Phương pháp lặp giải bài toán không thuần nhất giữa phương trình Elliptic và phương trình song điều hòa

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCĐINH NHƯ NGỌC PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG THUẦNNHẤT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐINH NHƯ NGỌC

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG THUẦNNHẤT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PHƯƠNG

TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐINH NHƯ NGỌC

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG THUẦNNHẤT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PHƯƠNG

TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Mục lục

1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm 4

1.1.1 Không gian Ck(Ω) 4

1.1.2 Không gian Lp(Ω) 4

1.1.3 Không gian W1,p(Ω) 5

1.1.4 Biên liên tục Lipschitz 7

1.1.5 Vết của hàm 8

1.1.6 Không gian Sobolev với chỉ số âm 11

1.2 Phương pháp lặp và các sơ đồ lặp cơ bản 12

1.2.1 Lược đồ lặp hai lớp 12

1.2.2 Lược đồ dừng, định lý cơ bản về sự hội tụ của phép lặp 15

1.3 Khái niệm nghiệm yếu đối với phương trình Elliptic cấp hai 17 1.3.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình 17

1.3.2 Phát biểu các bài toán biên 18

1.3.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu 20

2 Các phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ của bài toán cấp hai và cấp bốn 24 2.1 Phương pháp lặp giải bài toán cấp hai trên tư tưởng chia miền 24

2.1.1 Cơ sở của phương pháp chia miền 24

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2.1.2 Phương pháp chia miền giải bài toán biên elliptic 28

song điều hòa 36

3 Bài toán không thuần nhất và phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ 45 3.1 Mô hình toán học của bài toán không thuần nhất 45

3.2 Phương pháp xấp xỉ dựa trên sơ đồ Dirichlet-Neumann 51 3.3 Phương pháp xấp xỉ dựa trên sơ đồ xấp xỉ biên 58

3.4 Các kết quả thực nghiệm 61

Kết luận 66

Danh mục công trình đã công bố 67

Tài liệu tham khảo 68

Phụ lục 84

Các ký hiệu

Mở đầu

Phương trình cấp bốn mà tiêu biểu là phương trình song điều hoàxuất hiện trong ngành cơ học chất rắn với mô hình chuyển dịch ngangcủa tấm đàn hồi hoặc trong ngành cơ học chất lỏng với mô hình dòngchảy với phương trình Navier-Stokes trong môi trường chất lỏng khôngnén được, khi được ghép với các phương trình bậc hai sẽ xuất hiện môhình không thuần nhất mô tả sự dịch chuyển ngang của cấu trúc tấmđàn hồi đa hợp mà nó được làm bởi hai thành phần khác nhau, mộtthành phần là tấm uốn và thành phần còn lại là màng mỏng Đây làmột mô hình hỗn hợp đang được các nhà toán học trên thế giới quantâm Năm 2005, trong tài liệu [4], tác giả P Gervasio đã mô tả mô hìnhtoán học của bài toán không thuần nhất và đưa ra phương pháp xácđịnh nghiệm gần đúng dựa trên một sơ đồ lặp Ngoài phương pháp trên,

để giải mô hình bài toán không thuần nhất có thể sử dụng phương phápphân rã bài toán về một bài song điều hoà và hai bài toán elliptic và

từ đó đề xuất sơ đồ lặp bằng cách xác định nghiệm xấp xỉ của bài toánsong điều hoà dựa trên phương pháp xấp xỉ biên và xác định nghiệm củahai bài toán elliptic trên cơ sở phương pháp chia miền Cơ sở lý thuyếtnày đã được một số tác giả Việt Nam đưa ra trong các năm qua

Nội dung chính của luận văn sẽ mô tả mô hình toán học của bài toán,nghiên cứu các phương pháp giải và đề xuất sơ đồ lặp xác định nghiệmxấp xỉ trên cơ sở phân hoạch về hai bài toán cấp hai và cấp bốn, thựchiện tính toán bằng số xác định nghiệm xấp xỉ Luận văn gồm 3 chương:Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về các không gian hàm

và đặc biệt là không gian Sobolev, các khái niệm cơ bản về nghiệm yếu

Chương 3: Mô tả mô hình toán học của bài toán không thuần nhất,trình bày phương pháp xấp xỉ dựa trên sơ đồ Dirichlet-Neumann do tácgiả P Gervasio đề xuất Xuất phát từ các lý thuyết trong chương 2, luậnvăn đề xuất một phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ mới đối với bài toánkhông thuần nhất bằng việc phân rã bài toán về 1 bài toán song điềuhoà và 2 bài toán elliptic tương ứng và từ đó xây dựng phương pháp lặpxác định nghiệm xấp xỉ, tính toán thử nghiệm trên máy tính điện tử.Phương pháp này có thể coi là ngược với phương pháp do P Gervasio

đã đưa ra

Các kết quả bằng số được lập trình trong môi trường MATLAB vớinhiều ví dụ khác nhau để kiểm tra tính đúng đắn của sơ đồ lặp đã đềxuất

Mặc dù đã rất cố gắng song nội dung bản luận văn không thể tránhkhỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp

ý kiến của các Thầy Cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoànthiện

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn TS VũVinh Quang đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình làmluận văn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô, các bạn bè, đồngnghiệp và gia đình đã luôn giúp đỡ, động viên, khích lệ tác giả trongsuốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Tác giả

k u kCk (Ω)= X

pαp=k

trong đó α = (α1, α2, , αn) được gọi là đa chỉ số, là vecto với các tọa

độ nguyên không âm, | α |= α1 + α2 + + αn, Dαu = ∂

Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều trong Ω của các hàm và tất

một không gian Banach

Trong Lp(Ω) ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trên Ω Như

mãn (1.2) và hai hàm là tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắptrên Ω Vì

tích địa phương trong Ω nếu u(x) là một hàm cho trong Ω và với mỗi

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read