Nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và phân tích hữu tỷ của hàm phân hình phức

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM --- §µO Anh tuÊn NGHIỆM PHÂN HÌNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI HỆ

Trang 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-

§µO Anh tuÊn

NGHIỆM PHÂN HÌNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI HỆ

SỐ KHÁC HẰNG VÀ PHÂN TÍCH HỮU TỶ CỦA HÀM

PHÂN HÌNH PHỨC

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS-TSKH Hà Huy Khoái

Thái Nguyên- Năm 2011

Trang 2

LỜI NÓI ĐẦU

Trong những năm gần đây, lý thuyết phân phối giá trị của Nevanlinna là một trong những hướng nghiên cứu cơ bản của giải tích phức và vẫn đang thu hút được sự quan tâm rộng rãi của các nhà toán học trên khắp thế giới Sự phân tích nghiệm phân hình cuả phương trình hàm là một trong những vấn đề quan trọng của giải tích phức, có nhiều ứng dụng trong lý thuyết hệ động lực Mục đích của luận văn là trình bày cơ sở lý thuyết Nevanlinna và áp dụng tìm nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và sự phân tích hữu tỷ của hàm phân hình phức

Sau quá trình nghiên cứu, tôi đã hoàn thành luận văn với đề tài: “ Nghiệm

phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và phân tích hữu tỷ của hàm phân hình phức” Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội

dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương I: Trình bày định nghĩa các hàm đặc trưng, hai định lý cơ bản của Nevanlinna,

Chương II: Nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng

và phân tích hữu tỷ của hàm phân hình

Ngoài kiến thức cơ sở, luận văn được trình bày dựa theo hai bài báo sau :

1/ P Li and C.-C Yang, Meromorphic solutions of functional

equations with nonconstant coefficients Proc Japan Acard., 82,

ser A (2006)

2/ Alain Escassut and E Mayerhofer, Rational Decomposition of Complex Meromorphic Function Complex Variables, Vol.49,

No 14,15 November 2004, pp 991-996

Kết quả này có được là nhờ sự hướng dẫn tận tình của GS TSKH Hà Huy

Khoái Thầy không chỉ tận tình hướng dẫn mà còn động viên tôi trong suốt

Trang 3

2

quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy!

Đồng thời, em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng bảo

vệ luận văn thạc sỹ đã tạo điều kiện thuận lợi để em vững tin hơn trong việc chuẩn bị bảo vệ luận văn của mình

Xin chân thành cảm ơn Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm - ĐHTN, Khoa Sau đại học của trường Đại học Sư phạm, khoa Toán cùng các thầy cô giáo đã tạo điều kiện tốt nhất cho em học tập cũng như nghiên cứu và hoàn thành luận văn của mình

Xin cảm ơn các anh, chị, các bạn học viên lớp cao học Toán-K17 Đại học

Sư phạm Thái Nguyên đã giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm cùng tôi trong suốt thời gian viết luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã cổ vũ, động viên tôi trong quá trình làm luận văn

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, vì vậy rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy, cô giáo, các bạn đồng nghiệp, các bạn học viên để luận văn được hoàn chỉnh hơn

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011

Trang 4

CHƯƠNG I HAI ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA NEVANLINNA

1.1 Hàm phân hình

nếu hàm ( ) f z chỉnh hình trong một lân cận nào đó của a, trừ ra tại chính

điểm đó

Điểm bất thường cô lập z a của hàm ( ) f z được gọi là

a) điểm bất thường khử được nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của ( ) f z khi z dần đến a

b) cực điểm của ( ) f z nếu lim ( )

Nếu D thì ta nói ( ) f z phân hình trên  , hay đơn giản, ( ) f z là hàm phân hình

, ( )

zD f z có thể biểu diễn được dưới dạng thương của hai hàm chỉnh hình Với các phép toán cộng và nhân các hàm số thông thường trên lớp các hàm nguyên và phân hình, tập hợp các hàm nguyên sẽ tạo thành một vành và gọi là vành các hàm nguyên, kí hiệu là A ( ) Tập hợp các hàm phân hình trên  sẽ tạo thành một trường và gọi là trường các hàm phân hình, kí hiệu

là M ( )

Trang 5

hình trong lân cận của z0 và h z( )0 0

Tính chất 1.1 Nếu ( ) f z là hàm phân hình trên D thì f z( ) cũng là hàm phân hình trên D Hàm ( ) f z và f z( ) cũng có các cực điểm tại những điểm như nhau Đồng thời, nếu z0 là cực điểm cấp m>0 của hàm f z thì ( ) z0 là cực điểm cấp m+1 của hàm f z( )

Tính chất 1.2 Cho hàm ( ) f z chỉnh hình trong  , điều kiện cần và đủ để

( )

f z không có các điểm bất thường khác ngoài cực điểm là f z là hàm ( )

hữu tỷ

1.2 Công thức Poisson – Jensen

Định lý 1.1 Giả sử ( ) f z là hàm phân hình trong hình trònz  R,

0  R , có các không điểm a( 1,2, ,M); các cực điểm

Trang 6

Khi f  0 0 hoặc  công thức trên thay đổi chút ít

Thật vậy, nếu f  0 0 hoặc f  0   hàm ( )f z có khai triển tại lân cận 0

z dạng :

  ( )

f z C z    Xét hàm   R f z 

cấp của hàm ( )f z tại điểm z0G, kí hiệu

(1) z0 là 0 điểm cấp k của f z ord f z0 k k 0

(2) z0 là cực điểm cấp k của f z ord f z0  k

Trang 7

6

1.3 Hàm đặc trƣng – Định lý cơ bản thứ nhất

Định nghĩa 1.3 Giả sử x là số thực dương, ta định nghĩa :

 

logxmax 0;logx

Ta có : logx log x log 1

Trang 8

    1   1log f 0 m R f, m R, N R f, N R,

k k

Trang 9

“độ lớn tập hợp tại đó f z  nhận giá trị gần bằng a” Trong khi đó vế phải của đẳng thức trong Định lý cơ bản thứ nhất có thể xem là không phụ thuộc a

Vì thế Định lý cơ bản thứ nhất cho thấy rằng hàm phân hình f z  nhận

mỗi giá trị a (và giá trị gần a) một số lần như nhau

Trang 10

1.4 Định lý 1.4 (Định lý cơ bản thứ hai)

Giả sử r là một số dương, ( ) f z là hàm phân hình trong  ; a a1, 2, a q

là các số phức phân biệt Khi đó ta có:

Trang 11

data error !!! can't not

read

Trang 12

read

Trang 13

read

Trang 14

read

Trang 15

read

Trang 17

read

Trang 18

read

Trang 19

read

Trang 20

read

Trang 21

read

Trang 22

read

Trang 23

read

Trang 24

read

Trang 26

read

Trang 27

read

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	469,06 KB