Tính ổn định của hệ bất đẳng thức tuyến tính có tham số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN NGUYỄN THU HÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ BẤT ĐẲNG THỨC TUYẾN TÍNH CÓ THAM SỐ Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THU HÀ

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ BẤT ĐẲNG THỨC

TUYẾN TÍNH CÓ THAM SỐ

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN QUANG HUY

Hà Nội – Năm 2016

Lời cảm ơn

Tác giả khóa luận chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Quang Huy

đã tận tình hướng dẫn tác giả đọc các tài liệu và tập dượt nghiên cứu

Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Trường

Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô giáo ở Tổ Giải tích,

đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học Đại học và

thực hiện bản khóa luận này

Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016

Tác giả khóa luận

Nguyễn Thu Hà

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà

Lời cam đoan

Khóa luận này được hoàn thành tại Khoa Toán, Trường Đại học Sư

phạm Hà Nội 2 Tác giả khẳng định kết quả của khóa luận là của riêng

tác giả, không trùng với bất kì công trình khoa học nào của ai khác Các

tài liệu trích dẫn trong khóa luận là trung thực và chính xác

Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016

Tác giả khóa luận

Nguyễn Thu Hà

Lời cảm ơn i

1.1 Một số khái niệm cơ bản 4

1.1.1 Tập lồi 4

1.1.2 Bất đẳng thức tuyến tính 10

1.2 Tập đa diện lồi 11

1.2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản 11

1.2.2 Cơ sở, đỉnh và cạnh của đa diện lồi 16

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà

Lời mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Phép tính dưới vi phân cho hàm giá trị tối ưu của bài toán tối ưu có

tham số đã trở thành một trong các chủ đề thú vị được quan tâm nghiên

cứu nhiều gần đây xuất phát từ những ứng dụng tiềm năng để giải quyết

những vấn đề phát sinh trong tối ưu hóa, lý thuyết điều khiển và các

lĩnh vực khác của toán học ứng dụng Một số đánh giá ngoài cho dưới

vi phân của hàm giá trị tối ưu đã được nghiên cứu và thiết lập trong [5,

9, 11] và các tài liệu được trích dẫn trong đó Tuy nhiên, làm thế nào

để tính được ít nhất một phần tử của các dưới vi phân này vẫn là một

nhiệm vụ khó khăn trong tối ưu không trơn

Như chúng ta đã biết rằng việc tính dưới vi phân cho hàm giá trị tối

ưu của bài toán tối ưu có tham số luôn đòi hỏi chúng ta phải quan sát

sự biến thiên của tập nghiệm của bài toán tối ưu Đối với bài toán tối

ưu có ràng buộc thì sự biến đổi của tập ràng buộc tác động trực tiếp

đến tập nghiệm và hàm giá trị tối ưu Điều này dẫn đến việc cần phải

nghiên cứu sự biến thiên và tính ổn định của tập ràng buộc có tham số

Một lớp tập ràng buộc có tham số có cấu trúc đặc thù đang được nhiều

nhà toán học quan tâm nghiên cứu là tập đa diện lồi; xem, chẳng hạn,

[5] cùng các bình luận và trích dẫn trong đó

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà

ở đó ω ∈ Ω, Ω ⊂ Rp, ai là các hàm liên tục từ Rp vào Rn và bi hàm sốliên tục trên Rp

Các kết quả quan trọng về tính liên tục của ánh xạ Γ đã được thiết

lập trong [2, 4, 5, 8] Đề tài "Tính ổn định của hệ bất đẳng thức tuyến

tính có tham số" nhằm tìm hiểu về tính liên tục của ánh xạ các tập lồi

đa diện có tham số được trình bày trong [5]

2 Mục đích nghiên cứu

Khảo sát các tập lồi, tập đa diện lồi và các biểu diễn, tính chất đặc

trưng của tập đa diện lồi Nghiên cứu tính liên tục của các tập đa diện

lồi phụ thuộc tham số

3 Đối tượng nghiên cứu

Tập lồi, tập đa diện lồi; tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới

của tập đa diện lồi có tham số

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu và kết quả của Giải tích lồi,

