Mở rộng Định lý tồn tại điểm bất động của toán tử (K,Uo) - lõm chính quy trong không gian Banach với nón cực trị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2PHẠM ANH SƠN MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 Hea

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM ANH SƠN

MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG

TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN CỰC TRỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016

Header Page 1 of 149.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM ANH SƠN

MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG

TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN CỰC TRỊ

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN PHỤ HY

HÀ NỘI, 2016

Header Page 2 of 149.

Lời cảm ơn

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS.GVCCNguyễn Phụ Hy, người đã tận tình hướng dẫn chỉ bảo cho tôi trong quátrình làm luận văn

Thông qua luận văn này, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến các thầy côgiáo trong tổ Giải tích - khoa Toán - trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2cùng gia đình, bạn bè và các thành viên trong lớp Toán giải tích Khóa 18

đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 11 năm 2016

Tác giả

Phạm Anh Sơn

Header Page 3 of 149.

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, luận văn này là do tôi viết dưới sự hướng dẫncủa PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy Tôi cam đoan rằng số liệu và kết quảnghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tàikhác Các thông tin trích dẫn, các tài liệu tham khảo trong luận văn đãđược chỉ rõ nguồn gốc Luận văn chưa được công bố trên bất kỳ tạp chí,phương tiện thông tin nào

Hà Nội, tháng 11 năm 2016

Tác giả

Phạm Anh Sơn

Header Page 4 of 149.

Mục lục

1.1 Không gian Banach nửa sắp thứ tự 8

1.1.1 Khái niệm nón trong không gian Banach 8

1.1.2 Quan hệ thứ tự trong không gian Banach 13

1.2 Tính thông ước và u0− chuẩn 13

1.3 Tính u0 - đo được và khái niệm u0 - chuẩn 15

1.4 Một số nón đặc biệt 19

1.4.1 Nón chuẩn tắc 19

1.4.2 Nón cực trị 25

1.5 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự lp(p > 1) 27

2 Mở rộng định lý tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u0) -lõm chính quy 32 2.1 Toán tử (K, u0) - lõm chính quy và một số tính chất sơ cấp 32 2.1.1 Các định nghĩa 32

2.1.2 Một số tính chất của toán tử (K, u0) - lõm chính quy 33 2.2 Toán tử (K, u0) - lõm chính quy trong không gian lp(p > 1) 34 2.3 Một mở rộng định lý tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u0) - lõm chính quy 39

Header Page 5 of 149.

2.4 Áp dụng 44

Header Page 6 of 149.

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của bộ môn giảitích hàm phi tuyến, chính vì vậy ngay từ đầu thế kỷ XIX nhiều nhà toánhọc trên thế giới đã rất quan tâm, phát triển nó hết sức sâu rộng và trởthành công cụ để giải quyết nhiều bài toán do thực tiễn đặt ra

Năm 1956, nhà toán học Nga nổi tiếng Kraxnoxelxki M.A đã nghiêncứu lớp toán tử phi tuyến: Toán tử lõm tác dụng trong không gian Banachthực với một nón cố định Năm 1962, ông mở rộng cho toán tử lõm tácdụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định, trong đó một nón

là tập con của nón còn lại Năm 1975, GS TSKH Bakhtin I.A đã mở rộngcác kết quả nghiên cứu trên trong công trình cho lớp toán tử phi tuyến(K, uo) - lõm, lần lượt tác dụng trong không gian Banach thực với mộtnón cố định và trong không gian Banach thực với hai nón cố định chungnhau ít nhất một phần tử khác không Các lớp toán tử được các nhà toánhọc Kraxnoxelxki và Bakhtin nghiên cứu đều có tính chất u0 - đo được

Năm 1987, PGS TS Nguyễn Phụ Hy mở rộng các kết quả đối vớilớp toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới: Toán tử lõm chính quy,trong đó không yêu cầu toán tử có tính chất u0 - đo được

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử phi tuyến này, nhờ sựhướng dẫn tận tình của PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy, tôi chọn nghiêncứu đề tài: "Mở rộng định lý tồn tại điểm bất động của toán tử(K, uo)-lõm chính quy trong không gian Banach với nón cực trị"

Header Page 7 of 149.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về không gian Banach nửa sắp thứ tự, bao gồm: Kháiniệm nón, quan hệ thứ tự trong không gian Banach, tính thông ước và u0

- chuẩn, một số nón đặc biệt

Tìm hiểu về những nón đặc biệt trong không gian lp (p > 1).Tìm hiểu về toán tử (K, u0) - lõm chính quy tác dụng trong khônggian lp (p > 1) và một số tính chất sơ cấp

Một mở rộng định lý tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u0) lõm chính quy và áp dụng

-4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả vềtoán tử (K, u0) - lõm chính quy, điểm bất động của toán tử (K, u0) - lõmchính quy trong không gian Banach nửa sắp thứ tự

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong nước và nướcngoài liên quan đến điểm bất động của toán tử (K, u0) - lõm chính quytrong không gian Banach nửa sắp thứ tự

5 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập tài liệu và các bài báo liên quan đến điểm bất động củatoán tử lõm trong không gian Banach nửa sắp thứ tự

Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất

Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

6 Đóng góp mới

Trình bày tổng quan về không gian Banach nửa sắp thứ tự, về toán

tử (K, u0) - lõm chính quy (không có tính chất u0 - đo được) tác dụngtrong không gianlp(p > 1), sự tồn tại điểm bất động của lớp toán tử trên,

Header Page 8 of 149.

vận dụng lý thuyết tổng quan đã trình bày vào không gian lp (p > 1).

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, luận văn trình bày về không gian Banach nửa sắpthứ tự và một số nón đặc biệt Nội dung của chương dựa trên các tài liệutham khảo [1] và [2]

Cho không gian Banach thực E và tập con khác rỗng K ⊂ E

1.1.1 Khái niệm nón trong không gian Banach

Định nghĩa 1.1 Giả sử E là không gian Banach thực và K là tập conkhác rỗng trong không gian E Tập K được gọi là một nón, nếu K thoảmãn các điều kiện sau:

1) K là tập đóng trong không gian E;2) ∀x, y ∈ K thì x + y ∈ K;

3) ∀x ∈ K, ∀t ∈ R+ thì tx ∈ K;4) ∀x ∈ K\ {θ} thì −x /∈ K

Định lý 1.1 Nón là một tập lồi và chứa phần tử không của không gian

Header Page 10 of 149.

Chứng minh Thật vậy: ∀α ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈ K theo tính chất 3) ta có

αx ∈ K và (1 − α)y ∈ K Do đó, theo 2) suy ra

αx + (1 − α)y ∈ K, ∀α ∈ [0, 1] Vậy, K là tập lồi

Mặt khác θ ∈ K: vì theo 4) ∀x ∈ K\ {θ} thì −x /∈ K, nên

θ = x + (−x) ∈ K

Định lý 1.2 Giao của một họ hữu hạn nón tuỳ ý chứa ít nhất hai phần

tử là một nón trong không gian E

Chứng minh Giả sử (Ki)ni=1 là một họ nón tuỳ ý trong không gian E,Theo định lý 1.1.1 phần tử θ ∈ Ki, ∀i = 1, 2, , n và θ ∈ K, nghĩa là

Ki là một nón trong không gian E.

Định lý 1.3 Nếu tập con F ⊂ E là một tập khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn

và không chứa phần tử không, thì tập

K(F ) = {x ∈ E : x = tz, z ∈ F, t ∈ R+} ,

là một nón trong không gian E

Chứng minh Ta có:

∀z ∈ F, z = 1.z ⇒ z ∈ K(F ) ⇒ F ⊂ K(F ), F 6= Φsuy ra K(F ) 6= Φ

θ ∈ F, mâu thuẫn với giả thiết θ /∈ F

hội tụ tới x trong không gian E.

Nếu x = θ , thì hiển nhiên x ∈ K(F ) vì θ = 0.z với z ∈ F

Do đó

zni − x

t0 → 0khi i → +∞, nghĩa là

zni → x

t0khi i → +∞

ii) và iii) ∀u, v ∈ K(F ) và ∀α, β ∈ R+.Giả sử u = t1.z1, v = t2.z2 với t1, t2 ∈ R+, z1, z2 ∈ F Khi đó, nếu có ítnhất một trong hai số bằng 0 hoặc một trong hai số t1, t2 bằng 0 thì hiểnnhiên

iv) Để chứng tỏ K(F ) thỏa mãn điều kiện iv) về nón ta chứng minhbằng phương pháp phản chứng Giả sử tồn tại uo ∈ K(F ) sao cho uo 6= θ

và uo 6= θ Khi đó

uo = t01z10trong đó t01 > 0, z10 ∈ M và −uo = t02z20 với t02 > 0, z20 ∈ M Do

t01 + t02z

0 2

(t01 + t02) ∈ K(F )

1.1.2 Quan hệ thứ tự trong không gian Banach

Định nghĩa 1.2 Với hai phần tử x, y ∈ E ta viết x ≤ y (hay x < y) nếu

y − x ∈ K (hay y − x ∈ K\ {θ}, θ là kí hiệu phần tử không của khônggian E)

Định lý 1.4 Quan hệ "≤" trong định nghĩa 1.2 là một quan hệ sắp thứ

tự trong không gian E

Chứng minh Kiểm tra 3 tiên đề về quan hệ thứ tự

*) Với ∀x ∈ E, x − x = θ ∈ K, điều này có được vì theo định nghĩacủa K ta chọn α0 = 0 và ∀x ∈ K thì θ = α0x ∈ K Do đó x ≤ x

Suy ra quan hệ "≤" có tính chất phản xạ

*) Giả sử x, y ∈ E, x ≤ y Thật vậy, nếu x 6= y thì y − x 6= θ Khi

đó y − x ∈ K và − (y − x) = x − y ∈ K ⇒ θ = (y − x) + (x − y) ∈ Kmâu thuẫn với định nghĩa nón K, nên x = y Suy ra quan hệ "≤" có tínhchất phản đối xứng

*) Giả sử x, y, z ∈ K, x ≤ y, y ≤ z ⇒

(

y − x ∈ K

z − y ∈ Kkhi đó vì z − x = (z − y) + (y − x) ∈ K ⇒ x ≤ z Suy ra quan hệ "≤"

có tính chất bắc cầu

Vậy "≤" là một quan hệ thứ tự trên E

Không gianE cùng với nón K được gọi là không gian Banach nửa sắp thứ

tự theo nón K ⊂ E, các phần tử x ∈ K được viết θ ≤ x hay x ≥ 0

Cho không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự theo nón K, phần

tử u0 ∈ K\ {θ}

Định nghĩa 1.3 Với hai phần tử x, y ∈ E ta nói phần tử x thông ước vớiphần tử y nếu có hai số dương α, β sao cho: αy ≤ x ≤ βy

Header Page 15 of 149.

Định lý 1.5 Quan hệ thông ước trong định nghĩa 1.3 là một quan hệtương đương trong không gian E.

Chứng minh

*) Tính phản xạ: ∀x ∈ E, 1.x ≤ x ≤ 1.x suy ra x thông ước với x,nên quan hệ thông ước có tính chất phản xạ

*) Tính đối xứng: Nếu phần tử x thông ước với phần tử y thì

∃α = α(x) > 0, β = β(y) > 0 sao cho: αy ≤ x ≤ βy

Vậy phần tử y thông ước với phần tử x

Suy ra, quan hệ thông ước có tính chất đối xứng

*) Tính bắc cầu: Giả sử các phần tử x, y, z ∈ E có x thông ước y, ythông ước với z

⇒ ∃a, b, c, d > 0 sao cho:

Vậy quan hệ thông ước trong định nghĩa 1.3 là một quan hệ tương đươngtrong không gian E

Định lý 1.6 Kí hiệuK(u0) = {x ∈ E : ∃α > 0, ∃β > 0, αu0 ≤ x ≤ βu0} K(u0) là một tập lồi và K(u0) ⊂ K\ {θ}

Chứng minh

Trước tiên ta chứng minh K(u0) là tập lồi, thật vậy:

∀x, y ∈ K (u0) , ∀t ∈ [0, 1] , thì x, y là hai phần tử thông ước với u0 nên

Header Page 16 of 149.

ta có:

∃a = a(x) > 0; ∃b = b(x) > 0 : au0 ≤ x ≤ bu0

∃c = c(y) > 0; ∃d = d(y) > 0 : cu0 ≤ y ≤ du0Do

t ∈ [0, 1] ⇒ 1 − t ≥ 0 ⇒

(ta.u0 ≤ tx ≤ tb.u0(1 − t)c.u0 ≤ (1 − t)y ≤ (1 − t)d.u0

⇒ ta.u0 + (1 − t)c.u0 ≤ tx + (1 − t)y ≤ tb.u0 + (1 − t)d.u0.Hay

[ta + (1 − t)c].u0 ≤ tx + (1 − t)y ≤ [tb + (1 − t)d].u0

(

α ≥ t min{a, c} + (1 − t) min {a, c} = min {a, c} > 0

β ≥ t min{b, d} + (1 − t) min {b, d} = min {b, d} > 0

⇒ αu0 ≤ tx + (1 − t)y ≤ βu0 ⇒ tx + (1 − t)y ∈ K(u0)Vậy K(u0) là tập lồi

1.3 Tính u0 - đo được và khái niệm u0 - chuẩn

Cho không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ E,phần tử u0 ∈ K\ {θ}

Định nghĩa 1.4 Phần tử x ∈ E được gọi là u0 - đo được nếu có hai sốkhông âm t1, t2 sao cho −t1u0 ≤ x ≤ t2u0 Kí hiệu

E(u0) = {x ∈ E : ∃t1 ≥ 0, ∃t2 ≥ 0, −t1u0 ≤ x ≤ t2u0}

Định lý 1.7 E(u0) là không gian véctơ con của không gian E

Header Page 17 of 149.

Chứng minh.

Kí hiệu

E(u0) = {x ∈ E : ∃t1 ≥ 0, ∃t2 ≥ 0, −t1u0 ≤ x ≤ t2u0}, ta có: +) ∀x, y ∈ E(u0) ⇒

(

∃t1, t2 ≥ 0 : −t1u0 ≤ x ≤ t2u0

∃t3, t4 ≥ 0 : −t3u0 ≤ y ≤ t4u0

⇒ −(t1 + t3)u0 ≤ x + y ≤ (t2 + t4)u0 ⇒ x + y ∈ E (u0)+) (∀x ∈ E(u0)) (∃t1, t2 ≥ 0) : −t1u0 ≤ x ≤ t2u0, khi đó, ∀α ∈ R ta có:Nếu α ≥ 0 thì αti ≥ 0 (i = 1, 2) và − (αt1) u0 ≤ αx ≤ αt2u0;

Nếu α < 0 thì −α > 0 ⇒ −αti ≥ 0 (i = 1, 2) và

(−α) (−t1) u0 ≤ (−α) x ≤ (−α) t2u0

⇒ − (−αt1) u0 ≤ (−α) x ≤ (−αt2) u0

Do đó ∀α ∈ R thì αx ∈ E (u0)

Vậy E(u0) là không gian véctơ con của không gian E

Định lý 1.8 Với mỗi x ∈ E(u0) tồn tại các số không âm nhỏ nhất

α = α(x) ≥ 0 và β = β(x) ≥ 0 sao cho: −αu0 ≤ x ≤ βu0

Chứng minh Giả sử phần tử x ∈ E là đo được, tức là

∃t1, t2 ≥ 0 : −t1u0 ≤ x ≤ t2u0

Ta chứng minh

∃β = β(x) = inf {t2 ≥ 0 : x ≤ t2u0} Xét ánh xạ:

f :R → E

t 7→ f (t) = tu0 − x

Ta thấy f liên tục nhờ tính liên tục của hai phép toán cộng hai phần

tử và nhân một số với một phần tử trên không gian E ⇒ f−1(K) =

Header Page 18 of 149.

{t ∈ R : tu0 − x ∈ K} đóng trong không gian R, t2 ∈ f−1(K).

Ta thấy g liên tục nhờ tính liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử

và nhân một số với một phần tử trên không gian E

⇒ g−1(K) = {t ∈ R : tu0 + x ∈ K}, đóng trong không gian R

Giả sử

inf g−1(K) = −∞ ⇒ ∃ (tn) ⊂ g−1(K) : tn → −∞ (n → ∞) Vì

0 = max {inf t1, inf t2} , kyku

0 = max {inf t3, inf t4}

Header Page 20 of 149.

0 = max {α (x) , β (x)}

1.4.1 Nón chuẩn tắc

Cho không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ E, H

là một nón nào đấy trong không gian E, phần tử

Định nghĩa 1.5 [9] Nón H được gọi là nón chuẩn tắc nếu :

(1.10.2)

Hệ thức (1.10.2) chứng tỏ: kxn k

n.ky n k > 1, 0 < nkyn k

kx n k < 1, ∀n ∈ N∗.Đặt

+) Điều kiện đủ: Giả sử điều kiện (1.10.1) được thỏa mãn Khi đó

(∀e1, e2 ∈ H : ke1k = ke2k = 1), ((e1 + e2) − e1 = e2 ∈ H)

Header Page 22 of 149.

1 = ke1k ≤ N ke1 + e2k ⇒ ke1 + e2k ≥ N−1 > 0

Do đó nón H chuẩn tắc

Chú ý: Trong [9] tác giả chứng minh cho trường hợp nón K, còn định

lý 1.10 được phát biểu và chứng minh cho nón tùy ý

Định lý 1.11 [9] Giả sử không gian Banach E nửa sắp thứ tự theo nón

K ⊂ E Ba mệnh đề sau đây là tương đương:

1) K là nón chuẩn tắc

2) (∃M > 0), (∀y ∈ K\ {θ}), (∀x ∈ Ey) : kxkE ≤ M.kxky.kykE.3) (∃N > 0), (∀x, y ∈ K : y − x ∈ K), kxkE ≤ N.kykE

kxnky

n < kxnkEnkynkE

ynnkynkE ≤

xn

kxnkE ≤

ynnkynkE

khnkE = −xn

kxnkE +

ynnkynkE ≥

−xn

kxnkE E −

ynnkynkE E ≥ 1 −

1

n > 0(1.11.2)

⇒ gn 6= θ, hn 6= θ, (∀n ≥ 2) Vậy gn ∈ K\ {θ} , hn ∈ K\ {θ}

Theo định nghĩa nón chuẩn tắc ta có:

(∃δ > 0) gn

kg n k + hn

kh n k ≥ δ (n = 1, 2, ) (1.11.3)Mặt khác :

2) ⇒ 3)

Giả sử (∃M > 0), (∀y ∈ K\ {θ}), (∀x ∈ Ey) : kxkE ≤ M.kxky.kykE.Khi đó: (∀x, y ∈ K) kxk = kyk = 1, ta có

kxkE ≤ M kxkx+ykx + ykE ≤ M kx + ykE(vì θ ≤ x ≤ x + y ⇒ − (x + y) ≤ x ≤ (x + y) ⇒ kxkx+y ≤ 1)

⇒ kx + ykE ≥ kxkE

M kxkx+y =

1

M = δ > 0Suy ra K chuẩn tắc ⇒ ∀x, y ∈ K; y − x ∈ K;

Giả sử không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ E

và K là nón chuẩn tắc, khi đó:

Header Page 25 of 149.

Định lý 1.12 Mọi dãy điểm (x(n))∞n=1 ⊂ E(u0) là dãy hội tụ (hay dãy cơbản) theo u0 − chuẩn cũng là dãy hội tụ (hay cơ bản) trong không gian E.Chứng minh.

+ Giả sử dãy điểm x(n)
∞n=1 ⊂ Eu0 là dãy hội tụ tới x ∈ E theo u0 −chuẩn, nghĩa là

(∀ε > 0) (∃n0) (∀n ≥ n0) kxn− xku

0 < εhay −εu0 ≤ xn− x ≤ εu0, ∀n ≥ n0 ⇒ 0 ≤ xn− x + εu0 ≤ 2εu0

Do xn− xm + εu0 ∈ K, 2εu0 ∈ K và K là nón chuẩn tắc, nên

(∃N > 0):kxn− x + εu0kE ≤ N.2εku0kE, ∀n ≥ n0

⇒ kxn − xkE ≤ εku0kE + 2εN.ku0kE = ε (1 + 2N ) ku0kE, ∀n ≥ n0

Hệ thức trên chứng tỏ dãy (xn)∞n=1 là dãy hội tụ đến x ∈ E

+ Giả sử dãy điểm x(n)
∞n=1 ⊂ Eu0 là dãy cơ bản theo u0 − chuẩn, nghĩalà

(∀ε > 0) (∃n0) (∀n, m ≥ n0) kxn− xmku

0 < εhay −εu0 ≤ xn− xm ≤ εu0 ⇒ 0 ≤ xn − xm + εu0 ≤ 2εu0

Ta thấy xn− xm+ εu0 ∈ K, 2εu0 ∈ K

Do K là nón chuẩn tắc, nên ∃N > 0 sao cho

kxn− xm+ εu0kE ≤ N.2εku0kE, ∀n, m ≥ n0

⇒ kxn − xmkE ≤ εku0kE + 2εN.ku0kE = ε (1 + 2N ) ku0kE, ∀n, m ≥ n0

Vậy (xn)∞n=1 là dãy cơ bản trong không gian Banach E

Định lý 1.13 [9] Không gian E(u0) là không gian Banach theo u0 −chuẩn

⇔ −εu0 ≤ xn− xm < εu0 (1.13.1)

⇒ xn− xm + εu0 ∈ K

Do K là nón chuẩn tắc nên từ xn− xm + εu0 ≤ 2εu0 suy ra

(∃N > 0) kxn − xm + εu0kE ≤ 2N.εku0kE.Nên ta có:

kxn− xmkE − εku0kE ≤ kxn − xm + εu0kE ≤ 2N.εku0kE

⇒ kxn− xmkE ≤ ε (1 + 2N ) ku0kE, ∀n, m ≥ n0.Điều này cho thấy dãy (xn)∞n=1 là dãy cơ bản trong không gian Banachthực E nên dãy (xn)∞n=1 hội tụ theo chuẩn tới x ∈ E, tức là:

Vậy Eu0 là không gian Banach thực theo u0 − chuẩn

Định nghĩa 1.7 [8] Phần tử z ∈ E gọi là cận trên đúng của tập con

M ⊂ E, nếu:

1) (∀x ∈ M ), x ≤ z;2) Nếu (∃z0 ∈ E), (∀x ∈ M ), x ≤ z0 thì z ≤ z0 Kí hiệu z = sup M.Phần tử w ∈ E gọi là cận dưới đúng của tập con M ⊂ E nếu:

1’) (∀x ∈ M ),w ≤ x;2’) Nếu (∃w0 ∈ E), (∀x ∈ M ),w0 ≤ x, thì w0 ≤ w Kí hiệu

Các dãy không giảm hay dãy không tăng gọi là các dãy đơn điệu

Định nghĩa 1.9 [8] Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tựtheo nón K ⊂ E, H là một nón nào đó trong không gian E Nón H gọi làcực trị nếu:

*) Mọi dãy (xn)∞n=1 ⊂ H không giảm và bị chặn trên bởi phần tử

u ∈ H đều có sup(xn) ∈ H;

*) Mọi dãy (yn)∞n=1 ⊂ H không tăng và bị chặn dưới bởi phần tử

v ∈ H đều có inf (yn) ∈ H;

Header Page 28 of 149.