Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với Toán tử nhiễu đơn điệu

Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp.. Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu đơn điệu 20 2.1.. Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp mixed variational lý bài toán ph

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -TRẦN THỊ PHƯƠNG THẢO

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HỖN HỢP VỚI TOÁN TỬ

NHIỄU ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : Toán ứng dụng

Mã số : 60 46 36

Thái Nguyên, năm 2011

Mục lục

Mục lục 1

Lời cảm ơn 2

Lời nói đầu 3

Một số ký hiệu và chữ viết tắt 5

Chương 1 Một số kiến thức cơ bản 6 1.1 Tập lồi và hàm lồi 6

1.2 Toán tử đơn điệu 9

1.3 Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 11

Chương 2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu đơn điệu 20 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh 20

2.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh 26

lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và sự chỉ bảonghiêm khắc của cô giáo T.S nguyễn Thị Thu Thủy Tôi xin gửi lời cảm ơnchân thành và sâu sắc nhất đến cô

Tôi cũng xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy giáo, cô giáotrong trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên cũng như các thầycô giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2009 - 2011, những người đã

đem hết tâm huyết và sự nhiệt tình để giảng dạy và trang bị cho tôi nhiềukiến thức cơ sở

Tôi xin cảm ơn tập thể giáo viên trường THPT Phú Bình nơi tôi công tác

đã giúp đỡ, tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt khóa học cũngnhư quá trình làm luận văn Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè thânthiết những người luôn động viên, chia sẻ, giúp tôi trong suốt quá trình họctập và hoàn thành luận văn

Người viết luận văn

Trần Thị Phương Thảo

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

lời nói đầu

Cho X là một không gian Banach thực phản xạ, X∗ là không gian liênhợp của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là k.k, A : X → X∗ là toán tử

đơn điệu đơn trị và ϕ : X → R∪{+∞} là phiếm hàm lồi chính thường nửaliên tục dưới Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (mixed variational

lý bài toán phụ [3] Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp khi toán tử

A không có tính chất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh và hàm ϕ khônglồi mạnh, nói chung là một bài toán đặt không chỉnh (ill-posed) theo nghĩanghiệm của nó không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu Do đó người

ta phải sử dụng những phương pháp giải ổn định sao cho khi sai số của dữkiện càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng củabài toán ban đầu Một trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi và

có hiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Bằng phương pháp này

O A Liskovets [6] đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh dựa trên việc giải bất

ở đây (Ah, fδ, ϕε) là xấp xỉ của (A, f, ϕ), τ = (h, δ, ε)

Mục đích của luận văn này nhằm trình bày lại các kết quả của

O A Liskovets [6] và Nguyễn Thị Thu Thủy [10] về hiệu chỉnh bất đẳng

đẳng thức biến phân hỗn hợp và nêu các trường hợp đặc biệt của bất đẳngthức biến phân hỗn hợp Sự tồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệmcủa bất đẳng thức biến phân hỗn hợp được trình bày trong phần cuối củachương.

Trong chương 2 sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biếnphân hỗn hợp (0.1) với toán tử nhiễu đơn điệu Cụ thể là trình bày định lýtồn tại duy nhất nghiệm của bài toán hiệu chỉnh (0.2), sự hội tụ mạnh củanghiệm hiệu chỉnh đến nghiệm chính xác của bất đẳng thức biến phân (0.1),

đồng thời đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trong hai trườnghợp hoặc toán tử A hoặc Ah có tính chất ngược đơn điệu mạnh

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

Một số ký hiệu và chữ viết tắt

H không gian Hilbert thực

X không gian Banach thực

X∗ không gian liên hợp của X

Rn không gian Euclide n chiều

∅ tập rỗng

x := y x được định nghĩa bằng y

∀x với mọi x

∃x tồn tại xinf

xk → x dãy {xk} hội tụ mạnh tới x

xk * x dãy {xk} hội tụ yếu tới x

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản

Chương này trình bày một số tính chất cơ bản của hàm lồi và toán tử

đơn điệu; trình bày sự tồn tại và tính chất của tập nghiệm của bất đẳng thứcbiến phân hỗn hợp, một số bài toán liên quan và một bài toán thực tế có thể

đưa về bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Các kết quả của chươngnày được tham khảo trong các tài liệu [1], [4] và [11]

Nhận xét 1.1 Từ Định nghĩa 1.2 dễ thấy (ii) ⇒ (i) và (iii) ⇒ (i).

