Đề thi Đại học môn toán có lời giải

Vì vậy nếu làm nó, bạn sẽ làm quen được với dạng đề và phong cách thi th ậ t Bản thân chúng tôi, những thành viên CLB Kỹ Năng Sống Thanh Niên Hà Nội cũng đã áp dụng phương pháp học tập đ

XIN CHÀO CÁCBẠNỈ

Một trong những phưcmg pháp ôn thi rất hiệu quả mà các THỦ KHOA áp dụng là ôn tập và làm theo các bộ đề thi chính thức Vì vậy nếu làm nó, bạn sẽ làm quen được với dạng đề và phong cách thi th ậ t Bản thân chúng tôi, những thành viên CLB Kỹ Năng Sống Thanh Niên Hà Nội cũng đã áp dụng phương pháp học tập đó và rất thành công trong các kỳ thi tố t nghiệp và đại học Chúng tôi rấ t muốn chia sẻ điều đó đến các bạn

Xin g iớ i th iê u v ớ i các b a n bô tà i liêu ĐẨCBIÊT:

• Tuyển tập 15 đề thi Đại Học môn Vật Lý

• Tuyển tập 15 đề thi Đại Học môn Hóa Học

• Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán

• Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Tiếng Anh

• Tuyển tập đề thi Đại Học môn Sinh Học 2 0 0 8 -2 0 1 4

• Tuyển tập đề thi Đại Học - Cao Đẳng chính thức 2008 - 2014 Khối c.

Chúng tôi biên soạn các bộ tài liệu này trong vòng 1 năm liên tiếp Chắc chắn đây sẽ ỉà những tài liệu vô cùng hữu ích cho các bạn tron quá trình ôn thi, giúp tiết kiệm thời gian, công sức và chi phí tìm kiếm, in ấn cho các bạn!

Chúc các bạn học tập và ôn thi hiệu quả! Hẹn gặp lại tại giảng đường đại học!

NHÓM BIÊN TẬP CLB K Ỹ NĂNG SỐNG THANH NIÊN

Liên h ệ t ư vấn: M s Vân A n h 0167.656.2750

Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán

ĐÈ SÓ I

(A - 2009)PHẦN CHUNG CHO TẮT CẢ TH Í SINH (7,0 điểm):

Câu 1(2,0 điểm)

Cho hàm số y = - + ^ (l)

2 x + 3 v '

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ o

C âu V (1,0 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số thực dương X, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có:

(x + y)3 + (x + z)3 + 3 (x + y )(x + z )(y + z ) < 5 ( y + z ) 3

PHẦN RIÊN G (3,0 điểm): T hí sinh chỉ được ỉàm m ột trong hai p h ần (phần A hoặc B)

A Theo chương trìn h C huẩn

Câu VLa (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm 1(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Điểm M (l; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng A :x + y - 5 = 0 Viết phương trình đường thẳng AB

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( p ) : 2 x - 2 y - z - 4 = 0 và mặt cầu( s ) : x2 + y2 + z2- 2 x - 4 y - 6 z - l l = 0 Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cặt mặt cầu (S)theo một đường tròn Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó

m để A cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( p ) : X - 2y + 2z -1 = 0 và hai đườngthẳng A, = — - Z- - ;A2 —ỉ- = ——- = 7^ - Xác định toạ độ điểm M thuộc đường

^ I c â u Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên

thẳng Aj sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng À2 và khoăng cách từ M đến mặtphậng (P) bằng nhau.

Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán

G IẢ I ĐÈ SỐ 1

C âu I

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

3Tập xác định: X * "

Vẽ đồ thị: đồ thị cắt Oy tại Ịo ;—j và cắt Ox tại (-2; 0)

j ị'câ u Lạc Bộ Kỹ Năng sống' 'T^ iiĩaniiiL, "]NfiêiaM

2 Ta có y ' = - ỉ—J nên phương trinh tiếp tuyển tại X = x0 (với x0 *

^ K \ = |yB| ^ |2x 0+8x0 = 2x ổ +8x0+6

(2x0+3)

<=>(2x0+ 3)2 = l « > 2 x 0 +3 = ± l o 'x0= - l ( L )

X0= -2 (T M )Với x0 = - 2 ta có tiếp tuyến y = D xũ □ 2

Phương trình <=> cosx - 2sinxcosx = -73 (1 - SŨ 1X + 2sinx - 2sin2x)

