Phương trình vi phân Đại số chỉ số 1, 2 và phương trình liên hợp của nó

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMPHẠM THÁI SƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐỀ TÀI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ 1, 2 VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NÓ Chuyên ngành: Toán Giải Tích... Ph

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM THÁI SƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ

ĐỀ TÀI

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ 1, 2

VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NÓ

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

MỤC LỤC

Mục lục 1

Lời cảm ơn 2

Mở đầu 3

Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ 1 VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NÓ 6

1.1 Một số khái niệm cơ bản 6

1.2 Phương trình vi phân đại số chỉ số 1 7

1.3 Phân rã phương trình 9

1.4 Các phép chiếu chính tắc 10

1.5 Cách giải phương trình vi phân đại số chỉ số 1 14

1.6 Phương trình liên hợp của phương trình chỉ số 1 17

1.7 Tính giải được duy nhất của phương trình liên hợp 18

1.8 Định nghĩa chỉ số cho phương trình liên hợp 26

1.9 Hệ nghiệm cơ bản 28

1.10 Mối quan hệ giữa các hệ nghiệm cơ bản 36

Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ 2 VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NÓ 40

2.1 Đặt vấn đề 40

2.2 Khái niệm cơ bản 43

2.3 Bài toán giá trị ban đầu cho phương trình chỉ số 2 50

2.4 Các phép chiếu chính tắc 56

2.5 Ma trận cơ bản 57

2.6 Phương trình liên hợp 59

Kết luận 66

Tài liệu tham khảo 67

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy côgiáo viện Toán học Việt Nam, các thầy cô giáo trong khoa sau Đại học vàkhoa Toán trường Đại học Sư Phạm - Đại Học Thái Nguyên đã dạy bảo

em tận tình trong suốt quá trình học tập tại trường

Bản luận văn này chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếusót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô, các bạn đồngnghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010

MỞ ĐẦU

Trong vài thập kỷ gần đây, một vấn đề thời sự đang được nhiều nhà toánhọc quan tâm thuộc lĩnh vực phương trình vi phân, kể cả phương diện lýthuyết cũng như áp dụng, đó là phương trình vi phân đại số Phương trình

vi phân đại số được xuất phát từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tế kỹthuật và là sự mở rộng của phương trình vi phân thường

Luận văn này tập hợp các kết quả về phương trình vi phân đại số chỉ

số 1, chỉ số 2 và phương trình liên hợp của chúng Trong lý thuyết phươngtrình vi phân thường, xét phương trình:

z∗(t)x(t) = z∗(t0)x(t0)

Hoặc ta xét phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

dx

với A ∈ C(I, L(Cm, Cm)), trong đó I = [t0, +∞) Phương trình dạng

dy

với A∗(t) = A−T(t) được gọi là phương trình vi phân liên hợp của phươngtrình (3)

Trong trường hợp A suy biến ta có phương trình vi phân đại số Khi

đó người ta đã đạt được nhiều kết quả quan trọng về sự tồn tại duy nhấtcủa nghiệm của phương trình liên hợp cũng như các mối quan hệ giữa cácnghiệm cơ bản, trong đó đặc biệt đáng chú ý là đồng nhất thức Lagrange.Trong các bài báo [2] và [3], K.Balla đã chứng minh được rằng: mỗiphương trình vi phân đại số tuyến tính thuần nhất chỉ số 1 với các hệ sốkhả vi, tồn tại một phương trình vi phân đại số mà ta gọi là phương trình

vi phân đại số liên hợp của nó, sao cho với bất kỳ cặp nghiệm nào củaphương trình vi phân đại số gốc và phương trình vi phân đại số liên hợpđều thỏa mãn một đồng nhất thức mà nó có thể xem như một tương tự hóacủa đồng nhất thức Lagrange

Bài báo [1] của K.Balla và R.Marz đã phát triển tiếp các kết quả đã đạtđược của hai bài báo trên Bằng cách giảm nhẹ tính khả vi của các hệ số,các tác giả đã chỉ ra rằng phương trình liên hợp của phương trình vi phânđại số chỉ số 1 giải được chỉ khi tính trơn xuất hiện trong định nghĩa - điềukiện này yếu hơn tính khả vi của các hệ số Đồng thời các tác giả cũngchứng minh được một đồng nhất thức tương tự đồng nhất thức Lagrange,với các phép chiếu khả vi tùy ý, kết quả được trình bày trong không gianphức

Thay cho một ma trận duy nhất xảy ra trong thiết lập tiêu chuẩn, thuậtngữ đầu tiên của phương trình vi phân tuyến tính là sự xuất hiện của cặp

ma trận Khi đó khái niệm chỉ số được đưa ra cho các hệ phương trình Các

hệ số được giả thiết là liên tục và chỉ một vài không gian con có cùng sốchiều là phải khả vi liên tục Cách giải của bài toán có chỉ số cao hơn được

4

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

chứng minh nhờ vào phương trình có chỉ số thấp hơn Nghiệm đại diệnphải dựa trên nghiệm của một số phương trình vi phân thường chính quiđược xác định duy nhất bởi các dữ kiện của bài toán Các giả thiết cho cáchgiải phải thống nhất cả phương trình gốc và phương trình liên hợp của nó.

Cả hai phương trình có các chỉ số giống nhau và đồng thời triệt tiêu Matrận nghiệm cơ bản thỏa mãn mối ràng buộc là tổng quát hóa đồng nhấtthức Lagrange

Bản luận văn này được chia làm 2 chương:

Chương 1: Phương trình vi phân đại số chỉ số 1 và phương trình liênhợp của nó

Chương này trình bày các kiến thức cơ sở, khái niệm về phương trình viphân đại số chỉ số 1 và phương trình liên hợp của nó; chứng minh các tínhchất quan trọng của các phép chiếu chính tắc, chứng minh sự tồn tại duynhất nghiệm của bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình liên hợp.Chương 2: Phương trình vi phân đại số chỉ số 2 và phương trình liênhợp của nó

Chương này nêu ra các khái niệm về phương trình vi phân đại số chỉ số

2 và phương trình liên hợp của nó; đưa ra cách giải của bài toán giá trị banđầu đối với phương trình vi phân đại số chỉ số 2; trình bày mối quan hệgiữa các hệ nghiệm cơ bản của phương trình chỉ số 2 và phương trình liênhợp của nó

Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức và kinh nghiệmnghiên cứu khoa học còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi nhữnghạn chế và thiếu sót Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiếnphản biện của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Chương 1

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ

CHỈ SỐ 1 VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NÓ

1.1 Một số khái niệm cơ bản.

được gọi là phương trình vi phân đại số tuyến tính

Phương trình vi phân đại số tuyến tính được gọi là có dạng chuẩn nếu

1.1.3 Định nghĩa Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của ma trận hằng A nếu

nó là số bé nhất thỏa mãn kerAk = kerAk+1 Kí hiệu chỉ số của ma trận A

là ind(A), thế thì

ind(A) = minnk : kerAk = kerAk+1o

1.1.4 Định nghĩa Cặp ma trận hằng {A, B} được gọi là chính quy nếu

det(zA + B) không đồng thời triệt tiêu với mọi z, tức là tồn tại z0 ∈ C saocho det(z0A+ B) 6= 0

1.1.5 Định nghĩa Nếu cặp {A, B} chính quy và det(cA + B) 6= 0 với mọi

c∈ C thì ind(cA + B)−1A được gọi là chỉ số của cặp {A, B} Như vậy

ind {A, B} = ind(cA + B)−1A với c ∈ C

1.2 Phương trình vi phân đại số chỉ số 1.

1.2.1 Định nghĩa Phương trình

A(Px)0+ (B − AP0)x = q (1.2.1)

trong đó A, B : I −→ L(Cm, Cm), f : I −→ Cm là những ma trận hàm thỏamãn các giả thiết sau:

(T1) dimimA(t) = r < m, ∀t ∈ I

(T2) Cặp ma trận (A(t), B(t)) là chính quy chỉ số 1 với ∀t ∈ I

(T3) Tồn tại một phép chiếu Q ∈ C1(I, L(Cm, Cm)) lên kerA,

được gọi là phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 chuyển được

m= 2, Q là phép chiếu bất kỳ lên kerA, P = I − Q.

là phép chiếu lên kerA

Thậy vậy, rõ ràng Q ∈ C1(I, L(C2, C2)) và ∀x ∈ kerA : x = (−tz, z)T thì

Qx= −t −t(t + 1)

−1 1 − t

!

−tzz

Vậy (1.2.2) là phương trình vi phân đại số chỉ số 1

1.2.3 Định nghĩa Giả sử A, B ∈ C(I, L(Cm, Cm)), q ∈ C(I, Cm) Một hàm

x ∈ C1A(I, Cm) được gọi là một nghiệm của phương trình (1.2.1) nếu nóbiến (1.2.1) thành đồng nhất thức

8

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1.3 Phân rã phương trình.

i Xét phương trình (1.2.1) A(Px)0+ (B − AP0)x = q

Đặt B0 = B − AP0, A1 = A + B0Q Theo [8] Định lý 13 phụ lục A ta có A1khả nghịch Nhân hai vế của (1.2.1) lần lượt với PA−11 và QA−11 ta được

ii Ta có Lsz= z0+ (PA−11 B0− P0)z với z ∈ C1(I, Cm) là hoàn toàn xácđịnh và bài toán giá trị ban đầu







Lsz= g g∈ C(I, Cm)z(t0) = z0 t0 ∈ I, z0 ∈ Cm (1.3.3)

có nghiệm duy nhất trong C1(I, Cm) Hơn nữa, nghiệm z ∈ imP(t) nếu

z0 ∈ imP(t0) và g(t) ∈ imP(t) Thật vậy, do phương trình (1.2.1) khôngphụ thuộc vào cách chọn phép chiếu P nên Ls cũng không phụ thuộc vàocách chọn phép chiếu P Với g ∈ imP(t), ∃h : I → Cm sao cho g = Ph.Xét q = A1h ⇒ h = A−11 q ⇒ g = PA−11 q Ta có bài toán giá trị banđầu

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read