Hàm đơn điệu, tựa đơn điệu và các bài toán liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCCẦM THỊ HUYỀN ANH HÀM ĐƠN ĐIỆU, TỰA ĐƠN ĐIỆU VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 40

Trang 1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

CẦM THỊ HUYỀN ANH

HÀM ĐƠN ĐIỆU, TỰA ĐƠN ĐIỆU

VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số : 60 46 40

Giáo viên hướng dẫn:

GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

THÁI NGUYÊN, 2012

1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Trang 2

Mục lục

1 Hàm đơn điệu và các tính chất liên quan 51.1 Hàm đơn điệu 51.2 Hàm đơn điệu bậc cao 14

2 Lớp hàm tựa đơn điệu 182.1 Định nghĩa và các tính chất liên quan 182.2 Các bài toán liên quan đến hàm tựa đơn điệu 23

3 Một số áp dụng trong đại số 263.1 Hàm đơn điệu từng khúc và phép đơn điệu hoá hàm số 263.2 Sử dụng tính đơn điệu trong so sánh phân số 34

Tài liệu tham khảo 49

Trang 3

1 Lý do chọn đề tài

Với hệ thống lý thuyết, bài tập và phương pháp giải đa dạng, việc dạy

và học chuyên đề này gặp nhiều khó khăn Do đó, việc phân loại và đưa raphương pháp cụ thể cho từng dạng là vấn đề mà chúng ta cần quan tâm.Trong đó, hàng loạt các bài toán sử dụng tính đơn điệu và tựa đơn điệu đểgiải các bài toán tương đối gọn gàng, rõ ràng

Nêu cách thức vận dụng tính đơn điệu,tựa đơn điệu của hàm số để giảimột số bài toán ở cấp trung học phổ thông và bồi dưỡng học sinh giỏi toán.Với ý tưởng này, tôi chọn đề tài cho mình là hàm đơn điệu, tựa đơn điệu

và các bài toán liên quan

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của đề tài này là trình bày một cách có hệ thống hàm đơn điệu,tựa đơn điệu và đưa ra các bài toán có liên quan đó là các bài toán về hàmđơn điệu từng khúc, đơn điệu hoá các hàm số sơ cấp và sử dụng tính đơnđiệu hoá trong so sánh phân số

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Khảo sát lí thuyết hàm đơn điệu, tựa đơn điệu và hàm đơn điệu bậc cao

Trang 4

đồng thời đưa ra các bài toán liên quan, đó là các bài toán về hàm đơn điệutừng khúc, đơn điệu hoá các hàm số sơ cấp và sử dụng tính đơn điệu hoátrong so sánh phân số dành cho việc ôn luyện học sinh giỏi toán các cấp.

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu trực tiếp từ các tài liệu của giáo viên hướng dẫn, tủ sách chuyêntoán và các kỷ yếu hội thảo khoa học về chuyên toán cũng như từ bài họckinh nghiệm giảng dạy của các đồng nghiệp và các bạn học viên trong lớp

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi cấptrung học phổ thông

6 Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương

Trang 5

Ta thường sử dụng kí hiệu I (a, b) ⊂ R là nhằm ngầm định một trong bốn

tập hợp (a, b) , [a, b) , (a, b] hoặc [a, b] với a < b

Định nghĩa 1.1 (Xem [2]-[3]) Khi hàm số f (x) xác định trên tập I (a, b) ⊂

R và thoả mãn điều kiện:

Với mọi x1, x2 ∈ I (a, b) mà x1 < x2, ta đều có

f (x1) ≤ f (x2) ,

thì ta nói rằng f (x) là một hàm đơn điệu tăng trên I(a, b)

Đặc biệt, khi ứng với mọi cặp x1, x2 ∈ I (a, b), ta đều có

f (x1) < f (x2) ⇔ x1 < x2,

thì ta nói rằng f (x) là một hàm đơn điệu tăng thực sự trên I(a, b)

Ngược lại, khi với mọi x1, x2 ∈ I (a, b) mà x1 < x2, ta đều có

f (x1) ≥ f (x2) ,

thì ta nói rằng f (x) là một hàm đơn điệu giảm trên I(a, b) Nếu xảy ra

f (x1) < f (x2) ⇔ x1 > x2, ∀x1, x2 ∈ I (a, b) ,

thì ta nói rằng f (x) là một hàm đơn điệu giảm thực sự trên I(a, b)

Trang 6

Những hàm số đơn điệu tăng thực sự trên I(a, b) được gọi là hàm đồngbiến trên I(a, b) và hàm số đơn điệu giảm thực sự trên I(a, b) được gọi làhàm nghịch biến trên tập đó.

