Phần mềm toán học Maple và ứng dụng nghiên cứu đa thức nội suy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TÔN NỮ LÊ DIỆU THẢO PHẦN MỀM TOÁN HỌC MAPLE VÀ ỨNG DỤNG NGHIÊN CỨU ĐA THỨC NỘI SUY Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60... Trong g

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TÔN NỮ LÊ DIỆU THẢO

PHẦN MỀM TOÁN HỌC MAPLE

VÀ ỨNG DỤNG NGHIÊN CỨU

ĐA THỨC NỘI SUY

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

Phản biện 1: TS Lê Hải Trung

Phản biện 2: PGS TS Huỳnh Thế Phùng

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày

27 tháng 6 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học có vai trò rất quan trọng, là môn học nền tảng cho các môn học khác: Vật lý, hóa học hay trong các bài toán kinh tế… Nhưng việc dạy và học Toán là không phải dễ dàng Vậy phải làm sao để dạy

và học môn Toán có hiệu quả hơn

Trong giai đoạn hiện nay, có phần mềm Toán trong việc hỗ trợ dạy và học Toán trở nên phổ biến như Maple, Sketchpat…

Maple là một phần mềm Toán do Đại học Tổng hợp Waterloo (Canada) xây dựng và đưa vào sử dụng năm 1985 Maple hổ trợ cho cả tính toán số và tính toán hình thức, cũng như hiển thị Với khả năng tính toán, minh họa trực quan, Maple có khả năng lập trình, các gói lệnh tự học gắn liền với toán phổ thông và đại học Do đó, lập trình Maple là một công cụ rất tốt giúp cho người học và người dạy thuận lợi hơn Đây là một phần mềm đa dạng và sẽ giúp ích nhiều trong quá trình dạy và học Vì vậy, dưới sự hướng dẫn của thầy Trần Quốc Chiến, tôi chọn “ Phần mềm toán học Maple và ứng dụng nghiên cứu đa thức nội suy” làm đề tài nghiện cứu cho luận văn thạc sĩ khoa học của mình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài: “Phần mềm toán học Maple và ứng dụng nghiên cứu đa thức nội suy” nhằm mục đích góp phần thực hiện chủ trương ứng dụng công nghệ thông tin để nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán Hệ thống hóa lại các kiến thức về Đa thức nội suy và ứng dụng của Maple trong Đa thức nội suy

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu: Đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton và ứng dụng của chúng trong phần mền toán học maple 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Các khái niệm, định lý liên quan đến đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newtơn và phần mền toán học maple

4 Phương pháp nghiên cứu

Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu ( sách, báo và các tài liệu trên internet có liên quan đến đề tài luận văn ) để thu thập thông tin

nhằm hệ thống lại các vấn đề một cách lôgic, tìm hiểu cách sử dụng phần mền toán học maple và tìm hiểu các bài toán, các ví dụ minh họa

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Làm rõ các nghiên cứu đã có, tìm hiểu sâu hơn về phần mềm maple và các ứng dụng của nó

Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy

6 Cấu trúc của luận văn: Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận

văn được chia thành ba chương :

Chương 1: Phần mềm maple

Chương này trình bày cách sử dụng phần mềm Maple, các câu lệnh toán tử, hàm, hằng, các phép toán cơ bản và các hàm dùng để tìm

đa thức nội suy

Chương 2: Đa thức nội suy

Chương này trình bày các định nghĩa, tính chất, định lý, ví dụ về

đa thức nội suy lagrange, sai số của đa thức nội suy, sai phân và đa thức nội suy newtơn

Chương 3: Ứng dụng phần mềm Maple trong Đa thức nội suy

Chương này trình bày một số ứng dụng của phần mềm Maple để tìm các đa thức nội suy lagrange và đa thức nội suy newtơn

CHƯƠNG 1 PHẦN MỀM MAPLE

1.1 CÁC THAO TÁC ĐẦU TIÊN

1.1.1 Nhập các biểu thức

Maple cho phép nhập ba loại dữ liệu là lệnh, công thức và văn bản Mỗi lệnh trong Maple phải kết thúc bằng dấu (:) hoặc dấu (;) Để

thực hiện lệnh đó ta nhấn Enter Nếu lệnh được kết thúc bằng dấu (;)

thì kết quả sẽ được hiển thị trên màn hình Nếu lệnh được kết thúc bằng dấu (:) thì kết quả sẽ không hiển thị trên màn hình

1.1.2 Tập ký tự

Bao gồm bảng chữ cái tiếng Anh (kể cả chữ hoa và chữ

1.3.1 Tính toán trên số nguyên

1.3.2 Tính toán trên biểu thức

1.4 ĐỐI TƯỢNG TRONG MAPLE

1.4.1 Các biểu thức cơ bản

a Kiểu +, * và ^

Các biểu thức gồm các hằng hữu tỉ, biến và các toán tử +, -, *, /

và ^ được chia thành ba kiểu cơ bản như sau

Kiểu +: là các biểu thức dạng x y x y x y z+ , - , + - với , ,x y z là

các biểu thức

Kiểu *: là các biểu thức dạng x y x y z x y z với * , * * , * /, ,

x y z là các biểu thức

Kiểu ^ : là các biểu thức dạng x yÙ ,1 /xvới ,x y là các biểu thức

b Các hàm whattype, op, nops

Hàm whattype expr : trả về kiểu biểu thức expr ( )

Hàm op expr : trả về dãy các thành phần của biểu thức expr ( )

Hàm nops expr : trả về các số lượng các thành phần của biểu ( )

thức expr

Hàm op n expr : trả về thành phần thứ n của biểu thức expr ( , )

Hàm op(0,expr : trả về kiểu của biểu thức expr )

a Giới hạn của biểu thức

Cho biểu thức p và tham số x

Hàm limit p x a( , = ): Trả về giới hạn của p khi x tiến đến a

Hàm limit p x a right( , = , ): Trả về giới hạn của p khi x tiến đến

a bên phải

Hàm limit p x a left( , = , ): Trả về giới hạn của p khi x tiến đến a

bên trái

Hàm limit p x infinity( , = ): Trả về giới hạn của p khi x tiến +¥

Hàm limit p x( , = -infinity): Trả về giới hạn của p khi x tiến -¥

Hàm limit p x infinity real( , = , ): Trả về giới hạn của p khi x

tiến +¥

Hàm Limit p x a( , = ): Trả về biểu thức giới hạn

Hàm value( ) : Tính giá trị giới hạn

b Giới hạn của biểu thức phụ thuộc vào tham số

Hàm assume (<điều kiện>): thiết lập điều kiện đối với tham số

c Giới hạn của hàm

Hàm limit f x x a( ( ), = ): trả về giới hạn của hàm f x khi x ( )

tiến đến a

Hàm Limit f x x a( ( ), = )…: trả về biểu thức giới hạn

Hàm value( ) : tính giá trị giới hạn

1.5.2 Đạo hàm

a Đạo hàm của biểu thức một biến

Cho biểu thức p tham số x

Hàm diff p x : trả về đạo hàm của p theo x ( , )

Hàm Diff p x : trả về biểu thức đạo hàm của p theo x ( , )

Hàm value( ) : trả về giá trị đạo hàm của p theo x

Hàm diff p x n : trả về đạo hàm bậc n của p theo x ( , $ )

Hàm Diff p x n : trả về biểu thức đạo hàm bậc n của p ( , $ )

theo x

Hàm value( ) : trả về giá trị đạo hàm của p theo x

b Đạo hàm riêng của biểu thức nhiều biến

Cho biểu thức p và tham số 1, 2, , x x xn

Hàm diff p x x( , 1, 2, ,xn : trả về đạo hàm riêng bậc n của p )

Hàm D f : trả về đạo hàm '( ) f của f theo x

Hàm unapply p x : chuyển biểu thức p về dạng hàm theo ( , )

biến x

Hàm (D@@n f : trả về đạo hàm bậc n của f theo x )( )

1.5.3 Đồ thị hàm số

a Hàm 1 biến

Đồ thị 2D

Cú pháp: plot f x x a b( ( ), = ) hoặc plot f a b ( , )

Nếu không khai báo miền giá trị của x thì Maple mặc định là

b Xuất dữ liệu ra màn hình

Hàm print data data( 1, 2, ) hiện thỉ dữ liệu ra màn hình Lưu

ý: xâu ký tự đặt trong dấu ‘’

Chương trình là tập hợp nhiều lệnh thực hiện một công việc phức tạp

Để tạo chương trình trong maple ta có thể làm theo các cách sau

c Gộp lệnh sau

(1) Viết và thực hiện từng lệnh, (2) Đánh dấu (bôi đen) các lệnh rồi (3) ghép các lệnh lại thành chương trình bằng thực hiện các lệnh thực đơn Edit\Split or Join\Join Execution Groups ( phím tắt F4)

Để thực hiện chương trình, đưa con trỏ vào bất cứ chỗ nào trong đoạn chương trình và gõ ENTER

elif condition expression then statement sequence

else statement sequence

endif

Chức năng: Nếu điều kiện condition expression đúng thì thực

hiện các câu lệnh sau then hoặc sau else tương ứng

b Vòng lặp for

Cú pháp:

for name from expr1 by expr0 to expr2 while condition

do statement sequence end do;

hoặc

for name in exprL while condition

do statement sequence end do;

Chức năng: Vòng lặp for được sử dụng để thực hiện dãy các lệnh

statement sequence Mỗi lần lập tương ứng một giá trị của biến name

sau for Trong dạng thứ nhất, biến name xuất phát từ expr , mỗi lần 1tiếp theo cộng thêm bước nhảy expr , cho tới khi vượt quá cận trên 02

expr hoặc không thỏa điều kiện condition thì kết thúc Trong

dạng thứ hai, biến name lần lượt lấy các phần tử trong danh sách

exprL và thỏa điều điện condition

1.6.3 Thủ tục và hàm

a Khái niệm thủ tục trong maple

Chương trình trong maple có nhiều bất tiện, như phải mở chương trình nguồn, đưa con trỏ vào chương trình gõ ENTER, dễ làm hỏng chương trình Maple cho tạo lập và sử dụng chương trình linh

hoạt hơn bằng thủ tục (procedure) Thủ tục là chương trình được truy

xuất thông qua định danh Ngoài các thủ tục của Maple trong các gói (package), thủ tục có thể được tạo lập, biên dịch, được nạp vào bộ nhớ

[locallocal sequence _ ]

[global global sequence _ ]

[optionsoptions sequence _ ]

_

statements sequence

end;

trong đó

procedure name là tên thủ tục _

locallocal sequence _ là dãy các biến cục bộ, chỉ có giá trị

sử dụng trong phạm vi thủ tục

globalglobal sequence _ là dãy các biến toàn cục, có giá trị sử

dụng trong và ngoài phạm vi thủ tục

Nạp thủ tục: Sau khi viết xong thủ tục, ta để con trỏ vào thủ tục và gõ ENTER

tham số cho thủ tục Có hai loại tham số:

Tham trị chỉ đơn giản truyền giá trị cho thủ tục, còn tham biến, ngoài khả năng truyền giá trị nó còn có thể lưu kết quả tính toán

của thủ tục, sử dụng cho công việc ngoài thủ tục

Tham biến được khai báo trong thủ tục như sau: <tham biến> ::

<kiểu dữ liệu>

CHƯƠNG 2

ĐA THỨC NỘI SUY

2.1 BÀI TOÁN NỘI SUY

Đa thức ( )P x gọi là đa thức nội suy của hàm ( ) n f x

2.1.2 Sự duy nhất của đa thức nội suy

Định lý: Đa thức P n( ) x ( bậc £ ) sinh ra từ bảng sau thỏa mãn n

điều kiện (2.1) là duy nhất

2.2 ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE

2.2.1 Đa thức nội suy Lagrange

Xét hàm số y= f x( ) trên đoạn[ ]a b và giả sử tại , n+ mốc 1

[ ],

i

x Î a b ta đã biết giá trị y i = f x( )i (i=0,n)

Từ bảng số trên ta xây dựng đa thức P n( ) x bậc không quá n sao

cho thỏa mãn điều kiện:

P x n( )i = y i (i=0,n) (2.2)

Theo cách của Lagrange, trước hết lập các đa thức bậc n , L x i( )

thỏa mãn điều kiện:

(2.3) , (2.4) ta suy ra P x thỏa mãn điều kiện (2.2) n( )

Đa thức dạng (2.5) gọi là đa thức nội suy Lagrange, còn đa thức

dạng (2.4) gọi là đa thức cơ sở của Lagrange

Để cho gọn trong cách viết, ta đưa vào ký hiệu:

đạo hàm của ( )w x tại điểm x và chính là mẫu số trong công thức (2.4) i

Vì vậy (2.5) được viết lại:

( ) ( ) ( ) ( )0 '

n

i n

2.2.2 Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều

Giả sử hàm số ( )f x nhận giá trị y tại các điểm tương ứng i

0

1( 1) ( )( )

!

n i i n

2.2.3 Sai số của đa thức nội suy

Giả sử P x là đa thức nội suy của hàm số ( ) n( ) f x trên đoạn

[ ]a b : ( ), P x n i =f x( )i = y i (i=0,n)

Với các mốc nội suy là a x£ < <0 x1 x2< < x n£ b

Cố định xÎ[ ]a b, , x x¹ i (i=0,n), ta gặp sai số tại điểm x là:

( )R x =f x( )-P x n( ) (2.9)

Để đánh giá sai số đó, ta đặt ( )F x =R x( )-k w( )x Trong đó k là

hằng số sẽ được chọn sao cho ( ) 0F x =

f k n

x

+

=+Vậy

Đặt q=arccos x và để ý rằng cos(n±1)q=cos cosq n q msin sinq n q, ta

đặt cos(n+1)q+cos(n-1)q =2 cosq n q hay:

của đa thức Chebysev T n+1( )x nghĩa là: cos 2 1

2( 1)

i

i x

n

+ +

+

2.3 ĐA THỨC NỘI SUY NEWTƠN

2.3.1 Đa thức nội suy Newtơn

a Tỷ sai phân: Xét hàm số y f x= ( )trên đoạn [ ]a b ,

-=

- , (i=1,n) là tỷ sai phân cấp một của hàm ( )f x

Tỷ sai phân cấp hai là tỷ sai phân của tỷ sai phân cấp một, ký hiệu là:

Tỷ sai phân cấp n là tỷ sai phân của tỷ sai phân cấp n- , ký 1hiệu là:

b Các tính chất của tỷ sai phân

Tính chất 1: Tỷ sai phân cấp k của một tổng bằng tổng các sai

'( )

k i k

f x

x w

Hệ quả 1: Tỷ sai phân là toán tử tuyến tính

Tính chất này được suy ra từ định nghĩa

Tính chất 3: Tỷ sai phân của hằng số thì bằng không

Tỷ sai phân cấp m của đa thức bậc n có tính chất:

Nếu m n = thì tỷ sai phân cấp n là hằng số

Còn m n > thì tỷ sai phân cấp n> là bằng không

c Đa thức nội suy Newtơn

Xuất phát từ bảng số y i=f x( )i (i=0,n) với các mốc nội suy là

0, , ,1 n

x x x , x iÎ[ ]a b,

Dựa vào định nghĩa của tỷ sai phân Newtơn xây dựng đa thức nội

suy như sau: cùng với các mốc nội suy x , i i=0,n, đưa thêm vào mốc

P - là đa thức bậc n Ta chỉ cần chỉ ra n P x thỏa mãn điều kiện n( )

Do tỷ sai phân có tính chất đối xứng, nên nếu ta sắp xếp lại các

mốc nội suy theo thứ tự :

+ - - (2.18)

Đây là đa thức nội suy Newton lùi (do xuất phát từ mốc x ) n

( ), , , ,

( 1)!

n n

2.3.2 Đa thức nội suy Newtơn với các mốc cách đều

a Sai phân hữu hạn

Cho hàm số ( )f x xác định trên [ ]a b Giả sử , x là các mốc nội i

suy cách đều: x i= x0 + , ih i=0,n

h gọi là bước sai phân (h>0)

Sai phân cấp 1 của ( )f x tại x :

Dn( )x n =0(m n> )

D Dm( )k y = Dm k+ y với D0y= y

Tính chất 2: Giá trị của hàm số ( ) f x được biểu diễn qua sai

phân hữu hạn các cấp của nó:

0

m k

-Tính chất 3: Sai phân hữu hạn cấp m của hàm ( ) f x được biểu

diễn qua các giá trị liên tiếp của nó:

1 2

Công thức trên được mô tả theo bảng sau:

y

D

2 1

y

D

2 2

y

D

2 3

y

D

…

2 2

y

D

3 1

y

D

3 2

y

D

…

3 3

y

D

4 1

y

D

…

4 4

n

y

-D

d Đa thức nội suy Newtơn với mốc cách đều

Trước hết ta viết lại đa thức nội suy newtơn tiến xuất phát từ

(2.23) còn gọi là đa thức nội suy Newtơn tiến có mốc cách đều

Bây giờ xét công thức nội suy Newtơn lùi có mốc xuất phát là

( ) lim

n n

n h

y

h

+ +

+

®

D

=

Nên nếu xem ( 1) 1 0

1

( )

n n

n

y f

là sai số trong công thức nội suy Newtơn tiến

Hoàn toàn tương tự ta cũng có công thức đánh giá sai số đối với công thức nội suy Newtơn lùi:

0

1 0

3.1 ỨNG DỤNG PHẦN MỀM ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE

Cách 1: Ta sẽ dùng hàm trong phần mềm maple:

Để giải các bài toán về đa thức nội suy Lagrange, ta sẽ dùng gói

lệnh CurveFitting[Polynomiallnterpolation]

Vẽ đồ thị so sánh

Cách 2: Ta tự xây dựng bằng các câu lệnh sau:

- Trả về hàm được gán giá trị biểu thức p theo biến x

if nops (x)=1 then return y[1];

else return (f (x[2 nops(x)], y[2 nops(y)]) – f (x[1 nops(x) – 1], y[1 nops(y) – 1]) ) / (x[nops(x)] – x[1]);

end if;

end proc:

> # Nội suy tiến

# gtx, gty : các dãy giá trị của x và y

> # Nội suy lùi

# gtx, gty : các dãy giá trị của x và y

# x : tên biến

Luận văn“ Phần mềm toán học Maple và ứng dụng nghiên cứu

đa thức nội suy ”đã thu được kết quả sau:

1 Trình bày một cách có hệ thống tổng quan về phần mềm maple