Đại số tuyến tính và Giải tích đa trị

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt

N tập số nguyên dương

Rn không gian Euclide n chiều

Bn hình cầu đơn vị đóng trong Rn

Sn mặt cầu đơn vị trong Rn

||x|| chuẩn của vectơ x

hx, yi tích vô hướng của các vectơ x và y

aff (A) bao affin của A

cl (A), ¯A bao đóng của A

int (A) phần trong của A

ri (A) phần trong tương đối của A

co (A) bao lồi của A

co(A) bao lồi đóng của A

cone (A) nón sinh bởi tập A

pos (A) nón dương của A

gr (G) đồ thị của G

supp (x) giá của x

Chương 1

Tập đa diện lồi

Trong chương này, ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản như khái niệm

không gian Euclid n-chiều, khái niệm về tập lồi, bao lồi, phần trong

tương đối của một tập lồi, bất đẳng thức tuyến tính và tập đa diện lồi

Biểu diễn và các đặc trưng cơ bản của tập đa diện lồi

Bn := {x ∈ Rn : ||x|| 6 1} ,int (Bn) := {x ∈ Rn : ||x|| < 1} ,

Sn := {x ∈ Rn : ||x|| = 1} Cho một tập khác rỗng Q ⊆ Rn, ta kí hiệu bao đóng của Q là cl (Q) vàphần trong là int (Q) Các nón sinh bởi tập Q, nón dương và bao affine

của Q lần lượt được cho bởi

Ví dụ 1.1.1

Hình 1.1: Nón sinh bởi tập Q (với Q = Q1∪ Q2)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà

Hình 1.2: Nón dương (với Q = Q1∪ Q2)

Hình 1.3: Bao afin (với Q = Q1∪ Q2)

Các phép toán trên vectơ hàng được thực hiện tương tự như trên

vectơ cột qua phép lấy chuyển vị Như vậy, đối với n-vectơ hàng c và d,

tích của chúng được biểu diễn là:

hc, di = T, dT = Pn

i=1

cidi,trong đó, chỉ số T kí hiệu cho phép chuyển vị Mặt khác, nếu c là vectơ

hàng và x là vectơ cột, khi đó tích cx được hiểu như là một ma trận tích

và nó bằng với tích T, x

Định nghĩa 1.2 Ta gọi một tập Q của Rn là lồi nếu đoạn thẳng nốihai điểm bất kì của Q nằm trọn trong Q, điều này có nghĩa là với mỗi

x, y ∈ Q và với mỗi số thực λ ∈ [0, 1], ta có λx + (1 − λ) y ∈ Q

Ví dụ 1.1.2 Các nửa không gian là các tập lồi, các tam giác và hình

tròn trong mặt phẳng là các tập lồi Hình cầu đơn vị trong không gian

Banach cũng là một tập lồi,

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà

Ví dụ 1.1.3

Hình 1.4: Tập lồi

Hình 1.5: Tập không lồi

Từ định nghĩa ta nhận xét rằng giao của các tập lồi, tích Đê-các của

các tập lồi, ảnh và nghịch ảnh của một tập lồi qua phép biến đổi tuyến

tính đều là các tập lồi; phần trong và bao đóng của một tập lồi là tập

lồi Đặc biệt, tổng Q1 + Q2 = {x + y : x ∈ Q1, y ∈ Q2} của hai tập lồi

Q1 và Q2 là lồi; nón sinh của một tập lồi là tập lồi Các nón dương vàbao afin của bất kỳ tập lồi đều là tập lồi

Bao lồi của Q, kí hiệu là co(Q) bao gồm tất cả các tổ hợp lồi của các

nó cũng là giao của tất cả các tập lồi chứa Q Bao lồi đóng của Q sẽ

được kí hiệu là co (Q), đó là giao của tất cả các tập lồi đóng chứa Q

Nón dương của một tập là nón sinh của bao lồi của nó Một tổ hợp lồi

Một cách tương đương, một điểm x trong Q là một điểm trong tương

đối nếu và chỉ nếu bất kì một điểm y trong Q có một số dương δ sao

cho đoạn nối các điểm x − δ (x − y) và x + δ (x − y) nằm trọn trong Q

Ta nhận xét rằng tập lồi chặt bất kì của một tập hữu hạn x1, , xk thuộc phần trong tương đối của bao lồi của nó và mọi tập lồi khác rỗng

trong Rn có phần trong tương đối khác rỗng Hơn nữa, nếu hai tập lồi

Q1 và Q2 có ít nhất một điểm trong tương đối chung , thì ri (Q1 ∩ Q2) =

ri (Q1) ∩ ri (Q2)