<=> cosx - sin2x = -7-5 + -73 sinx - 2 -73 sin2x

o —73 sinx + cosx = sin2x + -73 (1 - 2sin2x)

Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán

=> 15u3 +64— 32u + 4u2 — 24 = 0

<=> 15u3 + 4u2 - 32u + 40 = 0

Vì (SBI)và (SCI)vuông góc với (ABCD) nên SI _L (A BCD)

T acó IB = a VJ; BC = aV5;IC = aV Ï;

- /7

Hạ I H 1 B C tính được IH = ^ - ;

Trong tam giác vuông SIH có S I= IH tan 60 =,0 3aVĨ5

S ABCD = S aecd + S ebc = 2 a 2 + a 2 = 3 a 2 ( E l à t r u n g đ i ể m c ủ a A B )

Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán

Từ đó ta có phương trình đường thẳng AB l à x - 4 y + 1 9 = 0 hoặc y = 5

2 Mặt cầu có tâm I(l;2;3) bán kính R=5

Khoảng cách từ tâm I đến mp (P) là

[2 1 -2 2 —3-41

d f t ( p ) ) = L L ĩ

-Vì d(I;(P)) <R nên (P) cắt (S) theo đường tròn

Gọi H là hình chiếu của I trên (P) thì H là giao của mp(P) với đường thẳng qua I, vuông góc với (P) Dễ dàng tìm được H= (3;0;2)

Để A cắt đường tròn (C) tại 2 điểm A,B phân biệt thì: IH<R

Khi đó SAIAB = - IH.AB = IH.HA < M +H A = — = — = 1

=í>(SAIAB) =1 khi IH = HA = 1 (hiển nhiên IH < R)

o - í ị = ^ L = l o | l - 4 m | = Vm2+1 <=>l-8m +16m 2 = m 2+ l Vm2+1

o l 5 m - 8 m = 0<=>

m = 0

m =15

Vậy, có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu là: m = 0 và m = 8_

Ũ(Q) =Ũa2 = (2 ;l;-2 )

=> (Q ): 2(x - a ) + l(y - b) - 2(z - c) = 0 Hay(Q ): 2 x + y - 2 z + 9 b - 1 6 = 0 Gọi H là giao điểm của (Q) và A2 => Tọa độ H là nghiệm của hpt:

(a = b - l

ị c = 6 b - 9

g I Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sến g Thanh Niên

Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán

2x + y - 2 z + 9 b - 1 6 = 0 ' x - 1 _ y - 3 _ z +1

7~ĩ~ ~ ĩ ~ ~ ~-2

-> H (-2 b + 3 ;-b + 4 ;2 b - 3)MH2 = (3b - 4ý + (2b - 4)2 + (4b - 6)2 = 29b2 - 88b+68 Yêu cầu bài toán trờ thành:

Viết lại hệ dưới dạng:

ílog2(x 2 + y 2) = log2(2xy) | x 2 + y2 = 2xy

Đ È S Ố 2

(A - 2012)PHẰN CHUNG CH O TẤT C Ẳ T H Í SINH (7,0 điểm)

C âu 1 (2,0 điểm) Cho hàm sổ y = X4 - 2 (m +l j x 2 + m2 ( ĩ) ,với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông

C âu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình -v/3 s in2x+cos2x=2cosx-l

C âu 6 (1,0 điểm) : Cho các số thực X, y, z thỏa mãn điều kiện X +y + z = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức p = 3 ^ + 3 ^ + 3 ^ — a J6 x 2 + 6y 2 + 6z2

PHẦN R IÊN G (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần Ả hoặc phần B)

A Theo chương trìn h C huẩn

C âu 7.a (1,0 điểm) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M làtrung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND Giả sử M 11.1

2 ;2 và

đường thẳng AN có phương trình 2x - y - 3 = 0 Tìm tọa độ điểm A

C âu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:JC+1 _ y _ Z—2

~ r ~ 2~ ~ r và điểm I (0; 0; 3) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại hai

điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I

C âu 9.a (1,0 điểm) Cho n l à s ố nguyên dương thỏa mãn 5C”~' = c3 Tìm s ố hạng chứa X5

trong khai triển nhị thức Niu-tơn í — - ỉ ĩ

, 14 X, , x £ 0

B Theo chương trìn h Nâng cao

C âu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : X2 + y2 = 8 Viết phương trình chính tẵc elip (E), biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông

C âu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:

= — = - —- , mặt phẳng (P) : X + y - 2z + 5 = 0 và điểm A (1; -1; 2) Viết phương trình

đường thẳng À cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN

C âu 9.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa +-^ = 2—i. Tính môđun của số phức w = 1 + z

Z + 1+ z2

Tuyin tap 30 d i thi Dai Hoc m6n Toan

u = k, y = 4x - 4x,y = u o x = unayx = ±i

Ham so d6ng b iin tren (-1; 0) va (1; +oo), nghich b iin tren (-<»;-1) va (0; 1)

Ham s6 dat cue dai tai x = 0 va yco = 0, dat cue tiiu tai x = ±1 va ycr = -1

Ham s i co 3 cue tri <=> m + 1 > 0 <=> m > -1

Khi do d i thi ham s i c6 3 cue tri A (0; m2),

<=> 2^3 sinxcosx + 2 c o s2x = 2cosx <=> cosx = 0 hay sl3 sinx + cosx = 1

o cosx = 0 hay — sinx + — cosx = — <=> cosx = 0 hay cosC c-—) = cos—

Hệ trở thành

s 3 - 3P S + 3(S2 - 2P) - 9s = 22

S Z 2 P + S = 2S*+6S2 + 455+ 82=0

Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán

dựng D sao cho ABCD là hình thoi, AD//BC

Vẽ HK vuông góc với AD Và toong tam giác Vuông

SHK, ta kẻ HI là chiều cao của SHK

Vậy khoảng cách d(BC,SA) chính là khoảng cách 3HI/2 cần tìm

=> f đồng biến trên [0; +oo) => f(t) > f(0) = 2

Mà 3 ^ > 3° = 1 Vậy p > 3° + 2 = 3, dấu “=” xảy ra<=>x = y = z = 0 Vậy min p = 3

A Theo chưong trìn h C huẩn :

I Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên

tg(DAM - DAN) = 2p = l )

1 + 2, -

3Phương trình đường thẳng A M : ax + by - — a ——b= 0

(E )cắt (C ) tại 4 điểm tạo thành hình vuông nên :

Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên

M (2;-2) thuộc (E) o - ^ - + - 4 - = l o ố 2 = — Vây (E) có dang ——\-¥-r = \

3Câu 8b:

M e d = > M ị—l+ 2 t,t;2 + t)(te R ); A là trung điểm MN = > N (3 -2 t;-2 -t;2 -t)

N e (P) =>t = 2=ỳ N (-ỉ;-4 ;0) ; A đi qua A và N nên phương trình có dạng :

Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán

I S I Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên

ĐÈ SỐ 3

(A - 2013)PHẦN CHUNG C H O TẤ T C Ẳ T H Í SINH (7,0 điểm)

C âu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = - X 3 + 3x2 + 3mx - 1 (1) , với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0

b) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; +oo)

C âu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình 1 + tan X = 2 V ĩ s in ^ x + —j

yịx+ l + y ỉ x - l - y Ị y 4 + 2= y X2+ 2 x ( y - ỉ) + y 2- 6 y +1 = 0

2*2 - 1

C âu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân / = [ — T ln X dx

1 *

C âu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC = 30°, SBC

là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)

C âu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + c )(b + c ) = 4c2

Tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức p = • , ,

(b + 3 c)3 (a + 3 c )3 cPHẦN R IÊN G (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)

A Theo chương trìn h C huẩn

C âu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm

c thuộc đường thẳng d : 2 x + y + 5 = 0 và A (-4; 8) Gọi M là điểm đổi xứng của B qua C, N

là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD Tìm tọa độ các điểm B và c, biết rằng N(5;-4)

C âu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

A :——- = ■ và điểm Ạ(l;7;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và-3 - 2 1

vuông góc với A Tìm tọa độ điểm M thuộc A sao cho AM = 2V3Õ

C âu 9.a (1,0 điểm) Gọi s là tập hợp tất cả số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn

từ các số Ị; 2; 3; 4; 5; 6; 7 Xác định số phần tử của s Chọn ngẫu nhiên một số từ s, tính xác suất để số được chọn là số chẵn

