Phương pháp giải và sáng tạo các bài toán về dãy số thực

Lý do chọn đề tài Dãy số là một phần cơ bản của giải tích toán học, các vấn đề cơ bản về dãy số bao gồm: khảo sát sự hội tụ, tìm giới hạn củadãy, tính đơn điệu và tính bị chặn của dãy..

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM QUÝ MƯỜI

Phản biện 1: TS Nguyễn Duy Thái Sơn

Phản biện 2: TS Hoàng Quang Tuyến

Luận văn đã được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016

Tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Dãy số là một phần cơ bản của giải tích toán học, các vấn đề

cơ bản về dãy số bao gồm: khảo sát sự hội tụ, tìm giới hạn củadãy, tính đơn điệu và tính bị chặn của dãy

Một trong những yêu cầu của đề thi học sinh giỏi các cấp làcác câu hỏi trong đề thi phải mới, không được lấy ở bất kỳ nguồntài liệu nào Vì thế kỹ năng sáng tạo các bài toán mới về dãy sốcũng là một yêu cầu không thể thiếu đối với giáo viên

Với mong muốn nâng cao kiến thức, kỹ năng giải và sáng tạocác bài toán về dãy số, tôi quyết định chọn đề tài : “Phương phápgiải và sáng tạo các bài toán về dãy số thực” cho luận văn thạc sĩcủa mình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tổng hợp, sắp xếp lại lý thuyết và các phương phápgiải các bài toán về dãy số Luận văn cũng tập trung vào nghiêncứu một số cách thức sáng tạo ra các bài toán về dãy số

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết dãy số thực, các phương pháp giải vàsáng tạo các bài toán về dãy số thực

4 Phương pháp nghiên cứu

Với đề tài: “Phương pháp giải và sáng tạo các bài toán về dãy

số thực” tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau :

Footer Page 3 of 145.

+ Thu thập, phân tích, so sánh, đánh giá và tổng hợp.+ Áp dụng các phương pháp giải đã có trong bài toán về dãy.+ Sáng tạo ra các bài toán mới dựa trên bài toán gốc.

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và thực tiễn Có thể sử dụnglàm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán, giáo viên giảngdạy toán và các đối tượng quan tâm đến các bài toán dãy số

6 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận vănđược chia thành ba chương, trong đó:

Chương 1: Trình bày sơ lược các kiến thức bổ trợ về dãy số,tính đơn diệu, tính bị chặn của dãy số, sự hội tụ của dãy số, kháiniệm về sai phân, phương trình sai phân

Chương 2: Trình bày các phương pháp giải các bài toán tìm

số hạng tổng quát của dãy, các bài toán về tính đơn điệu, tính bịchặn của dãy số, các bài toán chứng minh sự hội tụ và tìm giớihạn của dãy số

Chương 3: Trình bày một số phương pháp sáng tạo ra các bàitoán mới như: phương pháp đặc biệt hóa, phương pháp tổng quáthóa, phương pháp đặt dãy số phụ, phương pháp khảo sát tính đơnđiệu của hàm số

Cùng với sự hướng dẫn của Thầy giáo TS Phạm Quý Mười, tôi đãchọn đề tài "PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀITOÁN VỀ DÃY SỐ THỰC" cho luận văn thạc sĩ của mình

CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN VỀ DÃY SỐ THỰC

Trong chương này, trình bày các khái niệm cơ bản về dãy số,dãy đơn điệu, dãy bị chặn, giới hạn của dãy, các tính chất liên quanđến giới hạn dãy số, một số dãy đặc biệt và sơ lược về phương trìnhsai phân

1.1 DÃY SỐ, DÃY ĐƠN ĐIỆU, DÃY BỊ CHẶN

Định lý 1.1 Cho f : I → I là một ánh xạ, xét dãy số un+1 =

2) Trường hợp f giảm trên I

- Nếu u0 6 u2 thì u2n
n∈N là dãy tăng, nếu u0 > u2 thì

3) Dãy un
n∈Nhội tụ đến l khi và chỉ khi u2n
n∈N và u2n+1
n∈Nhội tụ đến l

Footer Page 5 of 145.

