Số fibonacci và một số ứng dụng trong các tam giác kinh điển

Hình 1.2: Loài cây Achillea ptarmica Nhi u loài cây cũng có cách m c lá tuân theo dãy Fibonacci... Các s Fibonacci cũng xu t hi n trong các bông hoa Hư ng dương... Qu thông có nh ng đư

Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN

L I C M ƠN

Lu n văn đư c hoàn thành v i s hư ng d n c a PGS TS Nguy n

Nh y, Trư ng Đ i h c Giáo d c - ĐHQGHN Tôi xin đư c bày t lòng bi t ơn sâu s c đ i v i s quan tâm, đ ng viên và s ch b o hư ng d n nhi t tình, chu đáo c a th y trong su t th i gian tôi th c hi n Lu n văn này

Tôi cũng xin g i l i c m ơn chân thành c a mình đ n quý Th y Cô giáotrong khoa Toán - Cơ - Tin, phòng Đào t o Sau đ i h c, Trư ng Đ i h c Khoa H c T Nhiên - ĐHQGHN, đ c bi t là nh ng Th y Cô giáo đã

t ng gi ng d y l p PPTSC, khóa h c 2013 - 2015 C m ơn Th y Cô

đã truy n cho tôi ki n th c và giúp đ tôi trong su t quá trình h c t p t i khoa

Đ ng th i, tôi xin g i l i c m ơn t i t p th l p Cao h c Toán PPTSC, khóa h c

2013 - 2015 đã đ ng viên, giúp tôi có cơ h i th o lu n và trình bày v m t s v

n đ trong Lu n văn c a mình

Tôi xin g i l i c m ơn t i S Giáo d c - Đào t o Hà N i, Ban Giám hi u, các đ ng nghi p Trư ng THPT Đông Đô - Qu n Tây H - Tp Hà N i đã t o

đi u ki n cho tôi v m i m t đ tham gia h c t p và hoàn thành khóa h c

Cu i cùng, tôi xin g i l i c m ơn đ n nh ng ngư i thân trong gia đình,

b n bè đã luôn ng h và nhi t tình giúp đ tôi trong th i gian v a qua

Tuy nhiên, do s hi u bi t c a b n thân và khuôn kh c a Lu n văn th c

sĩ, nên ch c r ng trong quá trình nghiên c u không tránh kh i nh ng thi u sót Tôi r t mong đư c s ch d y và đóng góp ý ki n c a Th y Cô và đ c gi quan tâm t i Lu n văn này

Hà N i, ngày 08 tháng 10 năm 2015

H c viên

Ph m Th Liên

1

M cl c

0.1 Lý do ch n đ tài Lu n văn 50.2 M c đích c a đ tài Lu n văn

S Fibonacci v i Toán h c 18 1.2 Đ nh nghĩa dãy Fibonacci 23

1.2.1 Đ nh nghĩa dãy Fibonacci 23 1.2.2

Đ nh nghĩa dãy Lucas 24 1.2.3

M t s bi n th c a dãy Fibonacci 24 1.3 S Fibonacci v i ch s âm 25

1.3.1 S Fibonacci v i ch s âm 25 1.3.2

S Lucas v i ch s âm 26 1.4 Dãy Fibonacci cùng T s vàng và ng d ng 28

1.4.7 Các ng d ng khác 47

2 Các tính ch t c a s Fibonacci Công th c Binet cho s Fibonacci 49 2.1 Các tính ch t đơn gi n c a s Fibonacci 49

2.1.1 M t s tính ch t c a s Fibonacci 49 2.1.2 M t s tính ch t c a s Lucas 62

2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Tính chia h t trong t p các s Fibonacci 66 Công th c t ng quát c a s Fibonacci 74 M t áp d ng c a công th c Binet 78 Đi u ki n c n và đ đ m t s t nhiên n là s Fibonacci 81 Hai m i liên h đ c bi t c a dãy Fibonacci và s 11 85