Ví dụ 1.1.4

Hình 1.6: Bao lồi của Q

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà

Ax 6 bvà

1.2 Tập đa diện lồi

1.2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản

Một tập có thể được biểu diễn bởi giao của một số hữu hạn nửa không

gian đóng được gọi là một đa diện lồi Một đa diện lồi bị chặn được gọi

là hình đa diện Theo định nghĩa của nửa không gian đóng, một tập đa

diện lồi là tập nghiệm của một hệ hữu hạn các bất đẳng thức

i, x 6 bi, i = 1, , k,

ở đó a1, , aklà vectơ cột n-chiều và b1, , bk là các số thực Khi bi = 0, i =

1, , k, tập nghiệm của hệ bất đẳng thức trên là một hình nón và được

gọi là một nón lồi đa diện Trong mục này ta luôn giả sử rằng k ≤ n và

hệ bất đẳng thức trên là giải được Cho P là một đa diện lồi và cho

H = {x ∈ Rn : hv, xi = α}

là một siêu phẳng với v 6= 0 Ta nói H là một siêu phẳng tựa của P tại

điểm x ∈ P nếu giao của H với P chứa x và P được chứa ở một trong

các nửa không gian đóng bị chặn bởi H Trong trường hợp này, tập khác

rỗng H ∩ P được gọi là mặt của P Do đó, một tập con khác rỗng F của

P là một mặt nếu có một vectơ v khác không và v ∈ Rn sao cho

hv, yi 6 hv, xi với mọi x ∈ F, y ∈ P Khi một mặt là 0-chiều, nó được gọi là một đỉnh Một đa diện khác rỗng

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà

Đa diện xác định bởi (1) và (2) không có đỉnh Nó có hai mặt 1-chiều

xác định tương ướng bởi x1+ x2 = 1 và x1+ x2 = 0 và một mặt 2-chiều,bản thân đa diện đó Đa diện xác định bởi (1) và (3) có hai đỉnh (mặt

0-chiều) xác định tương ứng bởi

và một mặt 2-chiều, bản thân đa diện đó.

Mệnh đề 1.1 Cho P là một đa diện lồi Ta có các tính chất sau:

(i) Giao khác rỗng của hai mặt bất kì của P là một mặt của P

(ii) Hai mặt phân biệt của P có phần trong tương đối không giao nhau

Chứng minh Trước tiên ta chứng minh tính chất (i) Giả sử F1 và F2 làhai mặt giao nhau khác rỗng (nếu F1 và F2 trùng nhau thì hiển nhiên

ta có (i)) Giả sử rằng H1 và H2 là hai siêu phẳng tựa tương ứng sinhbởi các mặt F1 và F2, tức là:

Đó là một siêu phẳng tựa của P vì rõ ràng nó chứa giao điểm của mặt

F1 và F2, và với mỗi điểm x thuộc P , ta có:

hv, xi = 1, x 2, x 6 α1 + α2 (1.3)

Ta thấy rằng giao của H và P trùng với giao của F1 và F2 Rõ ràng

F1 ∩ F2 ⊆ H ∩ P

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà

Đối với tính chất (ii), nếu F1 và F2 có một điểm trong tương đối chung,khi đó hàm số 1, là hằng số trên F2 Theo đó, có F2 ⊆ H1∩ P ⊆ F1.Tương tự, ta có: F1 ⊆ F2, do đó đẳng thức xảy ra

Cho x là một nghiệm của hệ i, x 6 bi, i = 1, , k Tập chỉ sốhoạt x được xác định bởi

