Luận văn thế vị lớp kép và bài toán dirichlet đối với hàm điều hòa

Phương trình Laplace.. 23 Đưa bài toán Dirichlet c a phương trình Laplace v phương trình tích phân trên biên.. 39 Th v kh i và bài toán Dirichlet trong cho phương trình Poisson... Ch ng

Phương trình Laplace 21 1.5 Tính duy nh t nghi m c a bài toán Dirichlet 23

Đưa bài toán Dirichlet c a phương trình Laplace v phương trình

tích phân trên biên 37

S t n t i nghi m c a các bài toán Dirichlet 39 Th v kh i

và bài toán Dirichlet trong cho phương trình Poisson 45

1

M đu

Nghi m c a phương trình Laplace r t quan tr ng trong toán h c, đ c bi t là trongcác bài toán v t lý, sinh h c Vi c kh o sát nghi m c a phương trình Laplace là c n thi t Lu n văn '' Th v l p kép và bài toán Dirichlet đ i v i hàm đi u hòa" là bài toán biên th nh t c a phương trình Laplace Trư c đó ngư i ta đã ch ng minh đư c tính t

n t i và duy nh t nghi m c a bài toán Dirichlet trong mi n hình c u trong b ng nhi u phương pháp khác nhau, như phương pháp tách bi n, phương pháp bi n thiên tham s , phương pháp hàm Green Tuy nhiên, vi c kh o sát nghi m c a bài toán

đó khi m r ng mi n ( không nh t thi t là mi n hình c u), v i nh ng phương pháp trên

g p khó khăn Vì v y lu n văn '' Th v l p kép và bài toán Dirichlet đ i v i hàm đi u hòa" trình b y m t phương pháp m i đ kh o sát nghi m c a bài toán đó, đó là

phương pháp Th v Đó là phương pháp tìm nghi m c a phương trình dư i d ng m

t th v c a hàm đi u hòa cơ

b n C u trúc lu n văn g m 2 chương:

Chương 1 Ki n th c chu n b Chương này trình b y m t s khái ni m và

các tính ch t bao g m: Đ nh nghĩa v góc kh i, đ nh nghĩa v m t Lyapunov và các tính ch t c a m t Lyapunov cùng v i các đánh giá có liên quan đ nh nghĩa v

phương trình tích phân Fredhlom lo i II, các đ nh lý Fredhlom và cu i cùng là trình

b y v các bài toán Dirchlet trong và ngoài, tính duy nh t nghi m c a bài toán đó Chương 2 Th v l p kép và bài toán Dirchlet cho hàm đi u hòa N i

dung c a chương này là ch ng minh s t n t i nghi m c a bài toán Dirchlet cho hàm

đi u hòa, g m 3 bư c Đ u tiên ta đưa ra khái ni m th v l p kép và tính ch t c a nó

Bư c th 2 ta chuy n bài toán Dirchlet c a phương trình Laplace v phương trình tíchphân Fredholm lo i II Bư c th 3 ta đi ch ng minh s t n t i nghi m c a bài toán đó

Lu n văn đư c tham kh o chính trong các tài li u [1],

2

[2] và [3]

3

L i c m ơn

Lu n văn này đư c hoàn thành dư i s hư ng d n t n tình c a PGS TS Hà Ti n Ngo n Th y đã dành nhi u th i gian quý báu c a mình đ kiên trì hư ng d n cũng như gi i đáp các th c m c c a tôi trong su t c quá trình làm lu n văn Tôi mu n bày t lòng bi t ơn chân thành và sâu s c nh t t i ngư i th y c a mình

Tôi cũng mu n g i t i toàn th các th y cô Khoa Toán Cơ Tin h c trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên, Đ i h c Qu c gia Hà N i, các th y cô đã đ m nh n gi ng d y khóaCao h c 2012 - 2014, đ c bi t là các th y cô tham gia gi ng d y nhóm gi i tích 2012-214 l i c m ơn chân thành đ i v i công lao d y d trong su t th i gian c a khóa

Chương 1

Ki n th c chu n b

1.1 Góc kh i

Cho S là m t trơn, nói chung không kín,đ nh hư ng, xét m t phía xác đ nh

c a S và vecto pháp tuy n hư ng v phía y, mà ta quy ư c là pháp tuy n





(1.1)