2.6.1 M i liên h th nh t 85

2.6.2 M i liên h th hai 86

3 S Fibonacci và m t s ng d ng trong các tam giác kinh đi n 90 3.1 S Fibonacci trong tam giác Pascal 90

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 Các ki n th c cơ b n 90 Tam giác Pascal 91

M t s tính ch t rõ ràng c a tam giác s Pascal 93 M i liên h gi a tam giác Pascal v i s Fibonacci 95

Các đư ng đi Fibonacci c a m t quân c trên m t bàn c 103

3.2 S Fibonacci trong tam giác t a Pascal 106

3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 M i liên h gi a tam giác t a Pascal v i s Lucas 106

M t công th c thay th cho L n 110

M i liên h gi a tam giác t a Pascal v i s Fibonacci 111 M t công th c thay th cho F n 113

Tam giác Lucas 113

M t đ nh nghĩa đ quy cho D(n, j) 115

3.3 S Fibonacci trong tam giác t a Pascal m r ng 119

3.3.1 M i liên h gi a tam giác t a Pascal m r ng v i s

đư c mang tên các nhà khoa h c này Hi n nay, tài li u

b ng ti ng Vi t v dãy Fibonacci và m t s ng d ng trong các tam giác kinh đi n chưa có nhi u và còn t n m n, do đó c n ph i gi i thi u dãy

Fibonacci và m t s ng d ng trong tam giác kinh đi n m t cách đ y đ và

th ng nh t hơn

Vì v y, vi c tìm hi u sâu và gi i thi u dãy Fibonacci và m t s ng

d ng trong các tam giác kinh đi n là r t c n thi t cho vi c h c t p, gi ng d y Toán h c và s hi u bi t c a con ngư i B n Lu n văn "S Fibonacci

và m t s ng d ng trong các tam giác kinh đi n" đư c ti n hành vào cu i năm 2015 ch y u d a trên các tài li u tham kh o và m t s phát hi n riêng c

a tác gi

M c dù trong Lu n văn đ c p đ n c s Fibonacci và s Lucas, nhưng s Fibonacci là ch y u Chú ý r ng s Lucas đư c xây d ng sau khi xu t hi n s Fibonacci, hơn th n a hai dãy s này đư c xây d ng trên cùng m t phương pháp và dãy Lucas đư c gi i Toán h c cho r ng thu c h Fibonacci, nên Lu nvăn vì th l y tên chính là s Fibonacci

0.2 M c đích c a đ tài Lu n văn

H c t p và gi i thi u dãy Fibonacci cùng v i các tính ch t cơ b n

Đ c bi t, giúp đ c gi n m đư c s xu t hi n đa d ng c a dãy Fibonacci trong t nhiên và nh ng ng d ng trong các tam giác kinh đi n

Chú ý r ng trong m i l p lu n, ta ch dùng đ n ki n th c Toán Trung h c

ph thông

0.3 B c c c a Lu n văn

B n Lu n văn "S Fibonacci và m t s ng d ng trong các tam giác kinh đi n" g m có: M đ u, ba chương n i dung, k t lu n và tài li u tham kh o Chương 1 S Fibonacci và m i liên h v i t nhiên, Toán h c và

đ đ s t nhiên n là m t s Fibonacci; m t áp d ng c a công th c Binet cho th

y m i liên h gi a s Fibonacci và s Lucas Đ c bi t hơn n a là trình bày hai

m i liên h đ c bi t c a s Fibonacci và s 11, trong đó có m t m i liên h mà chúng tôi đã th y ngư i ta phát bi u

nhưng chưa đư c ch ng minh t ng quát đây khi đưa tính ch t đó ra, chúng tôi đã ch ng minh t ng quát đ y đ

6

Chương 3 S Fibonacci và m t s ng d ng trong các tam giác kinh đi n

M ts ng d ng c a s Fibonacci trong các tam giác kinh đi n như tam giác Pascal, tam giác t a Pascal và tam giác t a Pascal m r ng, đư c đ c

p đ n trong chương này

Chương 1

S Fibonacci và m i liên h v i t nhiên, Toán h c và các ng d ng

Trong Chương 1, chúng tôi ch y u gi i thi u s ra đ i c a dãy

Fibonacci; m i liên h v i t nhiên, Toán h c; đ nh nghĩa dãy Fibonacci và các ng d ng c a dãy Fibonacci cùng T s vàng Tài li u tham kh o chính là [1, 2]

