Sử dụng phép vị tự để giải một số bài toàn trong hình học phẳng

Mở đầuPhép vị tự chiếm một vị trí quan trọng trong hình học sơ cấp nóichung và các phép biến hình nói riêng.. Việc sử dụng nó để giải quyếtcác bài toán hình học nhiều khi là rất cần thiế

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2011

1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.40Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Minh

THÁI NGUYÊN - NĂM 2011

Mục lục

Mục lục 1

Mở đầu 2

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 4 1.1 Định nghĩa 4

1.1.1 Các trường hợp đặc biệt 4

1.1.2 Tâm vị tự của hai đường tròn 4

1.2 Các tính chất 7

Chương 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ 13 2.1 Bài toán chứng minh tính chất hình học 13

2.2 Bài toán dựng hình 28

2.3 Bài toán quỹ tích 39

2.4 Bài toán tính đại lượng hình học 48

Chương 3 TÍCH CỦA PHÉP VỊ TỰ VỚI MỘT PHÉP BIẾN HÌNH CƠ BẢN 51 3.1 Phép vị tự-quay 51

3.1.1 Kiến thức cơ bản 51

3.1.2 Bài tập minh họa 53

3.2 Phép vị tự-đối xứng trục 61

3.2.1 Kiến thức cơ bản 61

3.2.2 Bài tập minh họa 62

3.3 Tích của hai phép vị tự 64

3.3.1 Kiến thức cơ bản 64

3.3.2 Bài tập minh họa 65

Kết luận 69

Tài liệu tham khảo 70

3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Mở đầu

Phép vị tự chiếm một vị trí quan trọng trong hình học sơ cấp nóichung và các phép biến hình nói riêng Việc sử dụng nó để giải quyếtcác bài toán hình học nhiều khi là rất cần thiết; đặc biệt trong nhiều bàitoán, nếu không sử dụng phép vị tự thì việc tìm một lời giải trở nên rấtkhó khăn cho người học toán, hơn nữa sử dụng phép vị tự sẽ giúp chobài giải trở nên súc tích và đẹp đẽ hơn

Phép vị tự là một công cụ quan trọng trong hình học, nó xuất hiệnnhư một điều tất yếu của sự phát triển tư duy toán học - tư duy biếnhình Trong mỗi bài toán có sử dụng phép vị tự để giải thì nó là mộtmắt xích quan trọng, một định hướng thông suốt trong quá trình tư duy.Ngoài ra, phép vị tự còn là một công cụ tư duy hữu ích để phát triểncác bài toán và cho ta một cách nhìn mới đối với bài toán đó Điều đókhiến cho người học toán không những phát triển được kiến thức hìnhhọc của mình mà còn cung cấp cho họ một cái nhìn sâu hơn về bài toán.Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 Kiến thức cơ bản Chương này trình bày định nghĩa

về phép vị tự và các tính chất cơ bản của nó Ngoài ra, trong chươngcòn đề cập đến vấn đề tìm tâm vị tự của hai đường tròn để hỗ trợ choviệc vẽ hình và giải toán

Chương 2 Một số bài toán sử dụng phép vị tự Chương nàytrình bày một số bài toán hình học sơ cấp có sử dụng phép vị tự để giải

Về cơ bản, các bài toán này được chia làm bốn thể loại thường gặp, đồngthời tác giả cũng đưa ra một số định hướng khi tìm lời giải cho các dạngtoán này

Chương 3 Tích của phép vị tự với một phép biến hình.Chương này trình bày lý thuyết cơ bản và một số bài toán sử dụngphép biến hình là tích của phép vị tự và một phép biến hình để giải

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tìnhcủa TS Nguyễn Văn Minh, Trường ĐHKT và QTKD - ĐHTN Là ngườihọc trò đã tiếp thu được nhiều điều từ thầy, tác giả xin được bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự nghiêm khắc chỉbảo, hướng dẫn của thầy

Tác giả xin cảm ơn tới các thầy cô trong Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên, phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học Đồngthời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học toán K3A, trườngĐại học Khoa học đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập

-và làm luận văn này

Tác giả xin cảm ơn tới Sở GD - ĐT tỉnh Tuyên Quang, Ban Giámhiệu, các đồng nghiệp Trường THPT Sơn Dương đã tạo mọi điều kiệngiúp đỡ tác giả trong thời gian học tập và hoàn thành luận văn

Tuy nhiên, do năng lực bản thân và thời gian nghiên cứu có hạn nênkhông tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉbảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng độc giả quan tâm tới luậnvăn này

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2011

Tác giả

Đặng Thanh Cầu

5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1 Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và một

số k 6= 0 Phép biến hình biến mỗi điểm M của mặt phẳng thành điểm

M0 sao cho −−→

OM = k−−→

OM0 được gọi là phép vị tự tâm O tỷ số k Phépbiến hình này được ký hiệu là VOk Điểm O được gọi là tâm vị tự, số kgọi là tỷ số vị tự

Nếu k > 0 thì phép vị tự gọi là phép vị tự dương hay thuận, nếu

k < 0 thì phép vị tự gọi là phép vị tự âm hay nghịch (Hình 1.1)

1.1.2 Tâm vị tự của hai đường tròn

Với phép vị tự VOk biến đường tròn (I, R) thành đường tròn (I0, R0)thì ta có R = |k|R0 hay k = R

2 Nếu I ≡ I0 và R 6= R0, khi đó phép vị tự tâm I tỷ số R

0

R vàphép vị tự tâm I tỷ số −R

0

R đều biến đường tròn (I, R) thành (I

0, R0)

3 Nếu I 6≡ I0, R 6= R0 và hai đường tròn nằm ngoài nhau, khi đó gọi

O1 là điểm sao cho −−→

Như vậy ta có hai phép vị tự biến đường tròn (I, R) thành đường tròn(I0, R0)

Nếu hai đường tròn có tiếp tuyến chung ngoài là T T0 thì vì −−→

I0T0 =

7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

- Nếu hai đường tròn (I, R) và đường tròn (I0, R0) tiếp xúc trong tại

T0 thì tâm vị tự thuận của hai đường tròn là T0, tâm vị tự nghịch là giaođiểm của hai điểm mút của hai bán kính song song ngược chiều nhauvới đường nối tâm II0 (Hình1.8)

Trong trường hợp tổng quát muốn tìm tâm vị tự của hai đường tròn(I, R) và đường tròn (I0, R0) (I 6≡ I0, và R 6= R0) ta làm theo các bướcsau:

- Vẽ qua I một đường thẳng bất kỳ cắt đường tròn (I) tại M và M1

- Qua I0 vẽ đường thẳng song song với M M1 cắt đường tròn (I0, R0)tại M0 và M10, chú ý lấy −−→

I0M0 cùng chiều với −→

IM

- Đường thẳng M M0 cắt đường nối tâm II0 tại tâm vị tự thuận là O1

- Đường thẳng M1M0 cắt đường nối tâm II0 tại tâm vị tự nghịch là

1 k

O.Tính chất 1.2.5 Phép vị tự VOk biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểmthẳng hàng và bảo toàn tỷ số khoảng cách giữa các điểm

9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Chứng minh Ký hiệu A0, B0, C0 lần lượt là ảnh của ba điểm thẳnghàngA, B, C ta luôn có: −−→

A0B0 = k.−→

AB, −−→

A0C0 = k.−→

AC Vì A, B, C thẳnghàng nên tồn tại số m sao cho −→

AB = m.−→

AC Vậy thì −−→

A0B0 = m.−−→

A0C0 Hệthức này chứng tỏ A0, B0, C0 thẳng hàng và tỷ số của khoảng cách giữacác điểm được bảo toàn

Hệ quả 1.2.1 Phép vị tự VOk biến đường thẳng d thành đường thẳng

xSy=\x0S0y0 và các cạnh tương ứng song song

Hệ quả 1.2.6 Phép vị tự VOk biến đường tròn (I, R) thành đường tròn(I0, R0) và R0 = |k|R

Tính chất 1.2.6 Cho hai phép vị tự VOk và VOk00 với các tâm vị tự phânbiệt, các tỷ số vị tự k 6= 0; 1, k0 6= 0; 1 và k.k0 6= 0; 1 Khi đó phép biếnhình H = VOk.VOk00 hoặc H = VOk00.VOk là phép vị tự

Chứng minh Ta chứng minh H = VOk.VOk00 là phép vị tự Trước hết tacần chứng tỏ H có điểm bất động duy nhất Gọi S là điểm bất động của

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read