Luận văn nghiên cứu mô phỏng của 1 số bài toán về tĩnh điện trong sinh học

Trong dung môi là nước phân tử ADN trở nên tích điện âm và được xem như là một dây polymer tích điện với mật độ điện tích tuyến tính khoảng −1e/1.7A� e là điện tích của một proton.. Mặc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

Nguyễn Thị Trang

NGHIÊN CỨU MÔ PHỎNG CỦA 1 SỐ BÀI TOÁN

VỀ TĨNH ĐIỆN TRONG SINH HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

Nguyễn Thị Trang

NGHIÊN CỨU MÔ PHỎNG CỦA 1 SỐ BÀI TOÁN

VỀ TĨNH ĐIỆN TRONG SINH HỌC

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán

Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THẾ TOÀN

Hà Nội - 2015

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn "Nghiên cứu mô phỏng của 1 số bài toán tĩnh điện

trong sinh học", tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thế Toàn - Giảng viên

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, người đã tận tình hướng dẫn, trang bị những kiến thức cơ bản và động viên trong suốt quá trình tôi thực hiện luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thày cô giáo trong bộ môn Vật lý lý thuyết - Khoa Vật lý - Trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã trang bị những kiến thức chuyên môn cần thiết và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này

Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện của Ban chủ nhiệm khoa Vật Lý, phòng Sau Đại học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học Quốc Gia

Nguyễn Thị Trang

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1 2 Phương pháp nghiên cứu 3 3 Bố cục luận văn 3

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ CẤU TRÚC VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT VẬT LÝ CỦA PHÂN TỬ ADN 5

1.1 Cấu trúc hóa học của phân tử ADN 5 1.2 Cấu trúc không gian của phân tử ADN 8 1.2.1 Cấu trúc sơ cấp 8

1.2.2 Hiện tượng cuộn xoắn và các cấu trúc bậc cao của ADN 9

1.3 ADN được xem như một polymer tích điện, tính chất đàn hồi của ADN 11

1.3.1 Định nghĩa độ dài quán tính của dây polymer .12

1.3.2 Đóng góp của hiệu ứng tĩnh điện vào độ dài quán tính của ADN 14

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH POISSON - BOLTZMANN VÀ LÝ THUYẾT TĨNH ĐIỆN DEBYE - HUCKEL 19

2.1 Phương trình Poisson - Boltzmann 19

2.1.1 Phương trình Poisson - Boltzmann; Phương trình trường trung bình tự hợp 19

2.1.2 Tuyến tính hóa phương trình Poison - Boltzmann (PB); Phương trình Debye - Huckel (DH) 21

2.2 Phương trình Poisson - Boltzmann cho thế năng quanh một hình trụ tích điện….24 2.2.1 Nghiệm của phương trình Debye - Huckel cho thế năng quanh hình trụ tích điện .25

2.2.2 Hiện tượng cô đọng "Manning" 26

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG MONTE CARLO 30

3.1 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo 30 3.2 Điều kiện cân bằng chi tiết và thuật toán Metropolis 33

3.2.1 Điều kiện cân bằng chi tiết 33

3.2.2 Thuật toán Metropolis 34

CHƯƠNG 4 NHỮNG KẾT QUẢ MÔ PHỎNG THU ĐƯỢC CHO DÂY POLYMER TÍCH ĐIỆN 37

4.1 Mô hình dây polymer tích điện .37 4.2 Những kết quả mô phỏng thu được 41 4.2.1 Sự phụ thuộc một cách tỷ lệ của độ dài đầu - cuối vào bán kính chắn 42

4.2.2 Những kết quả thu được tại giới hạn bán kính chắn lớn .46

4.2.3 Hàm tương quan góc của các liên kết 51

KẾT LUẬN 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

PHỤ LỤC 59

DANH MỤC HÌNH VẼ

1 Hình 1.1 Cấu trúc 4 loại base của phân tử ADN………6

2 Hình 1.2 Cấu trúc hóa học của phân tử ADN………7 3 Hình 1.3 Cấu trúc xoắn kép của ADN……… 8 4 Hình 1.4 Một

số dạng cấu trúc hình học của ADN………9 5 Hình 1.5 Giản đồ sơ lược các bước xoắn của ADN trong hạt nhân tế bào…….10 6 Hình 1.6 Cấu trúc

nucleosome………11 7 Hình 1.7 Mô hình chuỗi

"blobs" tĩnh điện……… 16 8 Hình 2.1 Các ion linh động phân bố quanh hình trụ tích điện của phân tử

ADN……… 26 9 Hình 2.2 Phản ion phân bố trên một que cứng tích điện với tham số Manning

ξeff……… 29

10 Hình 3.1 Giản đồ phương pháp mô phỏng Monte Carlo………32

11 Hình 4.1 Dây polymer tích điện được mô hình hóa như chuỗi gồm N quả cầu

……… 37 12 Hình 4.2 Phép dịch chuyển pivot thay đổi cấu hình của polymer bằng cách lấy

một phần của chuỗi polymer từ một monomer được chọn ngẫu nhiên đến cuối chuỗi quay theo một góc ngẫu nhiên quanh một trục ngẫu nhiên………38

13 Hình 4.3 Phép dịch chuyển flip thay đổi cấu hình polymer bằng cách chọn ngẫu nhiên một monomer và thực hiện phép quay monomer đó quanh trục nối hai

monomer lân cận……… 39

14 Hình 4.4 Quá trình đạt trạng thái cân bằng của hệ với cấu hình ban đầu được chọn

là dạng khối cầu Gaussian ……….40 15 Hình 4.5 Các cấu hình ban đầu của mô phỏng: (a) Dạng que, (b) Dạng khối cầu

16 Hình 4.6 Sự phụ thuộc của bình phương độ dài đầu cuối PE (�2 ) vào bán kính �� chắn rs với số monomer khác nhau: N=64, N=128, N=256, N=512, N=2048, N=4096 Mũi tên bên phải hình vẽ cho giá trị �2 ⁄�� mô phỏng thế Coulomb �� không chắn (��→∞)……….41

17 Hình 4.7 Đồ thị lý thuyết sự phụ thuộc của � = ���[�2 ]/����� vào �� theo

lý ��

thuyết OSF với ��~��2 (đường nét liền) và ��~�� (đường nét đứt)……… 44

18 Hình 4.8 Kết quả mô phỏng sự phụ thuộc của � vào �� với các giá trị N khác nhau: N=64, N=128, N=256, N=512, N=1024, N=2048, N=4096……….45

19 Hình 4.9 Mật độ điện tích tuyến tính η được thể hiện như hàm của bán kính chắn

với các giá trị khác nhau của N: N=64, N=128, N=256, N=512, N=1024,

N=2048 Khi N tăng thì mật độ điện tích tuyến tính η tại ��⁄�� ≫ 1 tiến tới đường liền nét trên hình vẽ (không phụ thuộc N)……… 48

20 Hình 4.10 Đồ thị sự phụ thuộc của ��/�� vào �� được tính toán theo phương trình (4.6), (4.7), (4.8) và sử dụng dữ liệu R2 thu được từ mô phỏng với mật độ điện ee tích tuyến tính � = ��………50

21 Hình 4.11 Logarit của hàm tương quan góc �(�) phụ thuộc vào khoảng cách x

(trong đơn vị ��) dọc theo chuỗi PE cho trường hợp N = 512, rs = 50lB…….52

Khokhlov - Khachaturian

Độ dài quán tính Monte Carlo Odijk, Skolnick và Fixman Poisson - Bolztmann Polymer tích điện (Polyelectrolyte)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trải qua một lịch sử nghiên cứu lâu dài, axit deoxyribonucleic (ADN) được biết đến là một phân tử axit nucleic mang thông tin di truyền mã hóa cho mọi hoạt động sinh trưởng và phát triển của các dạng sống bao gồm cả một số virus Trong các cơ thể sống ADN có thể được tìm thấy trong nhân tế bào hoặc trong tế bào chất (đối với những sinh vật nhân sơ) Tại đó, ADN tham gia vào các quá trình tổng hợp, điều tiết số lượng protein, các quá trình trao đổi chất, sinh trưởng, phát triển và hoạt động di truyền qua các thế hệ… Chính vì vậy ADN đóng vai trò quan trọng trong mọi hoạt động của các cơ thể sống hay còn được gọi là "phân tử của sự sống"

Với tầm quan trọng như vậy, nghiên cứu các vấn đề liên quan đến ADN trở thành đề tài nhận được sự quan tâm của rất nhiều các nhà khoa học hàng đầu trong nước

và quốc tế Chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy trên các tạp chí khoa học có chỉ số ảnh hưởng (IF) cao, các tạp chí hàng đầu như: Nature, Science… rất nhiều những công trình nghiên cứu về ADN Ngoài vai trò rất quan trọng trong các ngành khoa học của sự sống (sinh học, công nghệ sinh học, bệnh học, di truyền, …), ADN còn được biết là một phân tử có cấu trúc rất trật tự như một tinh thể một chiều, và rất bền (có thể tồn tại khá lâu kể cả sau khi vật chủ đã mất) Do vậy, ADN còn là một ứng cử viên tiềm năng cho những nghiên cứu liên quan tới khoa học vật liệu như công nghệ vật liệu mới, mô phỏng vật liệu tự nhiên, vật liệu sinh học…của thế kỷ 21

Trong dung môi là nước phân tử ADN trở nên tích điện âm và được xem như

là một dây polymer tích điện với mật độ điện tích tuyến tính khoảng −1e/1.7A� (e là điện tích của một proton) Và nếu ta coi ADN là một hình trụ tích điện với bán kính 1nm, thì mật độ điện tích bề mặt là 1e/1n�2 Đây là một trong những mật độ điện tích lớn nhất đã quan sát được trong các hệ sinh học Do vậy các hiệu ứng tĩnh điện đóng vai trò rất quan trọng trong cấu trúc và hoạt tính của các hệ ADN Chẳng hạn như việc đóng gói ADN trong hạt nhân tế bào theo các cấu trúc đa cấp khác nhau,

1

việc gói ADN trong virus, việc đọc gene từ ADN… đều có mặt của các protein tương

tác với ADN dùng hiệu ứng tĩnh điện

Trong các thí dụ nêu trên, tính chất đàn hồi của ADN là một tham số có đóng góp quan trọng vào năng lượng tự do của các cấu trúc đóng gói này Các nghiên cứu về bài toán đàn hồi của ADN cho thấy, tương tác tĩnh điện Coulomb giữa các monomer có ảnh hưởng lớn tới độ đàn hồi của phân tử này Một số kết quả nghiên cứu cho kết quả tương tác tĩnh điện làm thay đổi độ đàn hồi của phân tử ADN Mặc dù ý tưởng tương tác tĩnh điện làm tăng độ cứng của dây polymer được chấp nhận về mặt định tính cũng như kiểm chứng trong một số kết quả thực nghiệm, song sự phụ

thuộc của độ dài tĩnh điện �� vào bán kính chắn �� của dung môi vẫn còn là đề tài gây nhiều tranh cãi Lý thuyết OSF cho kết quả độ dài tĩnh điện �� tỉ lệ với bình phương bán kính chắn ��, một số lý thuyết và tính toán máy tính khác lại cho kết quả �� tỉ lệ với �� mũ 1 , �� tỉ lệ với �� với số mũ nhỏ hơn 1 Như vậy bài toán sự phụ thuộc ��vào �� dù được phát biểu rất rõ ràng và trực quan, nhưng vẫn không có một lý thuyết thống nhất

Với mong muốn nghiên cứu sự ảnh hưởng của một số hiệu ứng tĩnh điện lên

phân tử ADN và đặc biệt, hi vọng tìm được một kết quả rõ ràng hơn cho bài toán về sự phụ thuộc của độ dài tĩnh điện, khoảng cách đầu cuối dây polymer vào bán kính chắn của dung môi Bên cạnh đó tìm hiểu các nguyên nhân dẫn tới sự không thống

nhất giữa các kết luận của sự phụ thuộc �� vào �� nêu trên là lý do tác giả lựa chọn đề

tài "Nghiên cứu mô phỏng của 1 số bài toán về tĩnh điện trong sinh học" là đề tài

cho luận văn của mình

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ sử dụng các mô phỏng Monte - Carlo trên

máy tính để xem xét sự phụ thuộc của độ dài tĩnh điện l e và khoảng cách đầu - cuối R ee dây polymer vào bán kính chắn r s Để thực hiện mô phỏng, chúng tôi sử dụng thư viện SimEngine được viết bởi TS Nguyễn Thế Toàn Đây là một thư viện mô phỏng vật lý modular dùng ngôn ngữ C++ và các mở rộng OpenMP, OpenCL để song song hóa các tính toán trên CPU nhiều lõi và trên GPGPU (card đồ họa tính toán) Điều

2

này sẽ cho phép chúng tôi mô phỏng polymer tích điện khá lớn và hạn chế được các hiệu ứng nhân tạo do hệ mô phỏng quá bé và có thể xem xét sự phụ thuộc của �� vào

�� một cách rõ ràng hơn Đồng thời, chúng tôi cũng sẽ phân tích chi tiết hơn các kết quả của mô phỏng bằng nhiều phương pháp xử lý số liệu khác nhau:

- Nghiên cứu sự phụ thuộc của khoảng cách đầu cuối ��� lên bán kính chắn ��

- Khớp và thu được giá trị độ dài quán tính tĩnh điện (��) cho trường hợp bán kính chắn �� lớn

- Phân tích hàm tương quan góc của các liên kết

Các phương pháp này sẽ giúp phân biệt giữa lý thuyết của OSF và lý thuyết của các nhóm như Joanny

2 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp mô phỏng Monte Carlo, mô phỏng mô hình dây polymer tích điện với công cụ hỗ trợ là ngôn ngữ lập trình C và C++, chúng tôi thực hiện những tính toán số nhằm khảo sát sự phụ thuộc của khoảng cách đầu cuối, độ dài quán tính tĩnh điện của dây polymer vào bán kính chắn nói riêng và ảnh hưởng của các hiệu ứng tĩnh điện của dung môi nói chung lên dây polymer tích điện

3 Bố cục luận văn

Ngoài phần mục lục và mở đầu, nội dung chính của luận văn gồm:

Chương 1 Tổng quan về cấu trúc và một số tính chất vật lý của phân tử ADN

Nội dung chương 1 của luận văn trình bày khái quát các đặc điểm về cấu trúc hóa học, cấu trúc không gian của phân tử ADN Đồng thời cũng giới thiệu một số tính chất vật lý của phân tử ADN và ảnh hưởng của các hiệu ứng tĩnh điện nên những tính chất vật lý đó

Chương 2 Phương trình Poisson - Boltzmann và lý thuyết tĩnh điện Debye

- Huckel

Trong chương 2, chúng tôi giới thiệu về lý thuyết tĩnh điện của dung môi và polymer tích điện, thiết lập phương trình trường trung bình tự hợp (phương trình

3

Poisson - Boltzmann) và giải phương trình Debye - Huckel cho trường hợp dây ADN được xem là hình trụ tích điện đặt trong dung môi là nước

Chương 3 Phương pháp mô phỏng Monte - Carlo

Nội dung chương 3, tác giả trình bày phương pháp mô phỏng được sử dụng trong luận văn: Phương pháp mô phỏng Monte Carlo và thuật toán Metropolis

Chương 4 Những kết quả mô phỏng thu được cho dây polymer tích điện

Trong chương 4 của luận văn, chúng tôi giới thiệu, phân tích và đưa ra những biện luận vật lý các kết quả thu được từ mô phỏng

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Phụ lục

4

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ CẤU TRÚC VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT

VẬT LÝ CỦA PHÂN TỬ ADN

Axit deoxyribonucleic (ADN) là một phân tử axit nucleic mang thông tin di truyền mã hóa cho hoạt động sinh trưởng và phát triển của các dạng sống bao gồm cả một

số virus Do vậy ADN có thể xem là phân tử quan trọng nhất của sự sống hay còn được gọi là "phân tử của sự sống" ADN nhận được sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều các nhà khoa học hàng đầu trong nước và quốc tế, chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy trên các tạp chí khoa học có chỉ số ảnh hưởng (IF) cao, các tạp chí hàng đầu như: Nature,

Science… rất nhiều những công trình nghiên cứu về ADN Thậm chí còn có tạp chí Nucleic acid research chuyên để công bố các nghiên cứu về ADN Trong phạm vi thực hiện của luận văn, chúng tôi tìm hiểu về một trong những vấn đề được đông đảo các nhà khoa học quan tâm đó là ảnh hưởng của các hiệu ứng tĩnh điện lên các tính chất vật lý của phân tử ADN khi đặt trong dung môi Các công trình nghiên cứu cho thấy, cấu trúc hóa học, cấu trúc không gian của phân tử ADN có ảnh hưởng rất lớn đến các đặc tính vật lý của nó,

do vậy việc tìm hiểu về cấu trúc của ADN là vô cùng cần thiết cho đề tài nghiên cứu của chúng tôi Chương 1 của luận văn, chúng tôi sẽ giới thiệu những kiến thức cơ bản nhất

về cấu trúc hóa học, cấu trúc không gian và một số tính chất vật lý của phân tử ADN chịu ảnh hưởng của các hiệu ững tĩnh điện

1.1 Cấu trúc hóa học của phân tử ADN

Về thành phần hóa học, ADN là một loại axit hữu cơ có chứa các nguyên tố chủ yếu là: cacbon (C), hiđro (H), oxi (O), photpho (P), nitơ (N)

Về cấu trúc hóa học, ADN là đại phân tử có khối lượng phân tử lớn, chiều dài có thể đạt tới hàng trăm micromet, khối lượng phân tử có thể đạt từ 4 đến 8 triệu, một số có thể đạt tới 16 triệu đơn vị cacbon ADN là hợp chất cao phân tử cấu tạo theo nguyên tắc đa phân, trong đó mỗi đơn phân là các nucleotide gọi tắt là các Nu Trong cơ thể người, số nucleotide có thể lên tới 3 tỉ nu với chiều dài phân tử ADN xấp xỉ 1m Về thành phần hóa học, mỗi nucleotide có 3 thành phần cơ bản: một phân tử đường deoxiribose, một gốc phosphate (H3PO4) và một trong bốn loại base

5

(nucleobase) A - T - G - C Trong đó hai loại base Cytosine (C) và Thymine (T) có cấu trúc vòng đơn cacbon nitrogen, kích thước nhỏ (Pyrimidine), hai loại base Adenin (A)

và Guanin (G) có cấu trúc vòng kép, kích thước lớn hơn (Purine) (Hình 1.1) Do mỗi nucleotide chỉ khác nhau ở thành phần nucleobase nên tên gọi của các nu là tên gọi của nucleobase mà nó mang

Hình 1.1 Cấu trúc 4 loại base của phân tử ADN

(Nguồn:http://pixshark.com)

Cấu trúc không gian phổ biến của ADN là cấu trúc chuỗi xoắn kép gồm hai mạch đơn (sẽ được chúng tôi giới thiệu chi tiết trong nội dung tiếp theo) Với cấu trúc

6

này, trên mỗi mạch đơn các đơn phân liên kết với nhau bằng liên kết hóa trị, là liên kết hình thành giữa đường C5H10O4 của nucleotide này với phân tử H3PO4 của

nucleotide bên cạnh (hay còn được gọi là liên kết photphodieste) hình thành nên chuỗi polinucleotide (Hình 1.2)

Hình 1.2 Cấu trúc hóa học của ADN (Nguồn: http://commons.wikimedia.org)

Liên kết photphodieste là liên kết bền, đảm bảo thông tin di truyền trên mỗi mạch đơn ổn định ngay cả khi ADN tái bản và phiên mã Đồng thời chính liên kết hóa trị này cũng làm nên tính ổn định của phân tử ADN Do đó chuỗi các liên kết giữa phân

tử đường và gốc phosphate được xem là chuỗi "xương sống" của phân tử ADN, có ý nghĩa quan trọng trong hoạt động di truyển của các cơ thể sống Từ chuỗi xương sống này, các nucleobase trên nhánh đơn gắn vào nhóm phân tử đường của nhánh đó như "chân rết", trên hai nhánh đơn các nuleobase liên kết với nhau thông qua các liên kết hiđro Hai liên kết này hình thành nên độ cứng và cấu trúc không gian của phân tử ADN

7

1.2 Cấu trúc không gian của phân tử ADN

1.2.1 Cấu trúc sơ cấp

Cấu trúc sơ cấp của phân tử ADN được biết

đến là cấu trúc chuỗi xoắn kép gồm hai sợi đơn - chuỗi

polinucleotide Có nhiều dạng xoắn hai mạch đơn của phân

tử ADN, tuy nhiên cấu trúc phổ biến

nhất là cấu trúc xoắn dạng B - ADN theo mô hình của

J.Oat xơn và F.cric xây dựng năm 1953 Theo mô hình

này, hai mạch đơn của phân tử ADN liên kết với nhau và

xoắn đều quanh một trục tưởng tượng theo chiều từ trái

sang phải tương tự như chiếc thang dây xoắn với bán

kính 1nm gồm nhiều vòng xoắn Các chu kỳ xoắn

được lặp đi lặp lại đều đặn, chiều

cao mỗi vòng xoắn là 3.4��, trung bình khoảng 10.5

cặp base nu một chu kỳ với khoảng cách các cặp nu

xấp xỉ 0.34�� (Hình 1.3)

Hai bên tay thang là các phân tử đường và axit

phosphoric sắp xếp xen kẽ nhau, mỗi bậc thang là các

cặp base liên kết với nhau bằng liên kết hiđro theo

nguyên tắc bổ sung, nghĩa là một base lớn liên kết với

một base có kích thước nhỏ hơn Do đặc điểm cấu trúc

của các nucleobase mà liên kết hiđro chỉ hình thành

giữa hai loại nucleobase nhất định là A với

1nm

3.4

nm

0.34nm

T (qua 2 liên kết hiđro) và C với G (qua 3 liên kết

hiđro) Đó thực chất là liên kết giữa một purine và một

Hình 1.3 Cấu trúc xoắn kép của ADN (Nguồn: http://staff.agu.edu.vn)

pyrimidine nên khoảng cách tương đối giữa hai chuỗi polynucleotide được giữ vững

Trong môi trường nước, gốc phosphate mất đi proton và trở nên tích điện âm Do

vậy khi đặt ADN trong môi trường nước mật độ điện tích tuyến tính của ADN

khoảng −1e/1.7A� Và nếu ta coi ADN là một hình trụ tích điện với bán kính 1nm,

8

thì mật độ điện tích bề mặt là 1e/1n�2 Đây là một trong những mật độ điện tích lớn nhất đã quan sát được trong các hệ sinh học Do vậy các hiệu ứng tĩnh điện đóng vai trò rất quan trọng trong cấu trúc và hoạt tính của các hệ ADN Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi sẽ đi sâu tìm hiểu ảnh hưởng của hiệu ứng tĩnh điện vào độ cứng của ADN

Ngoài mô hình cấu trúc chuỗi xoắn kép của J.Oat xơn và F.cric (B - ADN), còn một số cấu trúc hình học của ADN được biết đến như cấu trúc dạng A, Z… (Hình 1.4) Các dạng cấu trúc này khác với cấu trúc xoắn kép (dạng B) ở hình dạng, kích thước và một

số các chỉ số như: số các nucleotide trong một chu kỳ xoắn, đường kính xoắn, chiều

xoắn…Tuy nhiên trong tự nhiên cấu trúc xoắn kép - dạng B được xem là phổ biến nhất

Hình 1.4 Một số dạng cấu trúc hình học của ADN

(Nguồn: http://fr.wikipedia.org)

1.2.2 Hiện tượng cuộn xoắn và các cấu trúc bậc cao của ADN

Như chúng tôi đã giới thiệu trong những mục trên, hiệu ứng tĩnh điện đóng vai trò rất quan trọng trong cấu trúc và hoạt tính của hệ ADN Một trong những bài toán tĩnh điện điển hình của ADN là việc đóng gói phân tử này trong hạt nhân của tế bào,

9

vừa giúp giảm kích thước ADN rất hiệu quả nhưng vẫn đảm bảo quá trình sao chép

và phiên mã ADN diễn ra bình thường Những nghiên cứu về cấu trúc không gian của ADN cho thấy ADN thường bị bẻ cong, cuộn xoắn thành các cấu trúc đa cấp từ xoắn kép của 2 chuỗi polunicleotide(1) đến các cấu trúc nucleosome(2), sợi 10nm(4), sợi 30nm(5), sợi 300nm(6), … chromosome(8), (Hình 1.5)

0

1 0

Hình 1.5 Giản đồ sơ lược các bước xoắn của ADN trong hạt nhân tế bào

(Nguồn: http://imgbuddy.com)

Đặc điểm các cấu trúc xoắn đa cấp của ADN có thể giới thiệu sơ lược như sau:

- Các đoạn ADN với chiều dài tương ứng khoảng từ 140 đến 150 cặp base

cuộn quanh một lõi gồm 8 quả cầu protein histon (2 quả cầu H2A, 2 quả cầu H2B, 2 quả cầu H3 và 2 quả cầu H4) để tạo thành các nucleosome đường kính khoảng 10nm Các

nucleosome liên tiếp được nối với nhau bằng một đoạn ADN khoảng 20 đến 60 cặp base gọi là "linker ADN" (Hình 1.6)

10

linker ADN

- Khoảng 6 nucleosome cuộn lại thành một solenoid, các solenoid tiếp tục cuộn xoắn tạo thành các quai chromatin (chromatin loop) Các quai chromatin lại tiếp tục cuộn xoắn hình thành nên các sợi của nhiễm sắc thể

Như vậy bằng khả năng cuộn xoắn ADN có thể giảm kích thước xuống khoảng xấp xỉ 1 000 000 lần so với chiều dài của nó trước khi cuộn xoắn, để có thể cuộn xoắn được như vậy tính đàn hồi của ADN được xem là yếu tố có tính chất quyết định, mà đặc trưng của nó là độ dài quán tính (ĐDQT) chúng ta sẽ tìm hiểu trong những phần tiếp theo của luận văn

1.3 ADN được xem như một polymer tích điện, tính chất đàn hồi của ADN

Như trong nội dung trên chúng tôi đã đề cập đến việc ADN trở nên tích điện

âm khi đặt trong môi trường nước và khả năng xoắn chặt của ADN trong hạt nhân tế bào

mà tính đàn hồi của ADN có ảnh hướng lớn đến cấu trúc này Trong mục tiếp theo, chúng tôi sẽ giới thiệu các khái niệm và lý thuyết cơ bản để nghiên cứu sự đàn hồi và ảnh hưởng của các hiệu ứng tĩnh điện nên tính đàn hồi của ADN Đồng thời cũng để giới thiệu các ký hiệu thường xuyên được sử dụng trong luận văn này

11

1.3.1 Định nghĩa độ dài quán tính của dây polymer

ADN được đặt trong môi trường nước thì trở nên tích điện âm, khi đó chúng

ta có thể coi ADN như một dây polymer tích điện (Polyelectrolyte - PE) với các monomer liên kết nhau Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi quan tâm đến độ dài quán tính (ĐDQT) của dây polymer tích điện ĐDQT �� của polymer là một trong những đại lượng đặc trưng cho độ dẻo của một polymer, nó có thể được định nghĩa

là độ dài mà ở khoảng cách lớn hơn nó thì tương quan về hướng của các monomer bị mất Hay nói cách khác ở các độ dài ngắn hơn ĐDQT (� < ��) thì các monomer nhớ được hướng của các monomer trước nó và hướng của các monomer là tương quan với nhau Lúc này cấu hình của polymer có thể được biểu diễn như một hình trụ cứng (hình que) Nếu ĐDQT �� xấp xỉ độ dài một liên kết giữa các monomer thì polymer được gọi là polymer dẻo (flexible), trường hợp � > �� ≫ độ dài các liên kết thì polymer được gọi là polymer bán dẻo (semiflexible) Ở những kích thước lớn hơn ��

do thăng giáng nhiệt làm cho hướng của các monomer không tương quan nữa và làm cho cấu trúc của dây polymer bị bẻ cong, hình thành các cấu trúc dạng xoắn

(coil)…Như vậy có thể thấy khi ĐDQT càng lớn thì dây polymer càng cứng và năng lượng để bẻ cong nó càng lớn

ĐDQT tuy rất trực quan về ý nghĩa vật lý, nhưng trên thực tế có rất nhiều cách

cả định lượng và định tính khác nhau để mô tả sự tương quan về hướng giữa các đoạn polymer, do vậy có rất nhiều công thức toán học khác nhau dùng để định nghĩa

ĐDQT Chúng ta có thể tóm tắt một số định nghĩa thông thường như sau:

 Định nghĩa 1: ĐDQT là hình chiếu trung bình của vecto đầu - cuối lên

hướng tiếp tuyến với dây polymer tại một đầu [17]: Nếu dây polymer được mô hình hóa

là một chuỗi các vecto của các liên kết thì hướng tiếp tuyến với dây polymer ở

một đầu có thể được biểu diễn bằng vecto liên kết đầu tiên Sử dụng phương trình:

Với: |���| là khoảng cách (độ dài) đầu - cuối của dây PE ⃗

Ta thu được phương trình xác định ĐDQT:

�� là vecto biểu diễn vị trí của monomer thứ i ⃗

Ký hiệu trong ngoặc 〈… 〉 là trung bình của tất cả các cấu hình có thể của PE

với trọng số thống kê tương ứng Có thể nhận thấy, định nghĩa này không kể đến các

hiệu ứng do các monomer cuối gây nên, do vậy việc sử dụng định nghĩa này thường chỉ có ý nghĩa trong các trường hợp lý tưởng khi xem xét một dây PE dài vô hạn

Định nghĩa 2: ĐDQT là hình chiếu trung bình của vecto đầu - cuối lên một

Với k là vị trí của liên kết trên dây PE Định nghĩa này cho phép chúng ta định

nghĩa ĐDQT một cách toàn diện và hạn chế được các vấn đề do hiệu ứng cuối gây ra, nhưng từ biểu thức có thể nhận thấy độ dài này sẽ thay đổi theo vị trí của các monomer trên dây polymer

 Định nghĩa 3: Độ dài các đường viền của hàm tương quan góc giữa các

vecto liên kết [35]

Tương quan về hướng của các vecto liên kết giảm dần dọc theo dây PE Tương quan này có thể biểu diễn một cách toán học bằng tích vô hướng của hai vecto liên kết ở

khoảng cách j dọc theo trục của PE Với những dây polymer không tích điện, hàm

tương quan này giảm theo hàm mũ và giá trị ĐDQT khi đó được xác định theo

công thức:

13

(1.4) Trường hợp dây polymer tích điện (PE), hàm tương quan thườn

g khôn

g giảm dần theo quy luận của

hàm

e mũ

một cách đơn giản

và biểu thức của giá trị trung bình

〈co

0Định nghĩa này thường được dùng cho mô

hình chuỗi PE liên tục Trong đó s

dây

Đ

ã có rất nhiều định nghĩa

về ĐDQ

T của dây

PE được đưa

ra, tuy nhiên các định nghĩa này chỉ sai khác nhau một hằng

số và trong một

số

trườn

g hợp

là hoàn toàn đồng nhất Trong thực nghiệ

m, ĐDQ

T, khoản

g cách đầu - cuối hay bán kính hồi chuyể

n chỉ

có thể xác định một cách gián tiếp thông

việc khớp các kết quả thực nghiệm với lý thuyết

Ngoài ĐDQT ��, độ dài liên kết l B, trong

các tài liệu khoa học còn sử dụng

khái niệm độ dài Kuhn �� Độ dài này xuất hiện khi

polymer được mô hình hóa bởi

1.3.2 Đóng góp của hiệu ứng tĩnh điện

vào độ dài quán tính của ADN

ADN

l

à mộ

t phâ

n tử

tíc

h điệ

n rấ

t mạn

h tr

on

g mô

i trườn

g nước, d

o đ

ó ADN

c

ó thể được coi là một polymer

tích điện (polyelectrolyte hay viết tắt là PE) Khi nghiên

cứu về ĐDQT của PE ngoài ĐDQT tự nhiên (chiều dài tự nhiên) �� do các cấu trúc

hóa học của các monomer và liên kết giữa chúng tạo thành, ĐDQT tổng cộng �� còn

có một đóng góp tĩnh điện �� do tương tác

Coulomb giữa các monomer: �� = �� + ��

Trong các bài toán tĩnh điện trong dung môi, chúng ta thường chỉ quan tâm

đến các bậc tự do của PE và bỏ qua bậc tự do của các ion linh động Điều này được thực hiện bằng cách cố định các bậc tự do của PE và lấy trung bình thống kê theo tất

1

4

cả các cấu hình của các ion linh động Trong môi trường nước của cơ thể sống thường

xuyên có mặt các muối khác nhau, tạo thành các ion Na+, Mg2+, Cl- ,… do đó tương tác hiệu dụng giữa hai điện tích của PE không là tương tác Coulomb thông thường,

mà sẽ bị chắn ở khoảng cách chắn Debye - Huckel (DH), �� theo công thức:

� Với: � = 4.8 × 10−7 ��� là điện tích của một proton, ε = 78 là hằng số điện

môi của nước; �� = 1⁄�� = √41� ��� ��2 là bán kính chắn Debye - Huckel, r là khoảng 2 � cách Tương tác tĩnh điện giữa các monomer của PE lúc này là tương tác Coulomb chắn hay tương tác Debye - Huckel

Ở khoảng cách � < �� phương trình (1.6) cho lại tương tác Coulomb thông thường và ở khoảng cách � > �� tương tác tĩnh điện giảm mạnh theo hàm mũ Tương tác này sẽ được chúng tôi giới thiệu chi tiết hơn tại các mục tiếp theo

Chúng ta thấy, theo biểu thức (1.6) do tương tác Coulomb chắn giảm nhanh theo hàm mũ ở khoảng cách lớn hơn bán kính chắn Debye �� nên các công trình nghiên cứu về PE thường giả thiết ĐDQT tĩnh điện ��~�� Tuy nhiên giả thiết này đã được chứng minh không phù hợp trong công trình nghiên cứu tiên phong của Odijk [32] và Skolnick Fixman [38] (OSF) Các tác giả này đã chứng minh rằng, tương tác DH

có thể làm PE có cấu hình dạng trụ ở độ dài lớn hơn rất nhiều so với bán kính

chắn Cụ thể, những tính toán của họ cho độ dài �� được xác định theo phương trình:

Từ phương trình chúng ta có thể nhận thấy, độ dài do tương tác tĩnh điện gây

ra ��~��2 có thể lớn hơn bán kính chắn �� rất nhiều trong trường hợp hiệu ứng chắn là yếu (�� rất lớn) hay nồng độ ion nhỏ Lý thuyết của OSF khi nghiên cứu về vấn đề

15

này đã giả thiết ĐDQT tự nhiên �� là lớn và các góc cong của các monomer trên dây polymer là nhỏ (kết quả thu được hoàn toàn tương tự khi giả thiết độ dài �� dù không đủ lớn, nhưng độ dài �� đủ lớn)

Mặc dù ý tưởng tương tác tĩnh điện làm tăng độ cứng của dây polymer được chấp nhận về mặt định tính cũng như kiểm chứng trong một số kết quả thực nghiệm, song sự phụ thuộc của độ dài tĩnh điện �� vào bình phương bán kính chắn �� vẫn còn

là một đề tài gây nhiều tranh cãi Một số công trình nghiên cứu đã đặt câu hỏi cho giả thiết của lý thuyết OSF [4, 5], đặc biệt khi xét trong trường hợp ĐDQT tự nhiên �� nhỏ đến mức góc lệch giữa các liên kết của monomer quá lớn trước khi tương tác tĩnh điện có thể làm cứng dây polymer

Một kết quả quan trọng đã thu được khi Khokhlov và Khachaturian (KK) tổng quát hóa lý thuyết OSF cho trường hợp polymer bán dẻo (trường hợp �� rất nhỏ) [19] Kết quả tính toán đã cho thấy rằng khi không có hiệu ứng chắn nghĩa là khi �� →∞

thì cấu trúc polymer có thể mô tả bằng khái niệm chuỗi "blobs" tĩnh điện (Hình 1.7) Khái niệm "blob" tĩnh điện được hiểu là một đơn vị nhỏ của phân tử ADN mà trong

đó tương tác tĩnh điện nhỏ hơn thăng giáng nhiệt độ Kích thước của một "blob" �

liên quan đến số đoạn Kuhn g theo công thức: � = �g 1/2 Điều kiện tương tác Coulomb của một "blob" là năng lượng tĩnh điện của nó cân bằng với năng lượng

nhiệt, nghĩa là (�����)2/�� = ���, điều này dẫn đến � ≈ (�����2/�2)1/3

� �

Blob b

Hình 1.7 Mô hình chuỗi "blobs" tĩnh điện (Nguồn: http://www.mdpi.com)

16

Ở khoảng cách lớn hơn � thì tương tác Coulomb đóng vai trò quan trọng và chuỗi "blobs" sẽ có dạng hình trụ, khoảng cách từ đầu này đến đầu kia của polymer tỷ lệ với

là lớn hơn kích thước "blob" � trong lý thuyết K - K (trường hợp chắn yếu) Đối với

trường hợp chắn mạnh �� < �, độ dài tĩnh điện �� mất đi ý nghĩa vật lý của nó, lúc này polymer thể hiện như một polymer dẻo "không tĩnh điện" và tương tác DH chỉ đóng vai trò của một tương tác thể tích loại trừ thông thường

Một số xấp xỉ trường trung bình cũng đã được đề xuất để mô tả định tính hơn cấu trúc của polymer dẻo Các tính toán này tuy dựa vào các mô hình khác nhau của năng lượng nhưng đều có ý tưởng cơ bản là mô tả một polymer dẻo bằng một polymer không tương tác và tối ưu hóa ĐDQT của hệ không tương tác để năng lượng tự do của polymer

là nhỏ nhất Điều đáng ngạc nhiên một số tính toán cho kết quả phù hợp

với lý thuyết của OSF và K - K (��~��2) [12, 14, 27], nhưng một số tính toán khác như của nhóm Joanny lại cho kết quả (��~��), [4-6, 11] Tuy nhiên các tính toán này phụ thuộc nhiều vào Hamiltonian của mô hình được sử dụng, nên các kết quả không thể xem là kết quả cuối cùng

Các mô phỏng trên máy tính [2, 26, 34, 37, 42 - 43] đã được sử dụng để kiểm tra lý thuyết OSF và các lý thuyết trường trung bình trên Nhưng thú vị là, một số kết

17

quả lại cho thấy ��~��, một số kết quả khác cho �� tỷ lệ với �� với số mũ nhỏ hơn 1, [26] Như vậy bài toán của sự phụ thuộc �� vào �� dù được phát biểu rất rõ ràng, và trực quan nhưng vẫn không có kết quả thống nhất cho một polymer dẻo

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ sử dụng các mô phỏng trên máy tính để xem xét sự phụ thuộc của �� vào �� Để thực hiện mô phỏng, chúng tôi sử dụng thư viện SimEngine được viết bởi TS Nguyễn Thế Toàn Đây là một thư viện mô phỏng vật

lý dùng ngôn ngữ C++ và các mở rộng OpenMP, OpenCL để song song hóa các tính toán trên CPU nhiều lõi và trên GPGPU (card đồ họa tính toán) Do phải xem xét chi tiết tương tác tĩnh điện ở khoảng cách lớn nên chúng tôi không dùng thế năng "bị cắt" (cut - off

potential) thông thường, mà phải tính đến tương tác giữa tất cả các hạt dù ở khoảng cách

xa Như vậy số tương tác cần tính cho mỗi bước mô phỏng là tỉ lệ với

�2 (N là số monomer) Ngoài ra, thời gian "relax" của các cấu hình là tỉ lệ với N, nên thời gian tính toán của mô phỏng sẽ tỉ lệ với N 3 Do vậy việc song song hóa các tính

toán trên CPU và GPGPU là rất quan trọng Dùng SimEngine, với tốc độ hiện thời chúng tôi có khả năng mô phỏng một polymer khá dài xấp xỉ 4000 monomer, tức là gấp xấp xỉ 4 lần những polymer dài nhất đã từng được nghiên cứu trước đây Điều này sẽ cho phép chúng tôi hạn chế các hiệu ứng nhân tạo do hệ mô phỏng quá bé và

có thể xem xét sự phụ thuộc của �� vào �� một cách rõ ràng hơn Đồng thời chúng tôi cũng sẽ phân tích chi tiết hơn các kết quả của mô phỏng bằng nhiều phương pháp xử

lý số liệu khác nhau Các phương pháp này sẽ giúp phân biệt giữa lý thuyết của OSF và

lý thuyết của các nhóm như Joanny Kết quả phân tích dữ liệu mô phỏng cho thấy lý thuyết OSF-KK là phù hợp hơn cả

18

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH POISSON - BOLTZMANN VÀ

LÝ THUYẾT TĨNH ĐIỆN DEBYE - HUCKEL

Phân tử ADN được đặt trong môi trường nước trở nên tích điện âm và chịu ảnh hưởng của các tương tác tĩnh điện Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu các phương pháp thường được sử dụng khi nghiên cứu các bài toán tĩnh điện trong dung môi

để nghiên cứu bài toán về ảnh hưởng của hiệu ứng tĩnh điện nên độ dài quán tính dây ADN

2.1 Phương trình Poisson - Boltzmann

2.1.1 Phương trình Poisson - Boltzmann; Phương trình trường trung bình

tự hợp

Phương trình Poisson - Boltzmann (PB) là một phương pháp trường trung bình được sử dụng để giải quyết bài toán nhiều hạt cổ điển của các ion linh động trong dung dịch nước [16, 36] Phương trình này xuất phát từ phương trình Poisson của một

Trong đó �� là mật độ điện tích thứ i và ς là hệ số ma sát Đây chính là biểu

thức của định luật Ôm Thêm vào đó, sự khuếch tán của các điện tích khi nồng độ ion không thuần nhất được mô tả bởi định luật Fick theo biểu thức:

19

Với ∈ là hằng số điện môi Ta có tổng nồng độ điện tích �(�) ở vế phải của

phương trình (2.6) bao gồm tổng nồng độ của tất cả các ion và các điện tích cố định khác:

�(�) = ∑ �� ���(�) + ����(�)

� Tổng hợp các công thức (2.5), (2.6) ta thu được phương trình:

bài toán tĩnh điện trong dung môi ta thường xét đến các phân tử "macroion" như

ADN…chúng ta thường chỉ quan tâm đến bậc tự do của các "macroion" và thay thế các bậc tự do của các ion linh động bằng phân bố trung bình của chúng Các

20

"macroion" được coi là các điện tích cố định và ta cần giải phương trình PB để tìm phân bố trung bình của các ion linh động đồng thời tìm tương tác hiệu dụng giữa các

"macroion" Nghiệm của phương trình PB mô tả thế năng tĩnh điện và mật độ điện tích trong dung dịch với các điều kiện biên được cho bởi các điện tích cố định (được

xem như điện tích ngoài) hoặc định luật bảo toàn điện tích:

Do thế năng �(�) xuất hiện cả trên hàm e mũ nên phương trình PB (2.8) là

phương trình phi tuyến mạnh, rất khó giải trong trường hợp tổng quát, chúng ta chỉ

có thể giải được bằng giải tích trong một vài trường hợp đặc biệt cần đển tính toán số như: khi điện tích ngoài là mặt phẳng, mặt cầu hoặc hình trụ…

Trong các tài liệu chuyên ngành lý sinh, khi nghiên cứu về phương trình PB, phương trình này thường được viết dưới dạng không thứ nguyên, điều này được thực hiện bằng cách: Nhân cả 2 vế của phương trình (2.8) với �/��� và thay thế năng tĩnh điện �, bằng thế năng tĩnh điện không thứ nguyên ��/���, ta thu được phương trình:

kiện � < ��, và sẽ ion hóa nếu � > �� (do các thăng giáng nhiệt) Trong dung dịch nước với hằng số điện môi ∈= 80 và tại nhiệt độ phòng T=298o K, độ dài ��≈ 7��

2.1.2 Tuyến tính hóa phương trình Poison - Boltzmann (PB); Phương trình

Với ��là mật độ ion khối trung bình

Khi �′ ≪ 1 ta có sinh[�′(�)] ≈ �′(�) , biểu thức (2.11) có thể viết:

đó

ta cố

một điện tích dương đơn vị tại vị trí �′ (đóng vai trò điện

tích ngoài) và xem xét thế năng tĩnh điện tại x, phương trình P - B (2.12) trở

Phương trình (2.11) hoặc phương trình (2.13) là phương trình PB đã

năng tại x tạo bởi điện tích thử tại x' do các thăng giáng quanh điện tích thử Nó

cũng có thể được giải thích là tương tác tĩnh điện giữa 2 điện tích Ze tại vị trí x

và x' khi

có các ion linh động thăng giáng xung quanh (chú ý khi � → 0, hàm Green trở

thành tương tác Coulomb thông thường) Nghiệm của phương trình (2.13) giảm

�

� �

22

Đây được xem là một kết quả quan trọng của phương trình D - H, [8] Kết quả này cho thấy, tương tác tĩnh điện trong dung dịch điện phân bị chắn ở khoảng cách

bằng bán kính chắn tỉ lệ với căn bậc hai của nồng độ ion linh động �� hay thế năng

tĩnh điện giảm một cách lũy thừa theo khoảng cách Trường hợp dung dịch gồm nhiều loại ion với nồng độ ��, hóa trị ��, khi đó bán kính chắn được xác định theo công thức:

�2

�� = √4�� � , �

Các kết quả thực nghiệm cho thấy, lý thuyết D - H là phù hợp khi động năng

(năng lượng nhiệt) lớn hơn rất nhiều so với tương tác giữa các ion Ta có thể định lượng hóa phạm vi ứng dụng của lý thuyết DH bằng việc xem xét, định nghĩa một tham số không thứ nguyên Γ phụ thuộc vào tỉ số giữa thế năng và động năng theo

� = ��⁄�� = ���� tỉ lệ �3/2, � tỉ lệ nghịch với số hạt trung bình ���trong hình cầu

với bán kính chắn Debye:

���~�−3��~

� �

23

(2.18)

Do các điều kiện tương tác yếu � ≪ 1 tương đương với điều kiện số ion trong phạm vi bán kính chắn lớn, do vậy lý thuyết DH là một lý thuyết nhiễu loạn cổ điển chứa các hiệu ứng tương quan bậc 1 Khi hiệu ứng tĩnh điện mạnh hơn cần sử dụng lý thuyết

PB thay cho lý thuyết DH

Tại gần bề mặt tích điện với mật độ điện tích σ, các ion đơn trị của bề mặt chịu

một lực tĩnh điện có độ lớn 2���(�/�)��� Ngoài bán kính chắn �� của dung dịch tại gần bề mặt các " macroion" còn có một độ dài khác cũng đóng vai trò khá quan trọng

đó là độ dài Gouy - Chapman (�) Độ dài này được định nghĩa là độ dài mà tại đó năng lượng nhiệt cân bằng với năng lượng tĩnh điện, [7, 10] Và được xác định bằng

Ý nghĩa vật lý của độ dài này là độ dày của lớp mà tại đó có các phản ion của

bề mặt phân bố Để đánh giá sự phù hợp giữa lý thuyết của PB cho điện tích bề mặt

ta giả thiết các phản ion tạo thành khí lý tưởng với nồng độ ~ �/��, khi đó bình phương nghịch đảo của bán kính chắn tỉ lệ với độ dài quán tính �2~���~ 1/�2 do �

đó tham số � ~��/� Chúng ta có thể dự đoán lý thuyết P - B sẽ cho ta kết quả khả quan khi �� ≪ �, tuy nhiên điều kiện này không còn phù hợp cho những bề mặt tích điện cao

2.2 Phương trình Poisson - Boltzmann cho thế năng quanh một hình trụ tích điện

Như chúng tôi đã giới thiệu trong các mục trên, phương trình PB là phương trình phi tuyến mạnh rất khó giải trong trường hợp tổng quát Chúng ta chỉ có thể giải được phương trình này bằng phương pháp giải tích trong một vài trường hợp đặc biệt như: khi điện tích ngoài là mặt phẳng, mặt cầu hoặc hình trụ… Trong mục này chúng tôi

sẽ trình bày kết quả lý thuyết của phương trình PB cho trường hợp giả thiết dây polymer tích điện đặt trong môi trường nước có thể được xem như mô hình một hình trụ tích điện với các điện tích linh động xung quanh

24