Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hính chóp theo a.. Tính thể tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.. b/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD... Tính diện tích và thể tích của mặt c
Trang 1KHỐI CẦU
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA⊥(ABCD) và SA = a Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hính chóp theo a
Giải:
a) * Gọi O là trung điểm SC
* Chứng minh: Các ∆SAC, ∆SCD, ∆SBC lần lượt
vuơng tại A, D, B
* OA = OB = OC = OD = OS =
2
S(O;
2
SC
)
b) * R =
2
SC
= 1
2
2 a
* S =
2
2
3
2
; * V =
3
3
Bài 3: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và đường chéo tạo với
đáy một góc 45 Tính thể tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ
Giải:
Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SA = a AC cắt BD tại O
a/ Chứng minh rằng O là tâm của mặt cầu (S) đi qua 5 điểm S, A, B, C, D và tính bán kính R của nó b/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
Giải:
∩
⇒
a) Gọi O = AC BD
a 2 Khi đó : OA = OB = OC = OD = (1)
2
Vì SO (ABCD) SOA vuông tại O SO SA AO
a 2
2
a 2 Từ (1),(2) suy ra : OA = OB = OC = OD = OS =
2 năm điểm A,B,C,D,S cùng nằm trên mặt cầu tâm O ,
a 2 bán kính : R =
2
ABCD 3
1
=
2
2
3
a a
2
3
1 3
a
Trang 23
CAC' 45 ,AC' 2a
tâm O là trung điểm của AC'
Bán kính : R = a V a
= → = π
Bài 4 : Cho tứ diện ABCD cĩ DA = 5a và vuơng gĩc với mp(ABC), ∆ABC vuơng tại B và
AB = 3a, BC = 4a
a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D
b) Tính bán kính của mặt cầu nĩi trên Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
Giải:
a) * Gọi O là trung điểm của CD
* Chứng minh: OA = OB = OC = OD;
* Chứng minh: ∆DAC vuơng tại A ⇒OA = OC = OD = 1
(T/c: Trong tam giác vuơng trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng
nửa cạnh ấy)
* Chứng minh: ∆DBC vuơng tại B ⇒OB = 1
* OA = OB = OC = OD = 1
2CD ⇔A, B, C, D ∈ mặt cầu S(O;
2
CD
)
b) * Bán kính R =
2
CD = 1
2
2+ 2
AD AC = 1
2
AD +AB BC+
= 1
2
25 9 16
2
a
a + a + a =
* S =
2
2
2
π = π
3 πR3 =
3
3
π =
Bài 5: Cho hình chĩp S.ABC cĩ 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và
ba cạnh SA, SB, SC đơi một vuơng gĩc Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đĩ
Giải:
HD: * Gọi I là trung điểm AB Kẻ ∆ vuơng gĩc với mp(SAB)
tại I
* Dựng mp trung trực của SC cắt ∆ tại O ⇒ OC = OS (1)
* I là tâm đường trịn ngoại tiếp ∆SAB (vì ∆SAB vuơng tại
S)
⇒OA = OB = OS (2)
O D
C
B A
c
O C
Trang 3* R = OA =
+ = +
4
* S =
2
4
4
* V =
3
Bài 6: Cho tứ diện SABC cú ba cạnh SA,SB,SC vuụng gúc với nhau từng đụi một với SA =
1cm, SB = SC = 2cm Xỏc định tõm và tớnh bỏn kớnh của mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tớnh diện tớch của mặt cầu và thể tớch của khối cầu đú
Giải:
Gọi I là trung điểm của AB Từ I kẻ đường thằng ∆
vuụng gúc với mp(SAB) thỡ ∆ là trục của SAB∆
vuụng
Trong mp(SCI) , gọi J là trung điểm SC , dựng đường
trung trực của cạnh SC của SCI∆ cắt ∆ tại O là tõm
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC
Khi đú : Tứ giỏc SJOI là hỡnh chữ nhật
Ta tớnh được : SI = 1AB 5
2 = 2 , OI = JS = 1 , bỏn kớnh R
= OS = 3
2
Diện tớch : S = 4 Rπ 2 = π9 (cm )2
Thể tớch : V = 4 R3 9 (cm )3
3π = π2
Bài 7: Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = a; AB = AC= b, 60BAC= ° Xác định tâm và bán hình cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC
Giải:
Gọi I là trọng tâm tam giác ABC thì I là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC; đường thẳng (d) đi qua I , vuông góc với
mp(ABC)
mp trung trực của SA cắt (d) tại O, OA =OB = OC = OS nên O
là tâm mặt cầu
2
S
B
O
I
Trang 4Bài 8: Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc đều ABC.A’B’C’ cú tất cà cỏc cạnh đều bằng a Tớnh thể
tớch của hỡnh lăng trụ và diện tớch của mặt cầu ngoại tiếp hỡnh lăng trụ theo a
Giải:
a 3 a 3
Vlt AA '.SABC a
Gọi O , O’ lần lượt là tõm của đường trũn ngoại tiếp
ABC , A ' B 'C '
∆ ∆ thớ tõm của mặt cầu (S) ngoại tiếp hỡnh
lăng trụ đều ABC.A’B’C’ là trung điểm I của OO’
Bỏn kớnh R IA AO2 OI2 (a 3)2 ( )a 2 a 21
Diện tớch : S 4 R2 4 (a 21)2 7 a2
mc
π
Bài 9: Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều các cạnh đều bằng a, cạnh bên bằng b Tính
thể tích mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ
Giải:
-Gọi O và O’ là tâm ∆ABC và ∆A’B’C’ thì OO’ là trục
của các đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và∆A’B’C’
-Gọi I là trung điểm OO’ thì IA = IB =IC = IA’ = IB’ =
IC’ hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
-Bán kính mặt cầu là R = IA
Tam giác vuông AOI có: AO = 32 AA1 = 32 a23 = a33
OI = 21OO ' = 12 AA ' = 2b
⇒AI2 = OA2+OI2 = a32 + b42 = 712a2 ⇒ AI = 2a 37
V=
54 21 3
7 18
7 3
7 72 28 3
7 3
7 8 3
4
3
3
AI2 = a + b ⇒ AI = a + b = R
3 2 3 4 12
3
V=
3π R = 3π 8.3 3(4 a + 3 b ) = 18 3.(4 a + 3 b )
Trang 5diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Giải:
Gọi hình chóp đã cho là S.ABC và O là tâm đường tròn
ngoại tiếp của đáy ABC Khi đó SO là trục đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC Suy ra : SO⊥(ABC)
Trong mp(SAO) dựng đường trung trực d của cạnh SA ,
cắt SO tại I
I d IA IS IA IB IC IS
I SO IA IB IC
∈ ⇒ = =
Suy mặt cầu ngoại tiếp S.ABC có tâm I và bán kính R = SI
AE AB
OA= = =
Vì∆SAO vuông tại O nên SA = SO2+OA2 = 1 2 =+ 3
Ta có : Tứ giác AJIO nội tiếp đường tròn nên :
SJ.SA SI.SO= ⇒SI = SJ.SA
SO =SA2
2.SO= 3
2.1=3
2 Vậy bán kính
R = SI = 3
2
Diện tích mặt cầu : S 4 R= π 2 = π9 (đvdt)