Luận văn thế vị lớp đơn và bài toán newmann đối với hàm điều hòa

Phương trình Laplace.. 23 Đưa bài toán Neumann c a phương trình Laplace v phương trình tích phân... Ta đi đánh giá các tích phân trên SS Q0 và trên SSS... 1.3 Phương trình tích phân Fre

Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN

Phương trình Laplace 21 1.5 Tính duy nh t nghi m c a bài toán Neumann 23

Đưa bài toán Neumann c a phương trình Laplace v phương trình

tích phân 42

S t n t i nghi m c a các bài toán Neumann 44

Chương 1 Ki n th c chu n b Chương này trình b y m t s khái ni m và

các tính ch t bao g m: đ nh nghĩa v góc kh i; đ nh nghĩa v m t Lyapunov và các tính ch t c a m t Lyapunov cùng v i các đánh giá có liên quan; đ nh nghĩa v

phương trình tích phân Fredholm lo i II, các đ nh lý Fredholm và cu i cùng là trìnhbày v các bài toán Neumann trong và ngoài, tính duy nh t nghi m c a bài toán đó Chương 2: Th v l p đơn và bài toán Neumann cho hàm đi u hòa N i

dung c a chương này là ch ng minh s t n t i nghi m c a bài toán Neumann cho hàm đi u hòa, g m 3 bư c: Đ u tiên ta đưa ra khái ni m th v l p đơn và tính ch t c a

nó Bư c th 2 ta chuy n bài toán Neumann c a phương trình Laplace v phương trình tích phân Fredholm lo i II Bư c th 3 ta đi kh o sát s t n t i nghi m c a bài toán đó

Các k t qu chính trong lu n văn đư c trình bày d a trên tài li u tham kh o

[1],[2], [3]

Hà N i, tháng 4 năm 2015

H c viên Hoàng Văn Lu n

2

i c m ơn

Lu n văn này đư c hoàn thành dư i s hư ng d n t n tình c a PGS.TS Hà Ti n Ngo n Th y đã dành nhi u th i gian quý báu c a mình đ kiên trì hư ng d n cũng như gi i đáp các th c m c c a tôi trong su t c quá trình làm lu n văn Tôi mu n bày t lòng bi t ơn chân thành và sâu s c nh t t i ngư i th y c a mình

Tôi cũng mu n g i t i toàn th các th y cô Khoa Toán-Cơ-Tin h c trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên, Đ i h c Qu c gia Hà N i, các th y cô đã đ m nh n gi ng d y khóa Cao h c 2012 - 2014, đ c bi t là các th y cô tham gia tham gia gi ng d y nhóm Gi i tích 2012-214 l i c m ơn chân thành đ i v i công lao d y d trong su t th igian c a khóa h c

Tôi xin c m ơn gia đình, b n bè, đ ng nghi p, các anh ch em trong nhóm Cao h c Toán 2012-2014, đ c bi t là các anh ch em nhóm Gi i tích đã quan tâm, giúp đ , t o

đi u ki n cũng như đ ng viên tinh th n đ tôi có th hoàn thành khóa h c này

Chương 1

Ki n th c chu n b

1.1 Góc kh i

Cho S là m t trơn, nói chung là không kín, đ nh hư ng, xét m t phía xác đ nh

c a S và vectơ pháp tuy n hư ng v phía y, mà ta quy ư c là pháp tuy n





(1.1)

T P, xét t t c các bán kính vectơ SP SQ, SQ SS Các bán kính vectơ đó l p

đ y kh i nón, đ nh là P và các đư ng sinh c a m t bên t a trên biên c a m t S

T P, xét m t c u đơn v tâm P, kí hi u S1 M t c u y c t kh i nón trên theo

m nh c u S1, có di n tích là1 Khi đó ph n không gian chi m b i kh i nón nói trên đư c

g i là góc kh i mà t P nhìn m t S Di n tích1 đư c g i là s đo

c a góc kh i, và đư c kí hi u là

Chú ý 1.1 N u xét m t c u tâm P bán kính R : SR và c t kh i nón theo m nh

N u pháp tuy n dươngQ h p v i bán kính vectơ m t góc tù cos(, Sn Q) 0

Trên m t nón SS0 thì véctơQ th ng góc v i nên ta có 

tuy n tương ng t i Q và Q', Sϕ là góc h p b i 2 vectơ pháp tuy n đó (ϕ = ( Sn S

r là kho ng cách gi a hai đi m

trong đó Sf (x, Sy) là hàm có đ o hàm c p hai liên t c thì S là m t Lyapunov

Do đó m t cong có đ cong liên t c là m t Lyapunov Hơn n a đ nh nghĩa và

các đ nh lý trong ph n này cũng đúng trong không gian n chi u t ng quát

7

là chu i đan d u có các s h ng đơn đi u gi m, nên n u trong chu i ta ch gi

m t s h u h n các h ng th c, thì ph n dư s có d u c a h ng th c đ u tiên c a ph n dư

đó

T đó

cos

S

ϕ









S ϕ S

cos( S, S) =



)2 + ( Sf S





(1.27) (1.28)

Trong m t ph ng SQ0 thì v trí c a SQ0 là b t kỳ Do đó trong đánh giá (1.27) và (1.28)

là đúng v i m i phương SQ0 b t kỳ trong m t ph ng SQ0 G i S là

kho ng cách c a nh ng đi m n m trên tia đó t i SQ0 Khi đó

G i SQ(, S, S) là đi m n m trên m t SS (Q0) và SP (, S) là hình chi u c a Q lên

Vìr,, cos( S, S ) đ u bé thua 1 nên t (1.22),(1.23),(1.33) và (1.34) ta có

đ i v i m i P n m trong không gian

Ý nghĩa hình h c c a (1.36) đ i v i góc kh i mà P nhìn m t S trong (1.5) như sau: Gi s SS = SS j, khi đó t ng tr tuy t đ i s đo các góc kh i là b ch n đ u

j

P (S j) SC S

j

Ch ng minh Đ ch ng minh đ nh lý trên ta chia làm 2 trư ng h p sau: đi m P

n m trong m t S và đi m P n m ngoài m t S

Q

rn S

r2

Do đó tích phân v trái c a (1.40) là t n t i ngay ckhi SP SS S

trư

nghp

th

nh

t,

ta

có

d

bé hơn

Khi đó P n m trên pháp tuy n đ i v i S t i SQ0 Do đó ta xây d ng m t c u

Lyapunov tâm SQ0 v i h t a đ đ a phương SQ0 như trên G i SS (Q0) là ph n m t S n

m trong m t c u Lyapunov Ta đi đánh giá các tích phân trên SS (Q0) và trên SSS

Trong đó const các công th c (1.51); (1.52) và (1.53) không ph thu c vào S S

Do đó t các b t đ ng th c (1.40),(1.41),(1.42),(1.50),(1.51),(1.52)và (1.53) ta suy ra

S

 (r1 )dS Q SC Sn Q S

P SQ S

V y đ nh lý đư c ch ng minh hoàn toàn

1.3 Phương trình tích phân Fredholm lo i II

trong đó nhân K(Q,P) có đư c t K(P,Q) b ng cách trao đ i v trí

Đi u ki n này đư c g i là đi u ki n tr c giao, trong đók(P ) là h

đ y đ các

nghi m đ c l p tuy n tính c a phương trình thu n nh t liên h p (1.57)

T đó suy ra

Đ nh lí 1.6 (Đ nh lý 5.11.3, [1]) Đi u ki n c n và đ đ phương trình (1.55) gi i đư c

v i b t kỳ v ph i Sf (P ) liên t c nào là phương trình thu n nh t (1.56) ch có nghi m t

m thư ng Sµ(P ) = 0 Khi đó phương trình (1.55) có nghi m duy nh t

đư c g i là phương trình Laplace Nghi m b t kỳ c a phương trình (1.60) đư c g i

là hàm đi u hòa trong mi n 

Đ tìm nghi m c a phương trình (1.60) Trư c tiên ta tìm m t nghi m hi n

Do tính tuy n tính c a phương trình (1.60) nên ta s xây d ng nghi m ph c t p thông qua nghi m hi n đã bi t Chú ý r ng phương trình Laplace là b t bi n đ i

v i phép quay, nên ta tìm nghi m hi n dư i d ng hàm s c a Sr =x

r Sn1

1.5 Tính duy nh t nghi

m c a bài toán Neumann

1.5.1 Bài toán Neumann trong

Gi s  là m t mi n gi i n i trong R3

Bài toán Neumann trong c a phương trình Laplace đư c đ t ra như sau:

Tìm hàm đi u hòa u(P), liên t c trong mi n đóng  SS sao cho đ o hàm theo pháp tuy n ngoài đơn v trên biên S c a nó trùng v i m t hàm f(Q) cho trư c

trên biên S Nói khác đi:

lim SnP ) = Sf (Q), SQ SS, S u(

Gi s  là mi n gi i n i trong R3, gi i h n b i m t biên S trơn t ng m nh,

u(x), S(x) là các hàm riêng c p m t liên t c trong  SS và có đ o hàm riêng

c p hai liên t c trong , khi đó ta có công th c Green th nh t:

(1.69)

trong đóx là véctơ pháp tuy n ngoài đơn v , Sx S

n

Trong công th c (1.69), tráo đ i vai trò c a u, S, sau đó l y (1.69) tr đi công

23

Ta ch ng minh n u hàm f(Q) trong (1.65) cho tùy ý thì không ph i bao gi

(1.64), (1.65) có nghi m, và đ có nghi m, hàm f(Q) ph i th a mãn m t đi u ki n xác

đ nh

Th t v y, t i m i đi m SQ SS d ng m t pháp tuy n trong và trên pháp

tuy n y, l y m t đi m Q' sao cho

QQ = Sh



n

trong đó h là m t s dương c đ nh Khi đi m Q ch y trên m t S thì đi m Q'

t o nên m t m t mà ký hi u SS h và thư ng đư c g i là m t song song c a m t S

Theo k t qu c a hình h c vi phân thì khi h khá nh , do m t S là m t trơn, m t

S h cũng là m t trơn, là pháp tuy n c a m t S thì cũng là pháp tuy n c a

G i S h là mi n t a b i l p gi a hai m t S và SS h và h là mi n còn l i, t c là

h =  h S

Vì u(P) là hàm đi u hòa trong , nên nó liên t c cùng v i đ o hàm riêng t i c p

hai trong mi n đóng h SS h Do đó, áp d ng công th c Green th hai cho hàm

đi u hòa u(P) và 1 ta có:

= 0 h

 Sn Q S

Nh n xét 1.2 Đây là đi u ki n c n đ bài toán Neumann trong (1.64),(1.65) có nghi

m Trong Chương 2 ta s ch ng minh (1.73) còn là đi u ki n đ

Nh n xét 1.3 N u u(P) là nghi m c a bài toán Neumann trong (1.64), (1.65) thì U(P)+C cũng là nghi m v i C là h ng s tùy ý

Bây gi ta ki m tra t p các hàm u(P)+C v i C là h ng s tùy ý vét c n t p

nghi m c a bài toán Neumann trong, ta có:

Đ nh lí 1.7 (Đ nh lý 4.9.1, [1]) Hai nghi m b t kỳ c a bài toán Neumann trong c a phương trình Laplace ch có th sai khác nhau m t h ng s c ng

Ch ng minh Gi s Su1(P ) và Su2(P ) là hai nghi m b t kỳ c a bài toán (1.64),(1.65)

Hàm S(P ) liên t c trong  SS nên gi i n i, hơn n a, do gi thi t Su1(P ), Su2(P )

có đ o hàm đ u theo pháp tuy n, nên SSh d n đ u v SS, do đó cho Sh 0 t

P )

 S

C S , S

r

r = S OP S

(1.79)

Đ nh lí 1.8 (Đ nh lý 4.9.2, [1]) (Đ nh lý duy nh t) Bài toán Neumann ngoài

(1.77),(1.78),(1.79) n u có nghi m thì nghi m là duy nh t

Ch ng minh Gi s Su1(P ) và Su2(P ) là hai nghi m b t kỳ c a bài toán (1.77),(1.78),

h lý đư c ch ng minh

27

(1.85)

Chương 2

Th v l p đơn và bài toán Neumann

đ i v i hàm đi u hòa

Trong chương này, lu n văn trình bày s t n t i nghi m c a các bài toán

Neumann trong và ngoài trong R3 b ng công v th v l p đơn Đ nghiên c u

các tính ch t c a th v l p đơn trư c h t ta xét khái ni m th v l p kép

đư c g i là th v l p kép t i P, gây nên b i hàm m t đ S(Q) xác đ nh trên S

Sau đây ta đưa ra m t s tính ch t c a th v l p kép

2.2.2 M t s tính ch t c a th v l p kép

Đ nh lí 2.1 (Đ nh lý 5.6.1, [1]) N u hàm m t đ c a th v l p kép (2.1) là hàm

gi i n i và kh tích trên S, thì W(P) là hàm đi u hòa khi SP SS /

28

Ta đã bi t giá tr c a tích phân Gauss t i SP SS là: SW0(P ) = P (S) là giá tr /

c a góc kh i mà t P ta nhìn m t S, v i quy ư c pháp tuy n trong là pháp tuy n

trong đó SP0 SS, SW (P0) là giá tr tr c ti p c a W(P) t i SP = SP0, SW i(P0) là giá

tr gi i h n c a W(P) khi SP SP0 t bên trong S ra, SW e(P0) là giá tr gi i h n c a W(P) khi S P SP0 t bên ngoài S vào

hàm gi i n i và kh tích trên S thì V(P) là hàm đi u hòa khi SP SS /

Ch ng minh Gi s SP0 là đi m b t kỳ ngoài S Xét m t c u S tâm SP0, bán kính S đ nh sao cho S n m hoàn toàn ngoài S Khi đó kho ng cách gi a m t

r 1

Sµ(Q)

PQ

dư i d u tích phân (2.5) là hàm liên t c đ i v i m i SQ SS và có đ o hàm m i

c p liên t c đ i v i P khi SP S, hơn n a đ o hàm đó có th đư c tính b ng

cách đ o hàm dư i d u tích phân Do đó, vì Sr P1 Q là hàm đi u hòa nên

∆V (P ) =

S

µ(Q)∆(r1 )dS Q = 0 PQ S

30

Như v y, V(P) th a mãn phương trình Laplace bên ngoài S Ch còn ph i ch

ra r ng n u mi n ngoài ch a đi m vô t n, thì lân c n c a vô cùng ta có đánh

V y V(P) đi u hòa vô t n, đ nh lý đư c ch ng minh

Đ nh lí 2.6 (Đ nh lý 5.9.2, [1]) Gi s S là m t Lyapunov kín trong R3 và hàm m t đ S µ(Q) c a th v l p đơn (2.5) là hàm gi i n i và kh tích trên S Khi đó

th v l p đơn (2.5) là m t hàm liên t c trong toàn không gian

Ch ng minh Khi SP SS thì V(P) là m t hàm đi u hòa, nên nó liên t c Như v y /

ch c n ch ng minh V(P) liên t c khi SP SS S

1 Trư c h t, ta hãy ch ng minh V(P) hoàn toàn xác đ nh khi P n m trên m t

S

Gi s SP = SP0 SS Hãy xét m t c u Liapun p tâm SP0 chia m t S ra làm hai:

ph n trong m t c u SS (P0) và ph n ngoài m t c u SS"(P0).Ta có

r P10 SQ Sµ(Q)dS Q

Tích phân l y trên SS"(P0) hoàn toàn đư c xác đ nh vì

Q SS (P0), Sr = SP0Q S d (bán kính m t c u Lyapunov)

Do đó ch c n ch ng minh tích phân l y trên SS (P0) t n t i Th c v y, ta xét

m t h t a đ đ a phương SP0 v i g c t a đ là SP0, tr c SP0 trùng v i pháp tuy n trong m t

S t i SP0 và các tr c SP0 ,P0 n m trong m t ph ng ti p xúc c a m t S t i SP0 G i SG (P0) làhình chi u c a SS (P0) lên m t ph ng ti p xúc v a

V ph i c a (2.9) là m t tích phân h i t , đi u này ch ng t tích phân l y trên

S (P0) t n t i và đi u kh ng đ nh đư c ch ng minh

2 Bây gi chúng ta ch ng minh tính liên t c c a V(P) t i m i đi m SP SS

Mu n v y, ch c n th l i V(P) là m t tích phân h i t đ u t i b t kỳ m t đi m

P = SP0 nào đó S

l n lư t là SR S S , SR v i R là m t s bé hơn bán kính Lyapunov và đ nh mà ta xác

Trong đ nh nghĩa tích phân h i t đ u, ta ch n lân c n S() c a SP0 là kh i c u

PQ

Q

2

liên t c đ i v i m i SP SV1(P0, SR) và đi u ki n 1) rõ ràng đư c th a mãn Ta 2

nghi m l i đi u ki n 2)đ đánh giá tích phân:

S (p0 )

r1 S µ(Q)dS S

PQ

Q

ta đánh giá như ph n 1), xét h t a đ đ a phương SP0 như ph n 1) và g i

G (P0) là hình chi u c a SS (P0) xu ng m t ph ng ti p xúc SP0 và S = SPQ là hình chi u c a véc tơ Sr = SP SQ xu ng SP0 T tính gi i n i c a Sµ(Q) ta có

Vì SS (P0) n m trong m t c u SS2(P0, SR) nên hình chi u SG (P0) c a nó trên m t ph

ng SP0 n m trong m t tròn tâm SP0, bán kính R, do đó đư ng kính c a mi n G (P0) bé hơn

G (P0) ch a trong nó m t tròn tâm SP0, bán kính SR S S Vì v y, khi SP SV1(p0, SR) ta

2.2.3 Đ o hàm theo pháp tuy n c a th v l p đơn

B đ 2.1 Gi s S là m t Lyapunov kín, SP0 là m t đi m c đ nh trên S,

0 là

n



vectơ pháp tuy n trong c a m t S t i SP0 Xét th v l p đơn và ta nghiên c u đ o

hàm t i P c a V(P) theo hư ng pháp tuy n0:

Ta th y nhân c a tích phân(2.13)ch khác nhân tích phân(2.14) ch thay

0

S n0 Sµ(Q)dS Q = S r 2 SQ SP

đư c hoàn toàn xác đ nh ngay c khi SP = SP0 SS S

Giá tr tích phân này đư c g i là giá tr tr c ti p c a V (P )

n0 t i SP = SP0 SS và thư ng đư c ký hi u là V (P0 ) ,

Ch ng minh Nh vào đánh giá

Do tính gi i n i c a hàm Sµ(Q) trên m t S nên t n t i h ng s M sao cho





n



S n

0

S n0 Sµ(Q)dS Q = S r 2 SQ SP

đư c hoàn toàn xác đ nh ngay c khi SP = SP0 SS

Bây gi ta ch ng minh giá tr c a tích phân trên là m t hàm liên t c c a P

trên S Mu n v y ta c n ch ng minh r ng tích phân (2.13) h i t đ u t i m i

đi m SP0 b t kỳ trên S

Th t v y, theo đ nh nghĩa s h i t đ u c a tích phân ta ch vi c ch n ra lân

cân S() c a SP0 là m nh S1 trên m t S sao cho hình chi u c a nó xu ng m t ti p

xúc c a S t i SP0 là m t tròn SG (P0; SR) tâm SP0 bán kính R Còn S() là m nh 2 trên

S sao cho hình chi u c a nó xu ng m t ti p xúc nói trên là m t tròn G (P0; 2R) tâm SP0 bán kính 2R bán kính R ch n đ nh (vi c ch n R s nói trong ph n ch ng minh sau). S1

và S2 đư c gi thi t là cùng n m trong m t c u Lyapunov tâm SP0

Khi đó hai đi u ki n trong đ nh nghĩa tích phân h i t đ u, đ u đư c th a

mãn Th t v y

36

1 Đi u ki n th nh t

Do khi SP S1 và SQ SS2 hàm

cos(, ) = S ( 1 ) QP

n r

P Q S

2

n Q Sr PQ S

là hàm liên t c đ i v i P và Q, do S là m t Lyapunov kín suy ra

cos(0)µ(Q)dS S P

S Q ,





n

)

 2C S n S

G (P0 ;2R)

V y khi bán kính R c a G" đư c ch n th a mãn

(4r) S S C4 S S

Xét S là m t Liapun p kín Ta ký hi u SVn(Pi ) và SVn(0P e) l n lư t là giá tr gi i 

h n c a Sn0 V (P ) khi P luôn trên Sn S

0 và đi qua SP0 SS Ta ch ng minh tích phân Z(P) h i t đ u t i SP = SP0 Xét 

m t c u (P0, SR) tâm t i SP0, bán kính R đ nh mà ta s xác đ nh sau

M t c u (P0, SR) chia m t S l m hai ph n: SS (P0) bên trong, và SS"(P0)

bên ngoài m t c u Trong đ nh nghĩa tích phân h i t đ u, ta ch vi c ch n lân

c n S() c a đi m SP0 là m t lân c n đ nh ch a đi m SP0 c a pháp tuy n

nên rõ ràng t ích phân:

cos S cos S Sµ(Q)dS S Q

r2

S"(P0 ) liên t c v i P Đi u ki n 1) đư c th a mãn Ta ki m tra đi u ki n 2) Mu n v y,

ta đưa vào h t a đ đ a phương SP0 v i SP0 trùng v i pháp tuy n

Do các đánh giá trong ch ng minh trên là đ u v i m i SP0 SS, nên d th y

 S

V (P0) = SV (P0) + Sµ(P ) 0

i S

Xét m t m t Lyapunov kín S bao quanh mi n trong  c a R3 G i  = R3 

là mi n ngoài, Sf (P0) là hàm liên t c trên biên S Ta đi xét hai bài toán sau:

1 Bài toán Neumann trong (N i)

Tìm hàm Su(P ) liên t c trong  SS sao cho: