Luận văn thạc sĩ toán học về tính điều khiển được của hệ phương trình vi phân suy biến

462 Về tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân suy biến tuyến tính với hệ số hằng 50 2.1 Tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân thường tuyến tính với số bước không c

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG

HÀ NỘI - NĂM 2011

tuyến tính với hệ số hằng 31.1.2 Dạng tương đương thứ nhất (First Equivalent Form, EF 1) 71.1.3 Dạng tương đương thứ hai (Second Equivalent Form, EF 2) 91.1.4 Dạng tương đương thứ ba (Third Equivalent Form, EF 3 ) 101.2 Công thức nghiệm của phương trình vi phân suy biến tuyến tínhvới hệ số hằng 111.3 Tính điều khiển được của hệ phương trình vi phân suy biến tuyếntính với hệ số hằng 191.3.1 Tính đạt được 191.3.2 Điều khiển được, điều khiển được tương đối, R - điều khiển

được, và điều khiển được dạng xung 251.3.3 Quan sát được, R - quan sát được và quan sát được dạng

xung 341.4 Tính chất đối ngẫu 41

1.5 Hệ phân rã 46

2 Về tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân suy biến tuyến tính với hệ số hằng 50 2.1 Tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân thường tuyến tính với số bước không cố định 50

2.2 Một số đặc thù của hệ phương trình sai phân suy biến tuyến tính với hệ số hằng 53

2.3 Công thức nghiệm của phương trình sai phân suy biến tuyến tính với số bước cố định 54

2.4 Tính điều khiển được của phương trình sai phân suy biến tuyến tính với số bước cố định 58

2.4.1 Tính điều khiển được 58

2.4.2 R - điều khiển được 60

2.4.3 Y - điều khiển được 61

2.4.4 Quan sát được, R - quan sát được và Y - quan sát được 62 2.5 Tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân suy biến tuyến tính với số bước không cố định 63

2.5.1 Công thức nghiệm của phương trình sai phân suy biến tuyến tính với số bước không cố định 63

2.5.2 Quan hệ giữa tính điều khiển được và quan sát được của hệ vi phân suy biến và hệ sai phân suy biến 66

Lời cảm ơn

Trong suốt quá trình làm Luận văn, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp

đỡ của PGS.TS Tạ Duy Phượng (Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệViệt Nam) Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy

Tôi xin cảm ơn quý thầy, cô giảng dạy lớp cao học Viện Toán học khóa 17(2009 - 2011), đã trang bị cho tôi nhiều kiến thức cần thiết trong khoa học vàtrong công việc

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình đã dành cho tôi sự cảm thông

và ủng hộ trong suốt thời gian học cao học và viết luận văn

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng Luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót.Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy, cô và bạn đọc đểLuận văn được hoàn thiện hơn

Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 9-2011Người viết Luận văn

Phan Thị Tuyết

Mở đầu

Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn, lý thuyết điều khiển hệ thống đã đượchình thành trên cơ sở nguyên lý cực đại Pontriagin, lý thuyết điều khiển đượcKalman, . và phát triển mạnh mẽ trong khoảng 50 năm trở lại đây

Lý thuyết điều khiển toán học là một lĩnh vực có rất nhiều ứng dụng trongthực tế, ngày nay đã trở thành một môn học phổ biến trong nhiều trường đạihọc tổng hợp và đại học kỹ thuật trong và ngoài nước với các chuyên ngànhtoán học ứng dụng như điều khiển kỹ thuật, phân tích hệ thống, điều khiển tối

ưu Công cụ chính của lý thuyết điều khiển toán học là những mô hình và cácphương pháp toán học được ứng dụng để giải quyết những vấn đề định tính củacác hệ thống điều khiển Có nhiều bài toán thực tiễn được mô tả bởi các hệ chứatham số điều khiển

Một trong những vấn đề đầu tiên và quan trọng nhất trong lý thuyết điềukhiển hệ thống là tính chất điều khiển được của hệ, tức là tìm một chiến lượcđiều khiển sao cho có thể chuyển hệ thống điều khiển từ một trạng thái (vị trí)này sang trạng thái (vị trí) khác Bài toán điều khiển được là bài toán cơ bảnđầu tiên của lý thuyết điều khiển và liên quan chặt chẽ đến các bài toán khácnhư bài toán tồn tại điều khiển tối ưu, phương pháp số tìm điều khiển tối ưu,bài toán ổn định và ổn định hóa, .

