PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ NHẤT (Recovered)

a Chứng minh tam giác BIO bằng tam giác CMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a.. b Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC, K là giao điểm của tia BN và tia OM.. ---HẾT--- Thí sinh kh

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ NHẤT

MÔN THI: TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC: 2016 – 2017

Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian ra đề)

Câu 1: ( 2 , 0 điểm )

Cho biểu thức: A =[ (x−1)2

3 x +(x−1)2−

1−2 x2 +4 x

x3−1 +

1

x−1] : x2+x

x3

+x

a) Rút gọn biểu thức A?

b) Chứng minh rằng: | P | = P với mọi x ≥ -1 ?

Câu 2: ( 2 , 0 điểm )

Cho N = 1.3.5….2001 Chứng minh rằng trong ba số nguyên liên tiếp 2N – 1, 2N, 2N + 1 không

có số nào là số chình phương

Câu 3: ( 2 , 0 điểm )

a) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình sau: + = ( p là số nguyên tố ).

b) Giải và biện luận phương trình sau: + + + = 1.

Câu 4: ( 2 , 5 điểm )

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau tại O Lấy điểm I thuộc cạnh

AB, lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho ^IOM = 90 ˚ ( I và M không trùng các đỉnh hình vuông ) a) Chứng minh tam giác BIO bằng tam giác CMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a.

b) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC, K là giao điểm của tia BN và tia OM Chứng minh

tứ giác IMNB là hình thang và ^BKM=¿ ^BCO ?

Câu 5: ( 1 , 0 điểm )

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: + + =

Chứng minh rằng: 1

(a2

+ 10) 2 + 1

(b2

+ 10) 2 + 1

¿ ¿ ?

Câu 6: ( 0 , 5 điểm )

Cho A và B là hai tập hợp Ta gọi tập tích của A và B là A x B = {(a, b): a ∈ A, b ∈ B}, trong

đó (a, b) là cặp hai phần tử có thứ tự Kí hiệu A2 = A x A Nếu C = {0; 1} và D = {1; 0} Tìm : a) C x D ; b) D x C ; c) C2

.

-HẾT -( Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm )

Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh:……… Chữ ký của giám thị 1: ……… Chữ ký của giám thị 2: ………

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 I) Hướng dẫn chung:

ĐỀ CHÍNH THỨC

1) Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải với những ý cơ bản, nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy định

2) Trong bài làm nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm

3) Đối với bài hình học, nếu học sinh không vẽ hoặc vẽ sai hình thì không tính điểm

4) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm và không làm tròn

II) Đáp án và thang điểm:

Câu 1:

a) Rút gọn đúng: A = x2+1

x +1 ( ĐKXĐ: x≠ -1 , x≠ 0, x≠ 1 ) (1 điểm) b) Với x ≥ -1 thì x + 1 > 0 ( không xảy ra dấu “ = ” vì x + 1 ≠ 0 ), mà x2 + 1 ≥ 1 > 0 nên A > 0 Suy ra | A | = A ( 1 điểm )

Câu 2:

 2N là một số chẵn nhưng không chia hết cho 4 nên không là số chính phương (0,5 điểm)

 Một số chính phương không chia hết cho 3 thì chia 3 dư 1 Mà 2N – 1 chia 3 dư 2 nên không là số chính phương (0,5 điểm)

 Giả sử 2N + 1 = K2 ( K là số lẻ )

⇒ 2N = ( K – 1 )( K + 1 ) chia hết cho 4, suy ra N là số chẵn, vô lý ( 1 điểm)

Vậy trong 3 số 2N – 1, 2N, 2N + 1 không có số nào là số chính phương

Câu 3:

a) Do x, y là 2 số tự nhiên nên đẳng thức đã cho tương đương với (x - p)(y - p) = p2 (0,25 điểm)

Vì p nguyên tố và x, y > p nên xảy ra các trường hợp:

+) x – p = 1; y – p = p2 suy ra x = p + 1 và y = p2 + p (0,25 điểm)

+ ) x – p = p2; y – p = 1 suy ra x = p2 + p và y = p + 1 (0,25 điểm)

+) x – p = p; y – p = p suy ra x = y = 2p (0,25 điểm)

b) + + + = 1 ( ĐKXĐ: a, b , c ≠ 0)

⇔ (eq¿ (a+ b−x , c)+1) + (eq¿ (b+ c−x ,a)+1) + (eq¿ (c +a−x ,b)+1) = 4 –

⇔ (a + b + c – x )(eq¿ (1 , a)+ eq ¿ (1 , b)+eq ¿ (1 ,c )−eq ¿ (4,a+ b+c )) = 0 (0,5 điểm)

 Nếu eq¿ (1 , a)+ eq ¿ (1 , b)+eq ¿ (1, c )≠eq¿ (4, a+ b+c ) thì phương trình đã cho có tập

nghiệm S = { a + b + c }.(0,25đ)

 Nếu eq¿ (1 , a)+ eq ¿ (1 , b)+eq ¿ (1, c )= ¿eq¿ (4, a+ b+c ) thì phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R (0,25 điểm)

Câu 4:

a) ∆BIO = ∆CMO ( g.c.g ) (0,5 điểm )⇒ SBIO = SCMO, mà SBMOI = SBOI + SBMO nên SBMOI = SCMO +

SBMO

¿ SBOC = SABCD = a2 (0,5 điểm)

b) BI = CM (∆BIO = ∆CMO) ⇒ BM = AI (0,25 điểm )

Vì CN // AB nên = ⇒ = ⇒ IM // BN ⇒ IMNB là hình thang.(0,5 điểm)

Vì OI = OM (∆BIO = ∆CMO ) ⇒ ∆IOM cân tại O ⇒ ^IMO=^ MIO = 45˚ (0,25 điểm)

Vì IM // BN ⇒ IM // BK ⇒ ^BKM=^ IMO=45˚ ( so le trong ), suy ra : ^BKM=^ BCO (0,5đ )

Câu 5:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho cặp số dương (a;1;3) và (1;a;3) ta có:

(2 a+9)2 ≤(a2+10)2 ⇒ 1

(a2+10)2 ≤

1 (2 a+9)2 (1) (0,15 điểm)

Ta có: (2 a+9) 2 >(2 a+1) 2 = 4a2 +4a +1 > 2a2 + 3a +1 = (a + 1)(2a + 1) = [(√a¿ ¿2+1 ¿[(√2 a)2+ 1] (0,15 điểm )

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho cặp số dương (√a ;1) và (√2 a;1) ta có:

¿≤ [(√a¿ ¿2+1 ¿[(√2 a)2+ 1] hay ¿ (a + 1)(2a + 1) (0,15 đ)

Do đó: 1

(2 a+ 9)2 ≤

1

¿ ¿ (2)

Từ (1) và (2) ta có: 1

(a2+10)2≤

1

¿ ¿ Lại có: ¿ ≥2a √2 ⇒ 1

¿ ¿

1

2 a√2 suy ra: 1

(a2

+ 10) 2 ≤ 1

2 a√2 (0,15 điểm) Chứng minh tương tự, ta có: 1

(b2 +10) 2 ≤ 1

2 b√2 ; ¿ ¿1 ≤ 1

2 c√2 (0,2 điểm)

Do đó: 1

(a2+ 10)2+

1 (b2+10)2+

1

¿ ¿ ≤ 1

2 a√2+

1

2 b√2+

1

2 c√2 = 1

2√2(1a+

1

b+

1

c) = √22 (0,2 điểm)

Câu 6:

a) Ta có: C x D = {(0;1); (0;0); (1;1); (1;0)}.(0,2 điểm)

b) Ta có: D x C = {(1;0); (1;1); (0;0); (0;1)}.(0,2 điểm)

c) Ta có: C2 = {(0;0); (0;1); (1;0); (1;1)} (0,1 điểm)