T P, xét t t c các bán kính vecto P Q, Q S Các bán kính vecto đó l p

đ y kh i nón, đ nh là P và các đư ng sinh c a m t bên t a trên biên c a m t S

T P, xét m t c u đơn v tâm P, kí hi u 1 M t c u y c t kh i nón trên theo

m nh c u 1, có di n tích là1 khi đó ph n không gian chi m b i kh i nón nói

trên đư c g i là góc kh i mà t P nhìn m t S Di n tích1 đư c g i là s đo

c a góc kh i, và đư c kí hi u là:

Chú ý N u xét m t c u tâm P bán kính R , R và c t kh i nón theo m nh  R

N u pháp tuy n dươngQ h p v i bán kính vecto m t góc tù cos(; n Q) 0

Gi s S là m t trơn t ng m nh và trên m i m nh, đ i lư ng cos(; n Q) đ i

d u, khi đó ta chia S thành nhi u m nh nh S j sao cho cos( r 

Ch ng minh Ta ch xét trư ng h p m t S mà cos(; n Q) không đ i d u, trong

R tâm P v i bán kính R đ nh sao cho

R không c t S Xét mi n D gi i h n b i m t S, m t  R và ph n không gian n m

d S

d S

Trên  R ta có:

 (1)dS = Q  (1)dS = 1 Q dS Q

=2R

(1.9)

d S

tuy n tương ng t i Q và Q', ϕ là góc h p b i 2 vecto pháp tuy n đó (ϕ = ( ; n ))

trong đó f (x, y) là hàm có đ o hàm c p 2 liên t c thi S là m t Lyapunov

Do đó m t cong có đ cong liên t c là m t Lyapunov Hơn n a đ nh nghĩa và các đ nh lý trong ph n này cũng đúng trong không gian n chi u t ng quát

M t c u v i tâm Q S nói trên đư c g i là m t c u Lyapunov, kí hi u (Q)

Ch ng minh Ch n d đ nh sao cho:

8

là đi m c a m t S t i đó n0 hư ng ra phía ngoài, còn Q' là đi m t i đó n0 hư ng

vào phía trong c a S Xét m t ph ng ti p xúc t i Q v i S Khi đó, và0 n m

lý

là chu i đan d u có các s h ng đơn đi u gi m, nên n u trong chu i ta ch gi

m t s h u h n các h ng th c, thì ph n dư s có d u c a h ng th c đ u tiên c a ph n dư

th

c

(1

(1.25)

1 + ( f)2 + ( f)2

cos(; ) = n

là đúng v i m i phương Q0 b t kỳ trong m t ph ng Q0 G i  là

11

1 C =

const

4, Đ i lư ng cos( ; )



, r

Ch ng minh Đ ch ng minh đ nh lý trên ta chia làm 2 trư ng h p sau: đi m P

n m trong m t S và đi m P n m ngoài m t S

a, Đi m P S

L y g c t a đ đ a phương là P và như v y coi

/

trư

nghpt

h

nh

t,

tacó

Khi đó P n m trên pháp tuy n đ i v i S t i Q0 Do đó ta xây d ng m t c u

Lyapunov tâm Q0 v i h t a đ đ a phương Q0 như trên G i S (Q0) là ph n m t S n

m trong m t c u Lyapunov Ta đi đánh giá các tích phân trên S (Q0) và trên SS

trong đó const không ph thu c vào 

Do (1.47) và (1.48) khi đó ta có đánh giá v ph i c a (1.50) Đ i v i tích phân

Trong đó const các công th c (1.51); (1.52) và (1.53) không ph thu c vào  do

đó t các b t đ ng th c (1.40),(1.41),(1.42),(1.50),(1.51);(1.52)và (1.53) Ta suy

ra

S  (r1 )dS Q C n Q

P Q

V y đ nh lý đư c ch ng minh hoàn toàn

1.3 Phương trình tích phân Fredholm lo i II

1.3.1 Đ nh nghĩa 1.2

Cho  là mi n gi i n i trong không gian E n; f (P ) là hàm liên t c cho trư c

K(P ; Q) là hàm th c liên t c khi P ; Q  ho c liên t c khi P = Q và khi

đư c g i là phương trình tích phân Fredholm lo i II V i µ(P ) là hàm liên t c

c n tìm và g i là nghi m c a phương trình tích phân (1.54)