Mặc dù những nét cơ bản của lý thuyết điều khiển được đã được hình thànhcách đây30 − 40 năm, nhưng hiện nay vẫn mang tính thời sự và được nhiều nhàtoán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu

Mục đích của luận văn này là trình bày các tiêu chuẩn (điều kiện cần vàđủ) điều khiển được của hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ sốhằng và hệ sai phân suy biến tuyến tính với hệ số hằng

Nội dung của luận văn bao gồm hai chương.

Chương 1 nghiên cứu tính điều khiển được của hệ phương trình vi phânsuy biến tuyến tính với hệ số hằng và gồm 5 mục

Mục 1.1 của chương trình bày khái lược về hệ phương trình vi phân suybiến tuyến tính với hệ số hằng

Mục 1.2 của chương phát biểu công thức nghiệm và một số ví dụ của hệphương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ số hằng

Mục 1.3 và 1.4 của chương nói về mối quan hệ giữa tính điều khiển được vàquan sát được của hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ số hằng

và hệ đối ngẫu của nó

Mục 1.5 của chương nói về hệ phân rã của hệ phương trình vi phân suybiến tuyến tính với hệ số hằng, một số chi tiết về tính điều khiển được và quansát được của hệ phân rã

Chương 2nghiên cứu tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân suybiến tuyến tính với hệ số hằng và gồm 5 mục

Mục 2.1 của chương nghiên cứu về tính điều khiển được của hệ phươngtrình sai phân thường với số bước không cố định

Mục 2.2 của chương nêu nên một số đặc thù của hệ phương trình sai phânsuy biến tuyến tính với hệ số hằng

Mục 2.3 của chương nói về công thức nghiệm và một số ví dụ của phươngtrình sai phân suy biến tuyến tính với hệ số hằng

Mục 2.4 của chương nói về tính điều khiển được của phương trình sai phânsuy biến tuyến tính với hệ số hằng

Mục 2.5 của chương nói về tính điều khiển được của hệ phương trình saiphân suy biến tuyến tính với hệ số hằng với số bước không cố định và mối quan

hệ giữa tính điều khiển được và quan sát được của hệ phương trình vi phân và

hệ phương trình sai phân suy biến

Chương 1

Về tính điều khiển được của hệ

phương trình vi phân suy biến

Cho T = (a, b) là một khoảng nào đó của đường thẳng thực (a có thể bằng

−∞, b có thể bằng +∞) Ký hiệu Ci(T ) là không gian của các hàm khả vi đếncấp i và CA(T ) là không gian của các hàm giải tích trên T

Xét hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ số hằng (thườngđược gọi là hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng) dạng

E ˙x(t) = Ax(t) + f (t), t ∈ T, (1.1)trong đó ma trận E là suy biến (detE = 0)

Nhiều bài toán ứng dụng dẫn đến hệ phương trình vi phân đại số gồm mộtphương trình vi phân thường và một ràng buộc đại số, tức là hệ



˙x1= R1x1+ R2x2+ f1;

0 = R3x1+ R4x2+ f2, (1.2)trong đó x1 ∈ R n 1 , x2 ∈ R n 2; Ri, i = 1, 2, 3, 4 và fj, j = 1, 2 là các ma trận hàm vàvectơ hàm có số chiều tương ứng

là toàn bộ các tọa độ củax đều phải có đạo hàm Tuy nhiên, các hệ thường gặptrong thực tế (thí dụ dạng (1.2)) thường chỉ đòi hỏi x1 có đạo hàm, còn x2 cóthể không khả vi Từ đó ta thấy, (1.3) và (1.1) nói chung là khác nhau và cáchviết (1.3) là phù hợp với thực tế hơn.

Dưới đây để phù hợp với các tài liệu, ta vẫn gọi hệ (1.3) (và hệ (1.1)), trong đó

ma trậnE suy biến là hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng.Dạng đặc biệt (1.2) thường được gọi là dạng nửa hiện của hệ phương trình viphân đại số tuyến tính với hệ số hằng

Định nghĩa 1.1 Vectơ hàm x(t) được gọi là nghiệm của (1.1) trên khoảng T

nếu nó khả vi liên tục trên T (tức là x(.) ∈ C1(T )) và khi thay x(t) vào (1.1) thì

ta được đẳng thức đúng với mọi t ∈ T

Nếu hàm khả vi liên tục x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu

và thỏa mãn phương trình (1.1) trong một lân cận nào đó của t0 thì ta nói x(t)

là nghiệm địa phương của (1.1) trong lân cận của t0

Nếu tồn tại nghiệm thỏa mãn (1.1) và (1.6) thì ta nói bài toán giá trị banđầu (bài toán Cauchy) là giải được.

Khác với hệ phương trình vi phân thường, không gian nghiệm của hệ phươngtrình vi phân đại số (1.1) có thể là vô hạn chiều

là nghiệm của (1.7)

Ta sẽ chứng minh rằng{x (i) (t)}∞i=0 là dãy độc lập tuyến tính Thật vậy, theođịnh nghĩa dãy hàm độc lập tuyến tính, giả sử tồn tại dãy {ci}∞i=0 sao cho

∞ X i=0

∞ P i=0

c i ti

− P∞i=0



Do dãy hàm {t i }∞i=0 là dãy vectơ cơ sở trong không gian các hàm đa thức nên từđẳng thức

∞ X i=0

Khái niệm cặp ma trận chính quy là một công cụ quan trọng để nghiêncứu cấu trúc tập nghiệm của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính Ta có.

Định nghĩa 1.2 Cặp ma trận (E, A) được gọi là cặp ma trận chính quy nếutồn tại số λ ∈ C sao cho det(A − λE) 6= 0

Ta cũng nhận thấy rằng, nếu tồn tại số λ ∈ C để det(A − λE) 6= 0 thì cũngtồn tại vô số các số như vậy, chỉ trừ hữu hạn các giá trị là nghiệm của đa thứcđặc trưng det(A − λE) = 0

Từ đây ta cũng suy ra rằng, hai cặp ma trận (E, A) và (A, E) đồng thời làchính quy hoặc không chính quy Điều này có thể suy ra từ đẳng thức

det(A − λE) = (−λ)ndet(E − 1

λA),

trong đó n là cấp của ma trận vuông E

Định lý 1.1 ([4]) Không gian nghiệm của hệ phương trình vi phân đại số tuyếntính thuần nhất E ˙x(t) + Ax(t) = 0 là hữu hạn chiều khi và chỉ khi cặp ma trận

(E, A) là chính quy Hơn nữa, số chiều của không gian nghiệm bằng bậc của đathức đặc trưng det(A − λE)

Nhận xét 1.2 Khác với hệ phương trình vi thường tuyến tính, nghiệm của hệphương trình vi phân đại số tuyến tính phụ thuộc chặt chẽ vào vế phải

x20



thì để

(1.9) có nghiệm, ta phải có thêm điều kiện sau đây ràng buộc giữa vế phải củaphương trình với điều kiện ban đầu, thường được gọi là điều kiện tương thích:

vi phân đại số tuyến tính, tính chất tồn tại nghiệm và hữu hạn chiều của khônggian nghiệm không chỉ phụ thuộc vào cặp ma trận(E, A) mà còn liên quan chặtchẽ với vế phải của hệ không thuần nhất

Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính có tham số điều khiển

E ˙x = Ax + Bu;

trong đó x ∈ Rn, u ∈ Rm, y ∈ Rr, E, A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m, C ∈ Rr×n là các matrận hằng

Trong chương này chúng ta giả thiết rằng detE = 0, tức là hệ suy biến Chúng

ta thường sử dụng (E, A, B, C) để định nghĩa hệ (1.10)

Trước tiên chúng ta chỉ ra rằng, hệ (1.10) có thể đưa về các dạng tương đương

dễ nghiên cứu hơn sau đây

1.1.2 Dạng tương đương thứ nhất (First Equivalent Form, EF 1)

Bổ đề 1.1 (xem[2], trang7) (E, A) là cặp ma trận chính quy khi và chỉ khi tồntại hai ma trận khả nghịch P, Q sao cho

QEP =diag(In1, N ), QAP = diag(A1, In2),

trong đó A1∈ Rn1 ×n 1, diag(X, Y )là ma trận khối, N ∈ Rn2 ×n 2 là ma trận lũy linh

và n 1 + n 2 = n, I n i là ma trận đơn vị có số chiều n i , i = 1, 2

Ký hiệu (B 1 /B 2 ) là ma trận dạng  B1

B 2



Xét hệ (1.10), theo Bổ đề trên, tồn tại hai ma trận không suy biến P và Q

sao cho

QEP =diag(In1, N ), QAP = diag(A1, In2), QB = (B1/B2), CP = (C1 C2).

(1.11)Với phép biến đổi

 x1

x2



= P−1x, x1 ∈ Rn1 , x2 ∈ Rn2 , (1.12)trong đó n1+ n2 = n, N ∈ Rn2 ×n 2 là ma trận lũy linh, B1∈ R n 1 ×m , B2 ∈ R n 2 ×m

B2

 u

tương ứng là các trạng thái con chậm và nhanh

Các ma trận Q, P trong phép biến đổi trên nói chung là không duy nhất

Nếu chúng ta chọn phép biến đổi P−1x = (x 1 /x 2 ), x 1 ∈ R2, x 2 ∈ R2, với

−1 0

0

 ,

0 = x2+  −1

0

 u;

Đây là dạng EF 1 đối với hệ (1.16)

1.1.3 Dạng tương đương thứ hai (Second Equivalent Form, EF 2)

Cho q = rankE Từ lý thuyết ma trận, tồn tại hai ma trận không suy biến

P 1 và Q 1 sao cho Q 1 EP 1 = diag(I q , 0) Với phép biến đổi P1−1x = (x 1 /x 2 ), x 1 ∈

B2

 u

⇔



˙x1 = A11x1+ A12x2+ B1u

0 = A21x1+ A22x2+ B2u.

Khi đó, hệ (1.10) tương đương với

B2

 , CP1= (C1 C2).

Phương trình (1.18) là phương trình tương đương thứ hai của hệ (1.10) được kýhiệu là EF 2 Trong phép biến đổi trên, ma trận Q1 và P1 nói chung là khôngduy nhất

Ví dụ 1.4 Xét hệ như trong ví dụ (1.3) Với phép biến đổiP1−1x = (x1/x2), x1 ∈

y = (0 1)x1+ (0 0)x2.

Đây là dạng EF 2 đối với hệ (1.16)

1.1.4 Dạng tương đương thứ ba (Third Equivalent Form, EF 3 )

Dưới giả thiết chính quy, luôn tồn tại một số α sao cho det(αE + A) 6= 0 Vớiphép biến đổi ma trận

Vậy hệ (1.10) là tương đương với

−1 0





 , C = (0 0 1 0).

Đây là dạng EF 3 đối với hệ (1.16)

1.2 Công thức nghiệm của phương trình vi phân suy biến

q = rankE < n, (E, A) là cặp ma trận chính quy

Vì (E, A) là cặp ma trận chính quy, nên tồn tại hai ma trận khả nghịch P

và Q sao cho

QEP =diag(In , N ), QAP = diag(A1, In ), (1.22)

trong đó A 1 ∈ Rn1 ×n 1 , N ∈ Rn2 ×n 2 là ma trận lũy linh cấp h (tức là Nh = 0) và

n1+ n2 = n Đặt

x = P  x1

x2

 , x1 ∈ Rn1 , x2 ∈ Rn2 ,

QB =  B1

B2

 , B1 ∈ Rn1 , B2 ∈ Rn2 , CP = ( C 1 C2 )

Khi đó, hệ (1.21) có dạng tương đương EF 1là

x 1 (t) = eA1 t

x 1 (0) +

t Z 0

x(h)2 = N x(h+1)2 − B2u(h),

trong đó x(i)2 là đạo hàm cấp i của hàm x2(t)

NiB 2 u(i)

= −

h−1 X i=0

NiB 2 u(i) (vì N lũy linh cấp h). (1.25)

Vì thế ta có

x1(t) = eA1 t

x1(0) +

t Z 0

eA1 (t−τ )

B1u(τ )dτ ;

x2(t) = −

h−1 X i=0

x 1 (0) +

t Z 0

eA1 (t−τ )

B 1 u(τ )dτ ) − P  0

I

 h−1 X i=0

NiB 2 u(i)(t);

y(t) = Cx(t) = CP  I

0

 (eA1 t x1(0) +

t Z 0

eA1 (t−τ ) B1u(τ )dτ ) − CP  0

I

 h−1 X i=0

NiB2u(i)(t).

