Sự xấp xỉ holder cho hàm nguồn của một phương trình nhiệt ngược thời gian

Bởi vì bài toán 2 rất khó giải nên để giải nó thì với ϕ hoặc f đã được cho.. Gần đây, việc chỉnh hóa chỉ sử dụng nhiệt độ đầu đã được xét tới trong [9,17], và đã có một vài đánh giá sai

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TIỂU LUẬN TỐT NGHIỆP

một phương trình nhiệt ngược thời

Mục lục

0.1 Giới thiệu về tiểu luận 3

1 Những kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Kiến thức về vi-tích phân 5

1.1.1 Mệnh đề 1 5

1.2 Kiến thức về không gian Hilbert 5

1.2.1 Mệnh đề 2 5

1.2.2 Mệnh đề 3 6

1.3 Kiến thức về đa thức nội suy Largange 11

1.3.1 Mệnh đề 4 11

2 Giải bài toán (1) và kết quả thu được 13 2.1 Biến phân phương trình trong bài toán (1) 13

2.1.1 Mệnh đề 5 13

2.2 Đưa ra các định nghĩa sẽ sử dụng trong bài toán (1) 16

2.2.1 Định nghĩa 1 17

2.2.2 Định nghĩa 2 17

2.3 Bổ sung điều kiện cho bài toán (1) 17

2.4 Định lý 1 17

2.5 Định lý 2 18

2.5.1 Bổ đề 1 18

2.5.2 Bổ đề 2 19

2.5.3 Bổ đề 3 20

2.5.4 Bổ đề 4 21

2.5.5 Bổ đề 5 23

2.5.6 Phần chứng minh Định lý 2 26

3 Lập trình tính số bài toán (1) và các kết quả thu được 34 3.1 Thuật toán tính tích phân Filon 34

3.2 Các ví dụ minh họa kết quả giải số bài toán (1) 51

3.2.1 Ví dụ 1 51

3.2.2 Ví dụ 2 53

3.2.3 Ví dụ 3 54

3.2.4 Ví dụ 4 55

3.2.5 Ví dụ 5 56

3.2.6 Ví dụ 6 57

3.3 Chương trình tính toán giải bài toán (1) bằng ngôn ngữ Fortran 90 58

4 Phụ lục 59

4.1 Bổ sung các ý trong các Bổ đề 59

4.1.1 Bổ sung 1 59

4.1.2 Bổ sung 2 59

4.1.3 Bổ sung 3 60

4.1.4 Bổ sung 4 60

4.1.5 Bổ sung 5 61

4.2 Chương trình giải số bài toán (1) bằng ngôn ngữ Fortran 90 62

4.2.1 Chương trình chính 62

4.2.2 Chương trình con 1 - Lưu trữ các biến toàn cục 63

4.2.3 Chương trình con 2 - Lưu trữ các hàm 63

4.2.4 Chương trình con 3 - Tính toán chi tiết 67

4.2.5 Chương trình con 4 - Biên dịch 3 chương trình con 1,2,3 94

5 Kết luận 95 5.1 Tài liệu tham khảo 97

0.1 Giới thiệu về tiểu luận

$ '

bảo tính duy nhất nghiệm của bài toán Trong bài toán (1) mỗi hàm f cho ta tương ứng với một bài toán ngược cổ điển do đó để giải (1) ta chỉ tập trung vào tìm hàm f Bài

với ξ là biến không gian Bài toán (2) không chỉnh, tức là không có nghiệm, và nếu có nghiệm thì nó cũng không chắc phụ thuộc liên tục vào dữ kiện đã cho Do đó, ta cần chỉnh hóa nó để có thể giải số được Bởi vì bài toán (2) rất khó giải nên để giải nó thì

với ϕ hoặc f đã được cho Tính duy nhất nghiệm và điều kiện ổn định của nguồn nhiệt

ở dạng này đã được một số tác giả khảo sát trong [3-5,12,13,22-24 ].

Dù cho tính duy nhất nghiệm và sự ổn định nghiệm có ra sao thì việc chỉnh hóa cho trường hợp không ổn định vẫn còn rất khó Để thực hiện việc chỉnh hóa bài toán (2),

và nhiệt độ cuối Hơn thế nữa, việc đánh giá sai số không được cho một cách tường minh, hoặc chỉ ở dạng logarit.

Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là việc xấp xỉ nguồn f có thể sử dụng nhiệt độ đầu hoặc nhiệt độ cuối mà không cần cả hai Gần đây, việc chỉnh hóa chỉ sử dụng nhiệt độ đầu đã được xét tới trong [9,17], và đã có một vài đánh giá sai số loại logarit Trong tiểu luận này, tác giả sẽ xây dựng nghiệm chỉnh hóa ở dạng xấp xỉ chỉ sử dụng nhiệt độ cuối

và cho kết quả đánh giá loại Holder Phương pháp của tác giả được gợi ý từ việc xác định duy nhất nguồn của phương trình nhiệt ngược thời gian được xây dựng đầu tiên bởi Tikhonov năm 1935 trong [19] Tác giả đã theo sát kĩ thuật của bài báo về phương trình nhiệt xuôi thời gian [17] Sự khác biệt chính ở đây là trong bài toán ngược ta tìm dạng

Trong phần thực hành giải số cho bài toán (1) tác giả đã tìm được nghiệm chỉnh

loại tích phân số để tính những tích phân ẩn trong nó Cũng như đã được đề cập trong phần lí thuyết, tác giả tìm nghiệm chỉnh hóa thông qua kĩ thuật khai triển Fourier và nội suy Lagrange Đối với khai triển Fourier tác giả phải tính tích phân hai chiều với những

tích phân Gauss khó tính chính xác được Do vậy tác giả đã sử dụng phương pháp đặc

biệt là phương pháp tich phân Filon Với tích phân này thì đã giải quyết được tính dao động của các hàm có dạng trên Phương pháp tích phân Filon cho những hàm có dang

Lagrange để có được đa thức nội suy có sai số ít nhất tác giả đã dùng tới thuật toán Neville, cái mà giải quyết tốt vấn đề sai số hơn các thuật toán thông thừơng, và các nút nội suy thì tác giả đã sử dụng các nút Chebyshev, các nút mà đã giải quyết được vấn

đề sai số ở hai biên của khoảng nội suy mà các nút theo cách chia đều không giải quyết được.

Để đảm bảo cho sự khả dụng của nghiệm chỉnh hóa, song song với các kết quả đánh giá trong phần lý thuyết thì phần thực hành tác giả cũng đã tính toán để minh chứng sai

số trong những trường hợp cụ thể.

Trong tiểu luận này tác giả đã đưa vào chương trình giải số bài toán (1) Chương trình này được viết trên ngôn ngữ Fortran 90, ngôn ngữ tính toán có thể thực thi các công đoạn tinh toán song song Trong tiểu luận này tác giả cũng đã đưa vào một số ví

dụ để kiểm chứng kết quả giải số và từ kết quả lý thuyết.

minra,bsf Ta xét hai trường hợp

Vậy Mệnh đề được chứng minh.

Ta sẽ dựa vào Mệnh đề 2 để chứng minh Mệnh đề 3 sau đây.

B2  a 2
1tn0ucos pmπyq (8n0  ! 1, ?

khi n Ñ 8, với mọi x P p0, 1q Xét |Snpgqpxq
gpxq| ta có

sinπpy
xq2

1 2

sinπpy xq2

dy



sinπpy
xq2 dy

1 2

0

12

2 πx 2

πx 2

πx 2

2 πx 2 πx 2

πx 2

Sử dụng kết quả trong (1.3) thay vào (1.2) ta nhận được

2 πx 2

π 2 πx 2

π 2 πx 2

2 πx 2

π 2 πx 2

2 πx 2

π 2 πx 2

p1 2 cosp2uqqdu

2 πx 2

u
π 2 πx 2

 u sinpπ πxq
sinp
π πxq

 π
sinpπxq sinpπ
πxq  π
sinpπxq sinpπxq

 π.

Giả sử (1.4) đúng với n  k ta chứng minh nó đúng với n  k 1 Tức là giả sử ta có

2 πx 2

π 2 πx 2

2 πx 2

π 2 πx 2

Đầu tiên ta có

 sinrp2k 1qu 2us

 sinp2k 1qu cosp2uq cosp2k 1qu sinp2uq

 sinp2k 1qup1
2 sinpuqq cosp2k 1qu2 sinpuq cospuq.

π

2 πx 2

π 2 πx 2

2 πx 2

π 2 πx 2

u
π 2 πx 2

 π.

Vậy ta đã chứng minh được (1.4), tức là

2 πx 2

π 2 πx 2

πx 2

2 πx 2 πx 2

với mọi @n P N Sử dụng (1.2) ta có sự biểu diễn hàm gpxq

πx 2

2 πx 2 πx 2

πx 2

1 π

2 πx 2 πx 2

πx 2

 g

2 πx 2 πx 2

 g

πx 2





1 π

2 πx 2 πx 2





1 π

Hơn nữa, cho  ¡ 0 thì Dn0 P N sao cho @n ¡ n0 thì

Chương 2

Từ (2.2) ta sẽ biến đổi cả hai vế để đưa về dạng như (2.1) Đầu tiên với vế phải ta có

Bây giờ ta nhân cả hai vế của đẳng thức này với cos pαxq cospnπyq rồi lấy tích phân trên

Nhân cả hai vế của (2.4) với epα n π qpt
1q rồi lấy tích phân trên p0, T q ta nhận được

Hay ta viết lại

Vậy Mệnh đề 5 được chứng minh xong.

