Các tập hợp số Giáo trình dành cho sinh viên ngành Tiểu học

Các tập hợp số Giáo trình dành cho sinh viên ngành Tiểu học là bộ tài liệu hay và rất hữu ích cho các bạn sinh viên và quý bạn đọc quan tâm. Đây là tài liệu hay trong Bộ tài liệu sưu tập gồm nhiều Bài tập THCS, THPT, luyện thi THPT Quốc gia, Giáo án, Luận văn, Khoá luận, Tiểu luận…và nhiều Giáo trình Đại học, cao đẳng của nhiều lĩnh vực: Toán, Lý, Hoá, Sinh…. Đây là nguồn tài liệu quý giá đầy đủ và rất cần thiết đối với các bạn sinh viên, học sinh, quý phụ huynh, quý đồng nghiệp và các giáo sinh tham khảo học tập. Xuất phát từ quá trình tìm tòi, trao đổi tài liệu, chúng tôi nhận thấy rằng để có được tài liệu mình cần và đủ là một điều không dễ, tốn nhiều thời gian, vì vậy, với mong muốn giúp bạn, giúp mình tôi tổng hợp và chuyển tải lên để quý vị tham khảo. Qua đây cũng gởi lời cảm ơn đến tác giả các bài viết liên quan đã tạo điều kiện cho chúng tôi có bộ sưu tập này. Trên tinh thần tôn trọng tác giả, chúng tôi vẫn giữ nguyên bản gốc. Trân trọng. ĐỊA CHỈ DANH MỤC TẠI LIỆU CẦN THAM KHẢO http:123doc.vntrangcanhan348169nguyenductrung.htm hoặc Đường dẫn: google > 123doc > Nguyễn Đức Trung > Tất cả (chọn mục Thành viên)

L I NÓI U

Hi n nay có nhi u giáo trình, tài li u tham kh o vi t v lí thuy t các t p h p s Tuy nhiên, ch a có giáo trình chính th c vi t v các t p h p s dành cho sinh viên ngành giáo

d c ti u h c; h n n a v i ph ng th c đào t o theo h th ng tín ch hi n nay có nh ng

đ c thù riêng, đòi h i th i gian sinh viên t h c và nghiên c u nhi u h n

Chúng tôi biên so n bài gi ng “các t p h p s ” trên c s đ c ng chi ti t, tham kh o

Vì th i l ng ch g m 2 tín ch nên bài gi ng không th khai thác sâu h t đ c m t s

ki n th c, ng i h c có th tham kh o thêm h c ph n này trong [1] , [2], [3] và [4]

L n đ u tiên bài gi ng đ c biên so n v i ph ng th c đào t o theo h th ng tín ch ;

ch c ch n không tránh kh i nh ng thi u sót nh t đ nh Chúng tôi r t mong nh n đ c ý

ki n đóng góp c a b n đ c

Chúng tôi xin chân thành c m n

Tháng 5 n m 2014

Lê V n Thu n

Ch ng 1

Ki n th c:

- Giúp sinh viên n m v ng c u trúc c b n v : n a nhóm, nhóm, vành và tr ng

- Hình thành cho sinh viên nh ng ý t ng đ ti p c n v i toán h c hi n đ i và nh n

th c sâu s c v c u trúc đ i s c a các t p h p s b c Ti u h c

K n ng:

- Ki m tra m t “phép toán” hai ngôi trên m t t p h p

- Ki m tra m t t p h p v i các phép toán là: n a nhóm, nhóm, con nhóm, vành và

tr ng

Thái đ :

- Sinh viên n m v ng các khái ni m c b n v c u trúc đ i s c a các t p h p

- Sinh viên có liên h th c t v i ch ng trình môn toán b c Ti u h c

1.1 PHÉP TOÁN HAI NGÔI

Nh v y m t phép toán hai ngôi T trên t p X là m t quy t c đ t t ng ng m i c p ph n

t (a; b) thu c XX m t ph n t xác đ nh duy nh t aTb thu c X

* * *

* :   ( ; ) * b

5) Cho X là m t t p h p b t kì và P(X) là t p các t p con c a X Các phép toán: h p,

giao và hi u c a hai t p h p đ u là nh ng phép toán hai ngôi trên t p P(X) T c ta có các

6) Cho t p h p X và Hom(X, X) là t p h p các ánh x t X vào chính nó Phép l y h p

thành hai ánh x là m t phép toán hai ngôi trên t p Hom(X, X)

trong đó r là d c a phép chia a + b cho 3

Có th mô t phép toán T trong b ng sau:

T 0 1 2

1.1.2 Các tính ch t c a phép toán hai ngôi

nh ngh a 1.1 Cho T là m t phép toán hai ngôi trên t p X Ta nói r ng phép toán T có

tính ch t giao hoán n u và ch n u v i m i a, b thu c X thì aTb = bTa

- Ta d nh n th y các phép toán hai ngôi trong các ví d 1), 2), 5), 7) trong Ví d 1.1

là nh ng phép toán có tính ch t giao hoán

- Các phép toán hai ngôi trong các ví d 3), 4) không có tính ch t giao hoán, ví d 6) không có tính ch t giao hoán n u t p X có nhi u h n m t ph n t

nh ngh a 1.2 Cho T là m t phép toán hai ngôi trên t p X Ta nói r ng phép toán T có

tính ch t k t h p n u và ch n u v i m i a, b, c thu c X thì (aTb)Tc = aT(bTc)

Ta d nh n th y các phép toán hai ngôi trong các ví d 1), 2), 5), 6), 7) trong ví d 1.1

là nh ng phép toán có tính ch t k t h p

Các phép toán hai ngôi trong các ví d 3), 4) trong ví d 1.1 là nh ng phép toán có tính

ch t k t h p

1.1.3 Nh ng ph n t đ c bi t

nh ngh a 1.3 Cho T là m t phép toán hai ngôi trên t p X Ph n t eX đ c g i là

ph n t trung l p đ i v i phép toán T n u và ch n u v i m i a thu c X thì eTa = aTe = a

nh lí 1.1 N u t p X có ph n t trung l p đ i v i phép toán T thì ph n t trung l p đó

4) T p X là ph n t trung l p đ i v i phép toán giao các t p h p trên t p P(X)

5) Ánh x đ ng nh t id x:X X ; xx

là ph n t trung l p đ i v i phép h p thành các ánh x trên t p Hom(X, X)

nh ngh a 1.4 Cho X là m t t p h p v i phép toán hai ngôi T và e là ph n t trung l p

c a X đ i v i phép toán T; aX Ph n t bX đ c g i là ph n t đ i x ng c a a đ i

v i phép toán T n u bTa = aTb = e

nh lí 1.2 Cho X là m t t p h p v i phép toán hai ngôi T có tính ch t k t h p, có ph n

b thì khi đó b đ c xác đ nh duy nh t và đ c g i là ph n t đ i c a a và kí hi u là –a

- i v i phép nhân : Gi s  là m t phép toán hai ngôi trên t p X thì cái h p thành a

1.1.4 Phép toán c m sinh

nh ngh a 1.5 Cho T là m t phép toán hai ngôi trên X và A là m t t p con khác r ng

c a X A đ c g i là t p con n đ nh đ i v i phép toán T n u v i m i a, b thu c A thì cái

h p thành aTb thu c A T c là: a b,  A aTbA

1.2 N A NHÓM VÀ NHÓM

1.2.1 N a nhóm

nh ngh a 1.7 Ta g i là n a nhóm m t t p khác r ng X cùng v i phép toán hai ngôi T

trên X có tính ch t k t h p N u trong n a nhóm X có ph n t trung l p đ i v i phép toán T thì X đ c g i là m t v nhóm N u phép toán T có tính ch t giao hoán thì n a

nhóm X đ c g i là n a nhóm giao hoán

Nh v y, m t n a nhóm là m t c u trúc đ i s bao g m m t t p h p trên đó có m t phép toán hai ngôi th a mãn tiên đ :a b c, , X aTb Tc, ( ) aT bTc( )

ch m t n a nhóm ta vi t (X, T) trong đó X là t p n n, T là kí hi u c a phép toán hai ngôi Trong nhi u tr ng h p, n u không s nh m l n ta có th vi t X thay cho (X, T)

N u phép toán T có tính ch t giao hoán thì nhóm X đ c g i là m t nhóm giao hoán hay nhóm Aben

N u X là t p h u h n, có n ph n t thì X đ c g i là nhóm có c p n N u X là m t t p

h p vô h n thì X đ c g i là nhóm có c p vô h n

Nh n xét: M i nhóm X là m t v nhóm mà m i ph n t thu c X đ u có ph n t đ i x ng trong X

và a b c, , X ba, ca b c(lu t gi n c bên ph i)

3) V i m i a, b thu c X, các ph ng trình axb và yab có nghi m duy nh t trong

X

nh lí 1.3 Cho X là m t n a nhóm nhân X là m t nhóm khi và ch khi v i m i a, b

1.2.3 Nhóm con

nh ngh a 1.9 Cho X là m t nhóm A là m t t p con c a X n đ nh đ i v i phép toán

trong X N u A cùng v i phép toán c m sinh là m t nhóm thì A đ c g i là nhóm con

(ii) Ph n t trung l p eA và v i m i a, b thu c A, ta có abA và 1

a A (iii) Ph n t trung l p eA và v i m i a, b thu c A, ta có 1

- N u phép nhân có tính ch t giao hoán thì X đ c g i là vành giao hoán

- N u trong X có ph n t trung l p đ i v i phép nhân thì X đ c g i là vành có đ n

3) T p X 0,1, 2,3 cùng v i hai phép toán c ng và nhân cho trong b ng sau là m t vành giao hoán có đ n v

Tính ch t 1.2:

Cho X là m t vành Theo đ nh ngh a (X, +) là m t nhóm Aben nên nó có đ y đ các tính ch t c a m t nhóm c ng giao hoán C th là:

1) Ph n t không c a nhóm X là duy nh t Ta kí hi u nó là 0 và c ng g i là ph n t không c a vành X

nh ngh a 1.12 M t vành giao hoán, có đ n v khác 0 và th a mãn m t trong ba đi u

1.1 Phép toán hai ngôi

1 Cho  là t p các s t nhiên,  là t p các s nguyên,  là t p các s h u t ,   là

b) Trong tr ng h p là phép toán hai ngôi, hãy cho bi t tính ch t và các ph n t đ c

Hãy cho bi t các tính ch t c a phép toán  và ch ra các ph n t đ c bi t c a nó

3 Cho t p h p Y a b c, ,  Phép toán * đ c cho b i b ng sau:

Hãy cho bi t các tính ch t c a phép toán * và ch ra các ph n t đ c bi t c a nó

4 Cho * là t p các s t nhiên khác 0, phép toán T đ c xác đ nh nh sau:

b) Ch ng minh r ng * là m t v nhóm giao hoán v i phép toán 

3 Gi s X là m t t p h p tùy ý Xét phép toán hai ngôi:

5 Cho t p h p A0,1, 2 Ch ng minh r ng A là m t nhóm Aben v i phép toán 

cho trong b ng sau:

1 G i X và Y là t p các s nguyên chia h t cho 3 và 5 Ch ng minh r ng X và Y cùng

v i hai phép toán c ng và nhân thông th ng đ u là nh ng vành giao hoán Các vành này

5 Cho k là m t s nguyên l n h n 1 Ch ng minh r ng (k, , )  là m t vành giao hoán có đ n v , trong đó k và các phép toán  , đ c cho b i quy t c sau:

- Xây d ng t p các s t nhiên b ng lí thuy t t p h p

- Xây d ng các phép toán c ng và nhân trên t p các s t nhiên b ng phép toán trên các

b n s

- Xây d ng quan h th t trên t p các s t nhiên

- Nguyên lí quy n p và ph ng pháp ch ng minh quy n p

Th t v y:

t [AB] là t p các đi m c a c nh AB;

[AC] là t p các đi m c a c nh AC

g BC Khi đó gf A: C c ng là m t song ánh, suy ra AC

V y quan h  có ba tính ch t ph n x , đ i x ng và b c c u Do tính ch t đ i x ng c a quan h  nên, n u AB(ho c B A) thì ta c ng nói hai t p h p A và B t ng đ ng nhau

M t t p không ph i là t p h p h u h n đ c g i là t p h p vô h n Nói cách khác, t p

h p A đ c g i là t p h p vô h n nêu có m t t p con th c s c a A mà t ng đ ng v i

b n s b ng nhau khi và ch khi chúng t ng đ ng nhau (b n s c a hai t p h p A và B

là b ng nhau, A  B khi và ch khi A và B t ng đ ng v i nhau, ngh a là có m t song ánh t t p A đ n t p B)

- K t h p: V i m i b n s a, b và c ta có (a + b) + c = a + (b + c), (đi u này đ c suy

nh lí 2.5 V i hai b n s a và b, a + 1 = b + 1 khi và ch khi a = b

đ c g i là tích c a hai b n s a và b, kí hi u là a.b hay ab Nh v y: ab A B

Phép toán trên đ c g i là phép nhân các b n s

nh lí 2.9 T ng c a hai s t nhiên là m t s t nhiên

H qu : T p  các s t nhiên cùng v i phép c ng là m t v nhóm giao hoán

nh lí 2.10 Phép c ng các s t nhiên th a mãn lu t gi n c, t c là v i m i s t

2.2.2.2 Phép nhân các s t nhiên

nh lí 2.11 Tích c a hai s t nhiên là m t s t nhiên

Nh n xét: Do phép nhân các b n s có tính ch t giao hoán, k t h p và m i b n s a ta có a.1 = 1 nên t p các s t nhiên v i phép nhân là m t v nhóm giao hoán

Ngoài ra v nhóm này còn có các tính ch t sau:

+)  a , 0a  0 0a

+) a b, ,ab  0 a 0 ho c b 0

+) a b c, , , (a b c ) ab ac b c a ; (  ) ba ca

2.2.3 Quan h th t trong 

Trong t p h p  các s t nhiên, quan h th t  đ c xác đ nh nh sau:

Cho a, b thu c , a    b c sao cho a + c = b n u ab và ab thì ta nói r ng a nghiêm ng t bé h n b và kí hi u ab

Tính ch t 2.5:

1) V i m i s t nhiên a, 0 a

2) V i m i s t nhiên a, aa

Hai tính ch t trên đ c suy ra t đ ng th c a = 0 + a

3) Quan h  có tính ch t b c c u, ngh a là n u a, b, c là ba s t nhiên sao cho ab

n u a, b, c là ba s t nhiên, a 0 sao cho ab = ac thì b = c

2.3 LÍ THUY T CHIA H T TRÊN T P CÁC S T NHIÊN

2.3.1 Phép chia h t và phép chia có d

2.3.1.1 Phép chia h t

Cho hai s t nhiên a và b, ta nói r ng a chia h t b (hay b chia h t cho a) n u t n t i s

t nhiên c sao cho ac = b

Kí hi u a b (đ c là a chia h t b, hay a là c c a b), ho c b a (đ c là b chia h t cho a, hay b là b i c a a)

Cho hai s t nhiên a và b khác 0 Khi đó t p các c chung c a a và b là

(a) (b)  và b ch n trên b i a và b, t p này có s l n nh t

S l n nh t trong t p các c chung c a a và b đ c g i là c chung l n nh t c a a và

Gi s a, b, q, r là nh ng s t nhiên, b 0 th a mãn abqr Khi đó CLN(a, b) = CLN(b, r)

1 N u a nguyên t cùng nhau v i b và nguyên t cùng nhau v i c thì a nguyên t cung nhau v i bc

1 V i m i s t nhiên c 0 ta có BCNN(ca, cb) = c.BCNN(a, b)

V y 2940 = 2.2.3.5.7.7

2.3.4.2 D ng phân tích tiêu chu n

Trong s phân tích s t nhiên a > 1 thành m t tích nh ng th a s nguyên t có th có nhi u th a s b ng nhau Gi s p p1 , 2, ,p k là các th a s nguyên t đôi m t khác nhau

c a a và   i, i  1, (i 1, )n là các th a s cùng là p i trong s phân tích c a a Khi đó

ac g c g   c g c và nói đó là s bi u di n s t nhiên a trong h g – phân

Nh v y, đ bi u di n m t s t nhiên a trong h g – phân ta ch c n dùng g kí hi u, m i

kí hi u đ c g i là m t ch s (vì 0  c i g 1) Ch ng h n đ ghi s trong h th p phân

ta ch c n dùng 10 kí hi u là các ch s 0, 1, 2, …, 9, còn n u g > 10 ta ph i đ t thêm các

kí hi u m i

2.4.1.2 Bi u di n s t nhiên trong h g - phân

bi u di n m t s t nhiên trong h g – phân, ta có th tìm cách bi u di n thông qua

m t s ví d c th sau đây:

Ví d 2.14:

Bi u di n s 3749 trong h 7 – phân (h th t phân) th c hi n liên ti p và các th ng

c a phép chia đó cho 7 ta vi t nh sau:

Chú ý: Khi l p b ng c ng và nhân, ta th c hi n phép tính trong h th p phân r i đ i k t

ghi m t s trong h nh phân ta dùng hai ch s là 0 và 1 Trong k thu t ng i ta có

th dùng hai ch s đó đ ch hai tr ng thái đóng m ch và ng t m ch

Ta có b ng c ng và b ng nhân trong h nh phân nh sau:

nh lí 2.27 M t s chia h t cho 2 (ho c 5) khi và ch khi ch s hàng đ n v c a s đó

Ví d 2.18:

a) Các s sau chia h t cho 2: 12; 36; 108; 34; 250…

b) Các s sau chia h t cho 5: 150; 315…

c) Các s có ch s hàng đ n v là 0 thì chia h t cho 2 và cho 5

Ch ng h n: 10; 20; 130 …

2.4.2.2 D u hi u chia h t cho 4 và 25

nh lí 2.28 M t s chia h t cho 4 (ho c 25) khi và ch khi s t o b i hai ch s cu i

Ví d 2.19:

a) Các s sau chia h t cho 4: 2012; 1980…

b) Các s sau chia h t cho 25: 250; 11275…

2.4.2.3 D u hi u chia h t cho 3 và 9

nh lí 2.29 M t s chia h t cho 3 (ho c 9) khi và ch khi t ng các ch s c a nó chia

h t cho 3( ho c 9)

Ví d 2.20:

a) Các s sau chi h t cho 3: 111021; 301206…

b) các s sau chia h t cho 9: 13419; 540360…

2.5.1 N i dung d y h c s t nhiên Ti u h c

S h c là m ch ki n th c c b n, c t lõi c a ch ng trình môn toán Ti u h c M ch s

h c t o thành t b n ph n: s h c các s t nhiên, s h c các phân s , s h c các s th p phân và m t s y u t đ i s ; trong đó, s h c các s t nhiên gi vai trò trung tâm Nó

đ c trình bày theo ph ng pháp đ ng tâm t l p 1 đ n h t h c kì đ u c a l p 4

Ph n s h c các s t nhiên bao g m các n i dung: hình thành khái ni m s t nhiên, so sánh các s t nhiên, các phép tính trên các s t nhiên và gi i toán v s t nhiên

Thông qua các vòng s : trong ph m vi 10, 100, 1000, 10 000, 100 000 và các s có nhi u ch s , sách giáo khoa đã gi i thi u cho h c sinh b n phép tính: c ng, tr , nhân, chia các s t nhiên i v i m i phép tính, sách giáo khoa l n l t cung c p cho h c sinh:

+) Hình thành ý ngha c a m i phép toán;

+) Phép tính (c ng, tr , nhân, chia) trong b ng;

+) Quy t c th c hành phép tính (c ng, tr , nhân, chia) ngoài b ng v i các s có nhi u

ch s ;

+) Tính ch t c a phép tính (giao hoán, k t h p, phân ph i, tính ch t c a s 0, s 1…); +) K n ng tính nh m;

+) Các d u hi u chia h t cho 2, 3, 5 và 9

2.5.1.4 Gi i toán v s t nhiên

Ho t đ ng gi i toán có m t v trí quan tr ng trong d y – h c nói chung và d y – h c s

t nhiên nói riêng Thông qua vi c gi i toán v s t nhiên, t ng b c h c sinh đ c phát tri n t duy, rèn luy n ph ng pháp và k n ng suy lu n lôgíc, khêu g i và t p d t kh

n ng quan sát, ph ng đoán, tìm tòi Các bài toán th ng g p v s t nhiên Ti u h c có

th phân thành b n d ng sau:

+) Các bài toán v c u t o s t nhiên;

+) Các bài toán v rèn k n ng th c hành so sánh các s t nhiên;

+) Các bài toán nh m rèn luy n k n ng th c hành b n phép tính v s t nhiên;

+) V n d ng k n ng th c hành tính toán v s t nhiên đ gi i toán có l i v n và toán

- B ng ph ng pháp quy n p (không hoàn toàn), sách giáo khoa đã gi i thi u cho h c sinh quy t c so sánh các s t nhiên có nhi u ch s (xem SGK Toán 3 và Toán 4)

- Quy t c th c hành b n phép tính và các tính ch t c a b n phép tính v s t nhiên

đ c gi i thi u cho h c sinh b ng ph ng pháp quy n p

Chú ý: Thông qua ki n th c v c u trúc đ i s , s t nhiên mà ng i h c đ c trang b

b ng nh ng ki n th c c a toán h c cao c p, ng i h c c n ph i ch n cách ti p c n v i

n i dung v s t nhiên mà h c sinh Ti u h c đ c h c