Thiết kế bộ điều khiển thích nghi thuật toán điều chỉnh hàm số cho đối tượng bồn nước đôi

Đồ thị đáp ứng ngõ ra hệ thống thích nghi thuật toán hàm Gauss 52 Hình 4.1: Sơ đồ khối hệ bồn nước đôi nối tiếp với bộ điều khiển gán cực ...... 71 Hình 4.11: Sơ đồ khối mô phỏng hệ bồn

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS VÕ CÔNG PHƯƠNG

TP HCM 12 - 2013

Tôi là: LÊ THÁI DŨNG

Sinh ngày 25 tháng 10 năm 1981

Học viên lớp cao học TĐH11 Khoá 2011-2013 – Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển và tự động hóa

Tôi xin cam đoan đề tài “Thiết kế bộ điều khiển thích nghi thuật toán điều chỉnh hàm số cho đối tượng bồn nước đôi” do TS Võ Công Phương hướng dẫn, là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu để xây dựng

mô hình điều khiển và những kết quả thu được trong luận văn là hoàn toàn trung thực Tất cả các tài liệu tham khảo đều có nguồn gốc, xuất xứ

Tác giả xin cam đoan tất cả những nội dung trong luận văn đúng như nội dung trong đề cương và các yêu cầu của thầy hướng dẫn Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

TP.HCM, ngày 02 tháng 12 năm 2013

Người viết cam đoan

Lê Thái Dũng

Lời cam đoan

Mục lục

Danh mục các chữ viết tắt, ký hiệu

Danh mục bảng biểu

Danh mục các hình vẽ

Chương 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN ĐỀ TÀI 1

1.1 Đặt vấn đề 1

1.2 Mục tiêu nghiên cứu 2

1.3 Công việc cần thực hiện 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 3

1.5 Tóm lược nội dung luận văn 3

CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA ĐỐI TƯỢNG HỆ BỒN NƯỚC 5

2.1 Mô hình hệ bồn nước đơn 5

2.2 Mô hình hệ bồn nước đôi nối tiếp 6

2.3 Tuyến tính hóa hệ bồn nước đôi nối tiếp tại điểm làm việc 10

2.3.1 Tuyến tính hóa mô hình trạng thái 10

2.3.2 Tuyến tính hóa hệ bồn nước đôi nối tiếp 13

CHƯƠNG 3: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 17

3.1 Lý thuyết điều khiển phản hồi biến trạng thái dùng phương pháp gán cực17

3.1.3 Các bước thiết kế đặt cực 24 3.2 Lý thuyết điều khiển tối ưu các hệ tuyến tính với phiếm hàm dạng toàn phương (Linear Quadratic Regulator – LQR) 27 3.2.1 Ổn định Lyapunov đối với hệ thống tuyến tính 27 3.2.2 Điều khiển tối ưu hệ tuyến tính với chỉ tiêu chất lượng dạng toàn phương – Phương trình Ricati đối với hệ liên tục 29

3.2.3 Các bước giải bài toán toàn phương tuyến tính 32 3.3 Lý thuyết điều khiển thích nghi thuật toán hàm Gauss sử dụng hàm Lyapunov 33 3.3.1 Đối tượng phi tuyến và khái niệm về điều khiển thích nghi 33 3.3.2 Hệ thống thích nghi sử dụng mô hình tham chiếu – MRAS 35 3.3.3 Hệ thống điều khiển thích nghi trực tiếp thuật toán hàm Gauss sử dụng

CHƯƠNG 5: THIẾT KẾ, THI CÔNG VÀ ĐIỀU KHIỂN MÔ HÌNH

THỰC HỆ BỒN NƯỚC ĐÔI NỐI TIẾP 82

5.1 Giới thiệu về mô hình 82

5.2 Mô tả cấu trúc phần cứng 83

5.2.1 Cảm biến áp suất 83

5.2.2 Bơm nước DC 85

5.2.3 Bo công suất 87

5.2.4 PLC S7-200 và Module analog EM235 87

5.3 Điều khiển mô hình thực và so sánh các kết quả điều khiển 88

5.3.1 Điều khiển mô hình thực với thuật toán phản hồi biến trạng thái bằng phương pháp gán cực 90

