Xây dựng chương trình giải phương trình poisson với điều kiện biên hỗn hợp bởi nội suy hàm RBF trên miền 2d

Giải các bài toán đó đến đáp số bằng số là một yêu cầu quan trọngcủa thực tiễn.Trong một số ít trường hợp thật đơn giản việc đó có thể làmđược nhờ vào nghiệm tường minh của bài toá

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan toàn bộ nội dung trong đề tài được trình bày trong đồ án là

do tôi tự tổng hợp và nghiên cứu, dưới sự hướng dẫn khoa học của cô giáo TSĐặng Thị Oanh Trong đồ án có sử dụng các tài liệu tham khảo như trong phầntài liệu tham khảo

LỜI CẢM ƠN

Cảm ơn các thầy cô trong trường Đại Học Công Nghệ Thông Tin và TruyềnThông – Đại Học Thái Nguyên đã giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và rènluyện ở trường

Cảm ơn giáo viên hướng dẫn Đặng Thị Oanh người người đã trực tiếpchỉ bảo và hướng dẫn em trong suốt thời gian qua

Cảm ơn bộ môn khoa học máy tính và ban lãnh đạo khoa đã tạo điềukiện học tập và rèn luyện cho em

Cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên khích lệ tinh thần và giúp đỡ

em hoàn thành đồ án này

Sinh viên thực hiện:

Vũ Huy Hoàng Đô

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN 1

LỜI CẢM ƠN 2

MỤC LỤC 3

BẢNG CÁC TỪ VIẾT TẮT 5

LỜI NÓI ĐẦU 9

CHƯƠNG 1 10

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 10

1.1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng 10

1.2 Một số bài toán thực tế dẫn đến phương trình đạo hàm riêng 11

1.2.1 Bài toán truyền nhiệt trong thanh vật chất 11

1.2.2 Bài toán truyền nhiệt trong môi trường phẳng 14

1.2.1 Phương trình truyền nhiệt dừng 15

1.3 Phân loại phương trình cấp hai tuyến tính 16

1.4 Khái niệm bài toán biên 20

1.4.1 Mở đầu 20

1.4.2 Thí dụ 21

1.5 Nội suy hàm RBF(radial basis function) 22

1.5.1 Một số định nghĩa và khái niệm 22

1.5.2 Nội suy dữ liệu phân tán trong không gian d  23

CHƯƠNG 2 27

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP BỞI NỘI SUY HÀM RBF TRÊN MIỀN 2D 27

2.1 Phát biểu bài toán 27

2.2 Rời rạc phương trình poisson trên các tâm phân bố không đều 27

2.2.1 Phương pháp sai phân hữu hạn 27

2.2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn 30

2.3 Phương pháp không lưới bởi trùng khớp toàn cục 32

2.4 Rời rạc hóa miền khảo sát 35

2.5 Xác định tâm và các điểm lân cận 36

2.6 Tính véc tơ trọng số 36

2.6.1 Véc tơ trọng số từ vi phân số trên các tâm phân bố không đều36 2.6.2 Véc tơ trọng số từ nội suy hàm cơ sở bán kính 39

2.6.3 Véc tơ trọng số đơn điểm 43

CHƯƠNG 3 45

CHƯƠNG TRÌNH THỬ NGHIỆM 45

3.1 Giới thiệu về Matlab 45

3.2 Sơ đồ tính toán giải phương trình Poisson kiện biên hỗn hợp bởi nội suy hàm RBF trên miền 2D 49

3.3 Thử nghiệm 52

3.3.2 Bài toán 1 52

3.3.3 Bài toán 2 55

3.3.4 Bài toán 3 57

3.3.5 Bài toán 4 60

3.3.6 Bài toán 5 62

KẾT LUẬN 66

TÀI LIỆU THAM KHẢO 67

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN 68

BẢNG CÁC TỪ VIẾT TẮT

BẢNG DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1.1 thanh vật chất đặt trên trục Ox từ x a đến

Hình 1.2 Bản mỏng vật chất  có đường biên là một đường

cong khép kín , đặt trong mặt phẳng Oxy 14

Hình 2.5 Bộ tâm rời rạc trùng khớp và ảnh hưởng của

Hình 3.1 chuyển ngôn ngữ máy sang tiếng việt 47Hình 3.2 cài đặt ngông nghữ bàn phím là tiếng việt 48

Hình 3.4 add file vào gói chương trình 49

Hình 3.6 Miền hình chữ nhật và miền hình chữ L 52

Hình 3.8 Bài toán 1 test trên hàm thử sin(pi*x)*sin(pi*y) 54Hình 3.9 Bài toán 2 test trên hàm thử sin(pi*x)*sin(pi*y) 56

Hình 3.10 Bài toán 3 test trên hàm thử sin(2*pi*(x-y)) 58Hình 3.11 Bài toán 4 test trên hàm thử exp (-x* x - y*y) 60Hình 3.12 Bài toán 5 test trên hàm thử exp(- (x - 0.1)^2 - 0.5y^2) 62

LỜI NÓI ĐẦU

Nhiều hiện tượng khoa học và kỹ thuật dẫn đến các bài toán biêncủa phương trình vật lý toán

Giải các bài toán đó đến đáp số bằng số là một yêu cầu quan trọngcủa thực tiễn.Trong một số ít trường hợp thật đơn giản việc đó có thể làmđược nhờ vào nghiệm tường minh của bài toán dưới dạng các công thức sơcấp, các tích phân hoặc các chuỗi hàm Còn trong đại đa số trường hợpkhác, đặc biệt là đối với các bài toán có hệ số biến thiên, các bài toán phituyến, các bài toán trên miền bất kỳ thì nghiệm tường minh của bài toánkhông có, hoặc có nhưng rất phức tạp Trong những trường hợp đó việctính nghiệm phải dựa vào các phương pháp giải gần đúng

Đến nay có hai phương pháp giả gần đúng quan trọng được nghiêncứu nhiều là phương pháp sai phân và phần tử hữu hạn Cả hai hai phươngpháp đều tìm cách đưa bài toán biên của vật lý toán về một bài toán đại số,thường là một hay nhiều hệ đại số tuyến tính Tuy nhiên cách làm rất khácnhau Cách làm làm khác nhau đó dẫn đến một hệ quả là: Có trường hợpphương pháp sai phân hiệu quả hơn, lại có trường hợp phương pháp phápphần tử hữu hạn hiệu quả hơn

Là sinh viên năm cuối bộ môn Khoa học máy tính Sau một thời gian

nghiên cứu em đã chọn đề tài: “Sử dụng Matlab giải phương trình

Poisson với điều kiện biên hỗn hợp bởi nội suy hàm RBF trên miền 2D.”

làm đề tài thực tập chuyên ngành

Nội dung đề tài gồm 3 chương:

Chương 1: Một số kiến thức cơ sở

Chương 2: giải phương trình Poisson với điều kiện biên hỗn hợp bởi nội suyhàm RBF trên miền 2D

Chương 3: Chương trình thử nghiệm

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng

Với mỗi hàm số một biến số y = y(x) ta có khái niệm đạo hàm y’(x):

Tìm hàm số y = y(x) xác định tại x [ , ]x X0 sao cho:

y’ = f (x,y),x0 < x  X,y(x0) = ,trong đó f (x,y) là hàm cho trước; x0,X,  là những số cho trước

Với hàm số nhiều biến số ta cũng gặp những khái niệm và những bài toántương tự

Xét hàm số hai biến số u u x y ( , ):

 Đạo hàm riêng cấp 1 đối với x:

0

( , ) ( , ) lim

u y

1.2 Một số bài toán thực tế dẫn đến phương trình đạo hàm riêng

1.2.1 Bài toán truyền nhiệt trong thanh vật chất

Xét một thanh vật chất đồng chất, dài L cm  , có thiết diện thẳng nhỏ khôngđổi là S cm( 2 ), có khối lượng riêng là  ( /g cm3 ), có nhiệt dung là

0

( / )

C cal g C Xét một bộ phận vật chất có thể tích V cm( 3 ) Nếu bộ phận đó

có nhiệt độ không đổi thì nhiệt độ u C( 0 ) và nhiệt lượng H cal( ) của nó liên

hệ với nhau theo công thức:

Người ta quan sát thấy khi thanh vật chất có vùng nóng vùng lạnhthfi nhiệt lượng có khả năng khuyếch tán từ vùng nóng sang vùng lạnh Tagọi suất khuếch tán nhiệt là k cm( 2 / ).s

Chú ý 1: Đôi khi người ta cũng gọi c k C  là suất dẫn nhiệt

0

[cal s cm C/ ( )] của vật chất.

Cả k và c đều là những tham số phản ánh khả năng truyền nhiệt của vật chất.Bây giờ giả sử thanh vật chất bị cách nhiệt khỏi môi trường xung quanh, trừ tạihai đầu mút Hãy xét diễn biến theo thời gian của phân bố nhiệt độ trong thanh

Ta tưởng tượng thanh vật chất đặt trên trục Ox từ x a đến x a L b   như hình 1.1

Hình 1.1: thanh vật chất đặt trên trục Ox từ x a đến x a L b  Gọi u x t( , )là nhiệt độ của thanh tại điểm xở thời điểm t

Nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao tới nơi có nhiệt độ thấp hơn Sự lantruyền nhiệt diễn ra dọc theo thanh vật chất tức là theo phương x Nó tuântheo định luật truyền nhiệt thực nghiệm của Fourier:

Luồng nhiệt q cal cm s( / ( 2 ))theo phương x(tức là nhiệt lượng khuếch tánqua một đơn vị diện tích của thiết diện thẳng nhỏ Strrong một đơn vị thờigian ) tỉ lệ với vận tốc biến thiên của nhiệt độ udọc theo phương x,tức là tỉ

dấu trừ (-) ở vế phải ý nói rằng nhiệt truyền theo chiều giảm của nhiệt độ

Do có định luật bảo toàn nhiệt lượng nên có sự cân bằng nhiệt ở mỗiphân tố nhỏ S x của thanh từ x đến x xtrong thời gian t Sự cân bằngnày diễn đạt bằng công thức:

Nhiệt truyền vào phân tố - Nhiệt ra khỏi phân tố = Nhiệt tích lũy trongphân tố.

Nhiệt truyền vào phân tố là q x t S t( , )  ; Nhiệt ra khỏi phân tố là

2 2

u u k

Chú ý 2: Khi k c onstthì phương trình (1.3) có dạng:

Nói chung kphụ thuộc x t u, , ,nghĩa là k k x t u ( , , )và phương trìnhtruyền nhiệt trong thanh vật chất có dạng:

[ ( , , )k x t u u] + f(x,t,u) = u;

   a x b t  ,  0 (1.6)Nếu và không phụ thuộc thì ta có phương trình truyền nhiệt tuyến tính:

 mô tả hiện tượng đối lưu

1.2.2 Bài toán truyền nhiệt trong môi trường phẳng

Nay ta thay thanh vật chất băng 1 “bản mỏng” vật chất  có đường biên

là một đường cong khép kín , đặt trong mặt phẳng Oxy(hình 1.2)

Hình 1.2: Bản mỏng vật chất  có đường biên là một đường cong khép kín

1.2.1 Phương trình truyền nhiệt dừng

Nếu đến một lúc nào đó phân bố nhiệt độ trên thanh vật chất, bảnmỏng vật chất đã ổn định không thay đổi theo thời gian nữa thì ta nói hiệntượng truyền nhiệt đã dừng

Từ lúc đó nhiệt độ không thay đổi theo thời gian nên u 0

t





 , và do

đó ta có các phương trình truyền nhiệt dừng như sau:

Trong trường hợp một chiều ta có:

Phương trình (1.15) còn có tên là phương trình Laplace hai chiều

Khi vế phải của (1.15) khác 0 ta có phương trình :

1.3 Phân loại phương trình cấp hai tuyến tính

Giả sử u u p q ( , ) là hàm số của hai biến đọc lập p q,

Kí hiệu:

p

u u

qq

u u

Giả sử phương trình (1.19) có nghiệm u u p q ( , )đủ trơn Xét  là mộtđường cong nào đó của mặt phẳng ( , )p q nằm trong miền xác định của

hàm ( , )u p q và có phương trình q q p( )hay  ( , ) 0 p q  Ta có:

d u u dp u dq d u( )q u dp u dq qp  qq vậy có hệ:

Nếu det( ) 0M  trên thì hệ trên vẫn có nghiệm trên  vì ta đã xuất phát

từ giả thiết phương trình (1.19) có nghiệm u, nhưng nghiệm đó không duy

nhất nữa, nghĩa là trên  các đạo hàm cấp hai của u xác định một cách

không duy nhất theo vế phải Trong trường hợp này t gọi  là một “ đườngđặc trưng ” của phương trình đạo hàm riêng (1.19)

Như vậy đường đặc trưng xác định bởi điều kiện det( ) 0M  Điều kiệnnày viết như sau:

det( )M A dq( )  2 d dB p q C dp ( ) 0, (1.20)hay:

trong đó dq dp là hệ số góc của tiếp tuyến của đường đặc trưng, người/

ta gọi dq dp là phương trình đặc trưng tại điểm /  p q,  Vậy phương trình(1.21) xác định các phương đặc trưng Nó là phương trình vi phân củađường đặc trưng

Phương trình (1.21) là một phương trình bậc hai đối với dq dp /

Khi đó tại mỗi  p q,   có hai phương trình đặc trưng thực khác nhau

Ta nói phương trình (1.19) thuộc loại hypebol trong :

Nếu B2  AC= 0 tại  p q,  miền  nào đó thì phương trình đặc trưng(1.21) có hai nghiệm thực trùng nhau tại  p q,   :

dq B

dp  A;

Khi đó tại mỗi  p q,    có hai phương trình đặc trưng thực trùng nhau

Ta nói phương trình (1.19) thuộc loại parabol trong :

Nếu B2  AC  0 tại  p q,  miền  nào đó thì phương trình đặc trưng(1.21) không có nghiệm thực nào mà chỉ có hai nghiệm phức liên hợp tại

Khi đó tại mỗi  p q,    không có phương đặc trưng thực nào mà chỉ

có hai phương đặc trưng ảo liên hợp, ta nói phương trình (1.19) thuộc loạielip trong 

Thí dụ 1 Phương trình Laplace:

c

x x

Chú ý 3: Phân loại trên rất quan trọng Ba loại phương trình khác nhau

có những tính chất rất khác nhau Cho nên người ta phải áp dụng nhữngphương pháp giải cũng rất khác nhau trong nghiên cứu lý thuyết cũng nhưtrong cách tìm nghiệm gần đúng

1.4 Khái niệm bài toán biên

1.4.1 Mở đầu

Ta biết rằng một phương trình vi phân thường có vô số nghiệm Phải

thêm một hay nhiều điều kiện phụ nữa thì bài toán mới có nghiệm duy nhất

Một phương trình vi phân thường cấp một kèm thêm một điều kiện phụ tạimột điểm:

' ( , ), , ( )

y f x y x x X y x  ,tạo nên một bài toán hoàn chỉnh, có tên là bài toán Cauchy hay bàitoán trị ban đầu, điều kiện y x( ) 0  gọi là điều kiện Cauchy hay điều kiệnban đầu

Một phương trình vi phân thường cấp hai kèm thêm hai điều kiệnphụ tại hai điểm khác nhau:

'' ( , ), , ( ) , ( )

y f x y a x b y a   y b  ,tạo nên một bài toán hoàn chỉnh có tên là bài toán biên (loại một), điều kiện

( ) , ( )

y a  y b  gọi là điều kiện biên (loại một)

Đối với phương trình đạo hàm riêng cũng tương tự Muốn nó cónghiệm duy nhất thì phương trình đạo hàm riêng phải kèm theo một số điềukiện phụ Mỗi cách cho điều kiện phụ xác định một lớp bài toán biên riêng

Bài toán tìm hàm số u x y( , ) thỏa mãn phương trình (1.18) và điềukiện biên (1.22) gọi là bài toán biên loại một hay bài toán biên Dirichlet đốivới phương trình Poisson (1.18).

Một ý nghĩa vật lý của bài toán này là:

Nó mô tả sự phân bố nhiệt độ đã ổn định trong miền phẳng  khi phân bốnhiệt độ tại biên  của miền  ấn định là g x y( , )

1.5 Nội suy hàm RBF(radial basis function)

1.5.1 Một số định nghĩa và khái niệm

Cho miền  trong không gian Ơcơlit R d với biên  Ta sẽ dùngthuật ngữ “Tâm” như là một điểm thuộc miền 

Định nghĩa 1.1 (Véc tơ trọng số (Stencil)) Cho D là toán tử vi phân tuyến

tính và X  x x1 , , 2 x n là bộ tâm phân tán đã được chọn trong không gian

được xác định bởi các trọng sốwi wi  x Khi đó w w , w , w 1 2 n đượcgọi là véc tơ trọng số hay còn được gọi là stencil đối với toán tử vi phân D.

Định nghĩa 1.2 (Bộ tâm trùng khớp) Trong cách tiếp cận địa phương, với

mỗi  , ta chọn được một bộ tâm   mà dựa vào bộ tâm này có thể tínhđược véc tơ trọng số Ta có hai cách chọn bộ tâm   tương ứng với cácphương pháp cụ thể như sau:

 Phương pháp đơn điểm hoặc SPHH:     

 Phương pháp đa điểm hoặc PTHH: Tập   là bộ trọng tâm của cáctam giác, trong đó quy tắc xây dựng các tam giác dựa vào   nhưsau: đặt  là “tâm”, các điểm còn lại xung quanh  được xếp theochiều ngược kim đồng hồ và tạo thành các tam giác có chung đỉnh  Khi đó, ta gọi  là bộ tâm trùng khớp và được xác định bởi:

Định nghĩa 1.5 hàm một biến  : 0,     được gọi là xác định dương trên

d

 nếu hàm nhiều biến tương ứng  x   x ,x   d là xác định dương

1.5.2 Nội suy dữ liệu phân tán trong không gian d



Cho bộ dữ liệu x y1 , 2 , i  1, 2, ,n, d

i

x   , y   i , trong đó x i làcác vị trí đo, y i là các kết quả tại vị trí đo Cho B B1 , 2 , ,B n là các hàm cơ sởcủa không gian tuyến tính các hàm liên tục d biến Ký hiệu:

Hệ phương trình (1.28) và (1.29) có nghiệm duy nhất nếu det A 0 câu hỏiđặt ra là chọn cơ sở B B1 , 2 , ,B n như thế nào để điều kiện trên được thỏamãn? Trong trường hợp này d 1 thì ta có thể chọn cơ sở sau:

Nội suy với hàm cơ sở bán kính:

thỏa mãn điều kiện (1.46).

Lưu ý 1.1:

1 hàm cơ sở phải gắn liền với đối tượng nghiên cứu Vì vậy, để giải

phương trình đạo hàm riêng thì các hàm cơ sở bán kính phải là các hàm khả

vi liên tục và thậm chí là khả vi liên tục vô hạn lần

2 Để bài toán nội suy có nghiệm duy nhất, ta cần chọn hàm Φ phùhợp sao cho det A ≠ 0

Bảng1.1: Một số hàm cơ sở bán kính dùng trong báo cáo, trong đó

Bảng 1.2: Một số hàm cơ sở bán kính với tham số hình dạng  >0

Tên hàm Viết tắt Định nghĩa

Inverse multiquadric IMQ  imq(r) = 1/   2 r 2

CHƯƠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP BỞI NỘI SUY HÀM RBF TRÊN

MIỀN 2D

2.1 Phát biểu bài toán

Phần này dành trình bày một số kiến thức có liên quan đến báo cáo, đồngthời miêu tả ngắn gọn một số phương pháp truyền thống và phương phápkhông lưới phổ biến giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic cấp 2,như phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn và một sốphương pháp không lưới bằng cách tiếp cận trùng khớp trên toàn miền

Báo cáo sẽ sử dụng bài toán Dirichlet với phương trình Poisson trongmiền giới nội  R d như bài toán mẫu Bài toán được phát triển như sau: cho

Lưu ý rằng tất cả các chuẩn . trong báo cáo này là chuẩn Ơcơlit .2

2.2 Rời rạc phương trình poisson trên các tâm phân bố không đều 2.2.1 Phương pháp sai phân hữu hạn

Bài toán (2.1) và (2.2) có thể được rời rạc với sự trợ giúp của côngthức vi phân số (1.24) như sau:

Cho    là tập hữu hạn các tâm rời rạc Kí hiệu:     : và

là hình vuông hoặc hình chữ nhật Trong trường hợp miền  là HV và 

là tập các điểm nằm trên lưới đều với bước lưới h thì công thức (2.3) là saiphân khuôn 5 điểm đối với toán tử Laplace, hay:

Nhận xét 1.1 Trong trường hợp miền  là HCN hoặc HV thì phương pháp SPHH đơn giản vì các véc tơ trọng số giống nhau nên không cần chi phí tính các véc tơ trọng số và tốc độ hội tụ là O h 2 .

Chúng ta sẽ thu được lược đồ sai phân tổng quát hơn, nếu đưa vào mộttập điểm khác ký hiệu là    và thay thế cho tập  int trong công thức(2.4), ta có:

(2.1)-Ta có thể giảm số phương trình xuống bằng cách sử dụng trung bình địaphương của các phương trình trong hệ (2.6) Cách làm này dẫn đến phươngtrình sai phân hữu hạn suy rộng như sau

Với mỗi    int, chọn tập   , sau đó xác định tập     và các trọng số

,

 

   với     Tiếp theo, xác định tổ hợp tuyến tính của toán tửLaplace trên tập   và chọn một công thức vi phân số

-đó, bài toán (2.1) - (2.2) có nghiệm duy nhất u H 1  Chúng ta sử dụngphát biểu yếu của bài toàn: Tìm u H 1  sao cho u  g và

u  d f d 

     ,   H10  (2.11)

Ký hiệu   là tập hợp các trọng tâm của các tam giác có đỉnh liên

thông với   ,  là tam giác với trọng tâm , , :  

3

dt 

 

   (một phần badiện tích tam giác

Hình 2.1 Bộ tâm rời rạc, bộ tâm trùng khớp và các bộ tâm ảnh hưởng của

phương pháp sai phân hữu hạn khuôn 5 điểm.

Hình 2.2: Bộ tâm rời rạc, bộ tâm trùng khớp và các bộ tâm ảnh hưởng của

phương pháp PTHH với quy tắc cầu phương cho điểm giữa.

Xem hình 2.2 và hàm   với    là các hàm nón Khi đó, nghiệm xấp xỉ

của (2.11) được tìm dưới dạng u x  u    x , x  , trong đócác giá trị u   thỏa mãn u  g( )  với    và

w  chính là véc tơ trọng số của phương trình phần tử hữu hạn Khi đó

nếu ta sử dụng công thức vi phân số

với véc tơ trọng số (2.12) và thay thế các véc tơ trọng số này vào bài toán (2.1)

-(2.2), ta nhận được hệ phương trình (2.9) - (2.10)

2.3 Phương pháp không lưới bởi trùng khớp toàn cục

Mục đích của phương pháp là sử dụng hàm nội suy bán kính giảiphương trình đạo hàm riêng Các phương pháp trình bày trong mục này làcách tiếp cận không lưới bằng cách trùng khớp trên tất cả các tâm Công cụ