Phương pháp điều khiển tối ưu để giảm tác động các loại hóa chất độc hại dùng trong trồng trọt

Dựa vào các kết quả nghiên cứu mô hình, chúng ta có thể kịp thời đưa ra giải pháp cải tạo công nghệ trồng trọt, công nghệ sản xuất và chiến lược sửdụng thuốc trừ sâu và các loại hoá chấ

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT iii

DANH MỤC CÁC BẢNG iii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài 1

3 Phạm vi nghiên cứu và ứng dụng 1

4 Ý nghĩa khoa học 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc của luận văn 2

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ TỐI ƯU 3

1.1 Giới thiệu về bài toán tối ưu 3

1.2 Giới thiệu một số dạng bài toán tối ưu 3

1.2.1 Bài toán vận tải (BTVT) 5

1.2.1.1 Phát biểu bài toán 5

1.2.1.2 Sự tồn tại nghiệm tối ưu 7

1.2.1.3 Tiêu chuẩn nhận biết phương án cực biên 7

1.2.2 Bài toán cái túi 10

1.2.2.1 Phát biểu bài toán 10

1.2.2.2 Thuật toán giải bài toán cái túi 10

1.2.3 Ứng dụng vào nghành nông nghiệp 11

1.2.4 Bài toán quy hoạch phi tuyến và nghiệm tối ưu của nó 13

1.2.4.1 Phát biểu bài toán 13

1.2.4.2 Nghiệm tối ưu 15

CHƯƠNG 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU 19

2.1 Giới thiệu khái quát phương pháp giải bài toán điều khiển tối ưu bằng phương pháp nhân tử Lagrange 19

2.1.1 Giới thiệu 19

2.1.2 Bài toán thiết kế hệ thống nối đất chống sét trong các công trình xây dựng 20

2.1.3 Bài toán xây dựng mạng cấp và phân phối nước tối ưu 22

2.2 Giới thiệu khái quát phương pháp quy hoạch động Belman 25

2.2.1 Phương pháp phương trình truy toán và các nguyên tắc cơ bản của quy hoạch động 25

2.2.1.1 Bài toán phân phối một chiều và phương pháp phương trình truy toán 25

2.2.1.2 Các nguyên tắc cơ bản của quy hoạch động 27

2.2.2 Quá trình nhiều giai đoạn và phương trình hàm 28

2.2.2.1 Quá trình nhiều giai đoạn 28

2.2.2.2 Xây dựng phương trình hàm 30

2.2.3 Sơ đồ tính 31

CHƯƠNG 3 BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU ĐỂ GIẢM TÁC ĐỘNG CỦA CÁC LOẠI HÓA CHẤT ĐỘC HẠI DÙNG TRONG TRỒNG TRỌT 32 3.1 Các lý luận và giả thiết để xây dựng bài toán 32

3.2 Phát biểu bài toán điều khiển tối ưu 33

3.2.1 Các ký hiệu và dẫn luận 33

3.2.2 Phát biểu bài toán điều khiển tối ưu 40

3.3 Giải bài toán điều khiển tối ưu 41

3.4 Phân tích mối quan hệ giữa các tham số 43

CÀI ĐẶT THỬ NGHIỆM 50

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 53

TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

QHTT Quy hoạch tuyến tínhBTVT Bài toán vận tảiQHTS Quy hoạch tham sốQHĐ Quy hoạch độngQHPT Quy hoạch phi tuyếnQHRR Quy hoạch rời rạcQHN Quy hoạch nguyênQHĐMT Quy hoạch đa mục tiêu

DANH MỤC CÁC BẢNG

3.1 Loại, số lượng và chỉ số độc hại của thuốc trừ sâu 343.2 Loại, số lượng và đặc tính phá hoại của các loại

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đã có một số mô hình nói về quan hệ giữa phát triển kinh tế và môitrường như: [2], [6], [7],… được in vào các năm 1973, 1991,… Nhưng tất cảcác công trình đã công bố trên chưa đề cập đến tác động của thiên dịch vàomôi trường

Dựa vào các kết quả nghiên cứu mô hình, chúng ta có thể kịp thời đưa

ra giải pháp cải tạo công nghệ trồng trọt, công nghệ sản xuất và chiến lược sửdụng thuốc trừ sâu và các loại hoá chất độc hại khác đồng thời với việc bảo

vệ, phát triển số lượng, chất lượng thiên dịch nhằm để giảm lượng tồn dưthuốc trừ sâu, tránh thảm họa tràn ngập các chất thải hoá học trong môitrường sống như nước ngầm, sông ngòi, kênh rạch và không khí,…do đó tôi

tiến hành nghiên cứu đề tài: “Phương pháp điều khiển tối ưu để giảm tác

động các loại hóa chất độc hại dùng trong trồng trọt” nhằm bước đầu

nghiên cứu hướng giải quyết các vấn đề nói trên

2 Mục tiêu nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài

Luận văn đưa ra mô hình đánh giá dư lượng thuốc trừ sâu dựa trên cácchỉ tiêu như: sự phát triển dân số, nhu cầu lương thực, sự phát triển của thiêndịch, cải tiến công nghệ sản xuất để tìm ra chiến lược giảm tối đa sử dụngthuốc trừ sâu tức là giảm tối đa tác hại vào môi trường sống

