CẦN CHỦ ĐỘNG TÌM HIỂU NHỮNG BÀI TOÁN CÓ NHIỀU ỨNG DỤNG Đặng Hải Giang – GV – THCS Phan Đình Giót – Cẩm Xuyên – Hà Tĩnh Trong hệ thống các bài toán có những bài chỉ đơn thuần rèn luyện,
Trang 1CẦN CHỦ ĐỘNG TÌM HIỂU NHỮNG BÀI TOÁN CÓ NHIỀU ỨNG DỤNG
( Đặng Hải Giang – GV – THCS Phan Đình Giót – Cẩm Xuyên – Hà Tĩnh )
Trong hệ thống các bài toán có những bài chỉ đơn thuần rèn luyện, củng cố những kiến thức, kỉ năng sau mỗi bài học Nhưng củng có những bài ngoài mục đích trên thì nó còn có vai trò như một “ chìa khóa ” để giải nhiều bài toán khác Chủ động tìm những bài toán như thế và tìm hiểu sâu về chúng là một trong những con đường mang lại kết quả cao trong học toán Sau đây là một ví dụ
tuyến chung của hai đường tròn trong đó C, D là hai tiếp điểm
CMR: AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CD
Lời giải bài toán này khá đơn
giản Gọi giao điểm của AB và CD là I
Vì IC là tiếp tuyến còn IAB là cát tuyến
Từ kết quả trên ta thấy C, D cách
đều AB do đó hai tam giác ABC và
ABD có cùng diện tích Vì vậy bài toán
trên có thể phát biểu như sau:
C I D
A
B
/ O
Tạo một đường thẳng song song CD rồi thông qua trung điểm của CD làm xuất hiện trung điểm của đoạn thẳng mới
Bài toán 3: Cho hai đường tròn
là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
trong đó C, D là hai tiếp điểm Qua A vẽ
đường thẳng song song với CD cắt BC
và BD lần lượt tại P và Q CMR: A là
trung điểm của PQ
Q P
O
O/
B A
C I D
Nếu xem ACD, (BCD) là một nửa của hình bình hành có I là tâm đối xứng khi đó đỉnh còn lại sẻ nằm trên đường thẳng AB Điều này giúp ta có được bài toán sau:
lượt vẽ các đường thẳng song song với AD và AC chúng cắt nhau tại E ( B nằm giữa A và E) CMR:
a) A, B, E thẳng hàng
b) BCED là tứ giác nội tiếp
Gợi ý : ( Phần trình bày chi tiết dành cho bạn đọc )
a) Vì AB và AE cùng đi qua trung điểm I của CD nên A, B, E thẳng hàng
Trang 2b) Vì ABCD là hình bình hành và CD là tiếp tuyến nên:
0
/ 2
R R
I thì BCKD là hình bình, do đó: BE =
AK = 2HI
/
ta có điều phải chứng minh
M H
E K
O /
O
D
C I
B A
Kết hợp bài toán 1 với bài toán 4 ta được bài toán hay và khó như sau:
Bài toán 5: Cho một đường tròn cố định (O) và một dây cung cố định CD của đường
tròn đó Một điểm A di động trên đường tròn (O) Gọi B là giao điểm thứ hai của các đường tròn qua A, lần lượt tiếp xúc với CD tại C và D
a) CMR: AB luôn đi qua một điểm cố định
b) Tìm tập hợp các điểm B
Gợi ý:
a) AB luôn đi qua trung điểm I của CD cố định
qua trung điểm I của CD vì O, I cố định nên
giác CDE Theo (4b) thì B củng thuộc
điểm của CD
Các bạn hãy giải các bài tập sau để thấy thêm những thú vị mà bài toán 1 mang lại
Bài toán 6: Cho nửa đường tròn (O)
đường kính AB và hai điểm E, F thuộc nửa đường tròn sao cho các dây AE và BF cắt nhau tại H, các đường thẳng AF và BE cắt nhau
Bài toán 7: Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định trên đường tròn Trên tiếp
kính thay đổi Tìm tập hợp các trung điểm I của dây chung CD
Từ bài toán 1 nếu cho A và B trùng với nhau thì kết quả bài toán sẻ thay đổi như thế nào, xung quanh bài toán mới này có gì thú vị ? Tất cả đang chờ các bạn khám phá Chúc các bạn thành công !
O 1
O/ O
E
D
C I
B A