N u f (P ) = 0 thì ta có phương trình thu n nh t tương ng

µ(P ) + K(P ; Q)µ(Q)dV Q = 0

Phương trình thu n nh t liên h p c a nó có d ng

(P ) + K(Q; P )(Q)dV Q = 0

trong đó nhân K(Q;P) có đư c t K(P;Q) b ng cách trao đ i v trí P và Q

19

Đ i v i phương trình tích phân Fredholm lo i II ta có các đ nh lý sau,đư c g i

có m t s h u h n các nghi m đ c l p tuy n tính và s các nghi m đ c l p tuy n

tính c a hai phương trình đó b ng nhau

Đi u ki n này đư c g i là đi u ki n tr c giao, trong đók(P ) là h đ y đ các

nghi m đ c l p tuy n tính c a phương trình thu n nh t liên h p (1.56)

T đó suy ra

Đ nh lý 1.6(Đ nh lý 5.11.3, [1]) Đi u ki n c n và đ đ phương trình (1.54) gi i

đư c v i m i hàm f (P ) liên t c nào đó là phương trình thu n nh t (1.55) ch có nghi

m t m thư ng µ(P ) = 0 Khi đó phương trình (1.54) có nghi m duy nh t

Đ tìm nghi m c a phương trình (1.59) Trư c tiên ta tìm m t nghi m hi n

Do tính tuy n tính c a phương trình (1.59) nên ta s xây d ng nghi m ph c t p thông qua nghi m hi n đã bi t Chú ý r ng phương trình Laplace là b t bi n đ i

v i phép quay, nên ta tìm nghi m hi n dư i d ng hàm s c a r =x

21

1.5 Tính duy nh t nghi m c a bài toán Dirichlet

1.5.1 Bài toán Dirchlet trong

Bài toán Dirchlet trong c a phương trình Laplace đư c đ t ra như sau:

Gi s  là mi n gi i n i trong Rn v i biên là S trơn t ng m nh và f (P ) là

m t hàm liên t c trên S

Tìm hàm u(P ) đi u hòa trong , liên t c trong mi n đóng  S sao cho t i

biên S giá tr c a hàm trùng v i hàm f (P ) nói trên, t c là:

V i bài toán Dirchlet trong, ta có đ nh lý sau:

Đ nh lý 1.7(Đ nh lý 4.1.1, [1]) Nghi m c a bài toán Dirchlet trong đ i v i phương trình Laplace là duy nh t

Ch ng minh Gi s bài toán (1.63), (1.64) có hai nghi m u1(P ) và u2(P )

Do (P ) là hàm đi u hòa, liên t c trong mi n đóng  S tri t tiêu trên biên

S, nên theo h qu c a Nguyên lý c c đ i cho hàm đi u hòa thì (P ) đ ng nh t

1.5.2 Bài toán Dirchlet ngoài

Bài toán Dirchlet ngoài c a phương trình Laplace đư c đ t ra như sau:

Gi s  là mi n bên ngài mi n  cũng v i m t biên S kín và f (P ) là hàm

cho trư c liên t c trên S

Tìm hàm u(P ) đi u hòa trong , liên t c trong mi n đóng  S sao cho t i

biên S, giá tr c a hàm trùng v i hàm f (P ) nói trên

Như v y, n u u(P ) là nghi m c a bài toán, thi ta có

u S = f

(P ),

∆u = 0 P

S

(1.65) (1.66)

và ngoài ra, khi đ dài r = OP, ta có thêm đánh giá

v i A = A1 + A2 Ta đi ch ng minh (P ) = 0 trong toàn mi n  Mu n v y ta

xét đi m Q b t kỳ trong  , và ch ng minh

trong đó  > 0 tùy ý cho trư c Xét m t c u S R tâm O bán kính R khá l n sao

cho m t c u nói trên ch a đi m Q trong, và trên S R ta có

25

đư c g i là th v l p đơn t i P gây nên b i hàm m t đ µ(Q) cho trên S Trong

đó S là m t Lyapunov kín trong R3 bao quanh mi n 

Đ i v i th v l p đơn ta có đ nh lý và các b đ sau:

Đ nh lý 2.1(Đ nh lý 5.10.2) N u S là m t Lyapunov kín, µ(Q) là hàm liên t c trên m t S, thì ta có:

