi áp dụng vào hệ thống T, đầu

ra của hệ thống được mô tả bởi đáp ứng y(t)

Rõ ràng là các định nghĩa 1.3.1 và 1.3.4 là tương đương Trong thực tiễn thì định nghĩa 1.3.4 lại được sử dụng Nó có thể giảm bớt yêu cầu điều khiển trong việc thiết kế bộ điều khiển Một số phương pháp thiết kế bộ điều khiển đã được phát triển để cho ra các kết quả mong muốn Tuy nhiên, trong một số kĩ thuật tiên tiến, một số vấn đề điều khiển mới xuất hiện, yêu cầu cần phải có những nghiên cứu và phát triển kĩ thuật mới

Kết thúc phần này, tôi giới thiệu một số sơ đồ hoàn chỉnh về hệ thống vòng

hở và vòng kín Hệ thống vòng hở có cấu trúc như hình 1.12 và hệ thống vòng

kín có cấu trúc như hình 1.13 Trong cả hai trường hợp, vấn đề yêu cầu là phải đạt được tín hiệu ra y(t) gần đến mức có thể với tín hiệu đặt r(t) Điều này chứng minh một cách rõ ràng trong các hệ thống điều khiển thực tế đã được giới thiệu ở trên Thành

15

Hình 1.15 Sơ đồ nguyên lý (a) và sơ đồ

khối (b)của bộ điều chỉnh vị trí

Hình 1.16 Sơ đồ nguyên lý (a) và sơ đồ

khối (b)của bộ điều chỉnh độ dày tấm

kim loại ép

phần nhiễu được cho là làm thay đổi môi trường của hệ thống hoặc làm thay đổi chính bản thân của hệ thống, kết quả là làm sai lệch tín hiệu ra thực tế so với tín hiệu đã mô tả Trên cơ sở những phương thức đã giới thiệu ở trên, rõ ràng là khi đầu ra của hệ thống vòng hở thay đổi so với tín hiệu mong muốn bởi nhiễu, hệ thống không thể làm gì để đưa đầu ra trở lại như tín hiệu đã mô tả Trong trường hợp ngược lại, với hệ thống vòng kín, khi đầu ra thay đổi so với tín hiệu mô tả

do nhiễu, thì bộ điều khiển có cách để phục hồi lại tín hiệu ra gần với tín hiệu mong muốn

1.4 Một số các ví dụ điều khiển trong thực tế

bộ khuyếch đại, đầu ra của bộ khuyếc đại được đưa đến hệ động cơ chính Kết quả làm động cơ quay hộp số theo một hướng nào đó tùy theo sai lệch e(t) theo cách làm giảm sai lệch e(t) Theo cách này, đầu ra của

16

qua tín hiệu r(t) - là đầu vào của hệ thống Độ dày của tấm kim loại được đo sau

đầu ép là y(t) – là đầu ra của hệ thống y(t) được đo bằng cảm biến đo độ dày và

được chuyển đổi thành tín hiệu b(t) Bộ so sánh sẽ thực hiện việc so sánh r(t) và

b(t) và tìm ra tín hiệu sai lệch e(t) = b(t) – y(t) Tín hiệu sai lệch e(t) sẽ được

khuếch đại bằng bộ khuếch đại Sau khi khuếch đại, tín hiệu e(t) sẽ điều khiển cơ

cấu chấp hành thủy lực để điều chỉnh độ hở của cơ cấu ép để đạt được độ dày

mong muốn

1.4.3 Hệ thống điều khiển nhiệt độ phòng

Hình 1.16 Sơ đồ nguyên lý của bộ

điều chỉnh nhiệt độ buồng đốt

Nhiệt độ trong buồng được đo bằng cặp nhiệt Nhiệt độ trong buồng được chuyển thành tín hiệu điện Tùy theo nhiệt độ mà cường độ điện khác nhau Dòng điện này sẽ điều khiển độ đóng mở của van điện từ để điều khiển dòng nhiên liệu vào lò đốt

17

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ TOÁN HỌC

Trong chương này các cơ sở toán học cần thiết cho việc nghiên cứu hệ thống điều khiển Đặc biệt, nó nhắm đến việc đưa ra cơ sở toán học phù hợp trên các đối tượng là những tín hiệu điều khiển cơ bản, biến đổi Laplace, lý thuyết về ma trận Những kiến thức này rất hữu dụng cho hầu hết các phần trong cuốn sách này

Trong phần này, tôi giới thiệu những định nghĩa về các tín hiệu điều khiển

cơ bản: như hàm bước nhảy đơn vị (step function), hàm xung ( impulse function), hàm mũ (exponential function) và hàm sin ( sinusoidal function) Những tín hiệu này rất quan trọng cho các ứng dụng điều khiển

2.1.1 Hàm bước nhảy đơn vị ( step function)

Hàm bước nhảy đơn vị (step function) kí hiệu là u(t-T) được định nghĩa

như sau:

Hình 2.1 Hàm bước nhảy đơn vị

1( ) 0

Hình 2.2 Công tắc mạch điện tạo

nên hàm bước nhảy đơn vị trong mạch

Một ví dụ vật lý của hàm bước nhảy đơn vị là mạch điện ở hình 2.2 Tại thời điểm T, công tắc đóng Rõ ràng điện áp vR(t) là:

18

( )( ) 0

2.1.2 Hàm cổng đơn vị (unit gate function)

Hàm cổng đơn vị - unit gate function ( hay còn gọi là hàm cửa sổ) được kí hiệu bởi gπ(t) = u(t – T 1 ) – u(t – T 2 ), với T1 < T2 Do đó, nó có thể được định nghĩa như sau:

( )( )

Như vậy, hàm cổng đơn vị đã giúp ta làm bằng không ( clear) tất cả các

2.1.3 Hàm xung đơn vị (impulse function – Dirac function)

Hàm xung đơn vị (impulse function), hay còn gọi là hàm Dirac (Dirac

Hình 2.4 Hàm xung Dirac

0(t T) t T

δ − = ∞ = ∀ ≠ (2.3)

19

Ngoài ra, hàm δ(t – T) còn được định nghĩa theo một cách khác Xét diện

tích c(t) của hình chữ nhật là c(t) = (1/a).a =1 Khi a là một giá trị rất lớn, đáy của hình chữ nhật là 1/a trở nên rất nhỏ Trong giới hạn, chiều cao của a là vô tận, khi đó đáy 1/a sẽ bằng không Khi đó, hàm δ(t – T) được định nghĩa như

Định nghĩa (2.5) chỉ ra rằng, diện tích của hàm δ(t – T) bằng 1 ( đó là lý do

vì sao ta gọi là hàm xung “đơn vị” )

Mối quan hệ giữa hàm bước nhảy đơn vị và hàm xung đơn vị như sau:

20

2.1.5 Hàm mũ cơ số e (exponential function)

Hình 2.6 Hàm mũ cơ số e

Hàm mũ là hàm được định nghĩa f(t) = Aeαt (2.9)

2.1.6 Hàm sin (sinusoidal function)

Hình 2.7 Hàm sin

Hàm sin là hàm được định nghĩa:

f(t) = Asin(ωt + θ) (2.10)

Chú ý :

Tất cả các hàm được giới thiệu ở phần này đều có thể được biểu thị bởi một phần của hàm mũ hoặc có nguồn gốc từ hàm mũ Chúng ta có thể dễ dàng nhìn thấy rằng, hàm sin là một tổ hợp tuyến tính của hai hàm mũ, ví dụ như sin(θ) = (1/2j)(e jθ - e -jθ), hàm bước nhảy đơn vị với T = 0 bằng với hàm mũ trong

từ hàm bước nhảy đơn vị, trong khi hàm bước nhảy đơn vị lại được tạo thành bởi hàm mũ Hơn nữa, hàm tuần hoàn có thể được biểu thị bằng một tổ hợp tuyến tính các hàm mũ ( bằng chuỗi Fourier) Ngoài ra, một điều đáng giá có thể kể đến là hàm mũ được sử dụng để mô tả rất nhiều hiện tượng vật lý, như là đáp ứng của một hệ thống và bức xạ của đồng vị phóng xạ…

2.2 Phép biến đổi Laplace

hệ thống Biến đổi Laplace là một trường hợp đặc biệt của phép biến đổi tích phân

Một phép biến đổi tích phân tuyến tính tổng quát của hàm f(t) được định nghĩa như sau:

( ) ( ) ( , )

b

a

Với k(s,t) là hạt nhân của phép biến đổi

Điều này có nghĩa là chức năng chính của hàm (2.11) là biến đổi một hàm được định nghĩa trong miền t thành một hàm được định nghĩa trong miền s Một hạt nhân cụ thể k(s,t) cùng với hai cận tích phân (a,b) định nghĩa thành các phép biến đổi riêng biệt

2.2.2 Giới thiệu về phép biến đổi Laplace

Phép biến đổi Laplace là một phép biến đổi tích phân tuyến tính với hạt nhân k(s,t) = e-st và thời gian tích phân là (0,∞) Theo cách này, định nghĩa phép biến đổi Laplace của hàm f(t) sẽ là:

Với L là toán tử biến đổi Laplace và s là một biến phức được định nghĩa

bởi s = σ + jω Thông thường, hàm thời gian f(t) được viết là f trong khi hàm biến phức F(s) được viết là F

Để cho tích phân (2.3-2) hội tụ, hàm f(t) phải thõa mãn điều kiện

Với σ và M là một số dương hữu hạn

Cùng với L f t{ }( ) =F s( )thì phép biến đổi Laplace ngược cũng là một phép biến đổi tích phân tuyến tính Nó được định nghĩa là:

Một ứng dụng phổ biến của phép biến đổi Laplace là sử dụng đề giải các phương trình vi phân tuyến tính với các hệ số hằng Trong trường hợp này là sử dụng phép biến đổi Laplace để đơn giản hóa đáp án của phương trình vi phân Thực vậy, phép biến đổi Laplace thực sự làm đơn giản hóa đáp án của một phương trình vi phân hệ số hằng, bằng cách giải các phương trình đại số tuyến tính Biến đổi Laplace thì đổi lời giải của phương trình vi phân thành lời giải của phương trình đại số - điều này làm giảm sự khó khăn trong việc giải phương trình vi phân đi rất nhiều lần

2.2.3 Một số tính chất và định lý của phép biến đổi Laplace

Với f(1)(t) là đạo hàm của f(t) theo thời gian, và F(s) là biến đổi Laplace của f(t) Khi đó, biến đổi Laplace của f(1)(t) là:

st st

Với f(m)(t) là đạo hàm cấp m của f(t)

0 0

2 2

( )

0 0

2 ( )

Mối quan hệ ở (2.25) chỉ ra rằng biến đổi Laplace của một kết quả của hàm

e-αt nhân với hàm f(t) dẫn đến việc dịch chuyển hàm F(s) = L{f(t)} đi α đơn vị

Xét một hàm f(t)u(t) Khi đó hàm f(t – T)u(t – T) là hàm f(t)u(t) đã được dịch đi sang phải một khoảng thời gian T đơn vị Biến đổi Laplace của hàm f(t)u(t) ban đầu và hàm đã được dịch chuyển f(t – T)u(t – T) có mối quan hệ sau:

Định lý này áp dụng cho hàm f(t) khi mà t 0 ( đó là lý do vì sao gọi là định lý giá trị ban đầu) Định lý này cho mối quan hệ sau:

ra vấn đề đơn giản hơn nhiều mà không cần phải tìm biến đổi ngược của F(s)

Chứng minh:

2.2.4 Bảng tính chất của biến đổi Laplace

Để đơn giản hóa quá trình tính toán, thay vì sử dụng các công thức, người

ta đã lập ra bảng tra các hàm ảnh và hàm gốc theo các tính chất đã trình bày ở trên Khi vận dụng, chúng ta có thể tra bảng để tiết kiệm thời gian

F s ds

Biến đổi Laplace ngược là phép biến đổi ngược của hàm F(s) theo quan hệ

đã được cho ở (2.14) Để tránh việc tính toán tích phân (2.14), mà thông thường

là rất khó và tốn kém thời gian, người ta thường sử dụng một bảng đặc biệt để tính Laplace ngược một cách trực tiếp Bảng này chỉ có những trường hợp cơ

30

bản và do đó, nó không thể sử dụng để tính Laplace ngược cho tất cả các hàm F(s) được Cách làm trong những trường hợp không có trong bảng là: nếu có thể, biến đối F(s) bằng cách sử dụng các phương pháp thích hợp, sau đó, biến đổi ngược bằng cách sử dụng bảng Ví dụ như một phương pháp phổ biến là, khi F(s) là một hàm hữu tỉ ( trường hợp này thường xuyên gặp), ta triển khai nó thành những thành phần phân số mà có thể sử dụng trực tiếp bảng biến đổi Laplace ngược

Một ý tưởng thú vị ở đây là chúng ta phát triển phương pháp để triển khai một hàm hữu tỉ thành các hàm thành phần Tóm lại, chúng ta hãy xem xét hàm sau:

=

Chúng ta có 3 trường hợp:

(a) – trường hợp các nghiệm là thực và riêng biệt

(b) – trường hợp các nghiệm là thực nhưng không phải tất cả đều riêng biệt (c) – trường hợp một phần hay toàn bộ là nghiệm phức liên hợp

2.3.2 Các nghiệm thực riêng biệt

Trong trường hợp các nghiệm của đa thực a(s) là nghiệm thực riêng biệt, tức là λ1≠λ2≠…≠λn Khi đó, F(s) sẽ được khai triển thành tổng n đa thức thành phần:

Quan hệ (2.36) là cách đơn giản để tìm được các hằng số c1,c2,…cn

2.3.3 Các nghiệm thực không riêng biệt ( có nghiệm lặp)

Trong trường hợp các nghiệm của đa thức a(s) là các nghiệm thực nhưng không riêng biệt Ví dụ như đa thức a(s) có nghiệm λ1 là nghiệm lặp r lần, khi

đó

1 1

( ) ( ) ( )

n r

n r

t t

Với các hệ số cr+1, …cn ta có thể tìm được bằng quan hệ (2.36) Để tìm các

hệ số ck, k = 1, 2, …r, chúng ta làm như sau: nhân cả hai về phương trình (2.37) với (s – λ1)r

r r

n r

+ +

Lấy đạo hàm theo s (r – k) lần ở cả hai về và sau đó lấy giới hạn khi s

λ1, tất cả các thành phần bên phải sẽ bằng không – trừ thành phần (s - λ1)r-kck, khi đó nó sẽ bằng (r – k )!ck Do đó:

32

a(s) chỉ có một cặp nghiệm phức liên hợp là λ α1= + jω và λ2 = = −λ α−1 jω Do

đó, có thể triền khai F(s) thành các thành phần giống như cách triển khai khi các nghiệm là thực riêng biệt

i i

Ví dụ 3:

]q(s), với q(s) là đa thức chỉ

có nghiệm thực Trường hợp đặc biệt của a(s) này thường xuyên gặp trong thực

tế Trong trường hợp này và khi đa thức q(s) là bậc thấp (bậc 1 hoặc 2), chúng

ta nên khai triển F(s) thành các thành phần như sau:

Chú ý :

33

đa thức tử lớn hơn hoặc bằng bậc của đa thức mẫu Trong trường hợp này, phương pháp khai triển thành các phân số thành phần không thực hiện được Để khắc phục khó khăn này, ta lấy tử chia cho mẫu số và được:

( )( ) ( )

đó, ta có thể sử dụng bảng biến đổi Laplace ngược để tìm hàm ngược cho F(s)

2.3.5 Cặp biến đổi Laplace một số hàm cơ bản

Bằng cách sử dụng các cặp hàm cơ bản, ta có thể tra cứu một cách nhanh chóng hàm gốc và hàm ảnh của một số hàm Kết hợp với bảng tính chất, ta có thể tiết kiệm rất nhiều thời gian cho việc biến đổi Laplace (biến đổi ngược và thuận)

−

−

n là số nguyên dương

2

1.3.5 (2 1)

n n

1

t

e−α

( 2 2)2

1

1sin os

2.4 Một số ứng dụng biến đổi Laplace

Trong phần này giới thiệu một số các ứng dụng của biến đổi Laplace trong việc nghiên cứu các hệ tuyến tính

Ví dụ 4:

Hình 2.11 Mạch RC

Tìm điện áp trên tụ điện ở mạch điện hình 2.11 Công tắc S đóng tại thời điểm khi t = 0 Giá trị đầu của

ma sát Các điều kiện đầu: y(0) = 0,

y (1) (0) = 2 Chúng ta đặt vào hệ một lực f(t) = u(t) với u(t) là hàm bước nhảy đơn vị Tìm đáp ứng y(t) của hệ Cho m = 1, B = 3, K = 2

38

Hình 2.13

3 Xác định các giá trị đầu f(0+) và f(1)(0+) của hàm có hàm ảnh sau:

3( )

0.2

F s

s

=+

4 Xác định giá trị cuối của hàm có hàm ảnh sau:

a L{f(t)}=

3( )

12

s s

++

k 2

1

s

e s

39

6 Tìm dòng điện i(t) và điện áp vL(t) trên hai đầu cuộn cảm của mạch RL như hình 2.13 Công tắc S đóng tại t = 0 và điều kiện đầu là dòng điện qua cuộn cảm iL(0) = 0

Hình 2.13 Mạch RL

7 Xét hệ di chuyển không ma sát có khối lượng m được thể hiện ở hình 2.14, với f(t) là lực tác dụng, y(t) thể hiện vị trí của m, m = 1kg Sử dụng phép biến đổi Laplace tìm y(t) với t > 0, f(t) thể hiện như hình 2.14 với điều kiện đầu y(0) = 1 và y’(0) = 0

8 Giải quyết vấn đề ở hình 2.15 với K là hệ số đàn hồi của lò xo Xét với trường hợp K= 0.5 ( các giá trị sử dụng ở bài 7)

Hình 2.14

Hình 2.14