Xây dựng mối quan hệ giữa các bài toán tổ hợp và xác suất

Trư ng hơp t ng quát... Anh ta th ng u nhiên t ng chìa chìa nào không trúng thì b ra.

M cl c

1.1 T hp 5

1.1.1 Phép đ m 5

1.1.2 Hoán v 8

1.1.3 Ch nh h p 11

1.1.4 T hp 13

1.1.5 Công th c tính s ph n t c a h p hai ho c ba t ph p 16

1.2 Xác su t 19

1.2.1 Bi n c 19

1.2.2 Các quy t c tính xác su t 21

2 Các bài toán T h p 30 2.1 Các d ng bài toán t h p 30

2.2 Bài t p v n d ng 48

3 Các bài toán Xác su t 53 3.1 M t s d ng bài toán làm rõ m i quan h gi a các bài toán t h p và xác su t 53

3.2 Các d ng bài toán xác su t 69

3.3 Bài t p v n d ng 79

1

đu

Trong nh ng năm g n đây, nhu c u ph i tìm các ng d ng c a Toán

h c trong cu c s ng ngày càng tr nên quan tr ng và c p thi t M t

cách t nhiên trong lĩnh v c, mà đó Toán h c d tìm th y các ng

d ng và các d ng toán th c t đưa đ n s h p d n và lý thú cho ngư i h c Toán

Toán T h p và Xác su t là ngành Toán h c có nhi u ng d ng r ng rãi trong nhi u lĩnh v c khoa h c, công ngh , kinh t , Đ c bi t, nó có nhi u n

i dung khá đa d ng, phong phú đư c ng d ng r ng rãi trong th c t đ i s

ng Trong toán sơ c p, lý thuy t T h p và Xác su t đã đư c đưa vào gi ng

d y trong chương trình Toán trung h c ph thông nh m cung c p cho h c sinh nh ng ki n th c cơ b n c a ngành Toán h c quan tr ng này

T h p và Xác su t cũng xu t hi n trong nhi u bài toán lý thú v i đ khó khá cao, khi gi i các bài toán T h p và Xác su t ngư i quan tâm s c m th

y r t h p d n, b ích và đòi h i ph i có tư duy, suy lu n đ c đáo và chính xác Đ c bi t, nó còn chi m v trí quan tr ng trong các kỳ thi t t nghi p, cao đ ng, đ i h c và thi h c sinh gi i

V i b n thân là m t giáo viên d y môn Toán trung h c ph thông đã nhi

u năm Khi gi ng d y đ n chuyên đ này, tôi đã mong mu n ngư i th y đóng vai trò đi u khi n và h c sinh ch đ ng chi m lĩnh ki n th c, v n d ng sáng t o ki n th c đ đưa ra l i gi i hay cho m t bài toán T h p và Xác su t

T đó th y r ng gi a chúng có m i quan h m t thi t

v i nhau Chính vì th tôi đã nghiên c u và đưa ra cu n lu n văn "Xây

d ng m i quan h gi a các bài toán T h p và Xác su t"

Lu n văn nh m b t đ u tìm hi u v các đ nh nghĩa, tính ch t c a lý thuy t

T h p và Xác su t T nh ng ki n th c cơ b n đư c v n d ng

vào gi i các d ng bài t p ng v i t ng đơn v ki n th c đã đư c gi i

thi u Lu n văn đư c chia làm ba chương v i n i dung:

Chương 1 T h p và Xác su t

Chương này trình bày các ki n th c cơ b n c a lý thuy t T h p và Xác

su t: phép đ m, hoán v , ch nh h p, t h p, tính ch t c a t h p, bi n c , các quy t c tính xác su t Bên c nh đó, còn có ví d minh h a cho t ng đơn v ki

n th c

Chương 2 Các d ng bài toán T h p

Chương này trình bày ti p t c 20 bài toán th c t v i l i gi i chi ti t, minh

h a cho t ng đơn v ki n th c v T h p đã đưa ra trong chương m t và 30 bài toán v n d ng

Chương 3 Các d ng bài toán Xác su t

Chương này trình bày 20 bài toán th c t v i l i gi i chi ti t, minh h a cho t ng đơn v ki n th c v Xác su t đã đưa ra trong chương m t, trong đó

có 10 bài toán đ u tiên đưa ra m i quan h gi a bài toán T h p và Xác su t

Đó cũng chính là 10 bài toán đ u tiên c a ph n bài t p

v n d ng chương m t v i s v n d ng linh ho t sáng t o đã chuy n

thành 10 bài toán v xác su t v i s kh năng thu n l i c a bi n c là k t qu c

a bài toán t h p Trong đó còn xin gi i thi u các bài toán tính ph n trăm cũng chính là bài toán xác su t cùng v i 30 bài toán v n d ng