Định nghĩa 1.3 Miền hữu hiệu của hàm ϕ kí hiệu là domϕ và được địnhnghĩa như sau:

(iii) Hàm ϕ được gọi là nửa liên tục dưới (nửa liên tục dưới yếu) trên X nếu

ϕ là nửa liên tục dưới (nửa liên tục dưới yếu) tại mọi điểm x ∈ X

Định lý 1.1 Cho ϕ : X → R ∪ {+∞} là hàm lồi, nửa liên tục dưới thì ϕ

là nửa liên tục dưới yếu

Định nghĩa 1.6 Giả sử ϕ là hàm lồi trên X Phiếm hàm x∗ ∈ X∗ được gọi

ϕ(x) − ϕ(y) ≤ hx∗, x − yi, ∀y ∈ X

Tập tất cả các dưới gradient của ϕ tại x được gọi là dưới vi phân của ϕ tại

x, kí hiệu là ∂ϕ(x), tức là

∂ϕ(x) = {x∗ ∈ X∗ : ϕ(x) − ϕ(y) ≤ hx∗, x − yi, ∀y ∈ X}

Hàm ϕ được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu ∂ϕ(x) 6= ∅

Định nghĩa 1.7 Cho ϕ : X → R Hàm ϕ được gọi là khả vi theo hướng tại

x ∈ X nếu tồn tại giới hạn:

ϕ0(x, y) = lim

λ→0

ϕ(x + λy) − ϕ(x)

Nếu ϕ0(x, y) = hx∗, yi thì ϕ được gọi là khả vi Gâteaux (khả vi yếu) tại

x ∈ X, và ϕ0(x, y) được gọi là vi phân Gâteaux của ϕ tại x, ϕ0(x) được gọi

Định nghĩa 1.8 Hàm chính thường ϕ : X → R được gọi là khả vi Fréchet

(khả vi mạnh) tại x ∈ X, nếu tồn tại toán tử tuyến tính A : X → X∗ saocho

ϕ(x + y) − ϕ(x) = hA(x), yi + w(x, y)và

lim

kyk→0

w(x, y)kyk = 0,trong đó x + y ∈ X Khi đó hA(x), yi được gọi là vi phân Fréchet vàA(x) = ϕ0(x) được gọi là đạo hàm Fréchet của hàm ϕ tại x

Nhận xét 1.2 Hàm ϕ khả vi Fréchet tại x ∈ X thì nó khả vi Gâteaux tại

điểm đó

Tính lồi của hàm khả vi Gâteaux được cho bởi mệnh đề sau

Mệnh đề 1.1 (xem [4]) Cho X là không gian Banach thực phản xạ và

F : X → R ∪ {±∞} là một hàm khả vi Gâteaux với đạo hàm Gâtaeux là

A, khi đó các phát biểu sau là tương đương:

(i) F là hàm lồi;

(ii) F (x) ≥ F (x0) + hA(x0), x − x0i, ∀x, x0 ∈ X

Mệnh đề 1.2 (xem [4]) Cho X là không gian Banach thực phản xạ Giả sử

F : X → R ∪ {±∞} là phiếm hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới vàkhả vi Gâteaux với đạo hàm Gâteaux là A Khi đó nếu x0 ∈ X thì các phátbiểu sau là tương đương:

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn

(i) x0 là nghiệm của bài toán cực trị

min

x∈X F (x);

(ii) hA(x0), x − x0i ≥ 0, ∀x ∈ X;

(iii) hA(x), x − x0i ≥ 0, ∀x ∈ X

Định nghĩa 1.9 Không gian X được gọi là lồi chặt nếu bất đẳng thức

kx + yk < 2 đúng với mọi x, y ∈ X sao cho kxk = kyk = 1, x 6= y

Định nghĩa 1.10 Không gian Banach thực phản xạ X được gọi là không

nó là không gian lồi chặt và thỏa mãn với dãy {xn} bất kì mà xn * x và

(ii) đơn điệu chặt nếu x 6= y thì hA(x) − A(y), x − yi > 0, ∀x, y ∈ X;(iii) đơn điệu mạnh nếu tồn tại một hằng số τ > 0 thỏa mãn

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read