Định lý 1.1 Giả sử P là một đa diện lồi cho bởi hệ i, x 6 bi,

i = 1, , k Một tập con lồi thật sự khác rỗng F của P là một mặt khi

và chỉ khi có một tập chỉ số cực đại khác rỗng I ⊆ {1, , k} sao cho F

P có k ≤ n Rõ ràng nửa không gian âm H_ (v, x) chứa P Hơn nữa,

nếu x là một nghiệm của hệ thì tất nhiên x vừa thuộc P , vừa thuộc H,

trong đó F0 ⊆ H ∩ P Ngược lại, bất kì điểm x thỏa mãn hệ sau:

, x 6 bi, i = 1, , k,X

i∈I

i, x =X

i∈I

bi.Đẳng thức sau xảy ra chỉ khi các bất đẳng thức với các chỉ số từ I là

các đẳng thức Nói cách khác, x ∈ F0

Bây giờ, cho F là một mặt thực sự của P Chọn một điểm trong tương

đối ¯x của F và xét hệ (1.4) với I = I (¯x) tập chỉ số hoạt ¯x Vì F là một

mặt thực sự của P và không có điểm trong nên tập I khác rỗng Do đó,

F0 là tập nghiệm của hệ trên Theo phần đầu, F0 là một mặt Ta sẽ chỉ

ra nó trùng với F Theo Mệnh đề 1.1, ta thấy ¯x là một điểm trong tương

đối của F0 Cho x là một điểm khác ¯x trong F0 Ta phải chứng minh cómột số dương δ sao cho đoạn [¯x, ¯x + δ (x − ¯x)] nằm trong F0 Thật vậy,chú ý các chỉ số j nằm ngoài tập I, bất đẳng thức j, ¯x 6 bj là chặt

Do đó có δ > 0 sao cho

j, ¯x j, x − ¯x 6 bj

với mọi j 6= I Hơn nữa, điểm ¯x + δ (x − ¯x) là một tổ hợp tuyến tính

của ¯x và x cũng thỏa mãn đẳng thức i, x = bi, i ∈ I Do đó, điểmnày thuộc F0 và thuộc đoạn ta xét Vì F và F0 là hai mặt với một điểmtrong tương đối chung nên chúng phải giống nhau

Nói chung, với mặt F của P , có thể tồn tại nhiều tập chỉ số I mà F là

tập nghiệm của hệ (1.4) Tuy nhiên, ta có thể hiểu rằng không có bất

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà

1.2.2 Cơ sở, đỉnh và cạnh của đa diện lồi

Trong phần này, ta xét một đa diện P xác định bởi hệ

b là các số không âm Một điểm x trong P được gọi là điểm cực trị của

P nếu nó không thể biểu diễn như một tổ hợp lồi x = ta + (1 − t) a0 với

0 < t < 1 và a, a0 ∈ P với a 6= a0 Có thể thấy rằng điểm cực trị tươngứng với đỉnh, ta đã xác định trong phần trước

Một ma trận B cấp k × k gồm các cột của A được gọi là một cơ sở nếu

nó có ma trận nghịch đảo

Cho B là một cơ sở Bằng cách sử dụng một hoán vị ta có thể giả định

rằng B gồm k cột đầu tiên của A, các cột còn lại tạo thành một ma trận

N cấp k × (n − k) gọi là phần không là cơ sở của A Cho x là một vectơ

với các thành phần xB và xN, trong đó xB là một vectơ k -chiều và xN

là vectơ (n − k) -chiều thỏa mãn

BxB = b,

xN = 0

Nếu xB là một vectơ dương, khi đó x là một nghiệm của (1.5) và gọi

là nghiệm cơ sở (gắn với cơ sở B) Nếu trong trường hợp xB không cóthành phần không, nó được gọi là không suy biến, ngược lại là suy biến

Ví dụ 1.2.3 Xét đa diện trong R3 xác định bởi hệ sau:

x1 + x2 + x3 = 13x1 + 2x2 = 1,

x1, x2, x3 > 0

Vectơ a1 = (1, 1, 1)T và a2 = (3, 2, 0)T là độc lập tuyến tính Ta có 3 matrận cơ sở

Định lý 1.2 Một vectơ x là một đỉnh của đa diện P khi và chỉ khi nó

là nghiệm cơ sở của hệ (1.5)