Lu n văn này đư c hoàn thành v i s hư ng d n t n tình c a PGS TS Nguy n Minh Tu n - Trư ng Đ i h c Giáo D c - ĐHQG Hà N i cùng v i s

n l c c a b n thân và s giúp đ đ ng viên c a th y cô, đ ng nghi p và b n

bè

Qua đây, tác gi xin g i l i c m ơn chân thành sâu s c t i Th y hư ng d

n đã ch b o trong su t th i gian qua Đ ng th i tác gi cũng xin c m ơn đ n Ban giám hi u, các th y cô trư ng THPT Yên Viên đã t o đi u ki n cho tác

gi hoàn thành cu n lu n văn này Xin c m ơn gia đình, ngư i thân, b n bè

đã đ ng viên giúp đ tôi trong su t quá trình làm lu n văn

3

4

th c đó là nh ng ví d v nh ng bài toán th c t ng v i t ng đơn v

ki n th c N i dung c a chương ch y u đư c hình thành t các tài li u [1],

cách ch n đ i tư ng a n, trong đó cách ch n đ i tư ng a i (1 i n)

không ph thu c vào b t kì cách ch n đ i tư ng a j nào (1 j n,

B i v y, s kh năng l p các s 1bcd là 4.4.3 = 48 hayA2 = 48

Tương t , ta cóA3 =A4 = 48

ii) Vì các s thu c các d ng khác nhau đ u khác nhau, nêni, j (1 i, j 4; i = j) đ u có A1 A j =∅ B i v y, s các s c n tìm

đư c tính b ng quy t c c ng, nghĩa là b ng

A1 +A2 +A3 +A4 = 60 + 48 + 48 + 48 = 204

b Quy t c nhân

Cho n đ i tư ng a1, a2, , a n N u có m1 cách ch n đ i tư ng a1

và v i m i cách ch n a1 có m2 cách ch n đ i tư ng a2, sau đó v i m i cách ch n a1, a2 có m3 cách ch n a3, Cu i cùng v i m i cách ch n

a1, a2, , a n1 có m n cách ch n đ i tư ng a n Như v y s có m1.m2

m n1 m n cách ch n các đ i tư ng a1, r i a2, r i a3, , r i a n

Tương t đ i v i quy t c c ng, ta cũng chuy n quy t c nhân sang

d ng ngôn ng t p h p như sau:

Gi s có n t p h p A k (1 k n) v iA k  = m k Khi đó, s cách

6

ch n (S) b g m n ph n t (a1, a2, , a n) v i a i  A i (1 i n) s là

M t bàn dài có hai dãy gh đ i di n nhau, m i dãy có 6 ch ng i Ngư i

ta x p ch ng i cho 6 h c sinh trư ng A và 6 h c sinh trư ng B vào bàn trên H i có bao nhiêu cách x p ch ng i trong m i trư ng h p

7

các ph n t gi ng nhau b ng nh ng ph n t khác nhau, thì s hoán v

khác nhau c a n ph n t gi ng nhau mà ta có th l p đư c t hoán v

có l p đang xét theo quy t c nhân b ng n1!n2! n k! Làm như v y cho

S các hoán v khác c a chín ph n t a i (1 i 9) là 9! do a2 = a8 =

4, nên khi đ i ch a2 và a8 cho nhau, thì hoán v a1a2a3a4a5a6a7a8a9 v n

ch cho s x Tương t , đ i ch hai trong ba ph n t a4, a6, a9 cho

V y có 15 cách đ t hai đèn xanh và b n đèn đ thành m t hàng

c Hoán v vòng quanh

Đ nh nghĩa 1.1.3 Cho n ph n t , s hoán v vòng quanh c a n ph n

t khác nhau (Q n) đư c tính b ng công th c

Q n = (n 1)!

Ví d 1.1.6 ([8]) M t h i ngh bàn tròn có năm nư c tham gia: Anh

có 3 đ i bi u, Pháp có 5 đ i bi u, Đ c có 2 đ i bi u, Nh t có 3 đ i bi u và M

có 4 đ i bi u H i có bao nhiêu cách s p x p ch ng i cho các đ i

bi u sao cho 2 ngư i cùng qu c t ch ng i cùng nhau?

L i gi i Đ u tiên ta s p x p khu v c cho đ i bi u t ng nư c Ta m i

m t phái đoàn nào đó ng i vào ch trư c Khi đó, b n phái đoàn còn

l i có 4! cách s p x p Đ i v i m i cách s p x p các phái đoàn l i có:

3! cách s p x p các đ i bi u trong n i b phái đoàn Anh; 5!

cách s p x p các đ i bi u trong n i b phái đoàn Pháp;

2! cách s p x p các đ i bi u trong n i b phái đoàn Đ c; 3!

cách s p x p các đ i bi u trong n i b phái đoàn Nh t; 4! cách

s p x p các đ i bi u trong n i b phái đoàn M

Ví d 1.1.7 ([3]) M t cu c khiêu vũ có 10 nam và 6 n tham gia Đ o

M i cách ch n nam l i tương ng v i t t c các cách ch n n , nên

ta có s cách ch n có th t 4 nam, 4 n trong s nam n tham gia h i di n s

là 5040.360 = 1814400 cách ch n

b Ch nh h p có l p

Đ nh nghĩa 1.1.5 Cho t p h u h n A g m n ph n t M i dãy có đ

dài k các ph n t c a t p A, mà m i ph n t có th l p l i nhi u l n và đư c s

1.1.8 ([3]) Có th l p đư c bao nhiêu bi n s xe v i hai ch

s đ u thu c t p A, B, C, D, E, ti p theo là m t s nguyên dương g m năm ch s chia h t cho 5?

L i gi i Gi s m t bi n s xe nào đó có d ng XY abcdf Vì X,Y có th trùng nhau nên XY là ch nh h p l p ch p 2 c a 5 ph n t A, B, C, D, E,

12

Đ nh nghĩa 1.1.6 Cho t p A g m n ph n t M i t p con g m k

(0 k n) ph n t thu c A đư c g i là m t t h p ch p k c a n ph n t đã cho

(i) S nam ho c n trong ban cán s là tùy ý?

(ii) Ban cán s có 1 nam và 3 n ?

L i gi i (i) N u s nam (n ) là tùy ý, thì s cách ch n là t h p ch p

4 c a 40 ph n t , t c b ng

40!

C4 = 4!36! = 91390 40

V y có 92390 cách ch n ban cán s v i s nam ho c n tùy ý

(ii) N u trong ban cán s có 1 nam, 3 n , thì s cách ch n 1 nam trong

s 25 nam là C1 , còn s cách ch n 3 n trong s 15 n là C3 Theo

V y có 11375 cách ch n ban cán s có m t nam và ba n

b T h p có l p

Đ nh nghĩa 1.1.7 Cho t p h p A =a1, a2, , a n M t t h p l p ch p

m (m không nh t thi t ph i nh hơn n) c a n ph n t thu c A là

Ví d 1.1.10 ([8]) T các ch s 1, 2, 3, 4, 5 có th l p đư c bao nhiêu

s , sao cho trong m i s đó s ch s nh hơn ho c b ng 5 và các ch

s đư c s p x p theo m t th t không gi m?

L i gi i Bài toán chung quy là tìm t ng s các t h p có l p ch p 1,

14

Tính ch t 1.1.3 Nh th c Niutơn là công th c khai tri n bi u th c

(a + b) n v i n nguyên dương dư i d ng đa th c

C 2n+1

15

T gi thi t ta suy ra 22n 1 = 220 1 hay n = 10

Theo công th c khai tri n c a nh th c Niutơn ta có

Trư ng h p hai t p h p Cho hai t p h p A và B Ta tính s ph n

t c a A B trong các trư ng h p:

*) N u A và B là hai t p h p r i nhau thì

A B =A +B

A B =A +BA

Trư ng hơp t ng quát Cho các tâp h

(A1A2 .A n )A n+1 = A i A n+1

A i A j A n+1+

i=1 1 i<j n

A i A j A k A n+1+

(1)n1 A1A2 .A n A n+1 

1i<j<kn

A B =A +BA

B,

ta đư c đi u c n ph i ch ng minh

17

Ví d 1.1.12 ([4]) Trong m t đ thi có ba câu: m t câu v S h c,

m t câu v Gi i tích và m t câu v Hình h c Trong 60 thí sinh d thi, có 48 thí sinh gi i đư c câu S h c, 40 thí sinh gi i đư c câu Gi i tích, 32 thí sinh

gi i đư c câu Hình h c Có 57 thí sinh gi i đư c câu S h c ho c Gi i tích,

50 thí sinh gi i đư c câu Gi i tích và câu Hình h c, 25 thí sinh gi i đư c c hai câu S h c và câu Hình h c, 15 thí sinh gi i

đư c c ba câu H i có bao nhiêu thí sinh không gi i đư c câu nào?

18

1 2 Xác su t

Đ nh nghĩa 1.2.2 Không gian m u c a phép th là t p h p t t c các

Đ nh nghĩa 1.2.3 Bi n c A liên quan đ n phép th T là bi n c mà

vi c x y ra hay không x y ra c a A tùy thu c vào k t qu c a T

M i k t qu c a phép th T làm cho A x y ra, đư c g i là m t k t qu thu

Đ nh nghĩa 1.2.5 Bi n c không th là

bi n c không bao gi x y ra

khi phép th T đư c th c hi n và không có m t k t qu thu n l i nào cho bi

n c không th Bi n c không th đư c mô t b i t p∅

Ví d 1.2.2 Xét phép th T là "Gieo m t con xúc s c cân đ i đ ng

ch t"

Ta đư c không gian m u là  =1, 2, 3, 4, 5, 6

+ Xét bi n c A "S ch m trên m t xu t hi n là t 1 đ n 6" Bi n c A x y ra khi và ch khi k t qu c a phép th T là 1, ho c 2, ho c 3, ho c 4, ho c 5, ho

c 6 Các k t qu này là các k t qu thu n l i cho A Do

đó bi n c A đư c mô t b i A =  Ta nói bi n c A là bi n c ch c

ch n

+ Xét bi n c B "S ch m trên m t xu t hi n là 7 ch m" Bi n c B không th

x y ra vì con súc s c ch có th xu t hi n t m t 1 ch m đ n m t 6 ch m Do

đó không có m t k t qu thu n l i nào cho bi n c B

nên B =∅ Ta nói bi n c B là bi n c không th

III) Xác su t c a bi n c

Đ nh nghĩa 1.2.6 Gi s phép th T có không gian m u  là m t t p

h u h n và các k t qu c a T là đ ng kh năng N u A là m t bi n c

liên quan v i phép th T và A là t p h p các k t qu thu n l i cho A

thì xác su t c a A là m t s , kí hi u là P (A), đư c xác đ nh b i công

Đ nh nghĩa 1.2.7 Xét phép th T và bi n c A liên quan đ n phép

th đó Ta ti n hành l p đi l p l i N l n phép th T và th ng kê xem bi n c A

xu t hi n bao nhiêu l n

S l n xu t hi n bi n c A đư c g i là t n s c a A trong N l n th c hi n phép th T

20

T s gi a t n s c a A v i s N đư c g i là t n su t c a A trong N

l n th c hi n phép th T

Ngư i ta ch ng minh đư c r ng khi s l n th N càng l n thì t n

su t c a A càng g n v i m t s xác đ nh, s đó g i là xác su t c a A theo nghĩa th ng kê và s này cũng chính là P (A) trong đ nh nghĩa c đi n c a xác su t

Ví d 1.2.3 ([5]) M t c bài tú lơ khơ g m 52 quân bài chia thành

b n ch t: rô, cơ (màu đ ), bích và nhép (màu đen) M i ch t có 13 quân bài là: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A (đ c là át) B n quân 2 (g m 2 rô, 2

cơ, 2 bích và 2 nhép) làm thành m t b 2; b n quân 3 (g m 3 rô, 3 cơ, 3 bích và 3 nhép) làm thành m t b 3; ; b n quân át (g m át rô, át cơ,

át bích và át nhép) làm thành m t b át Ch n ng u nhiên 5 quân bài Tính xác su t đ trong 5 quân bài đó ta có m t b

L i gi i Ta có s cách có th là n() = C5 52

G i bi n c A là "Ch n đư c 5 quân bài trong đó có m t b " S k t

qu trong đó có m t b 2 b ng s cách ch n m t quân bài trong s 52 4 =

48 quân bài còn l i (không ph i là quân 2) V y có 48 k t qu trong đó có m t b

2 Tương t có 48 k t qu trong đó có m t b 3; ; có 48 k t qu trong đó

C5

52

1.2.2 Các quy t c tính xác su t

a.Quy t c c ng xác su t

Đ nh nghĩa 1.2.8 Cho hai bi n c A và B Bi n c "A ho c B x y

ra", kí hi u là A B, đư c g i là h p c a hai bi n c A và B

N u A và B l n lư t là t p h p các k t qu thu n l i cho A và B

thì t p h p các k t qu thu n l i cho A B là A B

21

Đ nh nghĩa 1.2.9 Cho k bi n c A1,

A2, , A k Bi n c "Có ít nh t

m t trong các bi n c A1, A2, , A k x y ra", kí hi u là A1A2 .A k,

đư c g i là h p c a k bi n c đó

Đ nh nghĩa 1.2.10 Cho hai bi n c A và B Hai bi n c A và B đư c

g i là xung kh c n u bi n c này x y ra thì bi n c kia không x y ra

Quy t c c ng xác su t Cho k bi n c A1, A2, , A k đôi m t xung

Ví d 1.2.4 ([6]) M t h p đ ng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đ và 2 viên

bi vàng Ch n ng u nhiên 2 viên bi

(i) Tính xác su t đ ch n đư c 2 viên bi cùng màu (ii)

Tính xác su t đ ch n đư c 2 viên bi khác màu

L i gi i.(i) G i A là bi n c "Ch n đư c hai viên bi xanh",

G i B là bi n c "Ch n đư c hai viên bi đ ",

G i C là bi n c "Ch n đư c hai viên bi vàng"

và H là bi n c "Ch n đư c hai viên bi cùng màu" Ta có H = ABC

và các bi n c A, B, C đôi m t xung kh c Theo quy t c c ng xác su t,

Đ nh nghĩa 1.2.12 Cho hai bi n c A và B Bi n c "C A và B cùng

x y ra", kí hi u là AB, đư c g i là giao c a hai bi n c A và B

N u A và B l n lư t là t p h p các k t qu thu n l i cho A và B

thì t p h p các k t qu thu n l i cho AB là A B

T ng quát, ta có

Đ nh nghĩa 1.2.13 Cho k bi n c A1, A2, , A k Bi n c "T t c k

bi n c A1, A2, , A k đ u x y ra", kí hi u là A1A2 A k, đư c g i là giao c a k bi n c đó

Đ nh nghĩa 1.2.14 Hai bi n c A và B đư c g i là đ c l p v i nhau

n u vi c x y ra hay không x y ra c a bi n c này không làm nh hư ng t i xác su t x y ra c a bi n c kia

N u hai bi n c A, B đ c l p v i nhau thì A và B; A và B; A và B

cũng đ c l p v i nhau

T ng quát, ta có

Đ nh nghĩa 1.2.15 Cho k bi n c A1, A2, , A k; bi n c này đư c g i là

đ c l p v i nhau n u x y ra hay không x y ra m i bi n c không

làm nh hư ng t i xác su t x y ra c a các bi n c còn l i

Quy t c nhân xác su t N u k bi n c A1, A2, , A k đ c l p v i

nhau thì

P (A1A2 A k ) = P (A1)P (A2) P (A k )

23

Ví d 1.2.6 ([7]) M t th kho có m t chùm chìa khóa g m 9 chi c

chìa b ngoài gi ng h t nhau trong đó ch có 2 chi c m đư c kho Anh ta th

ng u nhiên t ng chìa (chìa nào không trúng thì b ra) Tìm xác

su t đ anh ta m đư c c a l n th th ba

d Công th c xác su t đ y đ và công th c Bayet

AB i = A

n i=1 n

su t làm ra m t s n ph m h ng c a phân xư ng I là 0,01, c a phân xư ng II

là 0,02 và c a phân xư ng III là 0,025 Ch n ng u nhiên m t s n ph m c a nhà máy Tính xem kh năng l y đư c s n ph m h ng

chi m bao nhiêu ph n trăm?

L i gi i G i A là bi n c "S n ph m đư c l y ra phân xư ng I";

B là bi n c "S n ph m đư c l y ra phân xư ng II"; C là bi n

c "S n ph m đư c l y ra phân xư ng III"; H là bi n c "S n

ph m đó là s n ph m h ng"

P (B k /A) = P (B k )P (A/B k)n

P (B i )P (A/B i)

i=1

Ch ng minh Theo quy t c nhân xác su t ta có

P (A)P (B k /A) = P (AB k ); P (B k )P (A/B k ) = P (AB k )