hinh hoc on thi dai hoc 12

MỘT SỐ PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC Hoàng Bá Dũng Giáo viên toán trường THPT Lê Quý Đôn -Cựu sinh viên khoá 39 Các bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, g

MỘT SỐ PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC

Hoàng Bá Dũng

(Giáo viên toán trường THPT Lê Quý Đôn -Cựu sinh viên khoá 39)

Các bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học gọi chung là các bài toán bài toán cực trị trong hình học xuất hiện khá nhiều trong các đề thi học sinh giỏi, và trong các kỳ thi Đại học, cao đẳng Trong quá trình ôn tập đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi chúng tôi nhận thấy rằng cần thiết thiết phải bổ sung cho học sinh một số kiến thức cơ bản và quan trọng là phân loại các dạng toán này, qua đó định hướng tiếp cận bài toán một cách tự nhiên, từ đó giúp học sinh tự tin khi đứng một số dạng bài tập về cực trị hình học Bên cạnh đó việc dạy học theo chủ đề là một trong những hướng đổi mới trong cách dạy hiện nay trong đó chú trọng đến hướng dẫn học sinh chủ động, tích cực tìm tòi nghiên cứu và phát huy tính tự học của học sinh

Từ suy nghĩ đó chúng tôi xin trao đổi chuyên đề “Một số phân loại các bài toán về cực trị hình học” Nội dung chuyên đề này giới thiệu về một số phương pháp tìm cực trị cơ bản thường gặp trong hình học Trong mỗi phương pháp sẻ có các ví dụ minh họa Và cuối cùng là phần bài tập tổng hợp với các bài tập giải bằng những phương pháp khác nhau

I MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Tỷ số thể tích

Cho khối chóp tam giác S.ABC, các điểm A’,B’ C’ thuộc các cạnh SA,SB.SC trừ điểm S Khi đó ta có: . ' ' '

.

S A B C

S ABC

V

SA SB SC

SA SB SC

2.Định lý Talet trong mặt phẳng, trong không gian.

3 Các bất đẳng thức giữa đường xiên, hình chiếu và đường vuông góc.

- Cho mặt phẳng (P) và điểm M, H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P), N là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) Chúng ta có các bất đẳng thức sau:

,

- Khi thay mặt phẳng (P) bởi đường thẳng d thì các bất đẳng thức trên được phát biểu tương tự

II MỘT SỐ PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC

Các bài toán về cực trị hinh học rất đa dạng, có nhiều phương pháp để tiếp cận, tuy nhiên trong quá trình bồi dưỡng củng như trong ôn tập chúng tôi đưa ra một số phân loại như sau

Dạng1:Vận dụng khảo sát sự biến thiên của hàm số.

Để vận dụng phương pháp này, thông thường biểu diển biểu thức cần tìm cực trị (Thể tích khối đa diện, diện tích thiết diện, khoảng cách ) dưới các biến khác nhau, tìm điều kiện ràng buộc giữa các biến từ đó biến đổi biểu thức thành hàm số, vận dụng khảo sát biến thiên của hàm số để tìm cực trị

Bài toán1 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chử nhật, có thể tích V Mặt phẳng(P) song song với mặt phẳng (ABCD) và cắt các cạnh SA, SB, SC,SD lần lượt tại M,

N, P, Q.Gọi M’, N’, P’, Q’ lần lượt là các hình chiếu vuông góc của các điểm M, N, P, Q trên mặt phẳng (ABCD) Tìm tỷ số SM

SA để thể tích khối lăng trụ MNPQ.M’N’P’Q’ đạt giá lớn nhất theo V

Giải

S

M Q

N P

A D

M ' Q '

H

N' P'

B C

Đặt SM x

AB

AD = Vậy MN =x AB. , MQ xAD= .

Từ giả thiết ta suy ra khối lăng trụM N P Q MNPQ' ' ' ' là khối hộp chử nhật nên ta có diện tích của MNPQ là: S MNPQ =x S2 ABCD

AS

−

Thể tích của khối lăng trụM N P Q MNPQ' ' ' ' ký hiệu V MNPQ M N P Q ' ' ' '

' ' ' '

.

MNPQ M N P Q

V = x2(1−x SH S) ABCD =x2(1−x V).3 .Xét hàm số f(x)=x2(1-x)

trên khoảng (0;1) ta được:

(0;1)

4 axf(x)

27

3

Vậy V MNPQ M N P Q ' ' ' ' đạt giá trị lớn nhất theo V bằng 4

27V khi 2

3

3

SM

Bài toán 2 Cho khối chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chử nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA=a, AB=b,AD=c, trong mặt phẳng (SBD) đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác SBD và cắt các cạnh SB,SD tại M và N.Gọi K là giao điểm của mặt phẳng (AMN) với cạnh SC Xác định vị trí M trên cạnh SB để thể tích của khối chóp S.AMKN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất theo a,b,c

(Học sinh giỏi Hà Nội 2008)

Giải :

S

K

N

M G

A D

B C

Đặt SM x,

SD = từ giả thiết G là trọng tâm của tam giác SBD nên 1 1,

2≤ ≤x .

1

1

2≤ ≤y Đặt SB uuur r= , SD vuuur r= , Đặt SMuuur=x u.r, SNuuur= y v.r,

Từ phân tích chúng ta có:

(1 ) 1

uuuur r v

,

1 ( 1)

GNuuur= − ur+ −y vv,

Do (1 ) 1

uuuur r v

và 1 ( 1)

GNuuur= − ur+ −y vv cùng phương nên ta có

1 1

3 3

x

y

−

=

−

3xy x y

⇔ = + với 1 1,

2≤ ≤x 1 1

2 ≤ ≤y .

.

.

S AMK

S ABC

2

x

, .

.

2

S AMK

S ABC

2

x

Cộng lại ta có:

2

.

( ) ( )

S AMKN

S ABCD

x y

−

Xét hàm số f(x)= 2

3 1

x

x− trên đoạn

1 [ ;1]

2 ta ta được

1

[ ;1]

2

4

axf(x)

9

3

[ ;1]

2

1 f(x) 2

2

x= hoặc x=1.

Vậy để thể tích khối chóp thể tích của khối chóp S.AMKN đạt giá trị lớn nhất khi 2

3

SM

Để thể tích khối chóp thể tích của khối chóp S.AMKN đạt giá trị nhỏ nhất khi SM 1

SB = hoặc

1

2

SM

SB =

Dạng2 Vận dụng các bất đẳng thức đại số.

Trên cơ sơ biêủ diển biểu thức cần tìm cực trị (Thể tích khối đa diện, diện tích thiết diện ) dưới các biến khác, tìm điều kiện ràng buộc giữa các biến, khai thác các bất đẳng thức đại

số cơ bản như bất đẳng thức cosi, bunhiacopsi

Từ đó giải quyết bài toán theo hướng đại số

Bài toán 3 Cho tứ diện ABCD có thể tích không đổi V Điểm M thuộc miền trong ∆ABC

các đường thẳng qua M song song với DA,DB,DC theo thứ tự cắt các mặt phẳng (DBC), (DCA), (DAB) tương ứng tại A1, B1, C1.

a) Chứng minh rằng MA1

DC =1 b)Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện MA1B1C1 theo V khi M thay đổi trong

ABC

Giải

a)Kẻ AM, BM, CM cắt BC, AC, AB tại N, P , Q ta có các tỷ lệ thức:

MA1

AN , MB1

PB , MC1

DC = QM QC Vậy: MA1

PB + QM QC Mặt khác : MN

AN =S1

S , PM

PB =S2

S , QM QC = S3

S

Trong đó S1 , S2 , S3 , S1 và S lần lượt lá diện tích các tam giác MBC, MAC, MAB và ABC

Ta có:

1

MA

PB + QM QC =S1

S +S S2 + S3

S +S1

S =S1+ +S S2 S3

=1 (đpcm)

D

B1

C 1 A 1

A P C

Q M N

B

b) Xét Tam giác MB1C1 có MC1 song song với DC, MB1 song song với DB nên (MC1 ,MB1)

= (DC, DB)= α , trong đó (MC1 ,MB1 ) là góc giữa các đường thẳng MC1 và ,MB1 , (DC,

DB) là góc giữa các đường thẳng DC và DB

Ký hiệu:β1=S∆MB C1 1, β =S∆DBC

Ta có: β1=S∆MB C1 1= 1 1

1 sin

2

DBC

Thể tích khối tứ diện ABCD:V=1

3hβ (trong h là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (DBC))

Thể tích khối tứ diện MA1B1C1: V MA B C1 1 1= 1 1

1

3h β (trong h1 là khoảng cách từ điểm A1 đến mặt

phẳng (MB1C1) Ta có: V1

V =MB MC h1 1 1

z

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (DBC), H1 là giao điểm của AH và (MB1C1), do hai mặt phẳng (MB1C1) và (DBC) song song với nhau nên ta có:

z

DA = Vậy V1

V =MB MC h1 1 1

DB DC h =x y z ⇔V MA B C1 1 1 =xyz V

Từ câu a) ta có: x y z+ + =1 với x y z, , là các số dương

Áp dụng bất đẳng thức Côsy ta được: 1

27

27

MA B C

V

Đẳng thức xảy ra khi và chi khi: x= = ⇔y z S1=S2 =S3 Hay M là trọng tâm của tam giác

ABC

Bài toán 4 Cho tam giác ABC nhọn.Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm

S (H thuộc cạnh AC ) Gọi (P) là mặt phẳng qua C và vuông góc với SB, giả sử (P) cắt tia đối của tia Ax tại.Đường thẳng MH cắt SC tại N.

a) Chứng minh MC ⊥ (SHB), SC ⊥ (MBN)

b) Biết cạnh BC=a, ∠ABC=α, ∠ACB=β Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam

giác SMC theo a, α , β khi S di động trên tia Ax.

( Học sinh giỏi tỉnh 11 Hà Tĩnh 2014)

Giải S

N

A H C

P

B

M

a) Giả thiết suy ra BH ⊥ (SAC), nên MC⊥ BH, mặt khác mp(P) vuông góc với SB nên MC⊥ SB, trong đó SB và BH cắt nhau, cùng thuộc mp(SHB) vậy MC ⊥ (SHB)

Từ BH ⊥ (SAC) suy ra SC⊥ BH, MC ⊥ (SHB) suy ra MC⊥ SH nên H là trực tâm của tam giác SMC nên ta có MN ⊥ SC, với MN, BH cắt nhau và cùng thuộc mp(MNB) vậy SC ⊥ (MBN)

b) Do tam giác HBC vuông tại H,∠HCB=β , BC = a.nên ta tính được: BH = a.sinβ, CH =

a.cosβ Do ∠BAC= −π α β( + ), tam giác HBA vuông tại H nên AH= BHcotBAC= -a.sinβ

.cot(α β+ ) suy ra AC= a.sin

sin( )

α

α β+ ,( AC không đổi).

Đặt SA= x , (x dương ) do tam giác SAH đồng dạng với tam giác CAM nên ta có đẳng thức:

AS

AC

AH

MS

= . . a sin sin cos(2 2 )

AC AH MS

x

α β

+

Vậy SM= SA+AM= x + 2

-a.sin sin cos( ) sin ( )

x

α β

+

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

SM= x +

2

2

-a sin sin cos( )

.sin ( )

x

α β

sin sin os( + ) 2

sin( )

α β

−

Khi đó diện tích của tam giác ACM: 1

2

ACM

SV = SM.AC

2

2

sin sin sin os( )

sin ( )

α β

≥

Vậy giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác SMC theo a, α, β khi S di động trên tia

Ax là:

2

2

sin sin sin os( )

sin ( )

α β

+ đạt được khi SA =

sin sin os( + ) sin( )

α β

−

Dạng 3 Các bài toán vận dụng các bất đẵng giữa đường xiên, hình chiếu và đường vuông góc

Bất đẳng thức giữa đường xiên, hình chiếu và đường vuông góc được vận dụng khá nhiều trong các bài toán cực trị hình học.Trong nội dung bài viết này, chúng tôi giới hạn đối với các bài toán sử dụng phương pháp tọa độ, được vận dụng nhiều trong phương pháp tọa độ không gian

Bài toán5 Cho mặt cầu (S): (x−1)2+y2+ +(z 1)2 =4và mặt phẳng (P):x+2y−2z+ =6 0.

Qua điểm M thuộc mặt phẳng (P) kẻ tiếp tuyến MB đến mặt cầu (S) với B là tiếp điểm Xác định tọa độ điểm M để MB đạt giá trị nhỏ nhất

Giải

H M

P

I B

Gọi I là tâm của mặt cầu (S), bán kính R, với I(1;0;-1),R=2, H là hình chiếu vuông góc của

I trên mặt phẳng(P)

Khoảng cách từ tâm I tới mặt phẳng (P): d I P( ,( ))= 3≥R

Vậy mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) không giao nhau Với điểm M thuộc mặt phẳng (P), ta luôn kẻ được tiếp tuyến MB đến mặt cầu (S) với B là tiếp điểm

Khi đó ta có đẳng thức: MB2 = IM2-R2

Do IM là đường xiên, IH là đường vuông góc nên ta có bất đẳng thức: IH≤ IM

Vậy MB2 = IM2-R2 ≥IH2 - R2

MB đạt giá trị nhỏ nhất là IH2 - R2 , đẵng thức xảy ra khi điểm M trùng với điểm H Từ đó xác định được điểm M.Gọi d là đường thẳng đi qua I(1;0;-1) và vuông góc với mặt phẳng (P)

Phương trình đường thẳng d:

1 2

1 2

= +



 =



 = − −



Từ lập luận ở trên ta tìm được M là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (P), vậy M(0;-2;1)

Bài toán 6: Cho mặt phẳng (P): x+y+z-3=0, và điểm A(1;1;1) thuộc mặt phẳng (P) Viết

phương trình tham số đường thẳng d , thuộc mặt phẳng (P), đi qua điểm A sao cho khoảng

cách từ điểm M(0;2;4) đến đường thẳng d đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất

Giải

M

H A

P d N

Ta chứng minh được điểm M không thuộc mặt phẳng (P) Giả sữ đường thẳng d thuộc mặt phẳng (P ) và đi qua điểm A, H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P), ta tìm được H(-1;1;3 ) Nlà hình chiếu vuông góc của H trên d Khi đó đường thẳng d vuông góc với các đường thẳng NH và MH nên đường thẳng d vuông góc với MN Nên khoảng cách từ

M đến đường thẳng d là MN:

+) Từ bất đẳng thức MN≥ MH nên khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d đạt giá trị nhỏ nhất là MH khi và chỉ khi N trùng với H, khi đó đường thẳng d đi qua hai điểm A và H.Vậy uuurAH(2;0; -2) là một véc tơ chỉ phương, nên phương trình tham số đường thẳng d:

1 2 1

1 2

y

= +



 =



 = −



+) Từ bất đẳng thức MN≤ MA nên khoảng cách từ M đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất khi N trùng với A khi đó MA vuông góc với đường thẳng d khi đó n MAr uuur, =(-2;4;-2) là

một véc tơ chỉ phương của d

Phương trình tham số của d:

1

1 2 1

= +



 = −



 = +



V.MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LYỆN

Bài1.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân có AB = AC = a (a là một

số thực dương) và mặt bên ACC’A’ là hình chữ nhật có AA’=2a Hình chiếu vuông góc H của đỉnh B lên mặt phẳng (ACC’) nằm trên đoạn thẳng A’C

a)Chứng minh thể tích của khối chóp A’.BCC’B’ bằng 2 lần thể tích của khối chóp B.ACA’

b) Khi B thay đổi, xác định vị trí của H trên A’C sao cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích lớn nhất

c)Trong trường hợp thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là lớn nhất, tìm khoảng cách giữa

AB và A’C

Bài2 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành, AD 4a a 0= ( > ), các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 6 Tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích của khối chóp S.ABCD là lớn nhất

Bài3.Cho hình chóp S.ABCD,SA là đường cao,đáy là hcn với SA=a,AB=b, AD=c Trong

mp(SDB) lấy G là trọng tâm tam giác SDB qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh BS tại M, cắt cạnh SD tại N,mp(AMN) cắt SC tại K Xác định M thuộc SB sao cho VSAMKN đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đó

Bài 4 Trong không gian Oxyz cho đường thẵng : 1 2

3

= −



 = +



 =



và điểm

A(-1;2;3).Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ điểm A đến mp (P) đạt giá trị lớn nhất