B Theo chương trìn h Nâng cao

C âu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng A : x - y = 0 Đường tròn (C) có bán kính R = V ĩõ cắt A tại hai điểm A và B sao cho AB = 4V2 Tiếp tuyến của (C) tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy Viết phương trình đường tròn

Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + 3 y + z - l l = 0 và mặt cầu (S ):x 2 + y2+ z 2 - 2 x + 4 y - 2 z - 8 = 0 Chứng minh (P) tiếp xúc với (S) Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (S)

C âu 9.b (1,0 điểm) Cho số phức z = 1 + V3Ì Viết dạng lượng giác của z Tìm phần thực và phần ảo của số phức w = (1+ i)z5

I Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên

Tuyển tập 30 đề thỉ Đại Học môn Toán

G IẢ I ĐỀ SỐ 3Câu 1 :

1+tanx=2(sinx+cosx)

<=> cosx+sinx = 2(sinx+cosx)cosx (hiển nhiên COSX=0 không là nghiệm)

<=> sinx+cosx=0 hay COSX = —

C ầu 3:

Điều kiện: x > 1

x2 + 2 ( y - l ) x + y 2 - 6 y + l = 0 o ( x + y - l ) 2- 4 y = 0 <=>4y = ( x + y - l ) 2(*)Vậy: y > 0

Gọi H là trung điểm BC thì SH ± (ABC) và SH =

Ta có tam giác ABC là nửa tam giác đều nên

Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán

Câu 9a:

I Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niễn

Số cách gọi số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt là số chẵn: 3.6.5=90

Số cách gọi số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt là: 5.6.7=210

Xác suất để chọn 3 số tự nhiên phân biệt là số chẵn từ 7 số đã cho là 90 :210 =3/7Vậy xác suất để chộn 3 số tự nhiên phân biệt là số chẵn từ 7 số đã cho là 3/7

Tuyln tap 30 d£ thi Dai Hoc mdn To an

Vay phan thuc cua w l a : 32( ^ +^— ) va phan ao la 32(^ - ^ - )

a i Cau Lac B6 Ky Nang S6ng T hanh Nien

ĐỀ SỐ 4

(B - 2011)PHẦN CHUNG CH O TẤ T CẢ T H Í SINH (7,0 điểm)

C âu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x * - 2 (m + \) x z +m (1), m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, c sao cho OA = BC, o là gốc tọa độ,

A là cực trị thuộc trục tung, B và c là hai điểm cực trị còn lại

C âu H (2,0 điểm)

1 Giải phương trình s in 2 x c o sx + sin x c o sx = cos 2 x + s in x + c o sx

2 Giải phương trình 3yj2+x - 6yj2—x + 4 y l4 - x 2 = 1 0 -3 x (x e R)

C âu II I (1,0 điểm) Tính tích phân I = f ^+xs,1— dx

' cos x

C âu IV (1,0 điểm) Cho lãng trụ ABCD.AiBiCiDi có đáy ABCD là hình chữ nhật AB =

a, AD = «V3 Hình chiểu vuông góc của điểm Ai trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD Góc giữa hai mặt phẳng (ADDiAi) và (ABCD) bằng 60° Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm Bi đến mặt phẳng (AiBD) theo a

C âu V (1,0 điểm) Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab +2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức p = 4 Í - V 1! 9

( 2 a b U2 \

1

w “‘ì v b I 2 + 2a )

PHẦN R IÊN G (3,0 điểm)

Thí sình chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trìn h C huẩn

Câu V La (2,0 điềm)

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng A : x - y - 4 = 0 v à d : 2 x - y - 2 = 0 Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng A tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8

2.Trong không gian hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng A - = x - 2 _ y +ỉ■ = — và mặt phăng _ z ' LÌ

1 - 2 - 1( P ) : X + y + z - 3 = 0 Gọi I là giao điểm của A và (P) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) saocho MI vuông góc với A và MI = 4>/Ĩ4

2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng A : JC+2 _ y — l _ z + 5

Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán

C âu vn.b (1,0 điểm) Tìm phần thực và phần ảo của số phức ' u ị S Ỉ

K 1 + i , '

-Hết -T hí sinh không được sử đụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: số báo d an h :

->2 I Câu Lạc B ọ K y Năng sống X h a ^ N íế n

D = R, y’ = 4x3 - 8x, y’ = 0 <=> X = 0 hay X = ± V2

Hàm số đồng biến trên ( ~ J Ĩ; 0) và ( V ĩ ; +oo), nghịch biến trên (-00; - V ĩ ) và (0;