Fibonacci là tên vi t t t c a m t nhà toán

châu Âu th i trung đ i, ông sinh năm 1170

m t năm 1240, tên đ y đ c a ông là Leonardo of

Pisa, vì ông đư c sinh ra Pisa (Italy) và thu c

dòng h Bonacci Fibonacci n i ti ng trong th gi i

hi n đ i vì có công lao truy n h đ m Hinđu -

Rp châu Âu, và đ c bi t là dãy s hi n đ i mang tên ông, dãy Fibonacci trong cu n sách Liber Abaci - Sách v Toán đ năm 1202

phương Tây, dãy Fibonacci đ u tiên xu t hi n trong cu n sách Liber Abaci (năm 1202) vi t b i Leonardo of Pisa - đư c bi t đ n v i tên Fibonacci, m c dù dãy s này đã đư c mô t trư c đó trong Toán h c n

Đ Fibonacci xem xét s phát tri n c a m t đàn th đư c lý tư ng hóa, gi đ nh

r ng: Đ m t c p th m i sinh, m t đ c, m t cái trong m t cánh đ ng, đ n m t tháng tu i th có th giao ph i và t i hai tháng tu i, m t th cái có th sinh ra thêm m t c p th khác, các con th này không bao gi ch t và vi c giao ph i m

t c p luôn t o ra m t c p m i (m t đ c, m t cái) m i tháng t tháng th hai tr đi Câu đ mà Fibonacci đ t ra là

"Trong m i năm có bao nhiêu c p th ?"

(a) Vào cu i tháng đ u tiên, chúng giao ph i, nhưng v n ch có 1 c p (b) Vào cu i tháng th hai, th cái t o ra m t c p m i Vì v y bây gi

(e) Vào cu i tháng th n, s lư ng các c p th b ng s lư ng các c p

m i (b ng s lư ng các c p trong tháng (n 2)) c ng v i s c p trong tháng (n

1) Đây là s Fibonacci th n

Và đó là ti n thân c a dãy Fibonacci đư c xác đ nh b ng cách li t

kê các ph n t như sau

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987

trong đó, m i ph n t n m trong dãy s này luôn b ng t ng c a 2 s

li n trư c nó Dãy Fibonacci đư c công b năm 1202 và đư c "ti n hóa" h u như vô t n Chính đi u đó, đã thu hút đư c r t nhi u s quan tâm cũng như làm chúng ta say mê nghiên c u, khám phá các tính ch t c a nó

Hình 1.1: S phát tri n c a m t đàn th

1.1.2 S Fibonacci v i t nhiên

Dãy Fibonacci xu t hi n kh p nơi trong t nhiên, trong các k t

c u v sinh h c c a các loài th c v t

Nhi u loài cây, s lư ng nhánh cây m c tương ng v i dãy Fibonacci Ch

ng h n, m t trong nh ng loài cây phát tri n r t gi ng v i hình dư i là loài cây Achillea ptarmica

Hình 1.2: Loài cây Achillea ptarmica

Nhi u loài cây cũng có cách m c lá tuân theo dãy Fibonacci Chúng

ta quan sát k s th y lá cây m c trên thư ng x p sao cho không che

khu t lá m c dư i N u t m t lá ng n làm kh i đ u, xoay quanh thân

cây t trên xu ng dư i, lá sang lá, đ m s vòng xoay đ ng th i đ m s lá, cho

đ n khi g p chi c lá m c đúng phía dư i lá kh i đ u, thì các s Fibonacci xu t

hi n N u chúng ta đ m xoay theo hư ng ngư c l i, thì s đư c m t con s

vòng xoay khác ( ng v i cùng ch ng y lá) Con s vòng xoay theo hai hư

ng, cùng v i s lá cây mà chúng ta g p khi xoay, t t c s thành ba con s Fibonacci liên ti p nhau

Ví d 1 Trong nh cây dư i, l y lá (x) làm kh i đi m, ta có 3 vòng quay

thu n chi u kim đ ng h trư c khi g p lá (8) n m đúng phía dư i lá (x), ho c là

5 vòng n u quay theo ngư c chi u kim đ ng h Vư t qua t ng c ng 8 lá Các

s 3, 5, 8 là ba s liên ti p trong dãy Fibonacci

Chi c lá (3) và (5) là nh ng chi c lá phía dư i g n lá kh i đi m (x) nh t,

(a) Hoa m t cánh (b) Hoa hai cánh (c) Hoa ba cánh

(a) Hoa năm cánh (b) Hoa tám cánh (c) Hoa mư i ba cánh

hoa Cúc thư ng có 34 cánh, ho c 55, ho c 89 cánh,

Các s Fibonacci cũng xu t hi n trong các bông hoa Hư ng dương

Nh ng n nh s k t thành h t đ u bông hoa Hư ng dương đư c x p thành hai t p các đư ng xo n c

Hình 1.3: Nh hoa hư ng dương

M t t p cu n theo chi u kim đ ng h , còn t p kia cu n ngư c theo chi u kim đ ng h S các đư ng xo n c hư ng thu n chi u kim đ ng h thư ng

là 34 còn ngư c chi u kim đ ng h là 55.Đôi khi, các s này là 55 và 89,

và th m chí là 89 và 144 T t c các s này đ u là các s Fibonacci k ti p nhau

Đi u tương t cũng x y ra nh hoa nhi u loài hoa khác trong t nhiên S đư ng xo n c c a các h th ng đư ng xo n c khác nhau c a nh hoa

m i bông hoa thư ng xuyên là nh ng con s thu c dãy Fibonacci

Qu thông có nh ng đư ng xo n c tuân theo dãy Fibonacci khá rõ

Qu thông có hai t p các đư ng xo n c ngư c chi u nhau, m t t p g m 8 đư

ng và t p kia g m 13 đư ng, ho c m t t p g m 5 đư ng và t p kia g m 8 đư

ng Và chúng là các s liên ti p thu c dãy Fibonacci

Hình 1.4: Qu thông

Và cũng như v y đ i v i qu d a, s đư ng chéo t o b i các m t

d a theo các hư ng chéo nhau cũng l n lư t là 8 và 13 ho c 13 và 21, ,

ùy kích thư c

Hình 1.5: Qu d a

Nh ng đư ng xo n c tuân theo dãy Fibonacci cũng xu t hi n

cây xúp lơ N u trông k , ta có th th y m t đi m gi a, đó nh ng bông hoa là nh nh t Nhìn k thêm, ta l i th y nh ng bông hoa tí xíu này đư c x ptrên nh ng đư ng xo n c xung quanh đi m trung tâm k trên, theo c 2 hư ng

D dàng đ m đư c có 5 đư ng xo n ngư c kim đ ng h và 8 đư ng xo n thu n chi u kim đ ng h

Hình 1.6: Xúp lơ

Xúp lơ ki u Roman, b ngoài và mùi v v a gi ng c i xanh v a gi ng xúp lơ M i ph n t nh n i lên và có hình d ng gi ng v i t ng th nhưng

kích thư c bé hơn, khi n các vòng xo

Hình 1.11: Xương r ng có 11 và 18 vòng xo n

M t loài hoa Vân anh, loài t ng t đôi khi không có 3 múi mà l i

có 4 múi

Hình 1.12: Hoa Vân anh và t ng t

Như v y các ngo i l không thu c dãy Fibonacci thì l i thu c m t

dãy s tương t , đi n hình là dãy Lucas Các con s 4, 7, 11, 18, 29 đ u thu c dãy Lucas