Định lý 1.3 (Định lý Weierstrass)

1) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ

2) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ

3) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ

1.4.2 Phương trình sai phân tuyến tính

1.4.3 Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất

Định nghĩa 1.11 Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất

là phương trình sai phân dạng:

u1 = α, aun+1+ bun= f (n) , n ∈ N∗, (1.4)trong đó α, a 6= 0, b 6= 0 là các hằng số và f (n) là biểu thức của ncho trước

1.4.4 Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai

Định nghĩa 1.12 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai

là phương trình sai phân dạng:

u1 = α, u2 = β, aun+2+ bun+1+ cun= f (n) , n ∈ N∗, (1.5)trong đó a, b, c, λ, β là các hằng số, a 6= 0, c 6= 0 và f (n) là biểuthức của n cho trước

tụ và tìm giới hạn của dãy số.

2.1 TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ2.1.1 Dự đoán công thức số hạng tổng quát vàchứng minh bằng phương pháp quy nạp

Ví dụ 2.1.2 Tìm số hạng tổng quát của dãy (un), biết:

(u1 = 1

2,

un= 2u2n−1− 1, n ∈ N, n > 2

Ví dụ 2.1.6 Tìm số hạng tổng quát của dãy (un), biết:

(u1 = 1

Ví dụ 2.1.16 Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) , biết:



u0 = 8, u1 = 145,

un− 11un−1+ 28un−2= 6.7n, n ∈ N, n > 2 (2.16)

2.1.3 Sử dụng dãy số phụ để tìm số hạng tổngquát

Ví dụ 2.1.19 Tìm số hạng tổng quát của dãy (un), biết:

( x0 = 2,xn+1= 2xn+ 1

xn+ 2, n ∈ N (2.19)

2.2 XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ BỊ CHẶN CỦADÃY SỐ

2.2.1 Sử dụng phương pháp quy nạp để xét tínhđơn điệu, tính bị chặn của dãy số

Ví dụ 2.2.2 Cho dãy số (an) , biết:

a1 = 1, a2 = 2,an+1=√an−1+√an, n> 2, n ∈ N .Chứng minh rằng (an) bị chặn và tăng ngặt

2.2.2 Dựa vào số hạng tổng quát để xét tính đơnđiệu, tính bị chặn của dãy số

Ví dụ 2.2.6 Cho dãy số (xn) , biết:

( x0 = 2xn+1= 2xn+ 1

xn+ 2, n ∈ N (2.27)Chứng minh rằng (xn) giảm và bị chặn

2.2.3 Sử dụng phương pháp hàm số để xét tínhđơn điệu, tính bị chặn của dãy số

Ví dụ 2.2.8 Cho dãy số (un) biết: un= ln n

n , n ∈ N∗.Chứng minh rằng (un) giảm

Ví dụ 2.2.10 Cho dãy số (un) , biết:

( u1 = 1

un+1= 2 + un

1 + un, n ∈ N∗ .Chứng minh rằng u2n−1 tăng, u2n giảm, (un) bị chặn

2.3 CHỨNG MINH SỰ HỘI TỤ VÀ TÍNH GIỚIHẠN CỦA DÃY SỐ

2.3.1 Sử dụng định nghĩa giới hạn dãy số

Ví dụ 2.3.2 (Đề thi học sinh giỏi quốc gia 1988)Cho (un) là dãy bị chặn, thỏa: 2un+26 un+1+ un, n ∈ N∗.Dãy (un) có nhất thiết hội tụ không ?

2.3.2 Xác định số hạng tổng quát rồi tính giới hạn

Ví dụ 2.3.7 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh 2013)Cho dãy số (an), tìm lim an, biết:

(

a1 = 3

4(n + 2)2an= n2an+1− (n + 1) an.an+1, n ∈ N∗

Footer Page 9 of 145.

2.3.3 Sử dụng định lý Weierstrass để chứng minhdãy số có giới hạn

Ví dụ 2.3.9 Cho (xn) biết:

(x1 = 32

xn=√3xn−1− 2, n = 2, 3, (2.31)Chứng minh dãy (xn) có giới hạn khi n → +∞, tìm giới hạn đó.Giải Xét hàm số f (x) =√3x − 2

Dựa vào bảng biến thiên ta có: f : (1; 2) → (1; 2) và f (x) đồngbiến trên (1; 2)

Vậy (xn) bị chặn Suy ra (xn) hội tụ

Giả sử lim xn = L, cho n → +∞ trong biểu thức (2.31) ta có:

CHƯƠNG 3

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SÁNG TẠO

CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ

3.1 PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT HÓA

3.1.1 Đặc biệt hóa phương trình sai phân cấp một

Từ phương trình sai phân cấp một: un = aun−1+ f (n) , n ∈

N∗, ta cho u1, a các giá trị cụ thể, f (n) là hàm số cụ thể ta đượccác bài toán khác nhau

Ví dụ 3.1.2 Cho u1 = 2, a = 1, f (n) = 3n ta có bài toánsau:

Cho dãy số (un) biết:

u1 = 2

un= un−1+ 3n, n ≥ 2, n ∈ N∗ (3.2)a) Tìm số hạng tổng quát của dãy (un)

Cho dãy số (un) biết:

( u1 = 2016

un+1= un+ 1

n (n + 2), n ∈ N∗ (3.3)Tìm số hạng tổng quát của dãy (un)

Footer Page 11 of 145.

3.1.2 Đặc biệt hóa phương trình sai phân cấp hai

Từ phương trình sai phân cấp hai: a.un+2+ b.un+1+ c.un =

f (n) , n ∈ N∗, ta cho u1, u2, a, b, c các giá trị cụ thể, f (n) là hàm

số cụ thể ta được các bài toán khác nhau

Ví dụ 3.1.8 Cho u1 = 2, u2 = −1, a = 1, b = −2,

c = −4, f (n) = 0 ta được bài toán sau:

Cho dãy số (un) biết:

u1= 2, u2= −1

un− 2un−1− 4un−2= 0, n> 3, n ∈ N (3.8)Tìm số hạng tổng quát của dãy (un)

Ta thấy rằng (un) là dãy số nguyên nên từ ví dụ 3.1.8 ta có bàitoán sau:

Ví dụ 3.1.9 Cho dãy số (xn) biết:

xn= −25 + 13

√540



1 +√5n−25 + 13

√540



1 −√5n, n ∈ N∗

(3.9)Chứng minh rằng dãy (xn) là dãy số nguyên

3.2 PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT HÓA

Ví dụ 3.2.2 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An 2015)Cho dãy số (un) biết:

( u1= 2

un+1= 1

9 un+ 2

√4un+ 1 + 2
, n ∈ N∗ (3.12)Tìm số hạng tổng quát của dãy (un)

Trong quá trình giải ví dụ 3.2.2 ta biến đổi biểu thức truy hồi đềcho về dạng:

aun+1+ b = αpaun+ b + β2, α > 0 (3.13)

Biến đổi (3.13) ta được un+1= α1.un+ α2√aun+ b + α3,

với α1 = α; α2= 2αβ

a ; α3=

αb + αβ2− b

Ta có bài toán tổng quát sau:

Bài toán 3.2.2 Cho dãy số (un) biết:

Tìm số hạng tổng quát của dãy (un)

Ví dụ 3.2.3 (Đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội2015)

Cho dãy số (un) biết:



u1= 4un+1= 2un+p3u2

n+ 1, n ∈ N∗ (3.15)a) Chứng minh rằng un+2= 4un+1− un, n ∈ N∗

b) Chứng minh rằng u2015 chia hết cho 5

Trong quá trình giải ví dụ 3.2.3 ta thấy bài toán được giải quyếtkhi hệ số của u2n bằng 1

Vậy ta có bài toán tổng quát sau:

Bài toán 3.2.3 Cho dãy số (un) biết:

u1= α

un+1= aun+pbu2

n+ c, n ∈ N∗ (3.17)với a > 1, a2− b = 1, bα2+ c> 0, a, b, c, α là số thực bất kỳ

Tìm số hạng tổng quát của dãy (un)

Footer Page 13 of 145.

Ví dụ 3.2.5 (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ T8/298)Cho dãy số (xn) biết:

Từ ví dụ 3.2.5 ta thấy rằng từ phương trình sai phân cấp 2 đặt:

cxn−2 = f (n)

⇔xn= axn−1xn−2

f (n) xn−1xn−2− bxn−2− cxn−1, n> 3, n ∈ N

Ta có bài toán tổng quát sau:

Bài toán 3.2.5 Cho dãy số (xn) biết:

( x1= α, x2= β

f (n) xn−1xn−2− bxn−2− cxn−1, n> 3, n ∈ N

(3.20)Tìm số hạng tổng quát của dãy (xn)

3.3 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT DÃY SỐ PHỤ

3.3.1 Từ cấp số nhân

Cho (un) là một cấp số nhân với u1 và công bội q Ta có:

un= qun−1, n ∈ N∗

Ta đặt un= vn+ c, n ∈ N∗ ta được dãy: vn= qvn−1+ p, n ∈ N∗.Nhưng dãy này chưa mới, đó là phương trình sai phân cấp 1 ta đã

có phương pháp giải Tiếp tục đặt vn= 1

xn, n ∈ N∗, ta được:

xn= xn−1

pxn−1+ q, n ∈ N∗ (3.21)

Ta có bài toán tổng quát sau:

Bài toán 3.3.1 Cho dãy số (xn) biết:

( x1 = α, α 6= 0

xn= xn−1cxn−1+ d, n> 2, n ∈ N (3.22)Tìm số hạng tổng quát của dãy (xn)

xn, n ∈ N∗, ta được: vn= dvn−1+c, n ∈ N∗, với v1= 1

α.Dãy (vn) có dạng phương trình sai phân cấp 1 ta đã biết cách giải.Tiếp tục đặt xn= yn+ λ, n ∈ N∗, ta có:

yn= ayn−1+ bcyn−1+ d, n ∈ N∗ (3.23)Như vậy vấn đề đặt ra ở đây là khi cho dãy số có công thức truyhồi dạng (3.23) làm sao để đưa về dạng (3.21) Từ (3.21) ta đặt

Footer Page 15 of 145.

xn = yn+ λ, n ∈ N∗ ta được (3.23) nên muốn từ (3.23) đưa về(3.21) ta chỉ cần đặt ngược lại: yn= xn− λ = xn+ α, n ∈ N∗.Đặt yn= xn+ α, n ∈ N∗ thay vào (3.23) ta có:

xn+α = a (xn+ α) + b

c (xn+ α) + d ⇔ xn=

(a − αc) xn− cα2+ (a − d) α + b

c (xn+ α) + d .Muốn đưa về được (3.21), chọn α thỏa −cα2+ (a − d) α + b = 0

Để phương trình trên có nghiệm thì (a − d)2+ 4bc ≥ 0

Ta có bài toán tổng quát sau:

Bài toán 3.3.2 Cho dãy số (yn) biết:

( y1 = α

yn= ayn−1+ bcyn−1+ d, n> 2, n ∈ N (3.24)Trong đó (a − d)2+ 4bc ≥ 0

Tìm số hạng tổng quát của dãy (yn)

un+1= 2u2n− 1, n ∈ N∗ (3.26)Tìm số hạng tổng quát của dãy (un)

Bài toán này đã được trình bày phương pháp giải ở các ví dụ 2.1.2

k, nên ab = −2 Ta có bài toán tổng quát sau:Bài toán 3.3.3 Cho dãy số (vn) biết:

v1 = α

vn+1 = avn2+ b, n ∈ N∗ (3.27)Trong đó ab = −2 hoặc b = 0

Tìm số hạng tổng quát của dãy (vn)

Phương pháp giải

Nếu b = 0 thì: vn+1 = avn2 = a.a2v2n−12 = = a2n−1.α2n, n ∈ N∗.Nếu ab = −2 thì đặt vn= −bun, n ∈ N∗

Trong bài toán 3.3.3 tiếp tục đặt vn= xn+ λ, n ∈ N∗, ta có:

Ta có a1b1 = −2 hoặc b1= 0 Nên:

2− 2b4a , a 6= 0.

Ta có bài toán tổng quát sau:

Footer Page 17 of 145.

Bài toán 3.3.4 Cho dãy số (xn) biết:



x1= αxn+1= ax2n+ bxn+ c, n ∈ N∗ (3.30)Trong đó a 6= 0, c = b

2− 2b − 84a hoặc c =

b2− 2b4a .Tìm số hạng tổng quát của dãy (xn)

Phương pháp giải

Nhận xét rằng từ bài toán 3.3.3 ta đặt vn = xn+ λ, n ∈ N∗, tađưa về bài toán 3.3.4 mà theo biến đổi trên ta có λ = b

2a, vậy đểđưa bài toán 3.3.4 về bài toán 3.3.3 ta đặt xn= vn− b

2a, n ∈ N∗.Trong bài toán 3.3.4 tiếp tục đặt xn= 1

Ta có bài toán tổng quát sau:

Bài toán 3.3.5 Cho dãy số (yn) biết:

cy2

n+ byn+ a, n ∈ N∗ (3.33)Trong đó a 6= 0, c = b

2− 2b − 84a hoặc c =

b2− 2b4a .Tìm số hạng tổng quát của dãy (yn)

Phương pháp giải

Đặt yn= 1

xn, n ∈ N∗, biến đổi đưa về bài toán 3.3.4

Ta xét tiếp dãy số có công thức truy hồi cấp một có dạngcông thức cos3a

Cho dãy số (un) biết:



u1 = αun+1= 4u3n± 3un, n ∈ N∗ (3.34)

Tìm số hạng tổng quát của dãy (un) Bài toán này đã được trìnhbày phương pháp giải ở các ví dụ 2.1.4, 2.1.5, 2.1.6.

Ở đây ta quan tâm đến việc biến đổi bài toán trên thành các bàitoán phức tạp hơn

Đặt un= kvn, n ∈ N∗, ta được: vn+1= 4k2u3n± 3un, n ∈ N∗.Đặt a = 4k2 Ta có bài toán tổng quát sau:

Bài toán 3.3.6 Cho dãy số (vn) biết:



v1= αvn+1= av3n± 3vn, n ∈ N∗, a > 0 (3.35)Tìm số hạng tổng quát của dãy (vn)

Phương pháp giải

Đặt vn= √2

aun, n ∈ N∗.Trong bài toán 3.3.6 tiếp tục đặt vn= xn+ λ, n ∈ N∗, ta có:xn+1 = ax3n+ 3aλx2n+ 3 aλ2± 1
xn+ aλ3± 3λ − λ, n ∈ N∗Đặt b = 3aλ, c = 3 aλ2± 1
, d = aλ3± 3λ − λ, ta có:

xn+1 = ax3n+ bx2n+ cxn+ d, n ∈ N∗.Tuy nhiên không phải với mọi a, b, c, d đều có thể đưa về bài toán3.3.6, ta tìm mối quan hệ giữa a, b, c, d

327a2 ± b

a−

b3a.

Ta có bài toán tổng quát sau:

Bài toán 3.3.7 Cho dãy số (xn) biết:



x1= αxn+1= ax3n+ bx2n+ cxn+ d, n ∈ N∗ (3.37)

Footer Page 19 of 145.

Trong đó c = 3 b2

9a± 1

, d = b

327a2 ± b

a−

b3a, a 6= 0, b tùy ý.Tìm số hạng tổng quát của dãy (xn)

Phương pháp giải

Nhận xét rằng từ bài toán 3.3.6 ta đặt vn = xn+ λ, n ∈ N∗, đểđưa về bài toán 3.3.6 mà theo biến đổi trên ta có λ = b

3a, vậy đểđưa bài toán 3.3.7 về bài toán 3.3.6 ta đặt xn= vn− b

3a, n ∈ N∗

3.3.3 Một số ví dụ khác

Ví dụ 3.3.7 Từ ví dụ 3.1.1 ta đặt un= n

n + 1vn, n ∈ N∗ ta

có bài toán sau:

Cho dãy số (vn) biết:

Bài toán 3.4.1 Cho dãy số (un) biết:

( u1 = α

un+1= aun+ b

cun+ d, n ∈ N∗ (3.42)Xét sự hội tụ của dãy (un)

Chọn a, b, c, d sao cho hàm số f (x) đồng biến, ta có ví dụ sau:

Ví dụ 3.4.1 Cho dãy số (un) biết:

( u1= α

un+1= 3un+ 2

un+ 2 , n ∈ N∗ (3.43)Xét sự hội tụ của dãy (un)

Giải

Ta có: u1 = α, u2 = 3α + 2

α + 2 .Suy ra:

u2− u1 > 0 ⇔ α ∈ (−∞; −2) ∪ (−1; 2)u2− u1< 0 ⇔ α ∈ (−2; −1) ∪ (2; +∞) Xét hàm số f (x) = 3x + 2

Footer Page 21 of 145.

Vậy dãy (un) hội tụ Giả sử lim

• Trường hợp 5: u1 = α ∈ (−∞; −2) ∪



−2; −65



Ta có: u1 ∈ (−∞; −2) ∪



−2; −65

.Nên u2 ∈ (−∞; −2), u3 ∈ (3; +∞)

Suy ra: un∈ (2; 3)∀n > 4, n ∈ N, vậy (un) bị chặn

Mặt khác u3, u4 ∈ (2; +∞), nên u3 > u4 mà hàm số f(x) đồng

biến trên (2; +∞) nên dãy (un) là giảm từ số hạng thứ 3 trở đi

Vậy dãy (un) hội tụ Giả sử lim



−6

5; −1

, ∀n ∈ N∗.Suy ra (un) bị chặn dưới



−6

5; −1



nên dãy (un) giảm

Vậy (un) hội tụ Giả sử lim



−2; −65

.Nếu un0 = −6

5 thì dãy (un) không xác định từ n0+ 1 trở đi.

Footer Page 23 of 145.

Nếu un0 ∈



−2; −65

thì ta có:

Cho a, b, c, d sao cho hàm số f(x) nghịch biến, ta có ví dụ sau:

Ví dụ 3.4.2 Cho dãy số (un) biết:

( u1= 2un+1= un+ 2

un+ 1, n ∈ N∗ (3.44)a) Chứng minh dãy (un) bị chặn

b)Chứng minh (u2n) là dãy số tăng, (u2n+1) là dãy số giảm.c)Xét sự hội tụ của dãy (un)

ax + b

Chọn a, b sao cho hàm số f(x) đồng biến, ta có ví dụ sau:

Ví dụ 3.4.3 Cho dãy số (un) biết:



u1 = αun+1=√2un+ 3, n ∈ N∗ (3.45)

Xét sự hội tụ của dãy (un).

Vậy cho u1 các giá trị khác nhau, ta có các bài toán khác nhau.Chọn a, b sao cho hàm số f(x) nghịch biến, u1 = 0 giá trị cụ thể

ta có ví dụ sau:

Ví dụ 3.4.4 Cho dãy số (un) biết:



u1 = 0un+1=√2 − un, n ∈ N∗ (3.47)Xét sự hội tụ của dãy (un)

un+1= u2

n− 2un+ 2, n ∈ N∗ (3.48)Xét sự hội tụ của dãy (un)

Vậy cho u1 các giá trị khác nhau, ta có các bài toán khác nhau

un+1= 2u3

n− 5u2

n+ 4un, n ∈ N∗ (3.49)Xét sự hội tụ của dãy (un)

Vậy cho u1 các giá trị khác nhau, ta có các bài toán khác nhau

Footer Page 25 of 145.