Nguyên lý biến phân đối với bài toán biên thứ nhất của phương trình Elliptic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCLƯƠNG THỊ DUNG NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN THỨ NHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC... Tác giả xin chân thành

Trang 1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LƯƠNG THỊ DUNG

NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN

ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN THỨ NHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Trang 2

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phòng Đàotạo khoa học và Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán - Tin, Trường Đạihọc Khoa học, Đại học Thái Nguyên, đã quan tâm và giúp đỡ tácgiả trong suốt thời gian học tập tại trường.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sau sắc tới P GS.T S Hà TiếnNgoạn, thầy đã rất tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tác giả trong suốtthời gian tác giả thực hiện luận văn và trực tiếp hướng dẫn tácgiả hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đãcảm thông, luôn theo sát động viên, ủng hộ và chia sẻ những khókhăn trong suốt thời gian tác giả học tập và làm luận văn, giúp

Trang 3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Trang 4

Mục lục

1.1 Một số không gian hàm 9

1.1.1 Không gian Lp(Ω) 9

1.1.2 Không gian H1,2(Ω) 10

1.1.3 Không gian H01,2(Ω) 10

1.2 Phiếm hàm toàn phương trong H01,2(Ω) 19

1.3 Phiếm hàm trong H01,2(Ω) 25

1.4 Phiếm hàm lồi 26

2 Phương pháp biến phân đối với bài toán biên Dirich-let cho phương trình elliptic cấp 2 33 2.1 Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet 33

2.1.1 Bài toán Dirichlet 33

2.1.2 Nghiệm suy rộng 34

Trang 5

2.1.3 Sự tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng 342.2 Nguyên lý Dirichlet 352.3 Phương pháp Galerkin tìm nghiệm gần đúng 372.3.1 Trường hợp g ≡ 0 trên ∂Ω 372.3.2 Trường hợp g 6= 0 trên ∂Ω 39

Trang 6

Mở đầu

Nghiệm suy rộng của bài toán biên Drichlet của phương trìnhelliptic cấp 2 trong miền Ω được định nghĩa trong không gian

H1,2(Ω) là hàm số gồm những hàm số mà các đạo hàm riêng đếncấp 1 là bình phương khả tích trong Ω Người ta đã chứng minhrằng nghiệm suy rộng này có liên quan chặt chẽ đến cực tiểu hóacủa phiếm hàm năng lượng tương ứng

Luận văn trình bày nguyên lý biến phân đối với bài toán biênthứ nhất cho phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 Các vấn đềđược đề cập trong luận văn được tập hợp từ [1]

Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luậnvăn gồm có hai chương

Phần đầu chương 1 Luận văn trình bày một số kiến thức chuẩn

bị như không gian H1,2(Ω) và H01,2(Ω) các phiếm hàm trong cáckhông gian này Phần tiếp theo, Luận văn trình bày sự tồn tại

và duy nhất phần tử cực tiểu hóa của phiếm hàm Phần cuối củachương 1, Luận văn trình bày điều kiện cần và đủ để một phần

tử là cực tiểu hóa

Trong chương 2, Luận văn trình bày nguyên lý biến phân đốivới bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic cấp 2 Nguyên

Trang 7

lý Dirichlet được phát biểu như sau: Hàm u(x) ∈ H1,2(Ω), u(x) =g(x) trên ∂Ω là nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet khi và chỉkhi nó là cực tiểu hóa của phiếm hàm năng lượng tương ứng

Trang 8

Một số ký hiệu và chữ viết tắt

R Tập các số thực

Rn Không gian Euclidean n chiều

Rd Không gian Euclidean d chiều

Wd Thể tích của hình cầu đơn vị trong Rd

W12(Ω) Không gian sinh ra bởi tích vô hướng

Trang 9

Khi đó Lp(Ω) là không gian Banach.

Không gian L2(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng sau

Trang 10

Khi đó ta có bất đẳng thức Holder sau đây

Trang 11

data error !!! can't not

read

Trang 12

read

Trang 13

read

Trang 14

read

Trang 15

read

Trang 17

read

Trang 18

read

Trang 19

read

Trang 20

read

Trang 21

read

Trang 22

read

Trang 23

read

Trang 24

read

Trang 27

read

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	308,15 KB