Trong chương trình giải tích, chúng ta đã biết đến các tiêu chuẩn để nhậnbiết khi nào thì một hàm số khả vi cho trước trên khoảng (a, b) là một hàm

số đơn điệu trên khoảng đó

Tính chất 1.1 Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên khoảng (a, b)

(i) Nếu f0(x) > 0 với mọi x ∈ (a, b) thì hàm số f (x) đồng biến trênkhoảng đó

(ii) Nếu f0(x) < 0 với mọi x ∈ (a, b) thì hàm số f (x) nghịch biến trênkhoảng đó

Các định lí sau đây cho ta một số đặc trưng đơn giản khác của hàm đơnđiệu

Tính chất 1.2 Hàm f (x) xác định trên R+ là một hàm số đơn điệu tăngkhi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương a1, a2, , an và x1, x2, xn, ta đềucó

Lấy tổng theo j (j = 1, 2, , n), từ (1.2), ta thu được (1.1)

Ngược lại, với n = 2, từ (1.1), ta có

f (x) + εf (h) ≤ (1 + ε) f (x + h) , ∀ε, h > 0 (1.3)Khi ε → 0, ta thu được f (x + h) ≥ f (x), hay f (x) là một hàm đồngbiến

Trang 7

Hệ quả 1.1 Giả sử g (x) = f (x)x là hàm đơn điệu tăng trong [0, +∞] Khi

đó với mọi dãy số dương và giảm x1, x2, , xn, ta đều có

Trang 8

Tương tự, ta cũng có thể phát biểu các đặc trưng đối với hàm đơn điệugiảm.

Tính chất 1.4 Hàm f (x) xác định trên R+ là một hàm số đơn điệu giảmkhi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương a1, a2, , an vàx1, x2, , xn, ta đềucó

Tính chất 1.6 Giả thiết rằng với mọi cặp bộ số dương

Chứng minh Lấy n = 2 và chọn x1 = x, x2 = y; a1 = y

2x, a2 =

1

2, từ(1.6), ta thu được

Trang 9

Khi f (x) là hàm nghịch biến thì có dấu bất đẳng thức thực sự.

Chứng minh Thật vậy, theo giả thiết, f (x) là một hàm đơn điệu giảm,nên ta luôn có

Lấy tổng theo k, ta thu được (1.7), chính là điều phải chứng minh

Tính chất 1.8 Giả thiết rằng f (x) là một hàm đơn điệu giảm trên

(0, +∞) và {ak} là một dãy tăng trong (0, +∞) Khi đó, ta luôn có

Khi f (x) là hàm nghịch biến thì có dấu bất đẳng thức thực sự

Chứng minh Thật vậy, theo giả thiết,f (x)là một hàm đơn điệu giảm,nên

Lấy tổng theo k, ta thu được (1.8), chính là điều phải chứng minh

Trang 10

Tính chất 1.9 Giả thiết rằng f (x) là một hàm đồng biến trên [0; +∞) và

f (0) = 0 Gọi f−1(x) là hàm ngược của f (x) Khi đó ta luôn có

Hệ quả 1.2 Giả thiêt rằng f (x) là một hàm đồng biến trên [0; +∞) và

f (0) = 0 Gọi f−1(x) là hàm ngược của f (x) Khi đó ta luôn có

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f (a) = b

Chứng minh Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi x = α, x =

Trang 11

data error !!! can't not

read

Trang 12

read

Trang 13

read

Trang 14

read

Trang 15

read

Trang 17

read

Trang 18

read

Trang 19

read

Trang 20

read

Trang 21

read

Trang 22

read

Trang 23

read

Trang 24

read

Trang 26

read

Trang 27

read

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	322,24 KB