5.3.2 Điều khiển mô hình thực với bộ điều khiển LQR 92

5.3.3 Điều khiển mô hình thực với bộ điều khiển thích nghi thuật toán hàm Gauss 95

CHƯƠNG 6: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI 98

6.1 Kết quả đạt được 98

6.2 Hạn chế của đề tài 98

6.3 Hướng phát triển của đề tài 99

TÀI LIỆU THAM KHẢO 100

x1 x n



u(t) Tín hiệu điều khiển

LQR Linear Quadratic Regulator_Điều khiển tối ưu toàn phương tuyến tính

mô hình tham chiếu

e(t) Sai số giữa ngõ ra và tín hiệu đặt

( )

m t

q out Lưu lượng nước chảy ra khỏi bồn

K p1 , K p2 Hệ số tỉ lệ với công suất của máy bơm 1 và máy

bơm 2

Bảng 2.1: Thông số kỹ thuật hệ bồn nước đôi nối tiếp 9

Hình 2.1: Mô hình hệ bồn nước đơn 5

Hình 2.2: Mô hình hệ bồn nước đôi nối tiếp 7

Hình 3.1 (a) Hệ thống điều khiển vòng hở 19

Hình 3.1 (b) Hệ thống điều khiển vòng kín 19

Hình 3.2 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển thích nghi 35

Hình 3.3 Sơ đồ khối hệ thống thích nghi MRAS 36

Hình 3.4 (a) Trạng thái cân bằng ổn định 37

Hình 3.4 (b) Trạng thái cân bằng tiệm cận 37

Hình 3.4 (c) Trạng thái cân bằng không ổn định 37

Hình 3.5 Sơ đồ khối của đối tượng bậc nhất 47

Hình 3.6 Sơ đồ khối mô hình tham chiếu cho đối tượng bậc nhất 47

Hình 3.7 Sơ đồ mô phỏng hệ thống thích nghi không có hàm Gauss 48

Hình 3.8 Sơ đồ cơ cấu hiệu chỉnh thích nghi không có hàm Gauss 48

Hình 3.9 Sơ đồ luật điều khiển thích nghi không có hàm Gauss 49

Hình 3.10 Đồ thị đáp ứng ngõ ra hệ thống thích nghi không có hàm Gauss 49 Hình 3.11 Sơ đồ mô phỏng hệ thống thích nghi thuật toán hàm Gauss 50

Hình 3.12 Sơ đồ luật điều khiển thích nghi thuật toán hàm Gauss 51

Hình 3.13 Sơ đồ cơ cấu hiệu chỉnh thích nghi thuật toán hàm Gauss 51

Hình 3.14 Đồ thị đáp ứng ngõ ra hệ thống thích nghi thuật toán hàm Gauss 52 Hình 4.1: Sơ đồ khối hệ bồn nước đôi nối tiếp với bộ điều khiển gán cực 56

Hình 4.4: Kết quả mô phỏng điều khiển gán cực 57

Hình 4.5: Sơ đồ khối hệ bồn nước đôi nối tiếp với bộ điều khiển LQR 64

Hình 4.6: Sơ đồ bộ điều khiển LQR 65

Hình 4.7: Sơ đồ đối tượng hệ bồn nước đôi nối tiếp 65

Hình 4.8a: Kết quả mô phỏng điều khiển LQR với hệ số xả của van Cd1 = 0,3 và Cd2 = 0,6 66

Hình 4.8b: Kết quả mô phỏng điều khiển LQR với hệ số xả của van Cd1 = 0,5 và Cd2 = 0,7 66

Hình 4.9: Hệ thống điều khiển hồi tiếp trạng thái 69

Hình 4.10: Sơ đồ Simulink của mô hình chuẩn 71

Hình 4.11: Sơ đồ khối mô phỏng hệ bồn nước đôi nối tiếp với bộ điều khiển thích nghi thuật toán hàm Gauss 79