(1)

Từ công thức biến phân (2.1), để cho việc giải bài toán (1) trở nên rõ ràng thì ta sẽ định nghĩa lại các thành phần trong (2.1).

thức biến phân (2.1) được viết lại

m,n¥0

Định lý này cho phép khẳng định sự duy nhất nghiệm của bài toán (1).

Đầu tiên để chứng minh Định lý 2 thì ta sẽ phát biểu và chứng minh 5 Bổ đề trước Sau

đó ta sẽ sử dụng kết quả của 5 Bổ đề này vào chứng minh định lý.

$ '

?

Chứng minh i) Đầu tiên từ đẳng thức Parseval ta có

Tiếp theo ta sẽ chặn 3 thành phần trong vế phải của (2.26) Đầu tiên ta có

Tương tự như trong Bổ đề 5, sử dụng đánh giá #

* Từ (2.37) và (2.38) có được a

* Vậy từ (2.35), (2.36), và (2.39) ta có

*

Bước 5

.

+

Bước 6

Bây giờ từ các kết quả đánh giá 4 thành phần trên Ta sẽ tổng hợp lại và sẽ có một vài kĩ thuật thêm nữa để có được đánh giá cần có Kết hợp các kết quả (2.30) và (2.5.6) trong bước 2 và bước 3 ta có

m2 n2 N

(2.52) với

+

+

+

?

? 2

Chương 3

kết quả thu được

tạo ra Với cách tính này việc tạo lưới càng mịn thì độ chính xác của tích phân càng cao.

y2j
1

m¸
1i1

m¸
1i1

rx2i
1, x2i 1s  ry2j
1, y2j 1s của lưới phân hoạch miền r0, πs  r0, πs về điểm pr, sq trong

px, yq Ñ pr, sq, với

hoặc phần tử tứ giác 4 nút là đủ và quá trình tính toán phía sau sẽ đơn giản hơn Nhưng

ta chọn phần tử hình vuông 9 nut để tăng tính chính xác của tích phân lên mức cao hơn.)

được viết theo tọa độ địa phương hay tọa đô toàn cục tương ứng là

Với phép chuyển từ hệ tọa độ toàn cục qua hệ tọa độ địa phương như vậy thì ta tính tích

Với q  0 thì cospqpu2j δys qq  1 nên từ (3.1) ta có được

Do vậy từ (3.35) ta tính được tổng sau

9

¸

k1

được đặt trong trường hợp 2 ta có

Do đó từ (3.48) ta có kết quả tính tổng

9

¸

k1

1.0E-01 3.52941E-01 8.25946E-01 5.57833E-01 9.28094E-02

1.0E-02 4.71588E-09 1.08491E-08 1.00488E-08 1.43800E-09

1.0E-04 4.71588E-09 1.08491E-08 1.81486E-08 2.00059E-09

1.0E-06 1.60799E-05 2.72423E-05 1.10763E-04 6.98784E-06

Bảng 3.1: VD 1

0 0.2 0.6 1

0 0.2

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2

U

-6 -4 -2 0 2 4

(a) Exact solution

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-6 -4 -2 0 2 4 6

U

X Y

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-6 -4 -2 0 2 4 6

U

X Y

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-6 -4 -2 0 2 4 6

U

X Y

U

-6 -4 -2 0 2 4

(b) ε  10
2

0 0.2 0.6 1

0 0.2

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2

U

-6 -4 -2 0 2 4 6

(c) ε  10
4

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-6 -4 -2 0 2 4 6

U

X Y

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-6 -4 -2 0 2 4 6

U

X Y

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-6 -4 -2 0 2 4 6

U

X Y

U

-6 -4 -2 0 2 4 6

(d) ε  10
6

Hình 3.1: Vi du 1

1.0E-01 9.21769E-02 8.05746E-01 6.69425E-01 1.10257E-01

1.0E-02 9.55889E-03 2.22249E-01 9.54353E-02 3.58571E-02

1.0E-04 3.80880E-03 1.56158E-01 7.16520E-02 3.50219E-02

1.0E-06 1.37041E-03 1.10182E-01 4.83572E-02 3.43480E-02

Bảng 3.2: VD 2

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

-25 -15 -5 5 10

(a) Exact solution

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-25 -15 -5 5 10

U

X Y

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-25 -15 -5 5 10

U

X Y

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-25 -15 -5 5 10

U

X Y

U

-25 -15 -5 5 10

(b) ε  10
2

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

-25 -15 -5 5 10

(c) ε  10
4

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-25 -15 -5 5 10

U

X Y

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-25 -15 -5 5 10

U

X Y

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-25 -15 -5 5 10

U

X Y

U

-25 -15 -5 5 10

(d) ε  10
6

Hình 3.2: Vi du 2

1.0E-01 9.21769E-02 8.05746E-01 6.69425E-01 1.10257E-01

1.0E-02 9.55889E-03 2.22249E-01 9.54353E-02 3.58571E-02

1.0E-04 3.80880E-03 1.56158E-01 7.16520E-02 3.50219E-02

1.0E-06 1.37041E-03 1.10182E-01 4.83572E-02 3.43480E-02

Bảng 3.3: VD 3

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

(a) Exact solution

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

U

X Y

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

U

X Y

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

U

X Y

U

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

(b) ε  10
2

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

(c) ε  10
4

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

U

X Y

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

U

X Y

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

U

X Y

U

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

(d) ε  10
6

Hình 3.3: Vi du 3

1.0E-01 2.76989E+00 9.99973E-01 1.71429E-01 2.64266E-02

1.0E-02 2.76985E+00 9.99973E-01 2.29218E-01 3.11582E-02

1.0E-04 2.76983E+00 9.99971E-01 4.06935E-01 4.33124E-02

1.0E-06 3.51705E-01 1.01873E-02 9.08557E-02 6.13343E-04

Bảng 3.4: VD 4

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

-1 -0.5 0 0.5 1

(a) Exact solution

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1 -0.5 0 0.5 1

U

X Y

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1 -0.5 0 0.5 1

U

X Y

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1 -0.5 0 0.5 1

U

X Y

U

-1 -0.5 0 0.5 1

(b) ε  10
2

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

-1 -0.5 0 0.5 1

(c) ε  10
4

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1 -0.5 0 0.5 1

U

X Y

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1 -0.5 0 0.5 1

U

X Y

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1 -0.5 0 0.5 1

U

X Y

U

-1 -0.5 0 0.5 1

(d) ε  10
6

Hình 3.4: Vi du 4

1.0E-01 3.03954E-02 1.09003E+00 6.09594E-01 1.33095E-01 1.0E-02 1.35394E-02 9.96122E-01 3.75364E-01 1.43385E-01 1.0E-04 2.48426E-03 8.86212E-01 1.31404E-01 1.77280E-01 1.0E-06 5.34463E-04 8.74003E-01 5.38079E-02 2.42973E-01

Bảng 3.5: VD 5

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

-20 0 20 40 60

(a) Exact solution

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -20 0 20 40 60

U

X Y

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -20 0 20 40 60

U

X Y

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -20 0 20 40 60

U

X Y

U

-20 0 20 40 60

(b) ε  10
2

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

-20 0 20 40 60

(c) ε  10
4

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -20 0 20 40 60

U

X Y

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -20 0 20 40 60

U

X Y

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -20 0 20 40 60

U

X Y

U

-20 0 20 40 60

(d) ε  10
6

Hình 3.5: Vi du 5

1.0E-01 1.13885E-01 8.56080E-01 5.84852E-01 9.83423E-02

1.0E-02 6.22693E-02 5.99723E-01 4.39176E-01 8.12266E-02

1.0E-04 3.15518E-02 2.35529E-01 4.18360E-01 4.43423E-02

1.0E-06 3.38720E-02 1.53183E-01 8.40254E-01 4.00856E-02

Bảng 3.6: VD 6

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

-15 -10 -5 0 5 10 15

(a) Exact solution

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-15 -10 -5 0 5 10 15

U

X Y

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-15 -10 -5 0 5 10 15

U

X Y

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-15 -10 -5 0 5 10 15

U

X Y

U

-15 -10 -5 0 5 10 15

(b) ε  10
2

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U

-15 -10 -5 0 5 10 15

(c) ε  10
4

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-15 -10 -5 0 5 10 15

U

X Y

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-15 -10 -5 0 5 10 15

U

X Y

U

0 0.2 0.6 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-15 -10 -5 0 5 10 15

U

X Y

U

-15 -10 -5 0 5 10 15

(d) ε  10
6

Hình 3.6: Vi du 6

3.3 Chương trình tính toán giải bài toán (1) bằng

ngôn ngữ Fortran 90

}ϕ
ϕ0}L1p0,T q ¤ , pα, nπq thỏa α2 n2π2 P rπ2N, C1
1s với mọi  P p0,1

Chứng minh

Khi đó với mỗi x P r
r, rs tồn tại ξ P r
5r, 5rs sao cho

1 format( ’eps = ’, 1pe10.3, 3x, ’absolute err = ’, 1pe15.7,3x, ’relative err = ’, 1pe15.7 )

2 format( ’eps = ’, 1pe15.7, 3x, ’meps = ’, 1pe15.7, 3x, ’neps = ’, 1pe15.7)

3 format( ’ || f || = ’, 1pe22.15 )

4 format( s )

5 format( ’epilon = ’, 1pe10.3 )

7 format( 1pe8.1, 4( 2x, ’&’, 2x, 1pe13.5) , 2x )