Cơ sở lý thuyết II.
Trang 1BÁO CÁO BÀI TẬP VỀ NHÀ
GIỮA KỲ MÔN TOÁN RỜI RẠC
Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Phan Thuận
Các thành viên:
1.Lê Công Hậu - 20151277 - lớp Việt Nhật C - K60
2 Nguyễn Ngọc Trung - 20153979 - lớp Việt Nhật C - K60
3 Lê Trọng Chung - 20150398 - lớp Việt Nhật C - K60
4 Hoàng Mạnh Quân - 20153013 - lớp Việt Nhật C - K60
Trang 2MỤC LỤC
I Cơ sở lý thuyết
II Bài tập
Trang 3Phần I: Cơ sở lý thuyết
Giáo trình toán rời rạc phần hệ thức truy hồi và phép qui nạp toán học
Phần II: Bài tập
BTVN 1:
Thử nghiệm bằng tay vài trường hợp:
S(1)=0;
S(2)=2=S1+1.2;
S(3)=8S2+2.3;
S(4)=20=S3+3.4;
Dự đoán công thức đệ quy là :
S(n)=S(n-1)+(n-1)n
Chứng minh:
S(n) = S(n − 1) + (n − 1)n < = > S(n) = S(n − 1) + n2− n
< = > S(n) −1
3n
3+1
3n = S(n − 1) −
1
3(n − 1)3+1
3(n − 1) = S(n − 2) −1
3(n − 2)3+1
3(n − 2) = S2 −1
3 2
3 +1
3 2 = 2 −
8
3+
2
3 = 0
=> S(n) = n
3
3 −
n
3(∗) (∗)đúng với mọi n = 1,2,3,4
Giả sử (*) đúng với mọi n < k-1
Xét n = k => S(k)
Chia k thành 2 phần d và k − d
S(k) = S(d) + S(k − d) − d(k − d)(d + k d)
= d
3
3 −
d
3+
(k − d)3
k − d
k3
3 −
k 3
=> đúng với n = k => đúng với mọi trường hợp
Trang 4Vậy ta được công thức cần tìm
S(n) =n3
3 −n
3
BTVN 2:
Thử nghiệm vài trường hợp ta có :
S(2)=2
S(3)=3
S(4)=4
Dự đoán công thức tổng quát : S(n)=n (**)
(**) đúng với các trường hợp n=2,3,4
Giả sử (*) đúng với n=2,3,4,…,k-1
Xét n=k Chia k thành 2 phần d và k-d
S(k) = S(k − d)S(d) ( 1
k − d+
1
d) = (k − d) d ( 1
k − d+
1
d) = k => đúng với n = k Vậy S(n) = n
BTVN 3:
Dự đoán công thức là S(n)=n! (***)
(***) đúng với n=2,3,4,…,k-1
Xét n=k
Chia k thành 2 phần d và k-d
S(k) = S(d)S(k − d) Ckd = d! (k − d)! k!
d! (k − d)!= k!
=> (∗∗∗)đúng với n = k
Vậy S(n)=n!