Hình 4.12: Sơ đồ khối mô hình tham chiếu 79

Hình 4.13: Sơ đồ khối bộ điều khiển thích nghi thuật toán hàm Gauss 79

Hình 4.14: Sơ đồ khối cơ cấu hiệu chỉnh thuật toán hàm Gauss 80

Hình 4.15a: Đồ thị kết quả mô phỏng với hệ số xả của van Cd1 = 0,3 và Cd2 = 0,6 80

Hình 4.15b: Đồ thị kết quả mô phỏng với hệ số xả của van Cd1 = 0,5 và Cd2 = 0,7 81

Hình 5.1: Mô hình thực hệ bồn nước đôi nối tiếp 82

Hình 5.2: Khối nguồn và mạch công suất 83

Hình 5.5: Mạch lọc ngõ vào và ngõ ra cho cảm biến 85

Hình 5.6: Bơm nước DC 85

Hình 5.7: Sơ đồ nguyên lý bo công suất 86

Hình 5.8: Bo công suất điều khiển hai bơm nước 86

Hình 5.9: Module analog EM235 87

Hình 5.10: PLC S7-200 CPU226 88

Hình 5.11: Công cụ OPC Toolbox trong Matlab simulink 89

Hình 5.12: Chương trình điều khiển với bộ điều khiển gán cực trên Matlab simulink 91

Hình 5.13: Bộ điều khiển gán cực 91

Hình 5.14: Kết quả điều khiển trên mô hình thực 92

Hình 5.15: Chương trình điều khiển với bộ điều khiển LQR trên Matlab simulink 93

Hình 5.16: Bộ điều khiển LQR 94

Hình 5.17: Kết quả điều khiển trên mô hình thực 94

Hình 5.18: Chương trình điều khiển với bộ điều khiển thích nghi thuật toán hàm Gauss trên Matlab simulink 95

Hình 5.19: Bộ điều khiển thích nghi 96

Hình 5.20: Mô hình chuẩn 96

Hình 5.21: Cơ cấu hiệu chỉnh 96

Hình 5.22: Kết quả điều khiển trên mô hình thực 97

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN ĐỀ TÀI

1.1 Đặt vấn đề

Điều khiển tự động đã và đang phát triển mạnh mẽ và rộng rãi trên toàn thế giới, nhằm đáp ứng cho nhu cầu bùng nổ của các hệ thống khoa học tiên tiến, máy móc phức tạp, đòi hỏi phải điều khiển một cách tinh vi, chi tiết với

độ chính xác cao

Điều khiển mực chất lỏng trong bồn chứa là quá trình rất phổ biến trong đời sống và công nghiệp như quá trình xử lý nước thải, lọc dầu hay hệ thống hóa học thực phẩm… Trong quá trình vận hành, mực chất lỏng trong các bồn chứa cần phải được điều khiển và giám sát chặt chẽ Việc điều khiển và giám sát một cách chính xác là rất quan trọng, ảnh hưởng trực tiếp đến chất lượng

Trong quá trình hoạt động, khi các thông số của đối tượng thay đổi thì một số bộ điều khiển không thể đáp ứng kịp với sự thay đổi đó Với bộ điều khiển thích nghi thuật toán điều chỉnh hàm số sẽ cho ra được đáp ứng mong muốn khi các thông số của đối tượng thay đổi

Ngày nay, khoa học kỹ thuật phát triển không ngừng, đặc biệt là trong lĩnh vực điều khiển tự động Các lý thuyết điều khiển hiện đại như: Điều khiển tối ưu (Optimal Control), điều khiển bền vững (Robust Control), điều khiển thích nghi (Adaptive Control), điều khiển trên cơ sở logic mờ (Fuzzy Logic) đang ngày càng được hoàn thiện phù hợp với tốc độ của chíp vi xử lý Trong đề tài này, chúng ta sẽ xây dựng bộ điều khiển thích nghi thuật toán hàm Gauss dựa trên thuyết ổn định Lyapunov điều khiển đối tượng bồn nước đôi

1.2 Mục tiêu nghiên cứu

Giữ ổn định mức nước đặt trước trong hai bồn của hệ bồn nước đôi nối tiếp

Nghiên cứu trạng thái ổn định của hệ thống bồn nước đôi khi thay đổi các thông số của hệ thống và nhiễu tác động

1.3 Công việc cần thực hiện:

Nghiên cứu đối tượng hệ bồn nước đôi nối tiếp

Xây dựng mô hình toán hệ bồn nước đôi nối tiếp

Nghiên cứu giải thuật điều khiển thích nghi thuật toán điều chỉnh hàm

số, ứng dụng điều khiển hệ bồn nước đôi nối tiếp

Xây dựng sơ đồ Simulink và mô phỏng trên phần mềm Matlab Simulink Nghiên cứu ứng dụng điều khiển trên mô hình thực hệ hai bồn nước đôi nối tiếp

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu được áp dụng để thực hiện luận văn này là phân tích lý thuyết, mô phỏng trên máy tính và áp dụng kết quả để điều khiển đối tượng thực

Phân tích lý thuyết: nghiên cứu các lý thuyết cơ sở liên quan đến việc thiết kế bộ điều khiển, dựa trên cơ sở lý thuyết này sẽ phân tích cho mô hình

cụ thể được sử dụng trong luận văn

Mô phỏng trên máy tính: Sau khi đã xây dựng xong các thuật toán điều khiển dưới dạng lý thuyết ta sẽ tiến hành mô phỏng trên Matlab để kiểm chứng sự hoạt động của bộ điều khiển

Điều khiển thực: Tiến hành xây dựng bộ điều khiển cho đối tượng thật

1.5 Tóm lược nội dung luận văn

Luận văn gồm 6 chương với nội dung như sau:

Chương 1: Giới thiệu tổng quan đề tài

Chương 2: Giới thiệu mô hình toán học hệ bồn nước

Chương 3: Giới thiệu cơ sở lý thuyết của đề tài bao gồm lý thuyết về phương pháp điều khiển gán cực, lý thuyết điều khiển tối ưu toàn phương tuyến tính LQR và phương pháp điều khiển thích nghi dựa trên thuyết ổn định Lyapunov

Chương 4: Thiết kế và mô phỏng các thuật toán điều khiển như điều khiển gán cực, điều khiển LQR và điều khiển thích nghi áp thuật toán hàm Gauss để điều khiển đối tượng bồn nước đôi Tiến hành so sánh kết quả đáp ứng của các phương pháp điều khiển

Chương 5: Ứng dụng các bộ điều khiển: Điều khiển gán cực, điều khiển LQR, điều khiển thích nghi thuật toán hàm Gauss điều khiển mô hình thực đối tượng bồn nước đôi nối tiếp

Chương 6: Tổng kết lại kết quả đạt được, nêu lên một số hạn chế và đưa

ra hướng phát triển của đề tài

CHƯƠNG 2

MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA ĐỐI TƯỢNG HỆ BỒN NƯỚC

2.1 Mô hình hệ bồn nước đơn

Trong hệ bồn nước đơn, nước được bơm từ bể chứa lên bồn nước, nước trên bồn chảy xuống bể chứa thông qua một van có thể thay đổi được góc mở Mực nước trong bồn được đo bằng cảm biến áp suất nước Bài toán đặt ra là điều khiển cân bằng mực nước trong bồn bằng với mực nước mong muốn Theo TLTK [8], [9], [10]

Hình 2.1: Mô hình hệ bồn nước đơn Lưu lượng nước chảy vào bồn:

Lưu lượng nước chảy ra khỏi bồn:

q out C a d 2gh t( )

Phương trình vi phân mô tả động học của bồn nước:

K p: Hệ số tỉ lệ với công suất của máy bơm (cm3/sec.V)

u(t): Điệp áp cấp vào máy bơm (V)

h(t): Chiều cao mực nước trong bồn (cm)

g: Gia tốc trọng trường (cm/s2)

2.2 Mô hình hệ bồn nước đôi nối tiếp

Hệ bồn nước đôi nối tiếp gồm hai bồn nước, một bồn ở trên và một bồn

ở dưới Sử dụng 2 bơm để bơm nước vào hai bồn Nước ở bồn trên chảy xuống bồn dưới thông qua một van có thể điều chỉnh được góc mở, nước ở bồn dưới chảy xuống bể chứa Mực nước trong hai bồn được đo bằng hai cảm biến áp suất nước Bài toán đặt ra là điều khiển cân bằng mực nước ở hai bồn bằng với mực nước mong muốn Theo TLTK [8], [9], [10]

Hình 2.2: Mô hình hệ bồn nước đôi nối tiếp Lưu lượng nước chảy vào bồn 1:

Lưu lượng nước chảy ra bồn 2:

K p1: Hệ số tỉ lệ với công suất của máy bơm 1 (cm3/sec.V)

K p2: Hệ số tỉ lệ với công suất của máy bơm 2 (cm3/sec.V)

h 2 (t): Chiều cao mực nước trong bồn 2 (cm)

A 1 : Diện tích mặt cắt ngang của bồn nước 1 (cm2)

A 2 : Diện tích mặt cắt ngang của bồn nước 2 (cm2)

C d1 : Hệ số của van xả bồn 1

C d2 : Hệ số của van xả bồn 2

a 1 : Tiết diện của van xả bồn 1 (cm2)

a 2 : Tiết diện của van xả bồn 2 (cm2)

g: Gia tốc trọng trường (cm/s2)

Bảng 2.1: Thông số kỹ thuật hệ bồn nước đôi nối tiếp

K p1 Hệ số tỉ lệ với công suất của máy bơm 1 15 cm3/sec.V

K p2 Hệ số tỉ lệ với công suất của máy bơm 2 15 cm3/sec.V

C d2 Hệ số của van xả bồn 2 0.6

2.3 Tuyến tính hóa hệ bồn nước đôi nối tiếp tại điểm làm việc

2.3.1 Tuyến tính hóa mô hình trạng thái

Về bản chất của tuyến tính hóa xấp xỉ mô hình hệ thống xung quanh điểm làm việc x ta có thể hình dung giống như việc thay một đoạn đường v

cong f(x) trong lân cận điểm x0 bằng một đoạn thẳng tiếp xúc với đường cong

đó tại x0 Như vậy, việc tuyến tính hóa một hệ phi tuyến xung quanh điểm làm việc đồng nghĩa với sự xấp xỉ gần đúng hệ phi tuyến trong lân cận điểm trạng thái cân bằng hoặc điểm dừng bằng một mô hình tuyến tính Theo TLTK [3] Sau đây, khái niệm điểm làm việc x sẽ được hiểu chung là điểm cân v

bằng x hoặc điểm dừng e xd Điều này có nghĩa là khi không bị kích thích, tức

là khi tín hiệu vào ( )u t 0 thì điểm làm việc x sẽ chính là điểm cân bằng v xe

và trong trường hợp ngược lại với u( )t u là hằng số thì 0 x chính là điểm v

Cho một hệ phi tuyến tự trị có mô hình:

( , )( , )

d dt

Chú ý: Ký hiệu v hay 0 ở vị trí lũy thừa của x k v và u i0 là phần tử của vector x và v u 0

Khai triển các hàm f x u f x u1( , ), 2( , ), , f x u thuộc vector ( , ) n( , ) f x u

cũng như các hàm g x u g x u1( , ), 2( , ), ( , )g x u của (2.3) thành chuỗi Taylor r

tại điểm x uv, 0, sau đó với giả thiết sai lệch xx và v u u là đủ nhỏ để có  0

thể bỏ qua tất cả các thành phần bậc cao trong chuỗi, cũng như f x u( ,v 0)0,

Thì từ (2.4), ta sẽ trở về dạng mô hình tuyến tính dạng quen biết trong

Lý thuyết điều khiển tuyến tính:

d dt

Chú ý: Để có được mô hình tuyến tính (2.5) từ mô hình phi tuyến (2.3)

bằng cách xấp xỉ trong lân cận điểm làm việc

u như trên thì cần thiết các

vector hàm ( , )f x u và ( , ) g x u phải khả vi tại x u v, 0

2.3.2 Tuyến tính hóa hệ bồn nước đôi nối tiếp

Hệ phương trình vi phân mô tả hệ bồn nước đôi nối tiếp:

2 2 1 1 1 2 2 2 2

( )( ( ), ( ))

Các thông số của hệ bồn nước đôi nối tiếp:

2 2 1 1 1 2 2 2 2

Tuyến tính hóa hệ bồn nước đôi quanh điểm xv 10 10T

Xác định các ma trận trạng thái tại điểm làm việc tĩnh:

1 2 , 2 1 2 2

,

2

02

0

1 1

1 2 , 2 2

Trong đó các ma trận A, B, C được tính như ở (2.6), (2.7) và (2.8)

Chương trình M-File trong Matlab tuyến tính hóa hệ bồn nước đôi nối tiếp

% Cac thong so cua he bon nuoc doi

Kp1 = 15; %He so ti le voi cong suat cua may bom 1

Kp2 = 15; %He so ti le voi cong suat cua may bom 2

A1 = 13; %Dien tich mat cat ngang cua bon nuoc 1

A2 = 13; %Dien tich mat cat ngang cua bon nuoc 2

Cd1 = 0.3; %He so cua van xa bon 1

Cd2 = 0.6; %He so cua van xa bon 2

a1 = 0.8; %Tiet dien cua van xa bon 1

a2 = 0.8; %Tiet dien cua van xa bon 2

g = 981; %Gia toc trong truong

Xv1 = 10; %Diem lam viec cua bon 1 (h1 = 10)

Xv2 = 10; %Diem lam viec cua bon 2 (h2 = 10)

% Tuyen tinh hoa he bon nuoc quanh diem lam viec [10;10]

CHƯƠNG 3

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

3.1 Lý thuyết điều khiển phản hồi biến trạng thái dùng phương pháp gán cực

Trong phần này chúng ta sẽ xem xét một phương pháp thiết kế được gọi

là kỹ thuật gán cực Chúng ta giả định rằng tất cả các biến trạng thái là có thể

đo lường được và có thể lấy tín hiệu phản hồi Có thể chứng minh được rằng nếu hệ thống được xét là điều khiển được trạng thái hoàn toàn, thì các cực của

hệ thống vòng kín có thể được đặt ở bất kỳ vị trí mong muốn nhờ phản hồi

trạng thái thông qua ma trận hệ số phản hồi trạng thái thích hợp

Kỹ thuật thiết kế này bắt đầu với việc xác định các cực vòng kín mong muốn dựa trên đáp ứng quá độ và các yêu cầu về đáp ứng tần số, chẳng hạn như đáp ứng tốc độ, hệ số tắt dần, hoặc dải tần cũng như các yêu cầu trạng thái ổn định

Giả định rằng chúng ta quyết định các cực vòng kín mong muốn đặt tại s

= µ 1 , s = µ 2 , , s = µ n Bằng cách lựa chọn ma trận hệ số phù hợp cho phản hồi trạng thái, thì có thể buộc hệ thống có các cực vòng kín tại các vị trí mong muốn, miễn là hệ thống ban đầu là điều khiển được trạng thái hoàn toàn

Trong phần này chúng ta sẽ xét hệ thống SISO (một đầu vào và một đầu ra), các tín hiệu điều khiển là vô hướng Sau đó chúng ta sẽ chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để các cực vòng kín có thể được đặt ở vị trí bất kỳ trong mặt phẳng s của hệ thống điều khiển được trạng thái hoàn toàn Sau đó chúng

ta sẽ nghiên cứu các phương pháp xác định ma trận hệ số phản hồi trạng thái yêu cầu

Cần lưu ý rằng khi các tín hiệu điều khiển là một thông số vector, thì các khía cạnh toán học của sơ đồ vị trí cực sẽ trở nên phức tạp Do đó chúng ta sẽ không nghiên cứu trường hợp này Cũng cần lưu ý rằng khi tín hiệu điều khiển là một thông số vector, thì ma trận hệ số phản hồi trạng thái không phải

là duy nhất Có thể lựa chọn một cách tự do nhiều hơn n thông số, có nghĩa là ngoài việc có thể đặt n cực vòng kín phù hợp, chúng ta có thể đáp ứng được một số hoặc tất cả các yêu cầu khác (nếu có) của hệ thống vòng kín

3.1.1 Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp gán cực

Khác với phương pháp thiết kế thông thường là chúng ta chỉ việc xác định các cực vòng kín trội, phương pháp gán cực ở đây xác định tất cả các cực vòng kín Yêu cầu hệ thống là điều khiển được trạng thái hoàn toàn Xét một

x( )t – là vector biến trạng thái bậc n

u t( )– là tín hiệu điều khiển (vô hướng)

x

n n R

lường được và có thể lấy tín hiệu phản hồi và u t( ) không bị giới hạn Thay phương trình (3.2) vào phương trình (3.1) ta có:

Trong đó: x(0)– là trạng thái ban đầu gây ra bởi nhiễu

Tính ổn định và các đặc tính đáp ứng quá độ được xác định bởi các giá trị riêng của ma trận (A - bk) Nếu vector k được chọn phù hợp, thì ma trận

(A - bk)có thể là ma trận ổn định tiệm cận với tất cả các giá trị x(0)0 có thể làm cho x( )t tiến đến 0 khi t tiến đến ∞ Các giá trị riêng của ma trận

(A - bk)được gọi là các cực của bộ điều chỉnh Nếu các cực của bộ điều

chỉnh được đặt bên trái của mặt phẳng s thì x( )t tiến đến 0 khi t tiến đến ∞

Hình 3.1 (a) vẽ hệ thống ở phương trình (3.1) Đây là một hệ thống điều khiển vòng hở vì x( )t không được cấp đến tín hiệu điều khiển u (t) Hình 3.1

(b) vẽ hệ thống có phản hồi trạng thái vòng kín với u kx Đây được gọi là

hệ thống điều khiển vòng kín vì trạng thái x( )t được cấp đến tín hiệu điều khiển u (t)

Hình 3.1 (a) Hệ thống điều khiển vòng hở

(b) Hệ thống điều khiển vòng kín

Sau đây chúng ta sẽ chứng minh rằng việc đặt tùy ý các cực với một hệ thống cho trước là có thể được nếu và chỉ nếu hệ thống là điều khiển được trạng thái hoàn toàn

3.1.2 Điều kiện cần và đủ để đặt cực tùy ý

Xét hệ thống điều khiển được xác định bởi phương trình (3.1) Chúng ta giả sử rằng biên độ của tín hiệu điều khiển u (t) là không bị giới hạn Nếu tín hiệu điều khiển u (t) được chọn là:

u t  kx t

Với kR 1 n là vector hồi tiếp trạng thái thì hệ thống sẽ trở thành hệ thống điều khiển vòng kín như được vẽ trên hình 3.1(b) và nghiệm của phương trình (3.1) sẽ như phương trình (3.4) hay:

Nếu hệ thống là điều khiển được trạng thái hoàn toàn, có nghĩa là ma

trận điều khiển được M có nghịch đảo, thì khi đó tất cả các giá trị riêng của

ma trận A có thể đặt tùy ý

Đặt vector trạng thái mới là ˆ( )x t ta có:

ˆ( )t  ( )t

Nếu hạng của ma trận điều khiển M là n (có nghĩa là hệ thống điều

khiển được trạng thái hoàn toàn), khi đó nghịch đảo của ma trận T là ma trận

Phương trình (3.8) là dạng chuẩn tắc điều khiển được Vì vậy, cho trước một phương trình trạng thái (3.1), nó có thể được chuyển thành dạng chuẩn tắc điều khiển được nếu hệ thống là điều khiển được trạng thái hoàn toàn và nếu chúng ta chuyển vector trạng thái x( )t sang vector trạng thái ˆ ( )x t bằng

cách sử dụng ma trận chuyển T cho bởi phương trình (3.5)

Chọn tập hợp các giá trị riêng mong muốn là µ 1 , µ 2 , , µ n Khi đó phương trình đặc tính mong muốn sẽ là:

n n

n n

s s

1

1 1 2

Ta có: x( )t Ax( )t bu t( )(A bk x ) ( )t

Cho nên phương trình đặc tính với hệ thống này là:

n n

a s a

s a

Phương trình (3.12) là phương trình đặc tính với hệ thống có phản hồi

Vì vậy nó phải bằng phương trình đặc tính mong muốn (3.9) ta có:

n n

n n

n n n

n n

n

s s

s a

s a

s a

1

1 1

1 ) ( ) ( )

(

Cân bằng các hệ số cùng mũ của s ta có:

1 1 1

2 2 2

a a

Đây là phương trình điều kiện đủ để đặt các giá trị riêng của ma trận

(A - bk) một cách tùy ý Nếu hệ thống là điều khiển được trạng thái hoàn

toàn, thì tất cả các giá trị riêng có thể được đặt tùy ý bằng cách chọn ma trận

k theo phương trình (3.13) ở trên

Vector phản hồi k đưa đến các giá trị riêng của (A bk ) là các giá trị

mong muốn µ 1 , µ 2 , , µ n Trong đó nếu i (i 1n)là một giá trị riêng phức, thì liên hợp của nó cũng phải là giá trị riêng của (A bk ) Vector k

được xác định bởi các bước sau đây:

Bước 1: Kiểm tra tính điều khiển được cho hệ thống Nếu hệ thống là điều khiển được trạng thái hoàn toàn thì sử dụng các bước tiếp theo

Bước 2: Từ đa thức đặc tính với ma trận A như sau:

Bước 3: Xác định ma trận chuyển T chuyển phương trình trạng thái hệ thống

thành dạng chuẩn tắc điều khiển được (trường hợp nếu hệ thống cho trước đã

là dạng chuẩn tắc điều khiển được thì T1 Không cần phải viết phương trình trạng thái ở dạng chuẩn tắc điều khiển được Tất cả chúng ta cần ở đây

là tìm ma trận chuyển T được cho bởi phương trình:

TMW

với M được cho bởi phương trình (3.6) và W được cho bởi phương trình

(3.7)

Bước 4: Sử dụng các giá trị riêng mong muốn (các cực vòng kín mong muốn),

ta viết đa thức đặc tính mong muốn:

n n

n n

s s

1

1 1 2

Chú ý rằng nếu hệ thống có bậc thấp (bậc 3 trở xuống), thì việc thay thế

trực tiếp vector k vào đa thức đặc tính mong muốn có thể đơn giản hơn

Chẳng hạn, nếu n = 3 thì ta viết vector hồi tiếp trạng thái k là:

k1 k2 k3



k thay vector k này vào đa thức đặc tính mong muốn:

sI A bk

và sau đó cân bằng nó với:

)).(

3.2 Lý thuyết điều khiển tối ưu các hệ tuyến tính với phiếm hàm dạng toàn phương (Linear Quadratic Regulator – LQR)

Trong phần này chúng ta sẽ xem xét phương pháp xây dựng bài toán tổng hợp các hệ tuyến tính với chỉ tiêu chất lượng dạng toàn phương Theo TLTK [1]

3.2.1 Ổn định Lyapunov đối với hệ thống tuyến tính

Tiêu chuẩn ổn định thứ hai của Lyapunov (điều kiện đủ)

Xét hệ thống được mô tả bởi phương trình trạng thái:

Nếu tìm được một hàm V(x) với mọi biến trạng thái x x1, 2, ,x n là một

hàm xác định dấu dương, sao cho đạo hàm của nó dV( )

T



Với Q là ma trận vuông xác định dương

Chọn hàm năng lượng V(x) xác định dương:

Do V(x) xác định dương, nên để hệ thống ổn định thì V x( ) phải xác định

âm Ta chọn V( )x  x QxT (do Q là ma trận xác định dương nên V x( ) sẽ là xác định âm)

Điều kiện cần và đủ để trạng thái cân bằng x0 ổn định tiệm cận: cho

trước bất kỳ một ma trận xác định dương Q và ma trận A ổn định, tồn tại một

ma trận xác định dương S thỏa mãn phương trình:

T    

A S SA S Q

T

  S A S SA Q   (3.18) Phương trình (3.18) được gọi là phương trình Lyapunov

Khi S không thay đổi theo thời gian S0, ta có phương trình đại số Lyapunov: