Phương pháp phương trình đạo hàm riêng trong mô hình hóa hình họcc

Khác với các kỹ thuật mô hình hóa bề mặt được sử dụng rộng rãi để xác định hình dạng hình học, các mô hình lập thểsolid models cung cấp một cách rõ ràng và nhất quán các biểu diễn hình h

MỤC LỤC

1

MỞ ĐẦU

Ngày nay mô hình hóa hình học đã trở thành nền tảng cơ bản cho các tínhtoán trực quan bởi vì nó cung cấp sự biểu diễn ngày càng chính xác các hình dạng

và các thao tác cho những đối tượng hình học Khác với các kỹ thuật mô hình hóa

bề mặt được sử dụng rộng rãi để xác định hình dạng hình học, các mô hình lập thể(solid models) cung cấp một cách rõ ràng và nhất quán các biểu diễn hình học chocác đối tượng 3D với hình học nội suy Nó giúp tăng cường đáng kể các kỹ thuật

mô hình hóa hình học Các kỹ thuật mô hình hóa hình học lập thể phổ biến baogồm: xây dựng hình học lập thể (constructive solid geometry, CSG), biểu diễn biên(boundary representation, B-rep), và các khối lập thể dạng tự do tham số(free-formparametric solids), v.v Phương pháp CSG khai thác các tập nửa đại số và các phéptoán Boolean nguyên thủy giản đơn, chẳng hạn như hình lập phương, hình cầu, hìnhtrụ, v.v… để xây dựng các mô hình lập thể phức tạp Các kỹ thuật B-rep thườngđịnh nghĩa một đối tượng hình học lập thể thông qua một tập hợp các bề mặt biênvới các thông tin hình dạng mở rộng Kỹ thuật mô hình hóa hình học lập thể dạng tự

do sử dụng các đường (curves) như B-splines, Hermite splines, và NURBS, để xácđịnh các hình lập thể kết hợp với những ích lợi của các bề mặt biên tự do và hìnhhọc nội suy trong một khuôn khổ thống nhất Mặt khác, mô hình tham sốPDE(Partial Differential Equation) xác định đối tượng hình học sử dụng cácphương trình đạo hàm riêng nhất định với chỉ một vài điều kiện biên Đặc biệt cácbiến thể của PDE cũng có thể được sử dụng để xác định tham số của các đối tượnglập thể So với các kỹ thuật thông thường được sử dụng trong mô hình hóa hình họccác mô hình PDE có rất nhiều lợi thế:

- Sự tác động của một đối tượng PDE được quy định bởi giá trị biên của cácphương trình vi phân do đó các mô hình hình học phức tạp có thể dễ dàng được xácđịnh thông qua các phương trình vi phân bậc cao

- Về nguyên tắc các đối tượng PDE có thể được tái tạo lại từ một tập nhỏ các điềukiện biên Thông tin nội bộ của chúng sẽ được tự động thu hồi thông qua việc giải

các phương trình vi phân Do đó các mô hình PDE yêu cầu ít tham số hơn các môhình lập thể dạng tự do tham số.

- Đặc biệt mô hình PDE có rất nhiều lợi thế so với các kỹ thuật mô hình hóa hìnhkhối thông thường, chẳng hạn như các hoạt động dựa trên các đường, biểu diễn các

bề mặt biên Vì vậy phương pháp PDE có tiềm năng để tích hợp các phương phápCSG, B-rep v.v vào một khung duy nhất

- Tham số của mô hình PDE cung cấp sự ánh xạ giữa chúng và không gian vật lý

Do đó các mô hình PDE và đặc biệt là các dạng biến thể của chúng có thể cung cấpnguyên dạng tự do biến dạng(free-form deformation, FFD) cho các đối tượng nhúngbên trong các mô hình PDE

- Các đối tượng PDE có thể thống nhất ở cả hai khía cạnh hình học và vật lý trongcác mô hình thế giới thực, bởi vậy các yêu cầu không đồng nhất và khác nhau có thểđược thi hành và thỏa mãn một cách đồng thời

Ngoài ra phương pháp PDE cũng được sử dụng cho các mô hình dạng ẩn bởi

vì các mô hình dạng ẩn có lợi thế trong việc biểu diễn các đối tượng có hình dạngtùy ý Tuy nhiên, cả hai mô hình sử dụng tham số và mô hình ẩn đều có những mặtmạnh và những hạn chế của riêng chúng Ví dụ các mô hình tham số cung cấp các

mô tả hình dạng tường minh trong khi đó mô hình ẩn lại không có được điều nàyngược lại các mô hình tham số gặp khó khăn với việc pha trộn hình ảnh và pháthiện các va chạm mà các mô hình ẩn dễ dàng thực hiện điều này nhờ các hàm ẩn

Do đó, việc cung cấp một cách tiếp cận thống nhất sẽ có nhiều lợi thế của cả hailoại và dễ dàng đạt mục đích mong muốn trong việc mô hình hóa hình học Hơnnữa, các kỹ thuật đã đề cập ở trên chủ yếu tập trung vào các mô hình hình học thuầntúy Để mô phỏng các đối tượng trong thế giới thực, phương pháp này tốt hơn trongviệc kết hợp vật thể và các tính chất vật lý chẳng hạn như mật độ trong biểu diễnhình học Bởi vì nhiều thuộc tính của vật thể có thể được tổng hợp bởi các giá trị vôhướng, các hàm ẩn sẽ là ứng viên lý tưởng trong việc mô hình hóa các tính chất vật

lý này Do đó bằng cách tích hợp các mô hình ẩn với các biểu diễn hình học có thểđạt được các mô phỏng gần với các mô hình trong thế giới thực.

Nhận thấy tính thiết thực của vấn đề này và được sự gợi ý của giảng viên

hướng dẫn, tôi đã chọn đề tài “ Phương pháp phương trình đạo hàm riêng trong

mô hình hóa hình học” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp của mình Luận văn cấu

trúc gồm 3 chương:

Chương 1: Chương này trình bày tóm tắt các kết quả cơ bản của hình học viphân và phép biến đổi toạ độ sử dụng trong mô hình hoá hình học

Chương 2: Chương này trình bày tóm tắt các kỹ thuật tạo bề mặt trong thiết

kế bề mặt, những ứng dụng của phương trình vi phân đạo hàm riêng (PDE - Partialdifferential equations) trong các lĩnh vực liên quan đến thiết kế và mô hình hóa hìnhhọc

Chương 3: Chương này trình bày về hình học phương trình vi phân đạo hàm

riêng(GPDE- Geometric partial differential equation) định nghĩa, tầm quan trọng,ứng dụng, cấu trúc, nền tảng toán học, các bước xây dựng GPDE và các giải pháp

số trong việc xây dựng GPDE

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS ĐặngQuang Á, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình đối với thầy Tác giảxin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo Viện Công nghệ thông tin, Trường Đại họcCông nghệ thông tin và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên đã tham gia giảngdạy, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập nâng cao trình độ kiến thức Tuynhiên vì điều kiện thời gian và khả năng có hạn nên luận văn không thể tránh khỏinhững thiếu sót Tác giả kính mong các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp đónggóp ý kiến để đề tài được hoàn thiện hơn

DANH MỤC HÌNH VẼ

Chương I

CƠ SỞ CỦA MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC

Trong chương này trình bày tóm tắt các kết quả cơ bản của hình học vi phân

và phép biến đổi toạ độ sử dụng trong mô hình hoá hình học

1.1 Hình học đường cong.

Về mặt trực quan, đường cong được định nghĩa như là quĩ đạo điểm thoảmãn một số điều kiện

1.1.1 Biểu diễn đường cong.

Về toán học, đường cong có thể dược biểu diễn dưới các dạng:

y = g(x) = (1− x)1/2 : Phương trình tường minh (1.2)Nếu đặt góc θ giữa đoạn thẳng PO và trục x là tham số của đường tròn,ta có:

x = x(θ ) = cosθ ; y = y(θ ) = sinθ : Phương trình tham số (1.3)

Hình 1.1 : Tham số hoá đường tròn đơn vị

Trường hợp đặt góc α tạo bởi PQ và trục x là tham số, thì t = tgα = y /(x +1)

Kết hợp với phương trình (1.1) ta có:

x = x(t) = (1− t 2 ) /(1+ t 2 ) ; y = y(t) = 2t /(1+ t2) (1.4)

Đây cũng là phương trình tham số của đường tròn và được gọi là phương trình tham số đa thức hữu tỷ Quá trình thiết lập phương trình tham số hữu tỷ của

đường cong và mặt cong từ phương trình đa thức ẩn được gọi là tham số hoá

Nên biểu diễn đường cong 3D thích hợp dưới dạng phương trình tham số:

x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t)

hay dưới dạng vectơ: r(t) = [x(t), y(t), z(t)]

Theo dạng phương trình tham số, đường cong được định nghĩa một cách dễdàng bằng cách xác định miền giới hạn của tham số Không thể xác định đườngcong 3D bởi phương trình ẩn hay tường minh, bởi vì phương trình ẩn g(x,y,z)=0biểu diễn mặt cong, do đó cần hai phương trình để xác định đường cong 3D.Trong trường hợp này, đường cong được định nghĩa như giao tuyến giữa hai mặtcong

1.1.2 Đặc tính của đường cong.

Trong phần này để biểu diễn đường cong, ta sử dụng phương trình tham số

chuẩn tắc: r = r(t) = [x(t), y(t), z(t)]

Đặc tính cơ bản của đường cong, bao gồm:

a Độ chảy của đường cong

b Vectơ tiếp tuyến đơn vị

Hãy tưởng tượng đường cong là con đường và tham số t tượng trưng cho thờigian Như vậy, độ chảy của đường cong tương ứng với tốc độ chạy xe Đại lượngnày được sử dụng trong thuật toán nội suy hình học theo phương pháp quét hình.

Nếu đặt quãng đường đi được là tham số s, phương trình đường cong dạngr(s) trở thành phương trình tham số tự nhiên với độ chảy bằng 1 Độ chảy củađường cong không phải là đặc tính riêng của đường cong, đó là kết quả của phéptham số hoá

1.1.2.2 Vectơ tiếp tuyến đơn vị:

Cho s là tham số tự nhiên của đường cong r(t), sao cho:

1.1.2.3 Vectơ pháp tuyến chính:

Lấy đạo hàm vectơ tiếp tuyến đơn vị T theo t và chuẩn hoá giá trị, chúng ta

có vectơ đơn vị N, được gọi là vectơ pháp tuyến chính của đường cong:

N = (dT /dt) / |dt/dt| ≡ (dT/ds) / |dT/ds| (1.8)

Vì T là vectơ đơn vị (T.T=1), do đó vectơ N vuông góc với vectơ T (Hình 1.2)Mặt phẳng định nghĩa bởi vectơ T và N được gọi là mặt phẳng mật tiếp.Vectơ B vuông góc với vectơ N và T được gọi là vectơ pháp tuyến đôi xác định bởiquan hệ: B = TxN

Hình 1.2 : Vectơ pháp tuyến chính và đường tròn mật tiếp

1.1.2.4 Độ cong và bán kính cong:

Cho s là tham số tự hiên và T là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t)

Độ cong được định nghĩa như sau: k = |dT/ds| (1.9)

hay dưới dạng vi phân: k = 3

trong đó: y’ ≡ dy / dx ; y’’ ≡ dy’ / dx

Cho đường tròn trên mặt phẳng mật tiếp (Hình 1.2), đi qua điểm hiện thờir(t) và độ cong của nó bằng chính độ cong của đường cong tại điểm này Đườngtròn này được gọi là đường tròn mật tiếp, bán kính của đường tròn mật tiếp được

gọi là bán kính cong và được xác định bởi: ρ =1/ k (1.11)

1.1.2.5 Độ xoắn của đường cong:

Độ xoắn của đường cong 3D được định nghĩa như sau: τ = −(dB/ ds).N

trong đó N là vectơ pháp tuyến chính; B là vectơ pháp tuyến đôi Phươngtrình cơ bản mô tả đặc tính của đường cong 3D được gọi là phương trình Serret-Frenet:

dr / ds = T; dT / ds = kN

dN / ds =τB − kT ; dB/ ds = −τN-1 (1.12)

1.2 Hình học mặt cong.

1.2.1 Phương pháp biểu diễn mặt cong:

1 2.1.1 Mô hình mặt cong dạng phương trình ẩn.

Cho mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc toạ độ Đề các Các điểm phía trong mặt

cầu thoả bất đẳng thức: x 2 + y 2 + z2 -1 < 0 và phương trình: x2 + y2 + z2 -1 = 0 (1.13)biểu diễn các điểm thuộc mặt cầu

Xét một cách tổng quát, phương trình ẩn g(x,y,z) = 0 biểu diễn mặt cong giớihạn bởi hai nửa không gian g(x,y,z) > 0 và g(x,y,z) < 0

1.2.1.2 Mô hình mặt cong dạng phương trình tham số.

Theo hình học vi phân, mặt cong được định nghĩa như là ảnh của phép ánh

xạ chính qui tập hợp điểm trong không gian 2D vào không gian 3D và được biểu diễn bởi phương trình: r(u,v) = [x(u,v), y(u,v), z(u,v)], (1.14)

trong đó: u và v là tham số của mặt cong.

Đối với hình cầu đơn vị, ta có thể dễ dàng tham số hoá phương trình (1.13)

bằng cách đặt tham số u là vĩ tuyến và tham số v là kinh tuyến của mặt cầu:

r(u,v) = (cosvcosu, cosvsinu, sinv) (1.15) với: 0 ≤ u ≤ 2π và −π / 2 ≤ v ≤π / 2

Tương tự như đường tròn đơn vị có thể tham số hoá phương trình mặt cầudưới hình thức khác, bằng cách sử dụng đa thức hữu tỷ

1.2.1.3 Mô hình mặt cong dạng phương trình phi tham số.

Khi miền xác định của mặt cong là mặt phẳng x - y của hệ toạ độ Descarte(u≡ x,v ≡ y) , mô hình tham số (1.14) trở thành phi tham số:

r(u,v) = (u,v, z(u,v)) hay z = z(x, y) (1.16)

Nếu chỉ xét bán cầu trên của mặt cầu đơn vị thì phương trình (1.13) đượcbiểu diễn dưới dạng tường minh: z = (1 - x2 – y2)1/2 với (x2+ y2) < 1 (1.17)

Hình học mặt cong được minh hoạ trên hình 1.3 Ta thường gọi phần mặtcong trong miền tham số giới hạn là mặt lưới Các mặt lưới liên kết theo điều kiệnkết nối liên tục tạo thành mặt cong phức hợp

Hình 1.3 : Hình học mặt cong

1.2.2 Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong.

Xét đường cong tham số 2D: q(t) trên miền (u,v) của mặt cong tham số r(u,v)

Hình 1.4 - Đường cong trên mặt cong và mặt phẳng tiếp tuyến

Vectơ tiếp tuyến.

Đạo hàm riêng của mặt cong r(u,v) được định nghĩa như sau:

ru= ∂ ∂r/ u ; rv = ∂ ∂r/ v; ruv = ∂2r/∂u∂v (1.20)

Lấy đạo hàm phương trình (1.19) theo t, ta có:

xác định mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong (Hình 1.4)

trong đó: Λ = |r u ,r v | ; q’ = dq(t) / dt = (du / dt, dv / dt) = [u’ v’]T Giá trị

vectơ tiếp tuyến được tính như sau:

1.2.3 Độ cong.

Ma trận cơ sở thứ hai.

Xét đường cong r(t) trên mặt cong r(u,v) (Hình 1.4) từ (1.21), đạo hàm bậchai của r(t) theo t có giá trị như sau:

r’’ = u’(u’r uu + v’r uv ) + u’’r u + v’(v’r vv + u’r uv ) + v’’r v (1.28)

Thực hiện phép nhân vô hướng với vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt congvới chú ý rằng ru.n = rv.n = 0, ta có:

r’’.n= (u’)2ruun + 2u’v’ruvn + (v’)2rvvn =q’TDq’, (1.29a)

Độ cong pháp tuyến.

Từ phương trình (1.12), đạo hàm bậc hai của r(t) được tính như sau:

r’’ = dr'

dt = d s T( ' )

dt =s’’T +s’T’=s’’T +(s’kN)Thực hiện phép nhân vô hướng một lần nữa với vectơ n và chú ý rằng:T.n = 0: r’’.n=(s’)2kN.n (1.29b)

Giá trị kN.n ở biểu thức trên được gọi là độ cong pháp tuyến k n Từ các công

thức (1.29) và (1.25), chú ý rằng s’ = |r’| , độ cong pháp tuyến được xác dịnh bởi

q Dq

q Gq (1.30)

Ý nghĩa vật lý của độ cong pháp tuyến như sau:

Tại điểm hiện thời r(u(t),v(t)) trên mặt cong r(u,v), dựng mặt phẳng π đi quavectơ tiếp tuyến đơn vị T và vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong Độ cong củađường cong với mặt phẳng π là độ cong pháp tuyến của mặt cong tại điểm r(t) theophương vectơ q’

Độ cong chính.

Độ cong pháp tuyến (1.30) là hàm của q’:

kn(q’) = ' '

T T

g

− eh

Với: g1, g2, h, d1, d2, e là các số hạng tương ứng của ma trận cơ sở G và D

Tích giá trị hai độ cong chính được gọi là độ cong Gauss được sử dụng để

biểu diễn độ trơn láng của mặt cong

1.3 Phép biến đổi toạ độ.

Mọi phép biến hình trong đồ hoạ điện toán và mô hình hoá hình học đều dựatrên 3 hình thức biến đổi toạ độ cơ bản là dịch chuyển tịnh tiến, lấy tỷ lệ và quay

1.3.1 Phép biến đổi toạ độ 2D.

Giả sử điểm P’(x’,y’) là vị trí của điểm P(x,y) sau phép biến đổi toạ độ Toạ

độ (x’,y’) của điểm P’ tương ứng với vectơ dịch chuyển t (tx,ty) (Hình 1.5a); hệ số tỷ

lệ s(sx,sy) (Hình 1.5b); góc xoay θ ngược chiều quya kim đồng hồ (Hình 1.5c) đượcxác định như sau:

x’ = x + tx ; y’ = y + ty (1.33) x’ = sx.x ; y’ = sy.y (1.34) x’ = xcosθ - ysinθ ; y’ = xsinθ + ycosθ (1.35)

Hình 1.5 - Phép biến đổi toạ độ 2D

Phép biến đổi đồng nhất.

Biểu diễn điểm dưới dạng toạ độ đồng nhất cho phép đơn giản hoá và thốngnhất hoá biểu diễn các phép biến đổi hình học như phép nhân ma trận Theo toạ độđồng nhất, điểm trong không gian n chiều được ánh xạ vào không gian (n+1) chiều

Thí dụ điểm P(x,y) trong hệ toạ độ Đề các 3 chiều được biểu diễn dưới dạngtoạ độ đồng nhất 4 chiều P’(x’,y’,z’,h) theo mối quan hệ:

x = x’/h ; y = y’/h ; z = z’/h, (1.36)

trong đó: h ≠ 0: hệ số vô hướng

Mối quan hệ (2.36) dựa trên thực tế, nếu toạ độ Đè các của điểm P đượcnhân với hệ số h, điểm P sẽ được di chuyển tới vị trí mới P’(x’,y’,z’) theo phép lấy

tỷ lệ với hệ số h

Tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi 2D tuyến tính (1.33), (1.34), (1.35)dưới dạng ma trận bởi vectơ toạ độ đồng nhất (chuẩn tắc) Ph, P’h và ma trận biến đổiđồng nhất M:

P’h = Ph M, (1.37)

trong đó: Ph = (x y 1) ; P’h = (x’ y’ 1)

Ma trận biến đổi toạ độ M tương ứng với phép dịch chuyển (T), phép lấy tỷ

lệ (S) và phép quay (R) có giá trị như sau:

s s

1.3.2 Phép biến đổi toạ độ 3D.

Phép biến đổi toạ độ 3D là mở rộng của phép biến đổi toạ độ 2D Toạ độ(x’,y’,z’) của điểm P(x,y,z) sau phép biến đổi toạ độ, tương ứng với vectơ dịchchuyển t (tx,ty, tz); hệ số tỷ lệ s (sx, sy, sz) được xác định như sau:

x’ = x + tx ; y’ = y + ty ; z’ = z + tz (1.38) x’ = sx.x ; y’ = sy.y ; z’ = sz.z (1.39)

Tương tự như đối với trường hợp biến đổi 2D, có thể biểu diễn phép dịchchuyển 3D (1.38) và phép lấy tỷ lệ (1.39) dưới hình thức tích ma trận bởivectơ toạ độ đồng nhất Ph, P’h, ma trận biến đổi T(S):

P’h = Ph T (1.40a) P’h = Ph S, (1.40b)

s s s

quanh trục x x’ = x y’ = ycosθ - zsinθ z’ = ysinθ + zcosθ

quanh trục y x’ = zsinθ + xcosθ y’ = y z’ = zcosθ + xsinθ

quanh trục z x’ = xcosθ + ysinθ y’ = xsinθ + ycosθ z’ = z

Bảng 1.1

Có thể thấy rằng ma trận biến đổi đồng nhất đối với phép quay (Bảng 1.1) cógiá trị như sau (C = cosθ ; S = sinθ):

Một cách tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi toạ độ 3D (chỉ gồm phép

dịch chuyển t và phép quay cơ bản R) bởi ma trận biến đổi đồng nhất H như sau:

(x’ y’ z’ 1) = (x y z 1)H, (1.42)

trong đó: H=

11 12 13

21 22 23 32

31 33

0001

R t

hay biểu diễn dưới dạng khác: (x’ y’ z’) = (x y z)R + t (1.43)

Ta thấy rằng ma trận xoay R (1.41) là ma trận trực giao, tức là nếu địnhnghĩa các vectơ hàng của R:

n = (r11 r12 r13); o = (r21 r22 r23); a = (r31 r32 r33) (1.44)

thành phần của các vectơ này chính là cosin chỉ hướng của vectơ đơn vị i, j,

k và thoả điều kiện:

n x o = a; o x a = n; a x n = o và |n| = |o| = |a| =1 (1.45)

1.3.3 Phép ánh xạ.

Ta đã xét các phép biến đổi toạ độ trong cùng một hệ toạ độ mà hoàn toànkhông có sự thay đổi hệ toạ độ tham chiếu về vị trí cũng như phương chiều Trong

phần này ta sẽ xét tới phép ánh xạ đối tượng hình học giữa 2 hệ toạ độ khác nhau.Phép ánh xạ đối tượng hình học từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai được địnhnghĩa như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học từ hệ toạ độ thứ nhất sang hệ toạ độthứ hai Do đó, không có sự thay đổi về vị trí và phương chiều của đối tượng hìnhhọc so với cả 2 hệ toạ độ.Phép ánh xạ này tương đương với phép biến đổi hệ toạ độthứ nhất sang hệ toạ độ thứ hai và được sử dụng rất phổ biến trong thiết kế Thông

thường, người ta sử dụng định nghĩa hệ toạ độ làm việc (còn được gọi là hệ toạ độ

địa phương hay hệ toạ độ đối tượng) gắn liền với đối tượng thiết kế để đơn giản hoáviệc thiết lập và nhập dữ liệu hình học Phần mềm thiết kế sẽ ánh xạ (chuyển đổi)

toạ độ được đo trong hệ toạ độ làm việc sang hệ toạ độ hệ thống trước khi lưu trữ

trong hệ cơ sở dữ liệu hệ thống Phép ánh xạ đóng vai trò quan trọng đối với cấutrục lắp ghép, khi mỗi đối tượng ( chi tiết hay bộ phận) được định nghĩa theo hệ toạ

độ hệ thống riêng và chúng cần được kết nối và quản lý trong hệ toạ độ hệ thốngchủ

Ví dụ, có thể đặt bài toán ánh xạ điểm từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứhai như sau: Cho trước toạ độ của điểm P xác định theo hệ toạ độ (X, Y, Z), hãy xácđịnh toạ độ của điểm P theo hệ toạ độ (X’, Y’, Z’), sao cho thoả điều kiện:

P’ = f(P, thông số ánh xạ) hay P’ = P.H, trong đó:

P : Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (X, Y, Z)

P’: Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (X’, Y’, Z’)

H : Ma trận ánh xạ (2.42) mô tả vị trí tương đối của hệ toạ độ (X, Y, Z) sovới hệ toạ độ (X’, Y’, Z’)

1.3.4 Khung toạ độ.

Trên đây ta đã đề cập tới phép ánh xạ như sự thay đổi mô tả đối tượng hìnhhọc từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai Bây giờ ta sẽ đề cập đến phép ánh xạnhư sự thay đổi hệ toạ độ

Có thể mô tả phép biến đổi toạ độ (1.42) dưới hình thức hệ toạ độ chuyểnđộng (Hình 1.6) Cho ih, jhvà kh là các vectơ chỉ hướng đồng nhất của hệ toạ độ thamchiếu: ih= (1 0 0 1) ; jh= (0 1 0 1) ; kh= (0 0 1 1) (2.46)

Áp dụng phép biến đổi (2.4) với các vectơ đồng nhất:

i’h= ihH = (1 0 0 1) H = (n 1) (1.47a) j’h= jhH= (0 1 0 1) H = (o 1) (1.47b) k’h= khH=(0 0 1 1) H = (a 1) (1.47c)

Kết quả trên nói lên rằng các vectơ trực giao n, o, a của ma trận biến đổiđồng nhất H trở thành vectơ trục của hệ toạ độ chuyển động (Hình 1.6) biến đổitheo (1.42)

Gốc hệ toạ độ chuyển động được xác định tương tự:

P’h= (0 0 0 1) H = (txtytz1) = (t 1) (1.48)

Vì lý do này, ma trận biến đổi đồng nhất H được gọi là khung toạ độ.

Như vậy, phép biến đổi (1.42) chính là phép ánh xạ từ hệ toạ độ làm việc (hệ

toạ độ địa phương hay hệ toạ độ chuyển động) sang hệ toạ độ hệ thống ( hệ toạ độ

cố định)

Hình 1.6 - Phép biến đổi toạ độ dưới hình thức hệ toạ độ chuyển động

Viết lại biểu thức (1.42) ta có: P’h = Ph H hay: Ph = P’h H-1,

trong đó:

Ph = (r 1) = (x y z 1)

P’h = (r’ 1) = (x’ y’ z’ 1)

r(x, y, z): vectơ toạ độ tương đối của điểm P so với hệ toạ độ làm việc

r’(x’, y’, z’); vectơ toạ độ tuyệt đối của điểm P so với hệ toạ độ tham chiếu(hệ toạ độ hệ thống)

H=

0001

cả 2 dạng đường cong 2D và 3D, nhằm đạt được phương trình biểu diễn đơn giản,thích hợp cho lập trình

Chương II GIỚI THIỆU PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT

KẾ HÌNH HỌC

Chương này trình bày tóm tắt các kỹ thuật tạo bề mặt trong thiết kế bề mặt,những ứng dụng của phương trình vi phân đạo hàm riêng (PDE - Partial differentialequations) trong các lĩnh vực liên quan đến thiết kế và mô hình hóa hình học

2.1 Tổng quan

Sự đặc trưng hóa và hệ thống hóa các bề mặt nhất định đã xuất hiện từ thời

đế quốc La Mã Bắt nguồn từ những khát vọng xâm chiếm và nhu cầu sản xuất hàngloạt các chiếm hạm, người ta đã rất quan tâm tới việc tạo ra một khuôn mẫu cho cácthân tàu Tuy nhiên,việc giới thiệu bản vẽ xác định hình dạng của một thân tàu chỉthực sự trở nên phổ biến ở Anh vào thế kỷ 17 Ngày nay thiết kế hình học được hỗtrợ bởi các công cụ tính toán với một số lượng lớn các kỹ thuật tạo bề mặt sẵn có.Phần lớn các phương pháp được sử dụng trong thiết kế hình học dưới sự hỗ trợ củamáy tính đối với việc tạo ra các bề mặt chủ yếu dựa trên một loại bề mặt ẩn cụ thể

là các mặt đa giác Loại bề mặt này được đặc trưng bởi một số các điểm điều khiển

và trọng số Tuy nhiên việc thao tác đối với các bề mặt như vậy là không đơn giảnkhi mối quan hệ giữa những sự thay đổi trong hình học và các điểm điều khiển làkhông trực quan

Các bề mặt tham số nhìn chung dễ thao tác hơn các bề mặt ẩn bởi chúng chỉcần sửa đổi một số các tham số để thu được một bề mặt khác

Các bề mặt tham số thông thường được biểu diễn bởi các đường cong trongviệc thiết kế hình học thông qua sự hỗ trợ của máy tính do những lợi thế mà chúngđem lạị chủ yếu do sự đơn giản trong việc xây dựng và sự chính xác trong đánh giá

2.1.1 Các kỹ thuật tạo bề mặt phổ biến trong thiết kế hình học

Ngày nay trong các tài liệu thiết kế hình học có rất nhiều phương pháp thiết

kế bề mặt Đặc biệt các kỹ thuật sau đây được sử dụng thường xuyên nhất:

B-splines: là các đường cong được mô tả bởi một tập các điểm Kỹ thuật này

ban đầu được dựa trên các đa thức nội suy thông qua toàn bộ tập các điểm Tuynhiên khi các đa thức bậc cao thu được từ một thủ tục thì các bề mặt kết quả thuđược lại thiếu sự trơn mịn Để đạt được độ trơn mịn của những bề mặt như vậyngười ta sử dụng phép nội suy phân đoạn De Casteljau và Bézier đã tập trungnghiên cứu việc thiết kế hình học một cách hoàn toàn tự động và trở thành nhữngngười tiên phong trong lĩnh vực này Các hàm phổ biến nhất được sử dụng để thựchiện phép nội suy phân đoạn là các đường conic và các đa thức bậc ba Sau đây làcác loại đường được sử dụng phổ biến nhất trong thiết kế máy tính :

Các mặt Bézier: các mặt này là trường hợp đặc biệt của phép nội suy

Hermite Chúng được xây dựng như một chuỗi các phân đoạn bậc ba và được xácđịnh bởi :

n

k n k− uk(1-u)n-k

B-splines: Là sự tổng quát hóa của các đường cong Bézier trong đó mỗi

điểm điều khiển được nhân tương ứng với hàm cơ sở của nó Các hàm cơ sở nàyđược xác định thông qua một quy tắc được thiết lập và phụ thuộc vào số lượng cácnút (các điểm kết nối) được yêu cầu Do đó một mặt B-splines được định nghĩa bởi:

q tương ứng Một hàm B-splines cơ bản bậc r được cho bởi:

của một vector được xác định trước

NURBS(Non-uniform rational B-splines ): Khác với đường cong B-splines

và đường cong Bézier, NURBS bao gồm các trọng số của các điểm điều khiển

không cách đều , đây cũng là lý do mà các bề mặt NURBS được coi là hữu tỷ Các

bề mặt này được mô tả về mặt toán học như sau :

∑∑

∑∑ , (2.3)

trong đó ωj,k là trọng được gắn cho điểm điều khiển Pj,k

Các loại bề mặt tham số phổ biến nhất được sử dụng trong việc thiết kế hìnhhọc thông qua sự hỗ trợ của máy tính là các bề mặt hình chữ nhật và các mặt Coons(Coons patches) Mô tả ngắn gọn của những loại này được đưa ra dưới đây :

+ Các bề mặt hình chữ nhật phổ biến nhất là các bề mặt tích Tensor, dựa trênphép nội suy của các đường Bicubic, đây là loại bề mặt ánh xạ một miền hình chữnhật vào một miền không gian ba chiều

+ Coons patches: Là bề mặt được tạo thành thông qua một tập bốn đườngcong biên Điều kiện duy nhất đối với các đường cong biên được liên kết với nhau

để tạo thành một bề mặt Coons patches là những đường cong này phải cắt nhau tạicác góc của mặt sao cho mặt được xác định là duy nhất

+ Các bề mặt tam giác: Các bề mặt này có được từ sự sắp xếp hình học củamột tập các điểm mà ở đó các điểm của chúng đều được tính toán Miền này đượcchia thành các yếu tố hình tam giác và sau đó mỗi điểm của bề mặt được đánh giátại các tọa độ Barycentic của yếu tố hình tam giác tương ứng trong miền Loại bềmặt này được sử dụng đầu tiên trong lý thuyết phần tử hữu hạn, tuy nhiên việc xâydựng chúng là rất phức tạp

+ Chia nhỏ bề mặt: là một kỹ thuật tạo bề mặt cho việc tìm kiếm một bề mặtnhẵn từ một bề mặt thô Kỹ thuật này bao gồm một quá trình lặp đi lặp lại sao chocác điểm mới trong bề mặt được tìm thấy theo một nguyên tắc phân chia và khônggiống như các bề mặt tham số chúng có thể đại diện cho các bề mặt có cấu trúc liênkết tùy ý Tuy nhiên sự chia nhỏ các bề mặt lại cho thấy một số vấn đề liên quanđến sự thiếu một cơ chế phát hiện các va chạm xuất hiện bên trong của các bề mặt

Các kỹ thuật tạo bề mặt truyền thống không có khả năng đảm bảo độ mịn củatoàn bộ bề mặt Gần đây vấn đề này đã được khắc phục nhờ vào các phương trìnhđạo hàm riêng, chúng được coi như là một công cụ đối với việc thao tác trên các bềmặt.

2.1.2 Phương trình vi phân đạo hàm riêng

Phương trình vi phân đạo hàm riêng ( PDE-Partial differential equations ) làphương trình mà trong đó các hàm chưa biết phụ thuộc vào một tập các đạo hàmriêng của chúng đối với hai hay nhiều biến độc lập Ví dụ đối với hàm U(x,y) phụthuộc hai biến độc lập x, y Dạng tổng quát phương trình vi phân đạo hàm riêngđược cho bởi:

AUxx + BUxy +CUyy + DUx + EUy + FU = G(x, y), (2.4)trong đó: A, B, C, D, E, F là các hàm tổng quát của U(x,y) Uxx, Uxy, Uyy, Ux, Uy là

kí hiệu của đạo hàm

Sở dĩ phương trình vi phân đạo hàm riêng có được tầm quan trọng của mộtcông cụ toán học như thế bởi nó mô hình hóa được hầu hết các hiện tượng vật lý Ví

dụ phương trình nhiệt trong không gian một hay hai chiều mô tả nhiệt được phân bốnhư thế nào trong một đoạn dài hoặc một khu vực tương ứng Các ví dụ khác củacác phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả hiện tượng vật lý là phương trìnhsóng và phương trình Laplace, v.v Các phương trình vi phân đạo hàm riêng cũngđược mở rộng sang các lĩnh vực như tài chính mà tiêu biểu là các phương trình biểudiễn mô hình Black-Scholes với giá cổ phiếu biến đổi theo thời gian

Các phương trình vi phân đạo hàm riêng có thể được phân loại theo các đặctính khác nhau như:

- Bậc: Được xác định dựa trên bậc cao nhất của đạo hàm riêng xuất hiện trongphương trình

- Tính đồng nhất: Đặc tính này phân loại các phương trình vi phân đạo hàmriêng là đồng nhất hay không đồng nhất theo G(x,y) Nếu G(x,y) =0 thìphương trình được gọi là đồng nhất, ngược lại là không đồng nhất

- Tính tuyến tính: Một phương trình vi phân đạo hàm riêng được gọi là tuyếntính khi các hệ số không phụ thuộc vào hàm U(x,y) và đạo hàm riêng củachúng, ngược lại là phương trình phi tuyến tính.

Ngoài ra các phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cũng được phân loạitheo hệ số Theo cách này chúng được chia thành ba loại: phương trình Parabolic,Hyperbolic và Elliptic Ví dụ phương trình (2.4) có thể rơi vào bất kỳ các loại nàosau đây:

+ Parabolic: Phương trình vi phân đạo hàm riêng phải thỏa mãn B2-4AC=0 + Hyperpolic: Phương trình vi phân đạo hàm riêng rơi vào loại này nếu B2-4AC >0

+ Elliptic: Phương trình vi phân đạo hàm riêng rơi vào loại này nếu B24AC <0

-Sự phân loại này còn được mở rộng cho các phương trình vi phân đạo hàmriêng bậc cao hơn tuy nhiên tiêu chí phân loại khác nhau phụ thuộc vào bậc củaphương trình Ngoài ra việc phân loại này rất có ích trong việc mô tả lại các hiệntượng vật lý của từng loại phương trình Việc giải các phương trình vi phân đạohàm riêng nói chung là không dễ dàng Tuy nhiên một số phương pháp đã đượcphát triển trong quá trình đi tìm lời giải cho các phương trình vi phân đạo hàmriêng Những phương pháp này biến đổi từ việc phân tích các lược đồ cho tới các kỹthuật số hoàn chỉnh Ngày nay các phương trình vi phân đạo hàm riêng đã được biếtđến trong các lĩnh vực đồ họa máy tính và hoạt hình giúp giải quyết nhiều vấn đế rấthiệu quả

2.2 Các bề mặt hình học PDE.

Thuật ngữ bề mặt PDE đề cập đến các bề mặt được tạo ra hoặc được sửa đổithông qua việc giải phương trình vi phân đạo hàm riêng, những bề mặt này là sựbiểu diễn đồ họa của việc giải một phương trình PDE cho trước cùng với một tậpcác điều kiện biên

Các bề mặt PDE là một công cụ rất mạnh trong việc thiết kế hình học, bảođảm độ mịn của bề mặt phụ thuộc vào bậc của phương trình PDE tạo ra hay sửa đổi

bề mặt Các bề mặt PDE chủ yếu được phân thành hai loại là bề mặt PDE dạng ẩn

và bề mặt PDE dạng tham số Thông thường các bề mặt dạng ẩn thu được từ cácphương trình PDE Parabolic và bề mặt dạng tham số thu được từ các phương trìnhPDE elliptic

Những lợi thế của việc sử dụng các phương trình PDE để tạo ra các bề mặt

so với các kỹ thuật tạo bề mặt phổ biến khác như B-splines hay NURBS:

- Các kỹ thuật tạo bề mặt dựa trên các phương trình PDE chỉ yêu cầu một sốlượng nhỏ các tham số so với B-splines hay NURBS để biểu diễn một bềmặt Các mặt PDE được đặc trưng bởi một tập các đường cong biên trongkhi B-splines được xác định bởi một tập các điểm điều khiển Vì vậy, các kỹthuật tạo bề mặt dựa trên các phương trình PDE có nhiều khả năng để thaotác dễ dàng hơn các kỹ thuật khác

- Các bề mặt PDE bảo đảm một cách tự động một độ trơn mịn nhất định trongsuốt quá trình pha trộn các bề mặt trong khi điều này là không được đảm bảođối với các bề mặt pha trộn thu được khi sử dụng kỹ thuật B-splines Độ trơnmịn thu được khi pha trộn các bề mặt PDE tăng lên khi bậc của phương trìnhPDE được cho cũng tăng lên

- Các kỹ thuật tạo bề mặt dựa trên phương trình PDE có khả năng thống nhấtcác khía cạnh hình học và vật lý của một bề mặt được mô hình hóa Kết quảnày đặc biệt hữu ích đối với các thiết kế kỹ thuật

Loại và bậc của PDE được sủ dụng nhìn chung là không bị giới hạn Mức độtrơn mịn của bề mặt được xác định bởi bậc của phương trình bao gồm cả các bề mặtdạng ẩn và dạng tham số Ngoài ra các bề mặt PDE còn được phân loại theo các vấn

đề mà chúng hướng tới để giải quyết trong phạm vi thiết kế hình học

2.3 Các bề mặt PDE dạng ẩn.

Các bề mặt PDE dạng ẩn là kết quả thu được từ việc giải phương trình PDEvới miền ban đầu là một bề mặt được xác định trước Có nghĩa là các mặt nàythường được xem như một tập các điểm P thỏa mãn một đường hình học cho trước.

Biểu diễn tổng quát của đường hình học được xác định bởi: p

t

∂

∂ =V(p,t), (2.5)

trong đó V(p,t) là một trường tốc độ tùy ý

Điều quan trọng cần nhấn mạnh rằng các bề mặt ban đầu đối với đường hìnhhọc được áp dụng phải là các bề mặt đóng và được định hướng Vì vậy phươngtrình (2.5) cho ta một họ các bề mặt đóng và có thể định hướng S(t) được xác định

bởi: p

t

∂

∂ =N( (p, t)) Vn (k1, k2, p), (2.6)trong đó p(t) là một điểm trong S(t), Vn(k1, k2, p) và N(p) biểu diễn tốc độ thôngthường và vector của bề mặt tại p tương ứng; k1, k2 là độ cong chính của S(t)

Một số trường vận tốc đã được thực hiện để nghiên cứu các vấn đề khácnhau trong thiết kế hình học với sự hỗ trợ của máy tính như pha trộn bề mặt, xâydựng bề mặt dạng tự do, giảm nhiễu, v.v…

Một số các trường vận tốc phổ biến thường được sử dụng trong mô hình hóahình học:

Dòng độ cong trung bình (Mean curvature flow):

Vn= -1

2(k1+k2)Trung bình dòng độ cong trung bình(Averaged mean curvature flow):

Vn= 1

2(k1+k2) + h(t) trong đó: h(t)=

1 2 ( )

δδ

Các dòng hình học bậc cao hơn (Higher-order geometric flows): Dạng tổngquát của các dòng này là:

Vn=(-1)k+1∇2k1

2(k1+k2) trong đó k ≥2Dòng nhiệt (Heat flow):

Vn=(-1)k+1∇2kp (t) trong đó k >0 và p(t) là một điểm thuộc S(t)Dòng Willmore (Willmore flow):

Vn=∇2(k1+k2) +2(k1+k2)((k1+k2)2-K) trong đó K là độ cong GaussianCách tiếp cận thông thường để giải quyết các bề mặt PDE liên quan đến cácvấn đề trong thiết kế hình học với sự hỗ trợ của máy tính bao gồm việc sử dụng cácsai phân hữu hạn Nhìn chung, các trường vận tốc là hình học nội tại nghĩa là chúng

có thể được áp dụng với các bề mặt có cấu trúc liên kết tuỳ ý Ngoài ra, các trườngvận tốc này có giá trị được duy trì và trong phần lớn các trường hợp chúng có giá trịgiảm Tuy nhiên giá trị của chúng được duy trì nếu và chỉ nếu bề mặt của chúngđược áp dụng là các bề mặt đóng Vì vậy trong trường hợp áp dụng chúng vào một

bề mặt mở với một đường biên cố định thì giá trị duy trì không nhất thiết phải đượcxác định trạng thái trước

2.4 Các bề mặt PDE dạng tham số.

Các bề mặt PDE dạng tham số được xem như việc giải phương trình PDEelliptic trong miền tham số Đây là một kỹ thuật tạo bề mặt rất hiệu quả bởi sự kếthợp giữa quá trình rời rạc hóa toán tử liên quan với các phương trình PDE elliptic

để đưa ra một giải pháp trung bình cho họ phương trình PDE, đảm bảo rằng bề mặtthu được sẽ có một độ trơn mịn nhất định phụ thuộc vào bậc của phương trình PDE.Các bề mặt PDE dạng tham số đã được chứng minh là cực kỳ hữu ích trong cácphương pháp tạo bề mặt để giải quyết các vấn đề chẳng hạn như: pha trộn hìnhdạng, tối ưu hóa, thiết kế tương tác và điêu khắc…

2.4.1 Phương pháp Bloor- Wilson PDE.

Phương pháp Bloor- Wilson PDE ban đầu được sử dụng như một công cụpha trộn và sau đó được mở rông sang một số lĩnh vực khác Phương pháp này làmột kỹ thuật tạo bề mặt thông qua việc khắc phục một số vấn đề trong các bề mặt

đa thức Ngoài ra nó còn là một sự lựa chọn rất tốt cho dạng bề mặt tự do vì nó chỉyêu cầu đầu vào là các đường cong biên được xác định một cách rất trực quan Vềnguyên tắc không có giới hạn về loại và bậc của phương trình PDE được giải quyết.Tuy nhiên các phương trình PDE elliptic được lựa chọn để phát triển kỹ thuật nàybởi đây là loại phương trình PDE được coi là một phương pháp trung bình trên toàn

bộ bề mặt Bậc của phương trình PDE xác định độ mịn của bề mặt bởi vì các điềukiện biên được yêu cầu để giải quyết PDE thường được đưa ra dựa vào các yêu cầu

về vị trí và đạo hàm Quá trình xây dựng phương pháp PDE Bloor- Wilson bao gồmviệc xây dựng một bề mặt tham số X(u,v) bằng cách tìm kiếm một lời giải chophương trình PDE dạng:

Phương trình (2.7) là một phương trình PDE có bậc là 2r Tuy nhiên, hầu hếtcác tính toán có liên quan đến phương trình này đều dựa trên phương trình PDE bậc

4 tức là r = 2; Vì thế có 4 điều kiện biên được yêu cầu Những điều kiện biên nàyđược cho bởi một tập của 2 vị trí điều kiện biên và giá trị đầu tiên của đạo hàm tạicác vị trí tương tự Lưu ý rằng khi a = 1 và r = 2, phương trình (2.7) được gọi làphương trình song điều hòa mô tả một số hiện tượng xảy ra trong các lĩnh vực như

cơ học chất lỏng và cơ học chất rắn

Lời giải cho phương trình (2.7) có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng cáccách tiếp cận khác nhau, khác nhau từ việc phân tích cho tới các phương pháp sốhoàn chỉnh Tuy nhiên việc lựa chọn các phương pháp phân tích đầy đủ lại gây rahạn chế về cấu trúc liên kết trên các đối tượng được biểu diễn bởi phương pháp này

Một ví dụ điển hình của của bề mặt PDE thu được từ việc sử dụng phương phápPDE Bloor- Wilson được trình bày trong hình 2.1 và 2.2 Các đường cong biênđược chỉ ra trong hình 2.1 Đỉnh và đáy của đường tròn biểu diễn các điều kiện biêntrong khi các điểm bên trong đường tròn được sử dụng để tính toán giá trị đạo hàmcủa các điều kiện biên Kết quả bề mặt PDE thu được trong hình 2.2.

Hình 2.3: Mặt PDE tương ứng với một vỏ sò

Hình 2.4: Mặt PDE tương ứng với một chai Klein