V (P0 ) n0 là giá tr tr c ti p c a đ o hàm th v l p đơn t i đi m P0 trên

đư c g i là th v l p kép t i P, gây nên b i hàm m t đ (Q) xác đ nh trên S,

trong đó S là m t Lyapunov kín trong R3

27

Sau đây ta đưa ra m t s tính ch t c a th v l p kép

Q

r 2 Q P

dư i d u tích phân (2.5) là hàm liên t c đ i v i m i Q S và có đ o hàm m i

c p liên t c đ i v i P khi P , hơn n a đ o hàm đó có th đư c tính b ng

cách đ o hàm dư i d u tích phân Do đó, vì r P1 Q là hàm đi u hòa nên

∆W =   (∆(r1 ))dS

Q = 0

S n

Q

PQ

Như v y, W(P) th a mãn phương trình Laplace bên ngoài S Ch còn ph i ch ra

r ng n u mi n ngoài ch a đi m vô t n, thì lân c n c a vô cùng ta có đánh

Ch ng minh Do (Q) là hàm gi i n i trên S nên t n t i m t h ng s M sao cho

Bây gi ta ch ng minh giá tr c a tích phân trên là m t hàm liên t c c a P

trên S Mu n v y ta c n ch ng minh r ng tích phân (2.5) h i t đ u t i m i đi m

P0 b t kỳ trên S

Th t v y, theo đ nh nghĩa s h i t đ u c a tích phân ta ch vi c ch n ra lân

cân () c a P0 là m nh 1 trên m t S sao cho hình chi u c a nó xu ng m t ti p

xúc c a S t i P0 là m t tròn G (P0; R) tâm P0 bán kính R Còn () là m nh

29

2 trên S sao cho hình chi u c a nó xu ng m t ti

p xúc nói trên là m t tròn

G (P0; 2R) tâm P0 bán kính 2R bán kính R ch n đ nh (vi c ch n R s nói trong ph

n ch ng minh sau). 1 và 2 đư c gi thi t là cùng n m trong m t c u

dd  2C2 (4R) 

r2.cos( ; ) G

(

P

0

; 2

R

)

 2C n

G (P0 ;2R)

V y khi bán kính R c a G" đư c ch n th a mãn

(4r)  C4 

Sau đây ta s đưa ra m t khái ni m m i

Ta đã bi t giá tr c a tích phân Gauss t i P S là: W0(P ) = P (S) là giá tr /

c a góc kh i mà t P ta nhìn m t S, v i quy ư c pháp tuy n trong là pháp tuy n

Ch ng minh a, N u P n m bên trong S

Xét m t c u S R tâm P bán kính R đ nh sao cho S R n m hoàn toàn trong

d S

N u P n m ngoài m t S Ta d ng m t m t nón ti p xúc v i S theo đư ng L

và đư ng này chia S làm 2 ph n S1 và S2 Khi đó góc kh i mà t P nhìn S1 có giá tr tuy t đ i b ng v i góc kh i mà t P nhìn m t S2 nhưng khác nhau v d u

và do đó ta v n có :

W0(P ) = P (S) = P (S1)  P (S2) = 0

t n t i Do đó, n u (P ) là lân c n c a P trên m t S thì khi  0 ta có:

n Q r PQ 0  n Q r P

Q

L y  (P) là lân c n c a đi m P n m trên S n m trong m t c u (P ; ) G i  là giao tuy n c

a m t S v i m t c u (P ; ), giao tuy n  chia m t c u làm 2 ph n

 ( 1 )dS = lim  ( ) Q

0  n Q r P Q 0 P 1 S (P )

Đ tính lim  P (1) ta xét h t a đ đ a phương P  trong đó P  là m t

0

ph ng ti p xúc còn P  là pháp tuy n t i P Khi  đ nh , lân c n (P ) n m

trong m t c u Lyapunov t i P G i Q(, , ) là đi m trên giao tuy n thì đ i v i

V y n u coi tích phân Gauss là th v l p kép thì giá tr tr c ti p c a nó trên

m t S b ng 2 còn giá tr gi i h n bên trong c a nó trên S, t c là gi i h n khi

P P0 t bên trong ra b ng 4 và giá tr gi i h n c a nó t bên ngoài vào b ng

a W(P) khi P P0 t bên trong S ra, W e(P0) là giá tr gi i h n c a W(P) khi P P0 t bên ngoài S vào

0

(P ) =

đ i v i m i P trong không gian

G i S (P0) và S (P0) là ph n m t S bên trong và bên ngoài c a S2(P0; R) Vì

(Q) là hàm liên t c nên > 0 tùy ý, ta ch n R đ nh sao cho khi Q S (P0)

ta có :



   

35

Đ i v i m i P trong không gian, do đó b t đ ng th c cũng đúng khi P

V1(P0; R ) V y W1(P ) liên t c t i t i P = P0 2

Ta kí hi u (.) i và (.) e l n lư t là gi i h n c a đ i lư ng (.) khi P P0 t

trong m t S ra và t ngoài m t S vào Theo (2.25) ta có:

2.3 Đưa bài toán Dirichlet c a phương trình Laplace v

phương trình tích phân trên biên

Xét m t m t Lyapunov kín S, gi i h n m t mi n trong  và m t mi n ngoài

 = R3 Ta nh c l i các bài toán sau:

1 Bài toán Dirichlet trong

Tìm hàm u(P ) liên t c trong  S th a mãn:

2 Bài toán Diricchlet ngoài

Tìm hàm u(P) liên t c trong  S sao cho

(2.24)

Trong đó f (P ) là hàm liên t c trên m t S còn R là kho ng cách t P t i g c t ađ

Ta kí hi u các bài toán Dirichlet trong và ngoài l n lư t là: D i , D e Đ i v i các bài toán đó ta đi tìm nghi m dư i d ng th v l p kép Ta đã bi t nó là hàm đi u

hòa trong  và  và do đó nó th a mãn phương trình (2.20) và (2.22) Sau đó ta bu c th

v đó ph i th a mãn đi u ki n biên Ta đưa bài toán tìm nghi m u(P) v bài toán tìm hàm m t đ trong th v đó, khi y s d n t i phương trình tích

phân Fredholm lo i II đ tìm hàm m t đ , c th như sau:

37

2.3.1 Bài toán D i

2.4 S t n t i nghi m c a các bài toán Dirichlet

Trong M c 1.5 ta đã ch ng minh đư c r ng, n u bài toán Dirichlet trong và

ngoài n u có nghi m thì nghi m đó là duy nh t Sau đây ta s đi ch ng minh s

t n t i nghi m c a hai bài toán đó nh công c th v l p kép c a hàm đi u hòa

Ta kh o sát các phương trình tích phân (2.27) và (2.30) Các tích phân trong (2.27) và (2.30) là các tích phân l y trên m t S, t c là tích phân trên đa t p hai chi

u mà nhân K(P;Q) là nhân b t thư ng lo i y u Th t v y, ta vi t nhân

Sau đây ta s kh o sát nghi m c a t ng bài toán

2.4.1 S t n t i nghi m c a bài toán Dirichlet trong

Trư c tiên ta có b đ sau:

B đ 2.3 Gi s S là m t Lypunov kín, (Q) là hàm liên t c trên S N u th v

39

Đ nh lý 2.8 Bài toán Dirchlet trong v i b t kỳ v ph i f(P) liên t c c a đi u ki n

(2.21) đ u có nghi m và nghi m đó là duy nh t

2.4.2 Bài toán Dirichet ngoài

Bây gi ta xét phương trình (2.30) tương ng v i bài toán Dirichlet ngoài, khi

không th có hai nghi m đ c l p tuy n tính

Th t v y, gi s phương trình (2.34) có hai nghi m µ1(P0) và µ2(P0) đ c l p

Bây gi ta xét bài toán Dirchlet ngoài Đ ý r ng khi d n t i phương trình

(2.30) ta gi s nghi m u(P) đư c bi u di n dư i d ng th v l p kép Hơn n a trong ch

ng minh Đ nh lý 2.2 lân c n vô cùng thì th v này th a mãn đánh

r P

Q

H ng s C này ph i khác 0 vì n u không thì t h th c trên ta suy ra V i(P ) =

0,P S Nhưng theo B đ 2.2 thì khi đó µ0(Q) 0 trái v i gi thi t V y tích phân th haitrong (2.40) là m t h ng s khác 0 Ta có th nhân thêm µ0(Q) v i

m t h ng s thích h p thì ta có đư c C=1, và như v y thì

S

Ch n  như trong (2.41) thì (2.40) đư c th a mãn và (2.39) có nghi m L y

nghi m (Q) c a (2.39) thay vào (2.25) ta đư c u1(P ), t đó theo (2.38) ta có

u(P) và khi đó bài toán Dirchlet ngoài đư c gi i