Tính chính quy của nghiệm tổng quát của phương trình Monge - Ampere

Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây: - Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực

Trang 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

THÁI NGUYÊN - 2012

Trang 2

1

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Phương pháp nghiên cứu 3

4 Bố cục của luận văn 3

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Hàm đa điều hoà dưới 5

1.2 Hàm đa điều hoà dưới cực đại 8

1.3 Toán tử Monge-Ampère phức……… …9

1.4 Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampere 18

Chương 2: TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM TỔNG QUÁT CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE 34

2.1 Giới thiệu 35

2.2 Sự tồn tại của nghiệm tổng quát 37

2.3 Đánh giá đối với đạo hàm cấp hai 39

2.4 Tính C1,1 - chính qui của nghiệm tổng quát 43

KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

Trang 3

W Bài toán Dirichlet đối với M là giải

được trong trường hợp khá tổng quát: Cho W là miền lồi tùy ý trong ¡ và n

( )

C

j Î ¶ W sao cho nó là lồi trên một cung tùy ý trong ¶ W (Ta gọi hàm j

như thế là chấp nhận được) Khi đó với độ đo Borel không âm tùy ý m mà

m j

ïïî

(*)

Có nghiệm duy nhất ( Điều này đã được J Rauch và B.A Taylor chứng minh

năm 1977 đối với miền W lồi chặt, ở đó hàm liên tục j là chấp nhận được)

Chúng ta sẽ xét độ đo m với y liên tục không âm, trù mật trong W Ở đây u

sẽ luôn ký hiệu là nghiệm của (*) (với m= y l d ), v là nghiệm của bài toán

ïïî

Các kết quả chính qui của nghiệm của (*) đã được một số tác giả nghiên cứu,

cụ thể như sau: Cheng, Yau (năm 1977, 1982), Trudinger, Urbas (năm 1983),

Trang 4

2

Krylov (năm 1984), Caffarelli, Nirenberg và Spruck (năm 1984), Guan, Trudinger and Wang năm 1999

Theo hướng nghiên cứu trên, chúng tôi chọn đề tài ”Tính chính qui của

nghiệm tổng quát của phương trình Monge-Ampere” Cụ thể, chúng tôi sẽ

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:

- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm

đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère và bài toán Dirichlet cổ điển đối với toán tử Monge-Ampere

- Trình bày một số kết quả của Z.Blocki năm 2003 về tính chính quy của nghiệm tổng quát của phương trình Monge-Ampère

Trang 5

3

3 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp của lý thuyết thế vị phức

- Sử dụng phương pháp và kết quả của Zbigniew Blocki

4 Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn gồm 50 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử

Monge-Ampère và bài toán Dirichlet cổ điển đối với toán tử Monge-Ampere

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên cứu về tính chính quy của nghiệm tổng quát của phương trình Monge-Ampère

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng, nhân dịp này t«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n ThÇy vÒ sù h-íng dÉn hiÖu qu¶ cïng nh÷ng kinh nghiÖm trong qu¸ tr×nh häc tËp, nghiªn cøu vµ hoµn thµnh luËn v¨n

Xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều

kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Trang 6

4

Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Trường THPT Dương Tự Minh Thái Nguyên cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012

Tác giả

Đặng Hiền Thương

Trang 7

5

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Hàm đa điều hoà dưới

1.1.1 Định nghĩa Cho W là một tập con mở của £n và u W® - ¥ ¥: [ , ) là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với - ¥ trên bất kỳ thành phần liên

thông nào của W Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a Î W và

n

b Î £ , hàm l a u a( + l b) là điều hoà dưới hoặc trùng - ¥ trên mỗi thành

phần của tập hợp { l Î £ : a+ l bÎ W} Trong trường hợp này, ta viết

( )

u Î P SH W (ở đây P SH( )W là lớp các hàm đa điều hoà dưới trong W)

Tính đa điều hoà dưới có thể được đặc trưng dưới dạng đạo hàm suy rộng Nhắc lại, nếu 2

ò L , với hàm không âm j Î C0¥ ( )W

tùy ý Ngược lại, nếu v Î L1loc( )W sao cho với mọi z Î W , mọi

= * được xác định tốt, đa điều hoà

dưới trong W, và bằng v hầu khắp nơi trong W

Trang 8

Phần đầu tiên của định lý được chứng minh

Giả sử v Î L1loc( )W và (1.1) được thoả mãn Đặt v e = v *c e với e > 0 Khi đó D ³v 0 trong W, theo nghĩa suy rộng Do [11], Định lý 2.5.8, tồn tại

duy nhất hàm điều hoà dưới u trên W trùng với v hầu khắp nơi và

giới hạn u là đa điều hoà dưới

1.1.3 Định lý Cho W là một tập con mở trong £n Khi đó

( )i Họ P SH( )W là nón lồi, tức là nếu a b là các số không âm và ,

Trang 9

u là đa điều hoà dưới trong W

1.1.4 Hệ quả Cho W là một tập mở trong £ n và w là một tập con mở thực

sự khác rỗng của W Nếu u Î P SH( )W, v Î P SH w , và ( ) lim ( ) ( )

w

íïïï

= ìï

Wïïî

xác định một hàm đa điều hoà dưới trong W

1.1.5 Định lý Cho W là một tập con mở của £n

( )i Cho , u v là các hàm đa điều hoà trong W và v > 0 Nếu f : ¡ ® ¡ là

lồi, thì ( / ) v u v f là đa điều hoà dưới trong W

( )ii Cho u Î P SH( )W, v Î P SH( )W, và v > 0 trong W Nếu f : ¡ ® ¡ là

lồi và tăng dần, thì ( / ) v u v f là đa điều hoà dưới trong W

(iii Cho ) u,- v Î P SH( )W, u ³ 0 trong W, và v > 0 trong W Nếu

Trang 10

ïïï

ïïïïî

là đa điều hoà dưới trong W Nếu u là đa điều hoà và bị chặn trong \ FW , thì u là đa điều hoà trong W Nếu W là liên thông, thì W\ F cũng liên thông

1.2 Hàm đa điều hoà dưới cực đại

1.2.1 Định nghĩa Cho W là một tập con mở của £ n và u W® ¡ là hàm :

đa điều hoà dưới Ta nói rằng u là cực đại nếu với mỗi tập con mở compact tương đối G của W, và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên G sao cho

( )

v Î P SH G và v £ u trên ¶G , đều có v £ u trong G

Ký hiệu M P SH( )Wlà họ tất cả các hàm đa điều hoà dưới cực đại trên W Sau đây ta sẽ xem xét một số tính chất tương đương của tính cực đại

1.2.2 Mệnh đề Cho WÐ £ là mở và : n u W® ¡ là hàm đa điều hoà dưới Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

( )i Với mỗi tập con mở compact tương đối G của W và mỗi v Î P SH( )W,

x

® - ³ , với mọi x Î ¶ G , thì u ³ v trong G ;

( )ii Nếu v Î P SH( )W và với mỗi e > 0 tồn tại một tập compact K Ð W sao cho u - v ³ - e trong W\ K , thì u ³ v trong W;

(iii Nếu ) v Î P SH( )W, G là một tập con mở compact tương đối của W, và

u ³ v trên ¶G thì u ³ v trong G;

Trang 11

data error !!! can't not

read

Trang 12

read

Trang 13

read

Trang 14

read

Trang 15

read

Trang 17

read

Trang 18

read

Trang 19

read

Trang 20

read

Trang 21

read

Trang 22

read

Trang 23

read

Trang 24

read

Trang 26

read

Trang 27

read

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	524,78 KB