S phân chia t bào cũng tuân theo quy lu t c a dãy Lucas

(a) Ban đ u ch có 1 t bào, ta g i đó là t bào m g c A00

(b) L n phân chia th 2: A00 sinh ra t bào m A01, sinh t bào con

A10, và m t t bào con A-1 (không sinh s n) Gi có 3 t bào là A01, A10 và A-1

(c) L n phân chia th 3: A01 sinh ra A02, A10 sinh ra A11 và A20 A-1

vô sinh Gi có

4 t bào là A02, A10, A11, A20

(d) L n phân chia th 4: T bào A02 không sinh s n mà tr thành A03 Gi

có 7 t bào là A03, A11, A20, A12, A20, A21, A30

(e) L n phân chia th 5: T bào A03 ch t T bào A12 không sinh s n tr thành A13 Gi có 11 t bào là A12, A20, A21, A30, A13, A21, A30, A22, A30, A31, A40

(f) L n phân chia th 6: Gi có 18 t bào là A13, A21, A30, A22, A30, A31, A40, A22, A30, A31, A40, A23, A31, A40, A32, A40, A41, A50

(g) L n phân chia th 7: T t c có 29 t bào

C ti p t c quá trình trên, s t bào trong m i l n phân chia l n lư t là 1, 3, 4, 7,

11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, Đây chính là dãy Lucas

1.1.3 S Fibonacci v i Toán h c

a) S Fibonacci và h nh phân

1 S lư ng chu i nh phân v i đ dài n mà không có các s 1 liên

ti p là s Fibonacci F n+2

Ví d 3 Trong s 16 chu i nh phân v i đ dài 4, chúng ta có F6 = 8

chu i không có các s 1 liên ti p - chúng là 0000, 0100, 0010, 0001, 0101,

1000, 1010 và 1001

2 S lư ng chu i nh phân v i đ dài n mà không có m t s l các

s 1 liên ti p là s Fibonacci F n+1

Ví d 4 Trong s 16 chu i nh phân v i đ dài 4, chúng ta có F5 = 5

chu i không có m t s l các s 1 liên ti p - chúng là 0000, 0011, 0110,

b) S Fibonacci và tam giác vuông

G i a và b là hai s Fibonacci k nhau trong dãy Xét 4 s Fibonacci liên ti p nhau là b a, a, b, a + b

Xét quan h ba đ dài sau 2ab, (b a)(b + a) = b2 a2 và a2 + b2

Ta có

(2ab)2 + (b2 a2)2 = 4a2b2 + b4 2b2a2 + a4

= b 4 + 2 b 2 a2 + a4

= (b2 + a2)2

V y t ng bình phương hai đ dài đ u b ng bình phương đ dài th ba

Đi u này cho phép chúng ta có th xây d ng m t tam giác vuông v i đ

dài ba c nh b ng 4 s Fibonacci liên ti p F n1 , F n , F n+1 , F n+2 Trong đó,

hai c nh bên c a tam giác vuông là 2F n F n+1 và F n1 F n+2, c nh huy n là

t ng bình phương c a hai s F n2 + F n2+1

Theo tính ch t c a s Fibonacci, ta có

F 2n+1 = F n2 + F n2+1

Chúng ta có tam giác vuông v i đ dài hai c nh góc vuông là 2F n F n+1 , F n1 F n+2

và c nh huy n là F 2n+1 Theo đ nh lý Pythagore, ta có

F 22n+1 = (2F n F n+1)2 + (F n1 F n+2)2

c) S Fibonacci và hình h c

1 Hình ch nh t Fibonacci

Hình ch nh t Fibonacci là hình ch nh t đư c s p x p t các hình vuông

có đ dài c nh là các s trong dãy Fibonacci, v i các đ c đi m sau

Xo n c Fibonacci đư c t o ra b ng cách v cung tròn k t n i các góc đ i

di n c a các hình vuông trong hình ch nh t Fibonacci

Hình ch nh t vàng là hình ch nh t có t s chi u dài trên chi u r ng b

ng T s vàng ϕ

Chúng ta có th t o ra hình ch nh t vàng thông qua hình ch nh t Fibonacci Đư ng xo n c Fibonacci n m bên trong hình ch nh t vàng còn

đư c g i là đư ng xo n c vàng

3 Tam giác Fibonacci

Trong m t lư i tam giác đ u, ta v m t tam giác đ u có c nh b ng đơn v đ nh, dư i nó ta v m t hình thoi màu vàng và bên c nh hình thoi

là m t tam giác đ th hai Dư i tam giác đ là m t hình thoi màu vàng khác

và bên c nh nó là m t hình thang cân màu đ Và ta quy đ nh dư i hình thang màu đ là hình thoi màu vàng và dư i hình thoi màu vàng là hình thang màu đ Theo th t như v y, ta đư c tam giác Fibonacci v i c nh là s Fibonacci

Khi đó, đ dài c nh c a hình thoi là s Fibonacci Đ dài đáy trên, đ dài hai c nh bên và đ dài đáy dư i c a hình thang cân là ba s Fibonacci liên ti p

4 L c giác Fibonacci

5 Ngôi sao Fibonacci

6 S Fibonacci trong lư i hình vuông và đ nh Matterhorn

trong dãy An-pơ Th y Sĩ

Trong lư i hình vuông, ta s p x p tương t như trong lư i tam giác đ u

và thay tam giác đ u c nh đơn v b i tam giác vuông cân c nh góc vuông là đơn v , hình thoi b i hình vuông, hình thang cân b i hình thang vuông Khi

đó, đ dài c nh hình vuông là các s Fibonacci Hình thang vuông có đ dài đáy nh , đ dài c nh bên góc vuông và đ dài đáy l n l n lư t là ba s Fibonacciliên ti p

S Fibonacci trong lư i hình vuông liên tư ng t i đ nh Matterhorn trong dãy An-pơ Th y Sĩ

Ngoài ra, s Fibonacci còn có m i liên h ch t ch v i tam giác

Pascal, tam giác Lucas, tam giác t a Pascal, tam giác t a Pascal m r ng Các m i liên h này s đư c trình bày rõ ràng Chương 3 c a Lu n văn

1.2 Đ nh nghĩa dãy Fibonacci

1.2.1 Đ nh nghĩa dãy Fibonacci

G iF n=1 là dãy vô h n các s t nhiên b t đ u b ng hai ph n n

t 0 và 1, các ph n t sau đó đư c thi t l p theo quy t c m i ph n t

luôn b ng t ng hai ph n t ngay trư c nó

Công th c truy h i c a dãy Fibonacci là

1.2.2 Đ nh nghĩa dãy Lucas

Dãy Lucas là m t dãy s đư c đ t tên nh m vinh danh nhà toán

h c Francois Esdouard Anatole Lucas (1842 - 1891), ngư i đã nghiên c u dãy Fibonacci và dãy thu c h Fibonacci mà m i s trong dãy b ng t ng c a hai s li n trư c nó

Đ nh nghĩa DãyL n=1 các con s Lucas đư c đ nh nghĩa b i h th c n

(a) Dãy Tribonacci

Dãy Tribonacci gi ng dãy Fibonacci, nhưng thay vì v i hai s cho trư

c, dãy Tribonacci b t đ u v i ba s cho trư c và m i s k ti p là t ng c a ba s đ

ng trư c đó trong dãy Dư i đây là các s đ u tiên trong dãy

Chú ý 1 Các dãy Petanacci, Hexanacci và Heptanacci cũng có th đư c

thành l p theo cách trên nhưng chúng không có nhi u giá tr trong nghiên c

= (1)n+2 F n + (1)n+2 F n1

= (1)n+2 (F n + F n1) = (1)n+2 F n+1



1.4 Dãy Fibonacci cùng T s vàng và ng d ng

1.4.1 Đ nh nghĩa T s vàng và m i quan h v i cu c s ng

Toán h c và ngh thu t có r t nhi u hi n tư ng liên quan đ n s

Fibonacci Đ c bi t, s Fibonacci liên quan m t thi t v i "T s vàng", t s này

có r t nhi u ng d ng Khi n càng l n thì t s c a 2 s h ng k ti p nhau c a dãy Fibonacci ti n t i T s vàng

Đ nh nghĩa Hai s đư c g i là t o nên T s vàng n u t s gi a t ng

nh t l như t l các c nh c a hình ch nh t ban đ u"

Vì hình ch nh t m i có chi u r ng là x 1 và chi u dài là 1 nên

ta có x = 1 Ta có phương trình b c hai x2 x 1 = 0 Bây gi ,

1 x1

l i có th chia hình ch nh t bé thành m t hình vuông và m t hình ch

nh t, mà t l gi a hai c nh c a hình ch nh t cũng là t l ban đ u, , và c ti p t

c như v y N i các đ nh k ti p nhau c a dãy hình ch nh t v i nhau ta nh n

đư c m t đư ng xo n gi ng con c, h t như s s p x p

các n nh trong bông hoa Hư ng dương như đã mô t trên và s phân

b nh ng chi c lá trên m t nhành cây Hình ch nh t nêu trên có các t l

Các nhà Toán h c, khoa h c, và t nhiên h c đã bi t đ n T s vàng này tnhi u năm Nó đư c rút ra t dãy Fibonacci Đi u đ c bi t nh t trong dãy này

là b t kỳ m t s nào cũng đ t giá tr x p x 1.618 l n s đ ng trư c và 0.618 l n s

đ ng sau nó (0.168 là ngh ch đ o c a 1.618) T l này đư c bi t đ n v i r t nhi

quan tr ng đ n v y? V n v t dư ng như có thu c tính g n k t v i t l 1.618, có

l vì th mà nó đư c

29

coi là m t trong nh ng nhân t cơ b n c

u thành nên các th c th trong

t nhiên N u chia t ng s ong cái cho t ng s ong đ c trong m t t ong b t kỳ s

có giá tr là 1.618 N u l y kho ng cách t vai đ n móng tay chia cho kho ng cách gi a cùi ch và móng tay thì cũng có đư c giá tr 1.618

Tr l i v i dãy Fibonacci Th t kỳ l khi th y r ng t s này có m t su t trong dãy Th t v y, khi nhân l n lư t các s trong dãy v i T s vàng, tích càng xa thì càng chính xác đ n giá tr c a s k ti p

T s vàng đã đư c tìm ki m như là "bi u tư ng c a v đ p" vư t

xa các loài hoa hay các công trình ki n trúc Trong m t b c thư g i H i

Fibonacci vài năm trư c đây, m t thànhviên đã miêu t m t ngư i trong

khi tìm ki m T s vàng đã h i vài c p v ch ng đ làm m t cu c thí nghi m Ông ta yêu c u ngư i ch ng đo chi u cao đ n r n c a v r i chia cho chi u cao

c a v K t qu là, đ i v i t t c các c p v ch ng, t s đó đ u x p x b ng 0.618 - T

s vàng Nhà Toán h c ngư i Italia Leonardo Da Vinci là ngư i đ u tiên đưa

ra kh ng đ nh m i quan h c a c u trúc cơ th con ngư i liên quan t i T s vàng Đ khám phá ra bí m t này Leonardo Da Vinci không ch nghiên c u trên cơ th mình, b n bè, ngư i thân mà ông còn bí m t khai qu t hàng trăm ngôi m đ nghiên c u t l c u trúc xương c a cơ th con ngư i

Theo các nhà Sinh h c thì nhi t đ "t i thích" cho cơ th chúng ta phát tri

n là 22.87 đ Đem s 37 (nhi t đ c a cơ th con ngư i) chia cho

22.87 thì đư c con s đúng b ng T s vàng!

Đo chi u cao c a b n t r n lên đ n đ nh đ u g i là x, sau đó đo

chi u cao c a b n t r n xu ng đ n chân g i là y Dang 2 tay ra và

đo chi u dài đó g i là a N u y/x b ng T s vàng và (x + y)/a cũng b ng T

s vàng, thì đó là b n đã có m t thân hình c a các siêu m u

Đi u này hoàn toàn là s th t vì các hãng th i trang đ

u tuân th nghiêm ng t quy đ nh này khi tuy n ngư i m

u T s vàng ϕ cũng xu t hi n

trên cơ th con ngư i Ta có các t s sau

(a) Chi u cao cơ th trên đ nh đ u đ n đ u

ài xương ng quy n

(g) Đ nh đ u t i ng c trên đ nh đ u t i g c s

(h) Đ nh đ u t i ng c trên chi u r ng c a b ng

(i) Hông t i m t đ t trên đ u g i t i m t đ t

(k) Chi u dài c a c ng tay trên chi u dài bàn tay

(l) Vai t i các đ u ngón tay trên khu u tay t i các đ u ngón tay

T t c các t s trên đ u x p x T s vàng ϕ

Chúng ta cũng có th tìm ra k t qu tương t trong t l c a chi u dài cái

đ u v i kho ng cách t m t t i c m, ho c t l c a kho ng cách t mũi t i c m trênkho ng cách t môi t i c m Nhưng t l c a gương m t càng ti n g n t i T s vàng ϕ thì gương m t càng hài hoa cân đ i

Dãy Fibonacci và T s vàng ϕ có th quan sát th y v n v t trong

vũ tr , t vi mô nh t cho t i vĩ mô, t các nguyên t cho t i các d i thiên hà, t đ

ng v t t i th c v t và khoáng v t Sao Th n i ti ng v i vành đai tuy t đ p Ít ai

ng r ng, các kích thư c c a nó như đư ng kính, kho ng cách vành đai, ,

có nhi u liên quan đ n T s vàng ϕ

Trong vũ tr , có r t nhi u thiên hà xo n c đúng theo đư ng xo n

c Fibonacci

Trong m t báo cáo khoa h c 7/1/2010, các nhà nghiên c u c a H c

vi n V t li u và năng lư ng Berlin, Đ i h c Oxford và Phòng thí nghi m

Rutherford vương qu c Anh đã tuyên b phát hi n th y T s vàng ϕ cũng hi

n di n trong th gi i lư ng t Ti n sĩ Radu Coldea thu c đ i h c

Oxford phát bi u: " đây s c căng do s tương tác gi a các spin khi n chúng c ng hư ng t Đ i v i nh ng tương tác này chúng tôi khám phá ra m t

lo t các n t c ng hư ng, hai n t đ u tiên cho th y m t m i liên h hoàn h o v i nhau T n s c a chúng là theo t l 1.618 , chính là T s vàng ϕ n i ti ng trong ngh thu t và ki n trúc"

Ngoài ra, đ ng v t các kích thư c cơ th cũng liên quan đ n dãy

Fibonacci và T s vàng ϕ Ch ng h n như, loài chim cánh c t

Có r t nhi u loài côn trùng, kích thư c trên cơ th trùng kh p v i các con s trong dãy Fibonacci và liên quan ch t ch v i T s vàng ϕ Và v i loài bư m là m t ví d

Trong t nhiên, có trên 30.000 loài ong và ph n l n trong s chúng s

ng cu c đ i cô đ c Loài ong g n gũi v i chúng ta nh t là ong m t, ong m t cái

có c cha l n m , trong khi ong m t đ c ch có m Chúng s ng thành đàn trong m t t ong, và chúng có m t cây ph h r t khác thư ng Cây ph h này tuân theo quy lu t dãy Fibonacci và T s vàng ϕ Xét cây ph h c a m t ong

m t đ c

Trong m t t ong b t kỳ, khi chia t ng s ong cái cho t ng s ong đ c ta

luôn đư c giá tr x p x T s vàng ϕ

Hãy quan sát th m t bông hoa Hư ng dương, ph n trung tâm c a hoa nh và nh y s th y các đư ng xo n c Logarit đi theo đúng v i T

s vàng Và các nhà Sinh h c nh n th y r ng, b t c loài hoa nào đư c