Một phương pháp vô hướng hóa giải bài toán tối ưu đa mục tiêu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNGUYỄN KIM THANH MỘT PHƯƠNG PHÁP VÔ HƯỚNG HÓA GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa bởi Trung tâm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN KIM THANH

MỘT PHƯƠNG PHÁP VÔ HƯỚNG HÓA GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN KIM THANH

MỘT PHƯƠNG PHÁP VÔ HƯỚNG HÓA GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG

THÁI NGUYÊN - 2011

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệptrường THPT Lưu Nhân Chú - Thái Nguyên đã tạo điều kiện cho tôi hoànthành luận văn này.

Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè và gia đình đã hết lòng động viêntôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Thái Nguyên, ngày 19 tháng 10 năm 2011

Lời nói đầu

Bài toán tối ưu hóa ngày nay đang được nghiên cứu và ứng dụng rộngrãi vào nhiều lĩnh vực như kĩ thuật, kinh tế và khoa học Trong thời giangần đây, bài toán tối ưu đa mục tiêu được quan tâm nhiều vì nó là môhình của nhiều bài toán thực tế Bài toán tối ưu này có hàm mục tiêu nhậngiá trị vectơ và đòi hỏi các khái niệm mới về nghiệm Việc tính toán tậpnghiệm, thậm chí là tìm ra một nghiệm của bài toán nói chung là khó Vìvậy phát triển các phương pháp số hữu hiệu giải các bài toán tối ưu đamục tiêu, hiện nay đang được quan tâm đặc biệt

Khái niệm cực tiểu đầu tiên được đưa ra bởi Edgeworth năm 1881, vàPareto năm 1896 Để xây dựng khái niệm này, Pareto đã sử dụng kháiniệm sắp thứ tự theo nón trong không gian ảnh Sau đó Kuhn và Tucker,vào năm 1951 đã nghiên cứu kĩ hơn và chặt chẽ hơn bằng toán học Kể từ

đó bài toán tối ưu đa mục tiêu trở thành một lĩnh vực được nghiên cứutích cực Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu giải quyết bài toán này vàđưa ra nhiều kết quả quan trọng, xem [1,2]

Ở thế kỉ trước, mục tiêu nghiên cứu chính dựa trên các phương pháplặp để xác định duy nhất một nghiệm đơn trong một quá trình lặp đi lặplại Bằng cách ấy, các phép tính số được tính toán liên tiếp với hàm quyếtđịnh được đưa ra bởi mục tiêu mong muốn cho đến khi nào nghiệm đượctìm thấy

Tuy nhiên, với sự phát triển của công nghệ thông tin và tốc độ của máytính hiện nay đã có thể xác định được tập hữu hiệu một cách dễ dàng hơn

Mục đích của luận văn là trình bày một phương pháp tìm tập hữu hiệunhờ phương pháp số dựa theo tài liệu [3] Trong [3] , Gabriele Eichfelder

đã sử dụng phương pháp tiếp cận vô hướng hóa phụ thuộc tham số củaPascoletti và Serafini

Nhiệm vụ của luận văn là trình bày một cách chi tiết, có chứng minhmột số định lí, nhận xét, trình bày lại thuật toán giải bài toán tối ưu haimục tiêu

Luận văn của gồm 3 chương:

Chương 1 là những kiến thức chuẩn bị của luận văn Trong phần đầucủa chương này, chúng tôi nhắc lại những khái niệm và kết quả cơ bản củatối ưu đa mục tiêu, chẳng hạn như các khái niệm cực tiểu và các tính chấtcủa nón sắp thứ tự, đặc biệt là nón đa diện

Chương 2 dành riêng tìm hiểu kĩ về phương pháp vô hướng hóa giảibài toán tối ưu

Vô hướng hóa được đưa ra dựa trên vô hướng hóa Pascoletti-Serafini Đây

là một trong hai chương chính của luận văn

Chương 3 Trong chương này chủ yếu sử dụng kết quả trước để pháttriển thuật toán điều khiển việc lựa chọn tham số trong tiếp cận vô hướnghóa Pascoletti-Serafini

Và cuối cùng là kết luận và tài liệu tham khảo

Thái Nguyên, năm 2011Học viên

Nguyễn Kim Thanh

iii

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Mục lục

1.1 Kiến thức cơ sở 2

1.1.1 Quan hệ sắp thứ tự 2

1.1.2 Nghiệm cực tiểu 3

1.1.3 Nghiệm cực tiểu yếu 6

1.2 Nón đa diện sắp thứ tự 11

2 Phương pháp vô hướng hóa 16 2.1 Tối ưu hóa Pascoletti-Serafini 17

2.2 Tính chất của vô hướng hóa Pascoletti-Serafini 19

2.3 Thiết lập thông số hạn chế cho vô hướng hóa Pascoletti-Serafini 24 2.3.1 Trường hợp với hàm hai mục tiêu 26

2.3.2 Trường hợp tổng quát 33

3 Điều khiển tham số 41 3.1 Điều khiển tham số trong trường hợp hai mục tiêu 42

3.2 Thuật toán cho tối ưu hóa Pascoletti-Serafini 49

λ ≥ 0, x, y ∈ C.

Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP):

min f(x)với các hạn chế

g(x) ∈ C,h(x) = 0q,

x ∈ S

Với m = 1 bài toán (MOP) trở thành bài toán tối ưu hàm một mụctiêu quen thuộc Trong luận văn này ta chủ yếu quan tâm tới hàm đa mụctiêu (m ≥ 2 )

Tập Ω := {x ∈ S | g(x) ∈ C, h(x) = 0q} được gọi là tập ràng buộc hay

1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

tập hạn chế của bài toán (MOP).

Ta giả sử Ω 6= ∅ và định nghĩa f(Ω) := {f(x) ∈ Rm | x ∈ Ω}

1.1 Kiến thức cơ sở

1.1.1 Quan hệ sắp thứ tự

Định nghĩa 1.1.1 Một tập con khác rỗng < ∈ Rm× Rm được gọi là quan

hệ hai ngôi < trên Rm

Ta viết x<y nếu (x, y) ∈ < Quan hệ hai ngôi thường kí hiệu theo thứ tựquen thuộc là ≤

Định nghĩa 1.1.2 Một quan hệ hai ngôi ≤ trên Rm được gọi là sắp thứ

tự bộ phận trên Rm nếu với x, y, z, w ∈ Rm tùy ý ta có:

Nhận xét 1.1.6 :

(i) Một quan hệ sắp thứ tự ≤m trên Rm xác định một nón lồi

K :={x ∈ Rm | 0m ≤ x}

Nón K lúc này được gọi là nón sắp thứ tự

(ii) Cho K là một nón lồi bất kì trên Rm Khi đó ta xác định được mộtquan hệ sắp thứ tự trên Rm như sau:

≤K:= {(x, y) ∈ Rm × Rm | y − x ∈ K}

(iii) Một quan hệ sắp thứ tự K là phản xứng nếu và chỉ nếu K là nón nhọn.Nhắc lại rằng, nón K ⊂ Rm được gọi là nón nhọn nếu K ∩ (−K) = {0m}Giả sử K là một nón nhọn nào đó Khi đó quan hệ sắp thứ tự trên Rm

≤K:= {(x, y) ∈ Rm × Rm | y − x ∈ K}

Nếu x ≤K y với x, y ∈ Rm thì y − x ∈ K Vì K là nón nhọn x − y ∈ K chỉkhi x − y = 0m hay y ≤K x khi x = y Do đó quan hệ sắp thứ tự ≤K làphản xứng

1.1.2 Nghiệm cực tiểu

Định nghĩa 1.1.7 Cho Ω là một tập con khác rỗng của không gian tuyếntính Rm được sắp thứ tự bởi nón lồi K Một điểm ¯y ∈ Ω là một điểmK-cực tiểu của tập Ω nếu

Định nghĩa 1.1.8 Một điểm ¯x ∈ Ω là một nghiệm cực tiểu (không làmtrội được, nghiệm hữu hiệu hay K-cực tiểu) của bài toán tối ưu đa mụctiêu (MOP) tương ứng với nón sắp thứ tự K nếu f(¯x) là một điểm K-cựctiểu của tập f(Ω).

Tập tất cả các nghiệm cực tiểu tương ứng với nón K được kí hiệu M(f(Ω), K).Tập ảnh của tập tất cả các nghiệm cực tiểu

E(f(Ω), K) := {f(x) | x ∈ M(f(Ω), K)}

được gọi là tập hữu hiệu

Một điểm ¯y ∈ E(f(Ω), K) được gọi là điểm K-cực tiểu, điểm không làmtrội được,hay điểm hữu hiệu tương ứng với nón K

Nếu có một điểm f(x) ∈ f(Ω) với f(x) − f(¯x) ∈ K \ {0m} thì ta nói rằng

f (x) được làm trội bởi f (¯x) và x được làm trội bởi ¯x một cách tương ứng.Cho K = Rm

+, điểm K-cực tiểu cũng được gọi là Edgeword-Pareto-cực tiểu(EP-cực tiểu)

Trong hình 1.2 là ví dụ về bài toán tối ưu hai mục tiêu Tập Ω và f(Ω)

là những nón nhọn sắp thứ tự Tập hữu hiệu là phần đường tô đậm

Trong không gian tuyến tính sắp thứ tự, tồn tại những điểm không thể

so sánh được với nhau như các điểm (1; 2) và (2; 1) trong R2 tương ứng với

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read