Trên cơ sở các tham số thu được, chúng ta nghiên cứu bài toán điềukhiển tối ưu Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange để giải bài toán điềukhiển tối ưu đã đặt ra Từ đó tìm ra phương pháp cải tiến công nghệ và pháttriển thiên dịch để đạt được mục tiêu của bài toán

4 Ý nghĩa khoa học

Kết hợp giữa phương pháp thống kê và bài toán điều khiển tối ưu vớicác kiến thức trồng trọt, môi trường, thiên dịch,… để đưa ra một mô hình điềukhiển mới phục vụ cho công tác nghiên cứu môi trường

5 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng phương pháp thống kê để tìm ra các tham số như: hệ số tăngtrưởng của dân số, tăng trưởng của thiên dịch, tốc độ phân hủy của chất thải,

…

- Sử dụng hai phương pháp quy hoạch động và phương pháp giải tích

để giải bài toán điều khiển tối ưu

6 Cấu trúc của luận văn

MỞ ĐẦU

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU

CHƯƠNG 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU

CHƯƠNG 3 BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU ĐỂ GIẢM TÁCĐỘNG CỦA CÁC LOẠI HÓA CHẤT ĐỘC HẠI DÙNG TRONGTRỒNG TRỌT

CÀI ĐẶT THỬ NGHIỆM

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ TỐI ƯU

1.1 Giới thiệu về bài toán tối ưu

Bài toán tối ưu hóa tổng quát được phát biểu như sau:

Cực đại hóa (cực tiểu hóa) hàm:

D = {x∈X g i(x)(≤,=,≥)b i,i =1,m}được gọi là miền ràng buộc (hay miền chấp nhận được) Mỗi điểm x = (x1,

x2, , xn) ∈D được gọi là một phương án (hay một lời giải chấp nhận được).Một phương án x* ∈D đạt cực đại (hay cực tiểu) của hàm mục tiêu, cụ thể là:

f(x*)≥ f(x), ∀x ∈D (đối với bài toán max)f(x*)≤ f(x), ∀x ∈D (đối với bài toán min)được gọi là phương án tối ưu (lời giải tối ưu) Khi đó giá trị f(x*) được gọi làgiá trị tối ưu của bài toán

1.2 Giới thiệu một số dạng bài toán tối ưu

Một trong những phương pháp hiển nhiên nhất để giải bài toán đặt ra làphương pháp điểm diện: tính giá trị hàm mục tiêu f(x) trên tất cả các phương

án, sau đó so sánh các giá trị tính được để tìm ra giá trị tối ưu và phương ántối ưu của bài toán Tuy nhiên, cách giải quyết này khó có thể thực hiện được,ngay cả khi kích thước của bài toán (số biến n và số ràng buộc m) là không

lớn, bởi vì tập D thông thường gồm một số rất lớn các phần tử, trong nhiềutrường hợp còn là không đếm được.

Vì vậy, phải có những nghiên cứu trước về mặt lý thuyết để có thể tách

ra từ bài toán tổng quát những lớp bài toán “dễ giải” Các nghiên cứu lýthuyết đó thường là:

- Nghiên cứu các tính chất của các thành phần bài toán (hàm mục tiêu,các hàm ràng buộc, các biến số, các hệ số,…);

- Các điều kiện tồn tại lời giải chấp nhận được;

- Các điều kiện cần và đủ của cực trị;

- Tính chất của các đối tượng nghiên cứu

Các tính chất của các thành phần của bài toán và đối tượng nghiên cứugiúp ta phân loại các bài toán Một bài toán tối ưu (quy hoạch toán học) đượcgọi là:

- Quy hoạch tuyến tính (QHTT) nếu hàm mục tiêu f(x) và tất cả cáchàm ràng buộc gi(x), i = 1 ,m là tuyến tính Một trường hợp riêng quan trọngcủa QHTT là bài toán vận tải (BTVT);

- Quy hoạch tham số (QHTS) nếu các hệ số trong biểu thức của hàmmục tiêu và của các ràng buộc phụ thuộc vào tham số;

- Quy hoạch động (QHĐ) nếu các đối tượng xét là các quá trình cónhiều giai đoạn nói chung, hay các quá trình phát triển theo thời gian nóiriêng;

- Quy hoạch phi tuyến (QHPT) nếu f(x) hoặc có ít nhất một trong cáchàm gi(x) là phi tuyến hoặc cả 2 trường hợp đó cùng xảy ra;

- Quy hoạch rời rạc (QHRR) nếu miền ràng buộc D là tập rời rạc.Trong trường hợp riêng khi các biến chỉ nhận giá trị nguyên ta có quy hoạchnguyên (QHN);

- Quy hoạch đa mục tiêu (QHĐMT) nếu trên cùng một miền ràng buộc

ta xét các hàm mục tiêu khác nhau

1.2.1 Bài toán vận tải (BTVT)

1.2.1.1 Phát biểu bài toán

Có m địa điểm A1, A2, , Am cùng sản xuất một loại hàng hóa với cáclượng hàng tương ứng là a1, a2,… , am

Có n nơi tiêu thụ loại hàng đó B1, B2, , Bn với các yêu cầu tươngứng là b1, b2, , bn

Để đơn giản ta sẽ gọi

Ai là điểm phát i, i = 1 ,m

Bj là điểm thu j, j = 1 ,n

Hàng có thể chở từ một điểm phát bất kỳ (i) đến một điểm thu bất kỳ (j)

Ký hiệu: cij – chi phí chuyên chở một đơn vị hàng từ điểm phát (i) đếnđiểm thu (j);

Dạng toán học của bài toán vận tải là:

Định nghĩa: Vectơ X thỏa (1.9), (1.10) gọi là một phương án của BTVT.

Một phương án đạt cực tiểu (1.8) gọi là phương án tối ưu

Một phương án X gọi là phương án cơ sở nếu các vectơ cột Pij của ma trận Aứng với các xij > 0 là độc lập tuyến tính.

1.2.1.2 Sự tồn tại nghiệm tối ưu

Định lý 1.1: Bài toán vận tải luôn có phương án tối ưu.

Chứng minh :

1) Trước hết ta chứng minh bài toán vận tải luôn có phương án

2) Sau đó chứng minh rằng miền ràng buộc giới nội

a) Đặt S = ∑

=

m i

x

1 = ∑

=

n j

j i

S

b a

j i

S

b a

1

= bj , j = 1 ,n

b) Vì các hệ số trong (1.5), (1.6) và các đại lượng trong ai, bj không âm và hữuhạn nên mọi xij đều bị chặn trên Thực vậy, xij không thể lớn hơn các số tươngứng ai hay bj

Vì vậy miền ràng buộc là khác rỗng và giới nội (ta có đa diện lồi) Đadiện này có một số hữu hạn đỉnh vì vậy theo thuật toán đơn hình, xuất phát từmột phương án cực biên, sau một số hữu hạn bước ta phải đi tới phương áncực biên tối ưu

1.2.1.3 Tiêu chuẩn nhận biết phương án cực biên

Lập 1 bảng T gồm m hàng và n cột Tại các ô (i, j) ta ghi các số cijtương ứng cho trước (ghi vào góc ô) và các ước lượng xij của phương án X

Dây chuyền được gọi là kín hay là 1 chu trình nếu:

js+1 = j1Hoặc:

is+1 = i1Gọi G là tập hợp các ô sử dụng:

G = {(i, j)x ij >0} G ≤m+n−1

Một phương án X của BTVT đã cho được gọi là không thoái hóa nếu G =m+n-1 Ngược lại gọi là thoái hóa nếu G < m+n-1.

Nếu một tập hợp con thực sự của G lập thành chu trình thì ta có một chu trìnhcon của G

các ô tương ứng với các vector của hệ thống không tạo thành chu trình

Chứng minh

chứng minh G không lập thành chu trình

Bằng phản chứng, nếu có một chu trình tạo nên bởi các ô tương ứng với một

số vector của hệ Pij thì nó có dạng:

(i1, j1), (i1, j2), (i2, j2), , (is, js), (is, js+1) với js+1 = j1

Khi đó rõ ràng:

Pi1j1 - Pi1j2 + Pi2j1 - - Pisjs - Pisj1 = 0

Tức là hệ Pij phụ thuộc mâu thuẫn với giả thiết

tuyến tính

Bằng phản chứng giả sử Pij là phụ thuộc tuyến tính Mỗi vector Pij có dạng:

(α1, α2, , αi, , αm, αm+1, , αm+j, , αm+n)

Với thành phần α1 = αm+j= 1, còn các tọa độ khác bằng 0.

Nếu hệ Pij phụ thuộc tuyến tính, tức là có một tổ hợp tuyến tính của các vector

Pij = 0 Điều đó chứng tỏ rằng các ô (i, j) tương ứng với hệ thống pij lập thànhchu trình

Điều này trái với giả thiết Vậy hệ Pij là độc lập tuyến tính

Hệ quả: Vector X là phương án cực biên khi và chỉ khi tập các ô sử dụng

tương ứng không lập thành chu trình

Chứng minh Thật vậy, coi BTVT là một QHTT thì X là phương án cực biên

khi và chỉ khi các vector Pij ứng với xij > 0 là độc lập tuyến tính Theo định lý1.2 thì điều đó xảy ra khi và chỉ khi tập các ô sử dụng tương ứng không lậpthành chu trình

1.2.2 Bài toán cái túi

1.2.2.1 Phát biểu bài toán

Một người du lịch muốn đem theo một cái túi nặng không quá b kg, có

n loại đồ vật mà anh ta dự định đem theo Mỗi đồ vật loại j có khối lượng aj

kg và giá trị cj, người du lịch muốn chất vào túi các đồ vật sao cho tổng giá trị

j x c

n j x

b x a

j j

n j j j

, 1 ,

, 1 , 0

1

(1.15)

1.2.2.2 Thuật toán giải bài toán cái túi

Ta sẽ xây dựng thuật toán giải bài toán cái túi dựa trên phương phápquy hoạch động

Đối với mỗi số nguyên k và số α (k = 1,n; α =0,b) ta định nghĩa hàmsố:

j x a x c

1 1

và trọng lượng cái túi là α .

(1.14)

(1.16)

Ký hiệu Z+ là tập các số nguyên không âm

Tiếp tục quá trình ta sẽ tính được Fk(α ), k = 1, α =0,b.

1.2.3 Ứng dụng vào nghành nông nghiệp

Một loạt những bài toán thực tế nông nghiệp được đưa đến mô hìnhquy hoạch toán học, chẳng hạn đó là những bài toán về phân bổ hợp lý diệntích trồng trọt, về việc hợp lý hóa vỗ béo gia súc, về chuyên môn hóa sản xuấtnông nghiệp, về sơ đồ làm việc của các máy nông nghiệp

ë đây chúng ta đưa ra 2 bài toán: bài toán kiện toàn cấu trúc hợp lýnghành chăn nuôi và bài toán xác định cơ cấu gieo trồng cây lương thực

Bài toán 1: Kiện toàn cấu trúc nghành chăn nuôi.

Khả năng của chăn nuôi bị ràng buộc chủ yếu vào thức ăn Trongnhững lý luận dưới đây giả thiết rằng khẩu phần hợp lý để vỗ béo những loạigia súc khác nhau đã được xác định

Việc mô hình hóa bài toán đòi hỏi những ký hiệu sau:

xj - số đầu súc vật loại j (j = 1, 2, , n);

pj - sản lượng nhận được từ một đầu súc vật loại j;

bkj - khẩu phần thức ăn loại k đòi hỏi cho một đầu súc vật loại j (k = 1,

x

s k

b x b

j

n

j

k j kj

, , 2 , 1 , 0

,

2 , 1 ,

1

Bài toán 2: Cơ cấu gieo trồng cây lương thực.

Trong những trường hợp khi mà những yêu cầu về lương thực chongười và về sản phẩm chăn nuôi đã cố định trước xuất hiện bài toán chuyênmôn hóa gieo trồng cây lương thực Cần phải xác định diện tích được dùngcho những loại cây lương thực riêng sao cho với chi phí nhỏ nhất cũng thỏamãn khẩu phần cần thiết của việc cung cấp lương thực Ở đây thường kể đếnnhững ràng buộc về dự trữ lao động, về trạm máy kéo, về nhiên liệu, phânbón, về thủy nông và những yếu tố khác bảo đảm lương thực

Ta đưa vào những ký hiệu sau:

xj - lượng hecta ruộng dành cho cây lương thực loại j, j = 1, 2, ,n;

dj - diện tích trồng trọt cực đại mà do những điều kiện tự nhiên (chấtđất, khí hậu) có thể dành cho loại cây thứ j;

dj - diện tích trồng trọt tối thiểu dùng cho cây lương thực thứ j theo yêucầu cơ cấu lương thực;

aij - sản lượng thức ăn loại i trên một hecta trồng trọt loại cây thứ j, j =

bk - dự trữ những yếu tố sản xuất loại k;

cj - giá thành lương thực loại j từ một hecta trồng trọt;

xj - diện tích chung dành cho các loại cây lương thực

Bài toán xác định cơ cấu tối ưu trồng cây lương thực như vậy sẽ quy vềxác định những đại lượng xj (j = 1, 2, ,n) sao cho dạng tuyến tính sau đạtcực tiểu:

j x c

1.2.4 Bài toán quy hoạch phi tuyến và nghiệm tối ưu của nó

1.2.4.1 Phát biểu bài toán

Bài toán QHPT tổng quát có thể diễn tả dưới dạng:

x h

m i

x g

j

i

, , 2 , 1

; 0 ) (

, , 2 , 1

; 0 ) (

Trong đó ít nhất 1 trong các hàm f(x), {gi(x)}, {hj(x)} là phi tuyến.Trong 1 số trường hợp, các ràng buộc đẳng thức, còn bất đẳng thức ≤ có thểchuyển về bất đẳng thức ≥ bằng cách nhân 2 vế với (-1).

Nếu bài toán chỉ có dạng (1.27) thì ta có bài toán QHPT không ràngbuộc Có những khi ta gặp bài toán dạng như sau:

M = {x ∈D g i(x) ≥ 0 ;h j(x) = 0 ; ∀i= 1 , 2 , ,m; ∀j= 1 , 2 , ,p} (1.31)

(1.28)(1.29)

Trong đó D là tập lồi trong Rn.

Nếu các hàm f(x), {gi(x)}, {hj(x)} là những hàm lồi thì ta có quy hoạchlồi, là một trường hợp riêng quan trọng của phi tuyến Nếu hàm f(x) là mộtdạng toàn phương, còn các ràng buộc là tuyến tính thì ta có quy hoạch toànphương lại là 1 trường hợp riêng của quy hoạch lồi

Nhiều khi người ta biến đổi bài toán có ràng buộc về bài toán không córàng buộc bằng cách dùng một hàm bổ trợ Hàm bổ trợ này biểu diễn qua cáchàm số của bài toán và bản thân nó trở thành hàm mục tiêu có các cực tiểukhông điều kiện trong một miền nào đấy Người ta thay đổi dần thông số, vàchính bằng cách đó làm tăng ảnh hưởng của các ràng buộc lên hàm bổ trợ vànhư vậy, người ta xây dựng được 1 dãy bài toán không có ràng buộc mànghiệm của chúng hội tụ đến nghiệm của bài toán xuất phát Để đơn giản tanêu ra tư tưởng cơ bản một cách hình thức Xét bài toán:

Phép chọn đầu tiên thường liên quan đến các thủ tục, trong đó các ràngbuộc chỉ thỏa mãn đối với nghiệm tối ưu tìm được, nghĩa là tận cùng các quá

trình Trong một cách chọn khác đòi hỏi ràng buộc được hoàn thành trong tiếntrình của các quá trình.

Trong một số trường hợp phương pháp trên được diễn tả như sau:

Chọn dãy {t(k)} sao cho tk ≥ 0 và tk∞khi k∞ Tính điểm cực tiểu

xk của hàm ϕ[x, λ (t k)]đối với k = 1, 2, , trong các điều kiện tương ứng xk đó

tồn tại và là điểm tối thiểu không điều kiện của hàm ϕ[x, λ (t k)] Về nguyên tắc

nhận được:

* limx x

k

k =

∞

→ trong đó x* là nghiệm của bài toán (1.32) & (1.33)

Phương pháp các nhân tử Lagrange, áp dụng cho bài toán ràng buộcđẳng thức:

Đây là phương pháp biến đổi bài toán (1.34), (1.35) về bài toán không

có ràng buộc Dễ thấy rằng phép biến đổi đó thực hiện một cách khá đơn giảnbằng cách đặt λj (t)=λj(hằng số) và G(y) = y trong ϕ[x , tλ ( )] Như vậy phươngpháp các nhân tử Lagrange cổ điển là một ví dụ cổ điển của phương pháp hàm

bổ trợ không ràng buộc

1.2.4.2 Nghiệm tối ưu

Để cho gọn ta viết bài toán dưới dạng:

Min {f(x) x∈M}

Một điểm x* thỏa mãn:

f(x*) ≤ f(x), ∀x∈Mgọi là một nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán

Một điểm x’ mà đối với nó tồn tại một lân cận W sao cho:

f(x’) ≤ f(x), ∀x∈Wgọi là nghiệm tối ưu cục bộ (địa phương)

Khi bài toán là quy hoạch lồi, nghĩa là hàm mục tiêu và các hàm ràngbuộc đều là các hàm lồi thì cực tiểu địa phương cũng là cực tiểu toàn cục.Điều đó không còn đúng trong trường hợp tổng quát Một bài toán gọi là đacực trị khi nó có nhiều điểm cực tiểu địa phương với các giá trị khác nhau củahàm mục tiêu.

Khác với các bài toán tuyến tính và các bài toán quy hoạch lồi, trongcác bài toán QHPT tổng quát, miền ràng buộc có thể không lồi, có thể vô hạnđỉnh, hàm mục tiêu có thể đạt cực trị không những ở trên biên mà cả ở trongmiền ràng buộc và hơn nữa có thể có một số cực trị địa phương Các nguyênnhân đó cắt nghĩa cho việc không tồn tại các phương pháp chung cho phépgiải bất kỳ bài toán QHPT nào

Nhưng mặt khác QHPT lại mở rộng rất nhiều khả năng đặt các bài toán

kỹ thuật và kinh tế thực tiễn Tiêu chuẩn trong các bài toán kế hoạch hóa tối

ưu thường là làm cực đại lợi nhuận, cực tiểu giá thành, cực tiểu chi phí cơ bản

và các biến biểu thị khối lượng sản xuất các loại sản phẩm khác nhau Trong

số các ràng buộc có đưa vào hàm sản xuất đặc trưng cho mối liên hệ giữa sảnphẩm và chi phí nhân lực, vật liệu mà khối lượng của chúng chỉ có hạn Đểgiải quyết những bài toán như vậy bằng các phương pháp của QHTT thôngthường ta phải giả thiết bằng lợi nhuận, giá thành, chi phí cơ bản cho một đơn

vị sản phẩm, cũng như chi phí riêng mỗi loại tài nguyên được xét là các hằng

số, không phụ thuộc vào khối lượng sản xuất Giả thiết như vậy trong nhiềutrường hợp là đơn giản quá mức Trong thực tế giá thành và do đó (với giákhông đổi) tiền lãi một đơn vị sản phẩm không như nhau với khối lượng sảnxuất khác nhau Tăng sản lượng sản phẩm thường cho phép giảm giá thànhcủa nó Chi phí cơ bản riêng trong chừng mực nhất định cũng phụ thuộc vàokhả năng sản xuất Đưa những phụ thuộc như vậy vào bài toán kế hoạch hóatối ưu sẽ là cho hàm mục tiêu của nó trở nên phi tuyến Với quy mô sản xuất

khác nhau, các chi phí về lao động, về tài sản cố định, vật liệu, nhiên liệu,điện năng tính cho một đơn vị sản phẩm không phải bao giờ cũng là hằng số.Điều đó cũng nói lên sự cần thiết phải đưa các hệ thức phi tuyến vào hệ ràngbuộc của bài toán kinh tế được giải như vậy, ngay việc phân tích tổng quátnhất vấn đề kế hoạch hóa tối ưu cũng xác nhận ý nghĩa thực tiễn của cácphương pháp QHPT.

Có nhiều phương pháp giải QHPT nên ta cần phân loại chúng Có thểchia ra 5 nhóm giải sau (để dễ lập luận ta giả sử xét bài toán min f(x))

1 Các phương pháp Gradien: Trong trường hợp bài toán không có ràngbuộc phương pháp Gradien đã được nhà toán học Pháp là Côsi nêu ra Đối vớitrường hợp chung thực chất của phương pháp như sau: Ta đã biết rằngGradien của hàm mục tiêu f(x) tại phương án x bất kỳ là vectơ nằm tronghướng tăng cục bộ của f(x) Vậy phải chuyển động theo hướng ngược vớihướng Gradien của f(x), nghĩa là theo hướng giảm nhanh nhất Trên hướng đó

ta cứ đi, chừng nào hàm mục tiêu chưa tăng Sau khi tìm được điểm mới ta lạitìm hướng mới

2 Phương pháp hướng chấp nhận được: Thực chất của phương pháp làvới mỗi điểm x thuộc miền ràng buộc có thể tồn tại một tập hướng chấp nhậnđược Chọn một trong các hướng chấp nhận được mà theo đó hàm mục tiêugiảm và không bao giờ đi ra khỏi miền ràng buộc

3 Phương pháp hàm phạt: Thực chất của phương pháp này là: biến đổibài toán phi tuyến có ràng buộc thành 1 dãy các bài toán không có ràng buộc

Cụ thể là thay hàm f(x) bằng cách thêm vào những hàm trọng số (toàn bộphần thêm gọi là hàm phạt) sao cho tại những điểm x mà trong 1 chừng mựcnào đó còn thỏa mãn các ràng buộc thì giá trị của hàm phạt khá bé và sao cho:

f(x) f(x)* khi xx*

Khi dùng các phương pháp hàm phạt do giữ vững mối điều hòa giữacác ràng buộc và các hàm trọng số đó mà ta có thể đạt được hiệu quả tối ưulớn nhất.

4 Phương pháp tổ hợp và tìm kiếm ngẫu nhiên:

Hoặc nêu ra tất cả các phương án, hoặc tìm tiêu chuẩn bỏ bớt 1 sốphương án mà chắc chắn chúng không cho nghiệm Thay việc giải bài toánphi tuyến bằng quá trình ngẫu nhiên theo kiểu xích Markov và dùng phươngpháp Monter - Carlo (phương pháp thống kê)

5 Phương pháp cực tiểu hóa hàm lõm:

- Phương pháp cắt và phương pháp chia nón,

- Phương pháp xấp xỉ ngoài

6 Quy hoạch lồi đảo

Xét trường hợp miền ràng buộc D bị khoét: x∈D\int C (C lồi)

7 Phương pháp chuyển bài toán về quy hoạch D.C

Cơ sở của phương pháp này là xét các hàm liên tục f(x): MR có thểbiểu diễn thành hiệu của 2 hàm lồi trên M, gọi là các hàm D.C

Một quy hoạch D.C là một bài toán cực trị có dạng:

Min {f(x): x∈D ; gi(x) ≤ 0 ;i= 1 ,m}Trong đó D là tập lồi đóng trong Rn và f, gi (i = 1 ,m ) là các hàm D.C

CHƯƠNG 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN

TỐI ƯU

2.1 Giới thiệu khái quát phương pháp giải bài toán điều khiển tối ưu bằng phương pháp nhân tử Lagrange

2.1.1 Giới thiệu

Nếu trong các ràng buộc của QHPT không có ràng buộc bất đẳng thức

và các điều kiện không âm hay rời rạc của các biến, m < n; các hàm liên tục

và có đạo hàm ít nhất là cấp 2 thì bài toán có dạng:

Bước 3 Từ trong các điểm dừng của L (lấy không các tọa độ λ 1,… , λm)

chọn các điểm trong đó hàm f có các cực trị có điều kiện với các ràng buộc(2.2)

Cụ thể là:

Nếu tại điểm dừng:

d2L < 0 thì ta có điểm cực đại (2.5)

d2L > 0 thì ta có điểm cực tiểu (2.6)

2.1.2 Bài toán thiết kế hệ thống nối đất chống sét trong các công trình xây dựng

Hệ thống nối đất chống sét trong các công trình xây dựng là một dànlưới các thanh sắt đan hình chữ nhật, trong đó các thanh được hàn liền vớinhau, đường chu vi của hình chữ nhật lại được hàn với các cọc sắt đóng sâudưới đất

Kí hiệu:

l1- chiều dài thanh ngang;

lc- chiều dài cọc;

n1- số thanh ngang;

a- khoảng cách giữa thanh và các cọc;

h- chiều sâu của rãnh để chôn dàn sắt;

α - góc nghiêng của thành rãnh so với mặt thẳng đứng (ở mặt rãnh thì

mở, ở đáy rãnh thì thu hẹp bề ngang của rãnh lại);

p- điện trở suất của đất: p = 300Ωm, R0 = 1

A Xây dựng hàm mục tiêu

Trong thành phần của hàm mục tiêu gồm:

2 Chi phí vật liệu thanh: k2n1l1, k2- giá vật liệu (đ/m);

3 Chi phí nhân công đào rãnh: k3V, trong đó k3- tiền công (đ/m3)

V =

2

2 4 ,

Vậy hàm mục tiêu chi phí có dạng:

l p

l l n d

h

l h d

l a p

l l

c c c

c c

c

c

1

1 1 1

lg

73,2)44

34lg5,0

2(lg

4.73,2

++

++

2.1.3 Bài toán xây dựng mạng cấp và phân phối nước tối ưu

- Hệ thống cấp nước bao gồm các nhà máy nước gắn với các hệ thốnggiếng khai thác Để xây dựng 1 nhà máy nước đòi hỏi phải biết nhiều lĩnh vựckhác nhau như địa chất, thủy văn, thống kê…

- Hệ thống phân phối nước bao gồm các đường ống, trạm bơm và thápnước Đặc trưng cho 1 đường ống là các thông số sau đây: độ dài ống, đườngkính ống, độ nhám của ống, lưu lượng nước lưu thông, vận tốc dòng chảy, độgiảm áp, xác suất hư hỏng, giá thành đường ống Việc phân phối nước phụthuộc vào các nút được chọn, lưu lượng phân phối trên các cạnh, nhu cầu củatừng khu vực

Bài toán đặt ra là:

Xây dựng hệ thống cấp và phân phối nước đáp ứng yêu cầu thực tế saocho tổng chi phí là ít nhất

Giải bài toán qua 2 giai đoạn:

Giai đoạn 1 Giải bài toán cân bằng thủy lực tìm phân phối ban đầu của mạng.

Nội dung chính của phương pháp như sau:

Như ta đã biết tại mỗi đỉnh của mạng lượng nước đi tới nút I phải bằnglượng nước từ đó truyền đi (hoặc lấy ra) và trong một vòng độc lập tổng đại

số của các độ giảm áp trên các cạnh của vòng bằng 0 Từ đó, ta lập được 1 hệphương trình đại số với các ẩn số là các lượng nước qij giữa các nút i và sau

đó giải hệ phương trình này

Lik+ P(H0 + ∑

dđ ik

h ) Q→min

Trong đó:

p- tiêu chuẩn hao phí;

E- 1/t (t- kỳ hạn ngoài vốn);

a, b- các hằng số được xác định bằng công thức thực nghiệm;

H0- thủy đầu của trạm cấp nước;

Hik - độ giảm trên cạnh (i, k);

Q- lưu lượng toàn phần;

P- tiêu chuẩn kinh tế;

Hàm W là một hàm 2 biến không lồi, không lõm, hơn nữa chiều củadòng chảy không được xác định trước cho nên không thể giải bài toán tối ưutheo cả 2 biến được

Có thể sử dụng một trong các cách tiếp cận sau:

Cách 1 Cố định 1 biến và giải tối ưu theo hik bằng cách lấy đạo hàm W theo

hik và cho chúng bằng 0 tại m-1 nút để tìm điểm dừng Từ đó tìm được đườngkính của ống Đây là phương pháp của Mosnhin

Nhược điểm của phương pháp Mosnhin là chỉ cho nghiệm gần tối ưu

Cách 2 Xem xét các trạng thái làm việc của mạng – mỗi cạnh của mạng ứng

với 2 trạng thái làm việc: bình thường và không bình thường – tách ra những

trạng thái “trội” là những trạng thái mà ảnh hưởng của nó đến mạng mangtính chất quyết định Mục đích của phương pháp là đánh giá kỳ vọng thiếu hụtcông suất và lưu lượng nước của hệ thống cấp và phân phối nước, trong đó để

ý đến các trạng thái trội Việc làm này giúp ta quản lý và vận hành hệ thốngđược tốt hơn Các công thức cơ bản là:

- Kỳ vọng thiếu hụt lưu lượng nước hàng năm:

M[∆∑E] = i

m i

i P x

∑

=

∆

1

trong đó pi – Xác suất để hệ thống tồn tại ở trạng thái i;

- Lượng thiệt hại hàng năm do cung cấp nước thiếu tin cậy gây nên:

n j

j a E

∑

=

∆

1

trong đó: ∆E j- lượng thiếu hụt lưu lượng đối với nút j;

aj - suất thiệt hại do thiếu hụt lưu lượng đối với nút j

Cách 3 Xác định các nút quan trọng cần ưu tiên cung cấp nước (bệnh viện,

nhà máy nguyên tử, các xí nghiệp sản xuất lớn…) Đối với mỗi nút tiêu thụ tatìm được 2 đường đi ngắn nhất từ nơi cung cấp nước tới nó Trên đường đingắn nhất 1 ta phân phối 75% lượng nước mà đỉnh nó cần thiết, còn trênđường thứ 2 phân phối 25% lượng nước còn lại Làm như vậy đối với tất cảcác điểm ta sẽ thu được phân phối ban đầu thỏa mãn m - 1 phương trình cânbằng thủy lực tại các nút Sau đó bằng phương pháp Mosnhin giải bài toán vớinhững qij cố định - tìm được đường kính dij tối ưu

Một cách tiếp cận khác của bài toán

Cho một mạng cấp nước gồm k nhà máy (trạm cấp) Mỗi một điểm cấp

và tiêu thụ nước sẽ được coi là một nút của mạng Giả sử các nhu cầu ở nút i

đã được cho là bi Gọi áp lực ở nút thứ i là Hi và lưu lượng nước trên cạnh jcủa mạng là qj Bài toán cần giải quyết là xác định đường kính trên từng đoạnống của mạng sao cho tổng chi phí gồm chi phí xây dựng, lắp đặt và chi phívận hành hàng năm là nhỏ nhất mà vẫn bảo đảm được các điều kiện về mặtvật lý, về nhu cầu nước và các tiêu chuẩn an toàn đã đặt ra cho mạng nước

2.2 Giới thiệu khái quát phương pháp quy hoạch động Belman

2.2.1 Phương pháp phương trình truy toán và các nguyên tắc cơ bản của quy hoạch động

2.2.1.1 Bài toán phân phối một chiều và phương pháp phương trình truy toán

a Bài toán phân phối

Trong thực tế có nhiều tài nguyên khác nhau: nhân công, tiền, máy,nhiên liệu,… Mỗi tài nguyên có thể sử dụng theo nhiều cách và cho nhiềuhiệu quả khác nhau Vấn đề đặt ra là cần phân phối các tài nguyên đó như thếnào để đạt hiệu quả sử dụng tổng cộng là tốt nhất

Ta xét quá trình phân phối một tài nguyên Có một tài nguyên trữ lượng

a Có N cách sử dụng Nếu sử dụng xi đơn vị theo cách thử i (i = 1, 2, ….,N)thì sẽ được hiệu quả đo bằng hàmϕi(x i) Hãy quy định số đơn vị xi cần dùng

theo mỗi cách i để tổng hiệu quả là lớn nhất

Mô hình toán có dạng: