Phân loại các hệ phương trình trong toán học phổ thông

Đây là phương trình đã bi t cách gi i... Khi đó phương trình đã cho tr thành các phương trình sau... Ta có hai h phương trình sau: Trư ng... H phương trình đã cho tr thành các h phương t

TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN

Đ I H C QU C GIA HÀ N I

LU N VĂN TH C SĨ

"PHÂN LO I CÁC H PHƯƠNG TRÌNH TRONG TOÁN

H C PH THÔNG"

H C VIÊN: LÊ VĂN LƯU

CHUYÊN NGÀNH: Phương pháp toán sơ c p

MÃ S : 60460113

CÁN B HƯ NG D N: PGS TS Nguy n Minh Tu n

HÀ N I - 2015

L i c m ơn

Lu n văn đư c hoàn thành dư i s ch b o và hư ng d n c a PGS TS Nguy n Minh Tu n

Th y đã dành nhi u th i gian hư ng d n và gi i đáp các th c m c c a tôi trong su t quá trình làm lu n văn T t n đáy lòng em xin c m bày t s bi t ơn sâu s c đ n th y

Tôi xin g i l i c m ơn chân thành t i: các th y cô khoa Toán-Cơ-Tin h c; Phòng sau

đ i h c Trư ng Đ i H c Khoa H c T Nhiên, Đ i H c Qu c Gia Hà N i; Các th y cô giáo đã tham gia gi ng d y khóa cao h c chuyên ngành phương pháp toán cơ c p khóa 2013-2015; Ban giám hi u và các đ ng nghi p trư ng THPT Nguy n Siêu Hưng Yên đã t o đi u ki n thu n

l i cho tôi hoàn thành lu n văn c a mình

M c dù đã c g ng r t nhi u và r t nghiêm túc trong quá trình tìm tòi, nghiên c u

nhưng do th i gian và trình đ còn h n ch nên nh ng n i d ng đư c trình bày trong lu n văn còn r t khiêm t n và không tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y tác gi r t mong nh n đư c s đóng góp c a quý th y cô và các b n đ ng nghi p đ lu n văn đư c hoàn thi n hơn

Hà N i, tháng 9 năm 2015

Tác gi

Lê Văn Lưu

i

M cl c

1.1 Phương trình đ i s b c ba

41.2 Phương trình đ i s b c b n 8

1.2.1 Phương trình d ng (x − a)4 + (x − b)4 = c

81.2.2 Phương trình d ng

81.2.3 Phương trình v i h s ph n h i

91.2.4 Phương trình d ng t4 = αt2 + βt + λ 10

1.2.5 Phương trình d ng ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 , a = 0 11

2 H phương trình thư ng g p 12 2.1 H phương trình b c nh t hai n 12

2.2 H phương trình đ i x ng 15

2.2.1 H phương trình đ i x ng lo i m t 15

2.2.2 H phương trình đ i x ng lo i hai 31

2.3 H phương trình đ ng c p 41

2.3.1 H phương trình ch a m t phương trình đ ng c p 41

2.3.2 H phương trình đ ng c p 43

2.4 H phương trình b c hai t ng quát 51

2.5 H phương trình b c cao nhi u n s 58

2.5.1 H phương trình hoán v vòng quanh 58

2.5.2 H phương trình b c cao nhi u n s 67

2.6 H phương trình ch a căn, h phương trình mũ và logarit 73

2.6.1 H phương trình ch a căn 73

2.6.2 H phương trình mũ và logarit 79

3 H phương trình không m u m c 83 3.1 Phương pháp bi n đ i tương đương 88

3.1.1 Phương pháp c ng 89

3.1.2 Phương pháp th 94

ii

M CL C M CL C

3.2 Phương pháp đ t n ph 102 3.3 Phương pháp hàm s 107 3.4 Phương pháp đánh giá 112

iii

M đu

H phương trình là m t trong nh ng n i dung tr ng tâm, ph bi n có v trí đ c

bi t quan tr ng trong chương trình toán h c ph thông Nó xu t hi n nhi u trong các

kỳ thi h c sinh gi i cũng như kỳ thi tuy n sinh vào đ i h c và cao đ ng H c sinh ph i

đ i m t v i r t nhi u nh ng d ng toán v h phương trình mà vi c phân lo i chúng chưa

đư c li t kê đ y đ trong sách giáo khoa Đó là các h phương trình b c nh t, h

phương trình đ i x ng lo i m t, h phương trình đ i x ng lo i hai, h phương trình đ ng

c p, h phương trình b c hai t ng quát,

Vi c phân lo i các h phương trình cũng như vi c tìm l i gi i các h và vi c xây

d ng các h là ni m đam mê c a không ít ngư i, đ c bi t nh ng ngư i tr c ti p

Lu n văn này đ c p đ n vi c phân lo i các h phương trình trong chương trình

toán ph thông, t đó giúp h c sinh có cách nhìn nh n sâu s c hơn v các bài toán liên quan đ n h phương trình Lu n văn đư c chia thành ba chương Chương 1 đ c p

đ n hương trình b c ba và phương trình b c b n Chương 2 phân lo i có h th ng m t

s h phương trình thư ng g p Chương 3 nêu m t s phương pháp gi i đi n hình cho

h phương trình không m u m c Hy v ng đây s là m t tài li u h u ích trong gi ng d y cũng như h c t p c a th y, cô và các em h c sinh

3

2 a

5

b) Ta ch ng minh phương trình có nghi m duy nh t Th t v y, phương trình không

có nghi m x0 ∈ [−1; 1] vì n u x0 ∈ [−1; 1] thì đ t x0 = cosϕ suy ra

4x3 − 3x = 4cos3ϕ − 3 cos ϕ = |cos 3ϕ| ≤ 1 < |m|

Gi s phương trình có nghi m x1, |x1| > 1, 4x3 − 3x1 = m. Khi đó 1

m− m2 + 1

a) |m| ≤ 1, đ t m = cos α thì phương trình có ba nghi m

x1 = cos α , x2 = cos α − 2π , x3 = cos α + 2π

Phương trình đ i s b c ba và b n

1.2 Phương trình đ i s b c b n

Trong ph n s nêu phương pháp chung đ phân tích đa th c b c b n t ng quát thành tích hai tam th c b c hai Đ i v i m t s d ng đa th c b c b n đ c bi t có nh ng phép bi n đ i phù h p và đơn gi n hơn, không đòi h i ph i v n d ng toàn b thu t toán t

Bài toán 1.6 Gi i phương trình (x − 3)4 + (x − 5)4 = 82

L i gi i Đ t x = y + 4 Khi đó phương trình đã cho tr thành các phương trình sau

Đ t u = (x + a) (x + d) suy ra (x + b) (x + c) = u + bc − ad Khi đó phương trình tr

thành u (u + bc − ad) = m hay u2 + (bc − ad) u − m = 0 Đây là phương trình đã bi t cách gi i

Bài toán 1.7 Gi i phương trình x (x + 1) (x + 2) (x + 3) = 8

8

Phương trình đ i s b c ba và b n

thành

u2 + 2 u − 8 = 0 ,

phương trình sau có nghi m

đưa phương trình đã cho v h phương trình

Phương trình đ i s b c ba và b n

L i gi i D th y x = 0 không là nghi m c a phương trình Xét x = 0 chia hai v

Ta th y (1.3) là phương trình b c ba theo m mà ta bi t phương trình b c ba luân

gi i đư c nên phép gi i này luân đi đ n k t qu cu i cùng

10

Bài toán 1.10 Gi i phương trình: x4 − 8x3 + 20x2 − 12x − 9 = 0

L i gi i Đ t x = t + 2 Khi đó phương trình đã cho tr thành các phương trình sau

Vi c gi i và bi n lu n h trên đư c ti n hành như sau:

H phương trình thư ng g p

L i gi i Ta tính các đ nh th c sau:

a2 D= 2a = a2 − 4,

Bài toán 2.2 Tìm m đ 2 phương trình sau có nghi m chung

y − x = 2, và h phương trình có nghi m chung là

v i u = x − 2y + 1

đư c giá tr nh nh t c a bi u th c A Tương t ta tìm giá tr nh nh t c a bi u th

c B = |x + y − 2| + |x + my − 3|

2.2

H phươ

ng trình

đ i x

ng

phương trình đ i x

ng lo i m t

Đ nh nghĩa 2.2 H phương trình đ i x ng lo i m t có d ng t

g

có

Bưc

2.Đt

vi

điu

kin

=

x y

H phương trình thư ng g p

c a h , nên đ h có nghi m duy nh t thì x = y

Đ t S = x + y, P = xy, S2 ≥ 4P , ta có các h phương trình sau

Trư ng h p S + P = 6, SP = 5 ta tìm đư c S = 5, P = 1 ho c S = 1, P = 5, nhưng do đi u ki

n nên ta ch n S = 5, P = 1 T đó suy ra x, y là nghi m c a phương

Trư ng h p S + P = 5, SP = 6 ta tìm đư c S = 3, P = 2 ho c S = 2, P = 3, nhưng

do đi u ki n nên ta ch n S = 3, P = 2 T đó suy ra x, y là nghi m c a phương

Nh n xét 2.2 Không ph i lúc nào ta cũng đ t t ng và tích c a x, y như là cách đ t S =

x + y, P = x.y mà đôi khi ta đ t S, P b ng t ng và tích c a hai bi u th c như cách đ t c a

bai 2.5 trên

Suy ra a, b là nghi m phương trình

th c ch t là su t phát t h đ i x ng thông thư ng nhưng qua các phép th và tách bi u

th c nó tr nên ph c t p và vi c bi n đ i ngư c l i thư ng ph i mò m m

19

Ta tìm đư c nghi m (x; y) = (1; 1) 8

H phương trình thư ng g p

V y h phương trình có

y) = (1; 1 ), (1 ;

1)

8 8

Bàitoán2.9.Giihphươngtrình

.

L i gi i Bi n

đ i h phương trình đã cho tr thành

x y

x y

=11

nghp

1

x y

x y

x y

21

Nh n th y x = 0 không th a mãn h phương trình trên Khi x = 0 chia c hai phương trình c a h trên cho x ta đư c h phương trình

Gi i h phương trình cơ b n ta đư c a = 1; b = 2 ho c a = 2; b = 1

Ta có hai trư ng h p sau: Trư ng

Đây là h phương trình đ i x ng cơ b n

Cách 2 Ta th y x = 0 không th a mãn h phương trình đã cho Khi x = 0 chia c hai v c a phương trình đ u c a h cho x ta đư c h phương trình

x+y+1− 3 =0 x

(x + y)2 − x52 + 1 = 0

Đ t a = x + y, b = 1 , ta có h phương trình x

H phương trình thư ng g p

a

− 3

a

= 3

b

−

1 4

b

2

− 6

b

+

2

= 0

Gi i h phương trình

t n ph

mà thành các h

m i sau

2

y

21y=8

.

x y

+

x

+1

+

1)

√

x

4

−4

x

2

+2

y

2

−

y

=

−9

2

+(

2

y

−

3)

2

=4

√√

2

2(

x

+2)

.

2y − 3, ta

có các h phương trình sau

a

+

4)(3) ++ 2 = 22; 24

H phương trình thư ng g p

(a + b)2 − 2ab = 4 ab + 4(a + b) = 8;

ab + 4(a + b) = 8

(a + b)2 + 8(a + b) − 20 = 0

L i gi i Nh n th y xy = 0 không th a mãn h phương trình đã cho Xét xy = 0

khi đó vi t h phương trình dư i d ng

Gi i h phương trình này ta đư c u = 4, v = 3 ho c u = 3, v = 4

Ta có hai h phương trình sau: Trư ng

xy = x +

y + 1

L i gi i Cách 1 T phương trình hai c a h phương trình

đã cho ta có

y

+1

=(3

y

−1)

x x

+1

=(3

x

y

3

x y

=

x

+

+1

.

Đt

u

=3

x

−1

, v

=3

y

−1

,

suyra

uv = 9xy −

3(x + y) + 1 = 3(x + y + 1) − 3(x + y) = 4

H phương trình đã cho tr thành các h phương trình sau

=4

Trư

nghp

1

u

+

v

=4

u v

=4

u v

=4

.

2

6

Th y = x vào phương trình th hai c a h phương trình đã cho ta đư c

H đã cho tương đương v i d u b ng x y ra trong b t đ ng th c t c là

Bài toán 2.16 (Xem [3]) Gi i h phương trình



x +y+z =0

 xy z+=yz1 + zx = −4 3

t1 = cos π , t2 = cos 59π , t3 = cos 79π 9

V y h phương trình đã cho có nghi m là

x; y; z là nghi m c a phương trình

t3 − at2 + 0t + 0 = 0

Gi i phương trình tìm đư c ba nghi m t = a và t = 0 và t = 0

(x; y; z) = (a; 0; 0), (0; a; 0), (0; ; 0; a)

29

Nh n xét 2.7 S d ng đi u ki n có nghi m c a h đ i x ng ta có th tìm đư c

giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a m t bi u th c đ i x ng Ta xét bài toán

sau

30

Đ nh nghĩa 2.3 H đ i x ng l i hai là h mà n u ta thay x b i y và y b i x thì

phương trình này bi n thành phương trình kia và ngư c l i

Phương pháp gi i

Bư c 1 Đ t đi u ki n

Bư c 2 Tr theo v hai phương trình ho c c ng theo v hai phương trình c a h

Khi tr theo v hai phương trình c a h ta phân tích đư c v d ng

L i gi i Bi n đ i hê phương trình đã cho tr thành

xy2 + 6x − y2 − 6 = yx2 + y

(2.3)

H phương trình thư ng g p

Tr theo v hai phương trình c a (2.3), ta đư c

(x − y)(x + y − 2xy + 7) = 0

Trư ng h p 1 N u y = x th vào phương trình đ u c a h phương trình (2.3), ta

Tr theo v hai phương trình c a h phương trình (2.5), ta đư c

3(b − a) = b3 − a3

34

(2.5)

Bài toán 2.24 Gi i h phương trình

81x3y2 − 81x2y2 + 33xy2 − 29y2 = 4 25y3 +

9x2y3 − 6xy3 − 4y2 = 24

L i gi i Ta th y y = 0 không th a mãn h phương trình Khi y = 0 bi n đ i h

phương trình đã cho tr thành các h phương trình sau

Tr theo v hai phương trình c a h phương trình (2.6), ta đư c

H phương trình thư ng g p

Hay

(a − 2)(3a2 + 5a + 12) = 0

Bài toán 2.25 Gi i h phương trình

Gi i phương trình trên ta đư c b = 1; b =

Ta có hai trư ng h p: Trư

y 7 2

x

)

.

g trình

có nghi

2

L i gi i Đi u ki n x; y > 0 H đã cho là h

đ i x ng lo i hai nhưng khó có th tr hai v hay c ng hai v mà cho k t

qu Bi n đ i bi u th c trong căn như sau

2 2 2

.

38

x =y

39

Ta th y m t phương trình c a h là phương trình đ ng c p b c ba Bi n đ i

phương trình đó thành a(x )3 + b( x )2 + c x + d = 0, sau khi đã xét trư ng h p y = 0

y = t, ta có phương trình at3 + bt2 + ct + d = 0, gi i tìm t t đó suy ra x = ty

th vào h phương trình tìm đư c y

Bài toán 2.30 Gi i h phương trình

2

+2

( x2y − 1)(−3 +1

=

0

;+2

x

+3

=0

x

2

+3)

=0

h phương trình

2x = 4 2x2

2

+1)

x

x

2

−4

;

√(

x

)

2

=16(2

x

2

−4)

x

≥0

2

x

2

−4

;

x

4

−8

x

2

+16

=0

.

42

m t n y

Phương pháp 2

trình ban đ u ta có trình trùng phương n y (ho c n x)

Bài toán 2.32 Cho h phương trình

vào h phương trình đã cho ta đư c

x2(3 + 2k + k2) = 11

x2(1 + 2k + 3k2) = 17 + m

43

(2.10)

H phương trình thư ng g p

Chia theo v hai phương trình c a h phương trình (2.10),ta đư c

17 + m = 1 + 2k + 3k2 ;

11 3 + 2k + k 2 (m − 16)k2 + 2(m + 6)k + 3m + 40 = 0 (1)

√

+ Khi m = 16 h có nghi m khi và ch khi (1) có nghi m (Vì n u có k thì có x cho

b i phương trình hai c a h (2.10) và có y t y = kx) nghĩa là

∆ = −m2 + 10m + 338 ≥ 0 hay 5 − 11 3 ≤ m ≤ 5 + 11 3

V y h có nghi m khi và ch khi 5 − 11 3 ≤ m ≤ 5 + 11 3

V y giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a G l n lư t b ng −1 + 2 7 và −1 − 2 7

Bài toán 2.34 Gi i h phương trình

45

ta đư c

5x2y − 4xy2 + 3y3 − (x + y)(x2 + y2) = 0;

− x3 + 4x2y − 5xy2 + 2y3 = 0 (1)

nghi m c a h phương trình Xét y = 0, đ t x = ty thay vào h phương trình đã

t3 − 8t2 + 12t = 0

Gi i phương trình tìm đư c t = 0; t = 2; t = 6

L i gi i Đi u ki n: x ≥ 0, y ≥ 0. Nh n th y x = y = 0 không th a mãn h phương

trình đã cho nên ta ch xét x + y > 0 C ng và tr theo v hai phương trình c a h

đã cho ta đư c các h phương trình sau

Nhân theo v hai phương trình c a h phương trình (1), ta đư c

3xy = 2(x + y)(x − y);

(x − 2y)(2x + y) = 0

48

(1)

Nhân chéo hai phương trình c a h phương trình (2.14), ta đư c

3(x + 1)4 + 3(x + 1)2y2 = 4y4 + 2y3(x + 1);

3(x + 1)4 + 3(x + 1)2y2 − 2y3(x + 1) − 4y4 = 0

(2.14)

(1)

1 16 6

85 6

49

25 6

L i gi i Đi u ki n: x; y ≥ 0; y + 3x = 0. Thay x = 0, y = 0 vào h phương trình ta

th y không th a mãn Bi n đ i h phương trình đã cho tr thành



 √ − √ = −12

50

(t − 2)2(t2 + t + 1) = 0

y = 2x ≥ 0. Th vào phương trình hai

2.4 H phương trình b c hai t ng quát

Đ nh nghĩa 2.7 H phương trình b c hai v i hai n x và y là

a1x2 + b1xy + c1y2 + d1x + e1y = f1

a2x2 + b2xy + c2y2 + d2x + e2y = f2

51

(2.16)

H phương trình thư ng g p

Trong các trư ng h p đ c bi t ( đ i x ng lo i 1, lo i 2, đ ng c p, ) đã đư c xét

ph n trư c Khi tính ch t đ c bi t không còn thì h (2.16) đư c gi i theo m t sơ đ chung s trình bày qua các ví d sau Tuy nhiên phương pháp này không ph i t i ưu Nhìn chung các d ng thư ng g p đ u dư trên m t vài đ c thù c a d ng b c hai N u bi

t khai thác tính ch t đ c bi t đó ta s tìm đư c l i gi i ng n g n

Bài toán 2.44 Gi i h phương trình

x2 + y2 + x − 2y = 2

x2 + y2 + 2(x + y) = 11

L i gi i Xét x = 0 thì thay vào h phương trình đã cho ta th y h phương trình

Nh n xét 2.11 VD2.44 s đư c gi i nhanh hơn n u ta nhìn th y L y hai phương

L i gi i Cách 1 Xét x = 0 thì thay vào h phương trình đã cho ta th y không th a

(α2

+ 1)x2 + 2(α − 2)x = −3 (α2 −α + 1)x2 + (1 − 2α)x = 12

Đ t x2 = z ta đư c h

(1 + α2

)z + 2(2 −α)x = −3 (1 −α + α2

Th vào phương trình đ u c a h phương

Bài toán 2.46 Gi i h phương trình

x2 + 3y2 + 4xy − 18x − 22y + 31 = 0 x2 + 2xy + 4y2 + 6x − 46y + 175 = 0

L i gi i Cách 1 Đ t x = u + a; y = v + b Khi đó h tr thành

(u + a)2 + 3(v + b)2 + 4(u + a)(v + b) − 18(u + a) − 22(v + b) + 31 = 0

2(u + a)2 + 4(v + b)2 + 2(u + a)(v + b) + 6(u + a) − 46(v + b) + 175 = 0

54

ta đư c các h phương trình sau

u2 + 3v2 + 4uv = 1 2u2 + 4v2 + 2uv = 1;

u2 + v2 − 2uv = 0 2u2 + 4v2 + 2uv = 1

Th vào phương trình đ u c a h phương trình đã cho ta đư c

(y − 12)2 + 3y2 + 4y(y − 12) − 18(y − 12) − 22y + 31 = 0;

8y2 − 112y + 391 = 0

√ √ + 7

H phương trình thư ng g p

trình c a h theo bi n x (coi y là h ng s ), theo bi n y (coi x là h ng s ) Ta l a

ch n phương trình đ u c a h ta có

2x + 4y − 18 = 0 6y + 4x − 22 = 0

Bài toán 2.47 (Đ ngh 30/4/2011) Gi i h phương trình

Nh n xét 2.13 Đ bi n đ i 2x2 +xy −y2 −5x+y +2 = 0 thành (x+y −2)(2x−y −1)

L i gi i Trong h phương trình (2.17) l y phương trình đ u nhân v i 2 r i c ng

theo v v i phương trình th hai ta đư c

2.5 H phương trình b c cao nhi u n s

Đ i v i h b c cao nhi u n s ta không có m t phương pháp t ng quát cho

phép gi i đư c m i bài toán hay h u h t các bài toán Tuy đ c thù riêng bi t c a m i h phương trình ta c n tìm m t phương pháp thích h p (phương pháp th , phương pháp c ng, đ t n ph , ) đ t n công bài toán

Đ nh nghĩa 2.8 H phương trình hoán v vòng quanh có d ng: