các chuyên đề thường gặp trong kỳ thi tuyển sinh lớp 10 môn toán

Rút gọn biểu thức: 1 Rút gọn bằng cách tính trực tiếp: Bằng cách tính tốn tiếp như quy đồng mẫu số, nhân chia dạng liên hợp để trục căn ở mẫu, khai căn,…Tổng hợp các điều đĩ thơng qua

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM

Chương 1: CĂN BẬC HAI- CĂN BẬC BA

Bài 1: KHAI CĂN BẬC HAI

I Điều kiện xác định của một hàm số hay biểu thức chứa căn bậc hai:

Chú ý: Cho biểu thức yax2bx c

 Nếu ax2 bx c 0có 2 nghiệm

2

2x 3y

2

2x 3y

x 11x2

Chú ý: A 0, biểu thức giá trị tuyệt đối luôn dương Nên 3 2  3 2 là sai

vì 3 2  3 2 0 Vậy nếu biết chắc giá trị A0 thì ta mở giá trị tuyệt đối

A A và giá trị A âm thì ta mở giá trị tuyệt đối A  A và nếu không chắc A là số dương hay âm thì ta phải có dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 2: 9  3 = 3 và (a+1) = a+12 (vì chúng ta chưa biết là a+1 có dương hay âm nên phải có dấu giá trị tuyệt đối)

III Khai căn của một biểu thức: Ta đã biết các tính chất cơ bản sau: với A,B 0

 A B 2 AB   ( A B)2  A B

1) Khai căn thức dạng C 2 D : Chúng ta phân tích C 2 D thành dạng bình phương

như sau: C 2 D A B 2 A.B  Tức là: phân tích D = A.B là tích của 2 số dương

A và B sao cho tổng của chúng là C, (C = A+B)

Khi đó:

Tương tự cho biểu thức C 2 D Khi phân tích D = A.B là tích của 2 số dương A và

B sao cho C = A+B thì

Tóm lại: Khi phân tích được D = A.B (A, B là 2 số dương) sao cho A + B = C thì ta

khai căn được nhanh chóng như sau: C 2 D  A B

(do ta phân tích D = 12 = 12.1 thoả 12 + 1 = 13 = C)

nên A trở thành: A 6 2 5 (2 3 1)    6 2 4 2 3 

mà ta lại có: 4 2 3  3 1 3 1

(do ta phân tích D = 3 = 3.1 thoả 3 + 1 = 4 = C)

2) Trục Căn ở mẫu thức: Một biểu thức chứa căn ở mẫu sẽ làm trở ngại cho việc tính

toán Ta làm cho biểu thức ở dưới mẫu khơng cịn chứa căn nữa gọi là trục căn ở

mẫu thức Để làm được như vật, ta dùng tính chất nhân chia dạng liên hợp như sau:

b) Tính giá trị của biểu thức:

Vậy y = – x là điều phải chứng minh

b) Thay giá trị y = –x vào biểu thức S ta có:

S = Vậy 2010 1

III Rút gọn biểu thức:

1) Rút gọn bằng cách tính trực tiếp: Bằng cách tính tốn tiếp như quy đồng mẫu số, nhân

chia dạng liên hợp để trục căn ở mẫu, khai căn,…Tổng hợp các điều đĩ thơng qua các ví

2) Rút gọn bằng cách đặt ẩn phụ: Một biểu thức chứa nhiều dấu căn phức tạp thì ta cĩ

thể dùng ẩn phụ để làm cho biểu thức đơn giản hơn Từ đĩ thực hiện các phép tốn trên các ẩn phụ Sau cùng, trả lại ẩn phụ

Điều kiện xác định : x 0 và x 4

Đặt y xxy2 Thay vào biểu thức A, ta cĩ:

A=

2 2

3) Rút gọn bằng cách khai căn trực tiếp: Ta phân tích trong căn cĩ dạng bình phương để khai căn Đối với căn bậc hai, chú ý đến tính chất: A nếu A 0

A-A nếu A< 0





 



2neáu x 2

4) Rút gọn bằng cách bình phương biểu thức: Một biểu thức (A) khơng thể

rút gọn từng phần thì ta cĩ thể tính A2 Sau khi cĩ được các giá trị của A2 thì

ta suy ra giá trị của A

Bài 4: Tính giá trị của đa thức :

P(x) = x54x43x24x 3  x = 2 + 5

Bài 5: Cho biểu thức sau :

Bài 15: (Vào lớp 10 chuyên PTNK Trần Phú Hải Phịng 2003-2004):

2 4

2

x y x yCho A = , với x y, y 0

1) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định Rút gọn P(x)

2) Chứng minh rằng nếu x >1 thì P(x).P( x) < 0.

Bài 19: (Vào lớp 10 chuyên ĐHQG Hà Nội 2004-2005):

1) Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa, sau đó rút gọn M

2) Với giá trị nào của x thì M đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó của Mù

Bài 25:(Vào lớp 10 ĐH Vinh 2005-2006)

Rút gọn biểu thức: A =   

Bài 26:(Vào lớp 10 Chuyên tỉnh Hà Nam 2005-2006)

Rút gọn các biểu thức:

x

x  x  

14Rút gọn biểu thức A và tìm x để A =

Bài 28:(Vào lớp 10 Chuyên Lê Quý Đôn Quy Nhơn 2005-2006)

x 

Bài 30:(Vào lớp 10 Quốc Học Huế 2004-2005)

2

b ab aCho biểu thức: A =

Bài 31:(Vào lớp 10 Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2004-2005)

a) Cho biết A= 9 + 3 7 và B = 9 3 7 Hãy so sánh A + B và AB.

Bài 34:(Vào lớp 10 PTNK Trần Phú Hải Phòng 2003-2004)

Tính giá trị của biểu thức: A = (x x x  x )

Bài 35:(Vào lớp 10 Chuyên Trần Đại Nghĩa tp HCM 2001-2002)

Bài 36:(Vào lớp 10 Chuyên ĐH Sư Phạm HN 2009-2010)

Cho các biểu thức:

Bài 37:(Vào lớp 10 Chuyên ĐH Sư Phạm HN 2009-2010)

Cho các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức:

Bài 2: CĂN BẬC BA

I Định nghĩa: Căn bậc ba của một số a là một số mà lập phương của nó bằng a Kí hiệu căn bậc ba của a

Thử lại: thay x = 2 vào (*) thì thỏa

Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình

BÀI TẬP

Bài 1: (Vào lớp 10 chuyên ĐH Vinh 2004-2005) Tính giá trị của biểu thức:

Bài 4: Tính giá trị của: x = 5 23 73 5 27

Bài 5: (Vào lớp 10 Quốc Học Huế 2002-2003)

Bài 3: BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA CĂN

I Các bất đẳng thức chứa căn:

1 Với a, b 0 : a b  a b

2 A2  A  A A Dấu " " xảy ra khi A 0

3 (Bất đẳng thức Cô-si): a b

Ví dụ1: Tìm miền xác định của các hàm số sau:

x 11

11

b c c 1 b c cvà

Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : y4sin x 3 cos x ?

Vậy y4 sin x  3 cos x 4sin x  3 cos x 5 (đpcm)

BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA CĂN

1 3 5 7 2n 1 1b) Chứng min h rằng : P



Bài 4: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

I.Các phương trình chứa căn cơ bản: Các phương trình chứa căn thường có các dạng cơ bản sau:

3 3

Nên phương trình có dạng: ABAB

Chu ùý: giải ra nghiệm x phải thay vào phương trình để thử lại

Ví dụ 1: Giải phương trình: x26x + 6 = 2x 1.

11

2

532

xx

xx

Vậy x =1 là nghiệm của phương trình

Ví dụ 2:Giải phương trình: 3x + 4 2x1 = x+3

21

2

x

xx

Ví dụ 3:Giải phương trình: x 13  3 x2 3 2x3 (1)

Giải

12Vậy x =  là nghiệm của phương trình

Ví dụ 4: Giải phương trình: x + 13 33x 1 3 x1 (1)

BÀI TẬP

Bài 1: (Vào lớp 10,ban CD, PTNK TP HCM 1999-2000)

3Giải phương trình: x = 3x 5 

Bài 2: (Vào lớp 10,Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2003-2004)

2 5 2 1Giải phương trình: x  x

Bài 3:(Vào lớp 10,ban AB, PTNK TP HCM 2004-2005)

3Giải phương trình: x x = 2

Bài 4:(Vào lớp 10,Chuyên Nguyễn Thượng Hiền, TP HCM 2004-2005)

2

5Giải phương trình: x = x 1 

Bài 5:(Vào lớp 10, chuyên Trần Đại Nghĩa 2000-2001)

Bài 9:(Vào lớp 10, ĐHKHTN Hà Nội 2004-2005) Giải phương trình: x + 3 x 1 2

Bài 10:(Vào lớp 10, ĐH Sp Hà Nội 2004-2005)

1Giải phương trình: (x + 2) x + 1 = 2x 

Bài 11:(Vào lớp 10,chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2004-2005)

Bài 15:(Vào lớp 10,chuyên Lê Hồng Phong tp HCM 2001-2002)

2 1 2 3Giải phương trình: x  x  x

Bài 19:(Vào lớp 10,Ban CD,PTNK TP HCM 2001-2002)

Bài 23:Giải phương trình: 3 2x 1 3 x 1 33x1

Bài 24: (Vào lớp 10, chuyên ĐH Vinh, 2002-2003)

3

Giải và biện luận phương trình:

(x m) (m ) x m m (x m) (1), trong đó m là tham số.

II Giải phương trình chứa căn bằng phương pháp đặt ẩn phụ:

Một số phương trình khi biến đổi theo cách thông thường như trên thì sẽ gặp nhiều rắc rối vì bậc của

phương trình sẽ tăng lên rất lớn do bình phương Ta có thể đặt ẩn phụ để bài toán trở về dạng cơ bản và đơn giản hơn Sau khi giải ra nghiệm của ẩn phụ, chú ý đến điều kiện của ẩn phụ (nếu có)

Ví dụ 1: Giải phương trình: (x4)(x1)3 x2 5x26

Ví dụ 2:Giải phương trình: x23x 3 x23x63 (1)

Giải:

2

3 3 0Đặt t = x  x , t

Ví dụ 3:Giải phương trình: x 1 4x (x1 4)( x)5 (1)

Bài 27:Giải phương trình: 3x 2 x 1 4x 9 2 3x25x2

Bài 28:(Vào lớp 10,ĐH KHTN Hà Nội 2002-2003)

x





Bài 31:Giải phương trình: 2(1x) x22x 1 x22x1

Bài 32:(Vào lớp 10,PTNK Trần Phú Hải Phòng 2004-2005)

2

xGiải phương trình:

III Giải phương trình bằng cách đánh giá bất đẳng thức: Xét phương trình: f(x)=g(x)

Nếu ta đánh giá được:

thì phương trình (1) f(x) A Điều kiện xảy ra "=" của f(x) = A

g(x) A Điều kiện xảy ra "=" của g(x) = A



Một số bất đẳng thức quen thuộc thường dùng để đánh giá vế trái (VT) và vế phải (VP) là:

1) Bất đẳng thức Cô-si:với a,b 0 thì 

Ví dụ 1 Giải phương trình: x2 4x x26x11 (1)

Điều kiện xảy ra "=" ở VP

Điều kiện xác định: x 1.

Theo bất đẳng thức B.C.S:

52

5

xx

Bài tập Bài 33: (Vào lớp 10,chuyên Gia Định tp HCM 2006-2007)

Bài 36: Giải phương trình: 2 x2 2 12 4 x 1

xx

Bài 37: Giải phương trình: 7x x5 x2 12x38

IV Các các giải khác của phương trình chứa căn: : Ngoài các phương pháp giải đã giới thiệu trên còn có

những các giải khác tuỳ thuộc vào giả thiết của bài toán cụ thể Thường gặp các dạng như: phân tích thành phương trình tích, nhân chia liên hợp để rút gọn, đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình

11

7 6 0

6

xx

xx

32

2 0

3

x 4x + 1 0

Điều kiện xác định: x

 4 1 3 2 4 1 3 2 3 4 1 3 2

5

x(1)  x  x x  x   x  x

27

2

324

xx

xx

Ví dụ 3:Giải phương trình: 2 x3   1 x1 (1)

Phương trình (1) trở thành:

Phương trình (1) trở thành:

Vậy x = 1; x = 2; x = 10 là các nghiệm của phương trình

Ví dụ 4:Giải phương trình: x2 2 x2 (1)

Ta có hệ phương trình sau:

2 2

1

22

,

x

x ( loại do (*))x

Bài 44:(Vào lớp 10,ĐHKHTN Hà Nội 2002-2003)

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

Bài tập bài 1: KHAI CĂN BẬC HAI

Vậy A

x khi 4< x< 8

vì 4 < x < 8  0 < x 4 < 4

 1 3 5 6

Để Ax 4  ,  x ,

24

x++ Khi x 8 thì A =

a) P = x x + 1, chú ý: x x = x( x 1) = x( x )(x + x + 1)

1 3 3

2 4 4

2b) P = x x + 1 = ( x  )  

3 1

) Khi x >1 thì P(x) =

x 

2 2

x( x )1) M = ,

2) Min(M) = 0 khi x = 0, vì x 0 neân M 0. 

x = 4x

Đáp số: 1) P = ; 2)

x = x

Bài 27: Đáp số: 5; x = 36

Bài 28: Đáp số: A = 1

3

xĐáp số: 1) P = ; 2) 0 < x <

Bài 32:

Bài 33: Đáp số: a) A = 1 b) y min=23x 11.

Bài 34: Đáp số: A = 1

Bài 35: Đáp số: A = 3 1 

Bài 36: 1) A a10. 2) A B (a  210a)22(a10)2a10 0a 10.

Bài 37: Nhân liên hợp lần lượt:  2   2 

1x 1 ; 1y 1

Bài 38: Tính được x = –1 nên P =1

Bài tập bài 2: CĂN BẬC BA:

3 3 3Lấy a x, b y, c= z

3

a + b + c = a b cTheo câu a) ta có:

000

3 3

Bài 6: Đáp số: 4

BÀI TẬP bài 3: BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA CĂN

Bài 1:

Cộng vế theo các bất đẳng thức trên :

Bài tập bài 4: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

I Các phương trình chứa căn cơ bản

Bài 1: Đáp số: vô nghiệm

Bài 2:

Bài 3: Đáp số: x = 7

Bài 4: Đáp số: x = 2

Bài 7: Đáp số : x 1

Bài 8: Đáp số : x5

Bài 9: Đáp số : x1

Bài 10:

1

2

Vì điều kiện x + 1 (x + 2) 0 2x  nên x 

Bình phương 2 vế phương trình có:

2

x (x ) ( x ) 

Phương trình vo ânghiệm vì vế trái 1.

Bài 11: Đáp số : x2; x = 6

Phương trình tương đương là:

Bài 23: Đáp số: x = 1; x = 7

3

3

11

II Giải phương trình chứa căn bằng phương pháp đặt ẩn phụ:

Bài 25: Đáp số: x = 2.

Bài 26: Đáp số: x = 3; x = 1

Do đo ùphương trình trở thành:

Bài 30:

31

0

13

xx

Điều kiện:

xx

Bài 32:

00

11

xx

Điều kiện:

xx

xĐặt t = , t

III Giải phương trình bằng cách đánh giá bất đẳng thức:

Bài 37: Đáp số: x = 6

IV Các các giải khác của phương trình chứa căn:

Giải phương trình: x  x +2004  (1)

2Đặt t = x +2004t = x + 2004, t0 (2)

Từ (1) và (2), ta cóhệ phương trình sau:

1Đáp số: x = 2, x   , x   là các nghiệm của phương trình

Bài 42:

Giải phương trình: x + 5 x  x + 7x +10 

Điều kiện: x 2

 2Nhân 2 vế phương trình cho: x + 5 x ta được:

Bài 43:

2 2Giải phương trình: x + 2 + 3 2x 5  x 2  2x 5 

52Điều kiện: x 

2x 5Tương tự: x 2  2x 5   

Nên phương trình tương đương là:

Đáp số: x là nghiệm của phương trình

Phương trình tương đương là:

3Điều kiện: x  

2 2 0 1 0

Lấy (1) (2), ta có: u x  x u (u x)(u x   )

2Đáp số: x = 1; x =  là các nghiệm của phương trình

Bài 46:

11Giải phương trình: x x

13Đáp số: x = là nghiệm của phương trình

Bài 47: Phương trình tương đương như sau:

Trục căn của các mẫu số trong phương trình, ta được:

Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN.

I Giải và biện luận phương trình bậc nhất 2 ẩn:

m

x =mVậy là nghiệm của hệ

m

y =m

Kết luận:

22

54

m

x =m+ Nếu m thì là nghiệm của hệ (*)

m

y =m

BÀI TẬP

Bài 1: (Vào lớp 10, PTNK Trần Phú Hải Phòng, 2005-2006)

1

mx + yCho hệ phương trình:

Bài 2:(Vào lớp 10, chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi, 2005-2006)

II Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

1) Thường hệ phương trình khơng cĩ ngay được hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn mà ta phải biến đổi và đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình cơ bản

Ví dụ 1:Giải hệ phương trình:

2

126

(*)

a Với , ta có:

a+ Với , ta có:

(1 + xy)y = 6x(*)

+ Xét x = y = 0: không là nghiệm của hệ phương trình.

(*)

yy

x =

x = 1Vậy hệ có 2 nghiệm là: và

2y(x y ) x (1) Giải hệ phương trình:

3 3

1 + x y x Giải hệ phương trình: (*)

2

=

x y x yGiải hệ phương trình:

Bài 9: (Vào lớp 10, chuyên Trần Đại Nghĩa, tp HCM, 2001-2002)

Bài 11: (Vào lớp 10, chuyên ở Tp HCM, 2007-2008)

Cho hệ phương trình:

a) Giải hệ phương trình khi m = 24

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

Bài 12: (Vào lớp 10, chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi , 2005-2006)

Cho hệ phương trình:

2) Hệ phương trình đối xứng: Đối với các loại phương trình đối xứng thì cách

đặt ẩn phụ, cách giải như sau:

a) Hệ phương trình đối xứng loại 1: Hệ phương trình 2 ẩn x, y gọi là hệ đối

xứng loại 1 nếu thay x bởi y và thay y bởi x thì hệ khơng thay đổi Hệ phương trình đối xứng loại 1 được viết như sau:

00

Cách giải: Biến đổi thích hợp để đặt: S = x + y và P = xy Giải ra nghiệm S, P

Cuối cùng, x, y là nghiệm của phương trình: X2SX P  0

Ví dụ 1:Giải hệ phương trình:

2 2

4 4 2 2

721

2 2 2 2 2

(x + y) xy = 7(*)

S

PP

Hệ phương trình đối xứng loại 2: Hệ phương trình 2 ẩn x, y gọi là hệ đối

xứng loại 2 nếu thay x bởi y và thay y bởi x thì phương trình này biến thành phương trình kia và hệ vẫn không thay đổi Hệ phương trình đối xứng loại 2 được viết như sau:

00

với g(x, y) b g(x, y) t g(x, y)

+ Đặt y = tx, thế vào hệ, khử x, ta được phương trình bậc hai theo t

+ Giải phương trình tìm nghiệm t rồi suy ra nghiệm (x;y) của hệ

Chú ý: Ta cũng cĩ thể giải bằng cách xét y thay vì xét x như trên

xx

tt

xy(x + y ) = m







1) Giải hệ phương trình với m =10 2) Chứng minh rằng không tồn tại giá trị m để hệ

có nghiệm duy nhất

Bài 15:(Vào lớp 10, Chuyên Lê Hồng Phong, Tp HCM 2005-2006)

xy + = xy

yGiải hệ phương trình:

y + = 2 x

III Phương pháp khác: Ngồi các phương pháp đã trình bày ở trên cịn cĩ các

cách giải khác tùy thuộc vào giả thiết cụ thể mà sinh ra nhiều cách giải khác nhau

Thường gặp là phương pháp thế, đưa về các phương trình tích, so sánh các bất đẳng

thức,…được trình bày thơng qua các bài tập sau:

BÀI TẬP

Bài 30:(Vào lớp 10, PTNK tp HCM 2007-2008)

x y + 2y x = 3x 2x 1 Giải hệ phương trình: (*)

2 2

6x xy + x = 1 y (1) Giải hệ phương trình:

x y (1)Cho hệ phương trình:

b) Giải hệ phương trình trên

Bài 40: (Vào lớp 10, PTNK tp HCM 2002-2003)

b) Giải hệ phương trình khi m = 1

Bài 41:(Vào lớp 10, PTNK tp HCM 2001-2002)

1 72

1 73

xyGiải hệ phương trình: (*)

yx

x yGiải hệ phương trình: (*)

3

3

3

12121212

(x y z) t (y z t) x b) Giải hệ phương trình: (*)

(z t x) y (t x z) z

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

I Giải và biện luận phương trình bậc nhất 2 ẩn:

Bài 2: Đáp số: m  2

Bài 3:

12

+ m 0, 3,  thì hệ có nghiệm duy nhất là:

m = hoặc m = 3 thì hệ vô nghiệm

2y(x y ) x (1) Giải hệ phương trình:

x(x + y ) = 10y (2)





+ x = y = 0 là một nghiệm của hệ và do (2) nên x và y

phải cùng dấu

+ xét x0, y0, lấy (1) chia cho (2), ta được:

2 2

2

1

31

5

tt

55

(do x, y cùng dấu nên >0)

xy

y

xx