Dưới vi phân của hàm lồi trong không gian Banach và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO VĂN PHƯƠNG DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐÀO VĂN PHƯƠNG

DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2012

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Mục lục

Mục lục 1

Lời cảm ơn 3 Mở đầu 4 Một số kí hiệu 5 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Không gian Banach 6

1.2 Tập lồi 8

1.3 Hàm lồi 14

1.3.1 Định nghĩa 14

1.3.2 Các phép toán về hàm lồi 18

1.3.3 Tính liên tục của hàm lồi 18

1.3.4 Hàm liên hợp 20

2 Dưới vi phân của hàm lồi 23 2.1 Định nghĩa và ví dụ 23

2.2 Quan hệ với đạo hàm theo hướng 25

2.2.1 Các tính chất 31

2.3 Một số ví dụ 41

3 Ứng dụng của dưới vi phân vào nghiên cứu bài toán tối ưu lồi 48 3.1 Bài toán tối ưu lồi 48

3.2 Bài toán lồi không có ràng buộc 49

3.3 Bài toán lồi có ràng buộc bao hàm thức 49

3.4 Bài toán với ràng buộc đẳng thức 50

3.5 Bài toán lồi với ràng buộc bất đẳng thức 53

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình đểtôi hoàn thành luận văn này

-Tôi xin chân thành cảm ơn các Giáo sư của trường Đại học Khoa học,Viện Toán học, Đại học Thái Nguyên đã truyền thụ kiến thức cho tôitrong suốt quá trình học tập vừa qua

Tôi xin cảm ơn cơ quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình đã chia sẻ, giúp

đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thiện luận văn này

Hải phòng, ngày 19 tháng 7 năm 2012

Đào Văn Phương

Mở đầu

Giải tích lồi là một bộ phận quan trọng của giải tích toán học, nghiêncứu về tập lồi và hàm lồi Trong giải tích lồi, khái niệm dưới vi phân làmột trong những khái niệm cơ bản Có thể xem dưới vi phân như là một

mở rộng của khái niệm đạo hàm Nhiều tác giả trong và ngoài nước đãnghiên cứu và thu được những kết quả quan trọng về dưới vi phân củahàm lồi và ứng dụng của nó trong giải tích phi tuyến cũng như trong cácmôn toán ứng dụng

Luận văn này trình bày một cách có hệ thống những nội dung cơ bảnnhất về dưới vi phân của hàm lồi trên không gian Banach và một số ứngdụng của nó vào lý thuyết tối ưu

Luận văn gồm 3 chương Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản

về tập lồi và hàm lồi Chương 2 trình bày dưới vi phân của hàm lồi trênkhông gian Banach Chương 3 trình bày ứng dụng của dưới vi phân vàoviệc nghiên cứu bài toán tối ưu lồi

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

E∗ không gian liên hợp của E

A bao đóng của A

domf miền hữu hiệu của f

epif trên đồ thị của f

f0(x) đạo hàm Fréchet của f tại x

fG0 (x) đạo hàm Gâteaux của f tại x

|x| trị tuyệt đối của số x

hx∗, xi giá trị của x∗ tại x

KA nón lồi sinh bởi A

NA(¯ nón pháp của A tại x¯

coA bao lồi của A

Cho E là một không gian vectơ trên trường số R

Định nghĩa 1.1 Một chuẩn, kí hiệu || · ||, trong E là một ánh xạ đi

từ E vào R thỏa mãn các điều kiện:

4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y ∈ E

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

gian vectơ E cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi

là một không gian định chuẩn

Mệnh đề 1.1 Giả sử E là một không gian định chuẩn Với mọi

x, y ∈ E, đặt

ρ(x, y) = ||x − y||

Khi đó, ρ là một metric trên E

Định nghĩa 1.2 Cho E là một không gian định chuẩn với chuẩn k.k.Nếu E với khoảng cách sinh bởi chuẩn của E: ρ(x, y) = ||x − y||, làmột không gian metric đầy đủ thì E gọi là không gian Banach

Nếu không có giả thiết gì thêm, trong suốt luận văn này, không gianBanach được kí hiệu làE Chuẩn trong các không gian Banach luôn được

kí hiệu bởi k.k

Định nghĩa 1.3 Cho E là một không gian định chuẩn với chuẩn

k.k.Ta gọi mỗi ánh xạ tuyến tính x∗ : E → R là một phiếm hàm tuyến

kí hiệu là E∗∗

Định lí 1.1 Không gian liên hợp E∗ của E với chuẩn xác định bởi

kx∗k = sup{hx∗, yi : y ∈ E, kyk 6= 0}

là một không gian Banach

Tôpô τM sinh bởi metric của không gian định chuẩn E∗ nêu trongđịnh lý vừa nêu gọi là tôpô mạnh trong E∗

Định nghĩa 1.4 Tôpô τY trong E∗ gọi là tôpô yếu nếu hệ thống cáclân cận của 0 của E∗ là các tập có dạng

Định nghĩa 1.6 Tập A ⊂ E mà là đóng (compact, bị chặn) theo tô

pô yếu trong E gọi là tập đóng (compact, bị chặn) yếu Tập A đóng(compact, bị chặn) theo tô pô yếu* trong không gian liên hợp E∗ của

E thì gọi là tập đóng yếu* (compact yếu*, bị chặn yếu*)

Giả sử E là một không gian Banach, R là tập số thực

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Định nghĩa 1.7 Tập A ⊂ E được gọi là lồi, nếu

∀x1, x2 ∈ A, ∀λ ∈ R : 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λx1 + (1 − λ) x2 ∈ A

Ví dụ 1.1 Cả không gian E là tập lồi Tập A = ∅ là tập lồi

Mệnh đề 1.2 Giả Aα ⊂ E (α ∈ I) là các tập lồi, với I là tập chỉ sốbất kì Khi đó A = T

α∈I

Aα cũng lồi

Mệnh đề 1.3 Giả sử tập Ai ⊂ E lồi, λi ∈ R (i = 1, 2, , m) Khi

đó λ1A1 + + λmAm cũng là tập lồi

Mệnh đề 1.4 Giả sử Ei là không gian Banach, tập Ai ⊂ Ei lồi

(i = 1, 2, , m) Khi đó tích Đềcác A1 × × Am là tập lồi trong

E1 × × Em

Mệnh đề 1.5 Giả sử E1, E2 là các không gian Banach, T : E1 → E2

là toán tử tuyến tính Khi đó,

a) A ⊂ E1 lồi thì T (A) lồi;

Định nghĩa 1.8 Véc tơ x ∈ E được gọi là tổ hợp lồi của các véctơ

Định nghĩa 1.9 Giả sử A ⊂ E Giao của tất cả các tập lồi chứa A

được gọi là bao lồi (convex hull) của tập A, kí hiệu là coA

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read