Chứng minh Cho x là một nghiệm cơ sở Giả sử nó là một tổ hợp lồi của

hai nghiệm y và z của hệ (1.5), nghĩa là x = ty + (1 − t) z với t ∈ (0, 1)

Khi đó, với chỉ số j bất kì không phải cơ sở , thành phần xj là không,thì tyj + (1 − t) zj = 0 Nhớ rằng y và z là các vectơ dương, ta suy ra

yj = zj = 0 Hơn nữa, thành phần cơ sở của nghiệm để hệ (1.5) thỏamãn đẳng thức:

Bx = b

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà

ra rằng các cột ai, i ∈ supp(x) là độc lập tuyến tính Thật dễ dàng đểtìm một cơ sở B sao cho x là nghiệm cơ sở liên quan đến cơ sở đó Để

kết thúc điều này, đầu tiên ta chứng minh supp(x) là cực tiểu trong số

nghiệm của hệ (1.5) Thực tế, nếu không, ta có thể tìm nghiệm khác là

y, với giá cực tiểu sao cho supp(y) là tập con thực sự của supp(x) Chọn

một chỉ số j từ giá của y sao cho

thuẫn Nếu t < 1 thì

z = 1−t1 (x − ty)

Ta nhận thấy rằng z là nghiệm của hệ (1.5) và khác với x vì giá của nó

thực sự chứa trong giá của x Nó cũng khác với y vì thành phần yj kháckhông trong khi thành phần zj là không Ta xuất phát từ định nghĩacủa z mà x là tổ hợp lồi của y và z, điều này lại là một mâu thuẫn

Bây giờ ta chứng minh các cột ai, i ∈ supp(x) là độc lập tuyến tính Giả

sử ngược lại, có một vectơ y khác với x (nếu không lấy 2y thay thế) với

Ay = 0 và supp(y) ⊆ supp(x)

Bằng cách đặt

x i

y i : i ∈ supp(y),yi < 0

onếu ngược lại

Ta nhận thấy rằng z = x + ty là một nghiệm của (1.5) có giá được chứa

đúng trong giá của x và đi đến một mâu thuẫn với tính cực tiểu của giá

của x Nó còn để hoàn thành các vectơ ai, i ∈ supp(x) vào một cơ sở đểthấy rằng x thực sự là một nghiệm cơ sở

Định lý 1.3 Giả sử đa diện lồi P được xác định bởi hệ (1.5) Khi đó

(i) Một vectơ khác không v là hướng tiệm cận của P khi và chỉ khi nó

là một nghiệm của hệ thuần nhất

Ax = 0,

x > 0

(ii) Một vectơ khác không v là một hướng tiệm cận cực trị của P khi và

chỉ khi nó là nghiệm của hệ

Ay = 0

y1 + + yn = 1,

y > 0

Do đó P∞ bao gồm tất cả tổ hợp dương của các đỉnh của đa diện

Chứng minh Khẳng định (i) được chứng minh như trong Định lí 1.1

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà

hợp lồi của hai điểm phân biệt y1 và y2 trong Q, thì v là một tổ hợp lồicủa hai hướng tiệm cận độc lập tuyến tính ty1 và ty2 của P , điều này làkhông thể

Ngược lại, cho v là một đỉnh của Q Rõ ràng v khác không Nếu v =

tx + (1 − t) y, x và y là các hướng tiệm cận khác không nào đó của P và

i=1

xix,

y0 = n1P

i=1

yiy

ta biểu diễn v như là một tổ hợp lồi t0x0+ (1 − t0) y0 của hai điểm của Q.Lưu ý rằng t > 0 Bởi giả thiết, x0 = y0; điều này nghĩa rằng x và y độclập tuyến tính Định lý đã được chứng minh

Định lý 1.4 Mọi điểm của một tập đa diện lồi cho bởi hệ (1.5) có thể

biểu diễn là một tổ hợp lồi của các đỉnh của nó, có thể thêm vào một tổ

hợp dương của các hướng tiệm cận cực trị

Chứng minh Lấy tùy ý điểm x trong P Nếu giá của nó là cực tiểu thì,

theo chứng minh của Định lí 1.2, điểm đó là một đỉnh Nếu không thì

có một đỉnh v1 mà giá của nó là cực tiểu và chứa thực sự trong giá của