1 Phương trình đã cho tương đ ư ơ n g :

2sinxcos2x + sinxcosx = 2cos2x - 1 + sinx + cosx

<=> sinxcosx (2cosx + 1) = cosx (2cosx -I-1) - 1 + sinx

o cosx(2cosx + l)(sinx - 1) - sinx + 1 = 0

sinx = 1 hay cosx(2cosx + 1) - 1 = 0

<=> X = — + k27ĩ hay 2cos X + cosx - 1 = 0

<=> X = — + k2ĩĩ hay cosx = - 1 hay cosx = Ậ

Cách khác : Đặt u = V2 + X và V = s /2 - x (u, V > 0), phương trình đã cho trở thành:

? /ị I Câu Lạc Bộ Kỹ N ăng số n g T hanh Niên

Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán

[Z 2 K 1 2 — y/3

= V3 + — + - l n - —^7=

3 2 2 + VãCâu 4

Ta có : OI = —, AOIAi là nửa tam giác đều

Gọi B2 là điểm chiếu của Bi xuống mặt phẳng ABÓỒ-

Vậy d (Bi, AiBD) chính là đường cao vẽ từ B2 của AOB2B

Tacó: OM.ON = 8 o I— —Tyja2 + 6 2 7— --.yỊa2 +b2 = 8 o a2+b2 = |a - 6 ||2 a - 6 |

|a - 6 | Ị2a—¿ITHI : a = 0 ta có : b2 = b2, chọn b = 1 => N (0;-4) , M (0;-2)

TH2: a * 0, chọn a = 1 ta được: 1 + b 2 = |( l - 6 ) ( 2 - 6 ) | o 1 + b2 = |62 —36+2|

o \ , o b = - V ậ y N ( 6 ; 2 ) ; M Ị ; -

|_62 - 36 + 2 = - l - 6 2 3 " v ' l 5 ’ 5 jCách khác : Điểm N e d => N (n; 2n - 2) => ON = (n; 2n - 2)

Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán

1 Ta có phương trình BD : y = 1, phương trình EF : y = 3, nên

1+3/V3 + 9 r + 3 V3i3 = _4_

Cách khác : z =

l+ 3 í'+ 3 i2 + i3 1 - ỉVậy phần thực của z là 2 và phần ảo của z là 2

= 2 + 2i

I Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên

ĐỀ SỐ 5

(D -2 0 1 1 )PHẰN CHUNG C H O TẤT C Ả T H Í SINH (7,0 điểm)

C âu I (2,0 điểm) Cho hàm số y =

X+1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k +1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau

= 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a>/3 và SBC= 30° Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

Câu V (1,0 điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

Í2x3- ( y + 2)x2+xỷ = m

[x + x - y = ỉ- 2 m

PHẦN R IÊN G (3,0 điểm) : Thí sinh chỉ đươc làm môt trong hai phần (phần A hoăcB)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(-4; 1), trọng tâm G (l; 1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình X - y - 1 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh A và C

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (l; 2; 3) và đường thẳng

■ Viết phương trình đường thẳng À đi qua điểm A, vuông góc với đường

d: x + 1 _ y _ z—3

thẳng d và cắt trục Ox

Câu VH.a (1,0 điểm) Tìm số phức z, b i ế t : z - ( 2 + 3/')z = 1 -9 /

B Theo chương trìn h Nâng cao

Câu VLb (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng tòa độ Oxy, cho điểm A(1; 0) và đưòng tròn (C) : X2 + y2 - 2x + 4y - 5

= 0 Viết phương trình đường thẳng A cắt (C) tại điểm M và N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A

I Câu Lạc Bộ Kỹ Năng Song Thanh Niên

Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán

Phương trình <=> sin2x + 2cosx - sinx - 1 = 0 o 2sinxcosx + 2cosx - (sinx + 1) = 0

<» 2cosx (sinx + 1) - (sinx + 1)= 0 <=> (2cosx - l)(sinx + 1) = 0

Gọi H là hình chiếu của s xuống BC

VỈ (SBC) J_ (ABC) nên S H 1 (ABC)

T a c ó S H = W 3

Thể tích khối (SABC) = - S DẨBC.SH = -(-3 a A a ).a y fỉ = 2aì J Ĩ

Ta có : Tam giác SAC vuông tại s

Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán

Vậy hệ có nghiệm <=> (l)có nghiệm thuộc

1 Gọi M là trung điểm của AC, ta có BM = —BG <=> M 1 —; 1

Gọi N là điểm đối xứng của B qua phân giác trong À của góc A và H là giao điểm của A với đường thẳng BN

Đường thẳng AC qua 2 điểm M, N nên có p t : 4x - y - 13 = 0

A là giao điểm của đường thẳng A và đường thẳng AC nên tọa độ A là nghiệm

A I(0 ; - 2 ) Vì I và A cách đều M, N nên MN ± AI, vậy pt MN có dạng : y = b

Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán

ĐÈ SỐ 6

(B - 2013)

I PHẦN CHUNG C H O TẮ T CẢ TH Í SINH (7,0 điểm)

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = 2xi - 3(m +ì)x2 + 6mx (1), với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -1

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = X + 2

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình sin 5 x + 2 cos2 X= 1

Í2x2 + y2-3 x y + 3 x - 2 y + l = 0Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ị _ (x,y eR)

Câu 6 (1,0 điểm) Cho a, b, c là cấc số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

yịa2 +b2 +c2 + 4 (a + b)yj(a 7 2c)(b 7 2c)

II PHẦN RIÊN G (3,0 đ iểm ): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)

A Theo chương trìn h C huẩn

Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ơxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc vói nhau và AD = 3BC Đường thẳng BD có phương trình X + 2y - 6

= pbmtam giác ABD có trực tâm là H (- 3 ; 2 ) Tìm tọa độ các đỉnh c và D

ICâu Jk a (1,0 điểm)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (3; 5; 0) và mặt phăng -(P): 2x + 3y - z - 7 = 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc vói (P) Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua (P)

Câu 9.a (1,0 điểm) Có hai chiếc hộp chứa bi Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên

bi, tính xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu

B Theo chương trìn h Nâng cao

Câu 7.b (1,0 điếm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A là ^ , chân đường phân giác trong của góc A là D (5; 3) và trungđiểm của cạnh AB là M (0; 1) Tìm tọa độ đỉnh c.

Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm Ắ( 1; -1; 1), B (-

1 ;2;3) và đường thẳng A : = ——- = ——- Viết phương trình đường thẳng đi qua A,

vuông góc với hai đường thẳng qua AB và À

Hàm sô đồng biến frên (-oo; -1 ); (1; +00); hàm số nghịch biến trên (-1; 1)

Hàm số đạt cực đại tại X = -1; y (-l) = 4; hàm số đạt cực tiểu tại X = 1; y (l) = -4 y" = 12x; y” = 0 X = 0 Diem uon I (0; 0)

Điểm(xO;ỵO) thuộc đưòmg thẳng AB : y = - (m - 1)2X + m2 + m

Đường thẳng AB vuông v ớ i d : y = x + 2 « • kAB-kd = -1

< =>- ( m- 1) 2 = -1 <=> m = 0 hay m = 2 (b)

Từ (a) và (b) Kết l u ậ n : m = 0 hay m = 2

C âu 2: Giải phương trinh:

sin 5 x + 2 co s2 x = ỉ <=> sin5x = 1 - 2 cos2x<=> sin5x = -Cơs2x <=> sin5x = sin(2x - n/2)

<=> 5x = 2x - —+ k2n hay 5x = n - 2x + — + k2ĩĩ

I Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên

Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán

f đồng biến trên ;+oo I và f(0) = 0

=> X = 0 là nghiệm duy nhất của (*)

Vậy X = 0 và y = 1 là một nghiệm của hệ

ChQn H la dilm g6c cua h$ true tQa d6 Hxyz theo hinh ve

H(0;0;0), 5 g ; O ; 0 | |; 0 ; C ) | 1(0;a;0 ), s | ) ; 0 ; c | | ; a ; o | £ > | | ; a ; ( |

Ta tin h : S C = ?,SD = ??,& 4 = ???

^ ^ t c D = 2 ^ c z > = ^

a-v/3Viet pt (SCD) => d(A,(SCD) =

CSu 7.a: Goi I la hinh chilu cua H(-3;2) xulng DB => I (-2; 4)

AIHB = AIBC =>I la trung d ilm CH =>C(-1 ; 6 )