Phương trình (1.26) biểu thị rằng khi t > 0, trạng thái x(t) = P (x1(t)/x2(t))

được định nghĩa duy nhất bởi trạng thái ban đầu x 1 (0), điều khiển đầu vào

u(τ ), 0 ≤ τ ≤ t và thời gian t

Ta thấy rằng không phải lúc nào hệ (1.21) cũng có nghiệm theo nghĩa cổđiển Ta đưa vào khái niệm nghiệm suy rộng nhờ khái niệm đạo hàm suy rộngnhư sau

Giả sử ϕ(x) là hàm khả vi vô hạn lần xác định trên trục thực R và ϕ(x)

bằng không ở ngoài khoảng đóng bị chặn A ⊂ R Các hàm này được gọi là cáchàm thử Giả sử A là tập đóng nhỏ nhất sao cho, nếu x0 ∈ A, với mọi lân cận

U (x 0 ) của x 0, tồn tại một điểm x ∈ U (x 0 ) mà ϕ(x) 6= 0 Khi ấy A là giá của hàm

ϕ(x) Ký hiệu D là tập các hàm thử Rõ ràng, D là không gian tuyến tính.Định nghĩa 1.3 Cho {ϕi(x)} là dãy các hàm thử Nếu các hàm ϕi(x) cùng cógiá A với mọi k = 0, 1, 2 , dãy ϕ(k)i (x) hội tụ đều tới không, thì dãy {ϕi} đượcgọi là hội tụ tới hàm không và được ký hiệu bởi

lim i→∞ ϕi(x) = 0.

Định nghĩa 1.4 Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D được gọi là hàmsuy rộng

Nếu f (x) là hàm suy rộng thì f (x) có các tính chất sau

1 < f, (aϕ1+ bϕ2) >= a < f, ϕ1 > +b < f, ϕ2 >, ∀ϕ1, ϕ2∈ D; a, b ∈ R.

2 Nếu ϕi → 0, < f, ϕi>→ 0 (i → ∞).

Ở đây < f, ϕ > là một số thực định nghĩa bởi f, ϕ theo một quy luật nào đó

Ví dụ 1.6 Giả sử f (x)nhận giá trị thực trên R và là hàm khả tích địa phương.Khi ấy, sử dụng tích vô hướng cho f, g ta có

< f, g >=

Z R

f (x)g(x)dx =

Z A

Ví dụ, hàm f (x) = e−a|x|, a > 0, và các hàm đa thức là các hàm suy rộng

Theo định nghĩa, hàm theo nghĩa thông thường là các hàm suy rộng Nhưvậy, khái niệm hàm suy rộng là sự mở rộng hàm theo nghĩa thông thường

Ví dụ 1.7 Cho < f, g > xác định bởi (1.27) Thì

(δ, ϕ) := ϕ(0)

định nghĩa duy nhất hàm δ(x)

Cho < f, g >xác định bởi (1.27) và f (x) khả vi trênR với đạo hàm f0(x) Thìchúng ta có

−T ϕ(x)df (x)

= lim

T →∞ (f (x)ϕ(x)

T

−T −

T Z

được gọi là bước nhảy của hàm f tại τ0

Cho f0(x)là đạo hàm thông thường của hàm f (x) và f˙0(x) là đạo hàm suyrộng của hàm f (x) mà giả sử tồn tại đạo hàm tại điểm x ∈ R Cho ϕ(t) ∈ D, tacó

< ˙ f0, ϕ > =< f, −ϕ0 >= lim

ε→0 {−

τ 0 −ε Z

−∞

f (x)ϕ0(x)dx−

∞ Z

−∞

f0ϕdx +

∞ Z

Giả sử rằng u(t) là có đạo hàm liên tục từng khúc đến cấp h Ký hiệu ˙x02(t)

và ˙x2(t) lần lượt là đạo hàm theo nghĩa suy rộng và đạo hàm theo nghĩa thôngthường của hàmx2(t) Từ (1.28), phương trình tương đương theo nghĩa suy rộngcủa phương trình N ˙x2= x2+ B2u là

δ(i−1)(t)Nix2(0) −

h−1 X i=0

Từ (1.24) và (1.29) ta có thể viết nghiệm x(t) dưới dạng

x(t) = P [I/0]eA1 t [I 0]P−1x(0) + P [I/0]

t Z 0

eA1 (t−τ ) B1u(τ )dτ

− P [0/I]

h−1 X i=1

δ(i−1)(t)Ni[0 I]P−1x(0) − P [0/I]

h−1 X i=0

Nếu chúng ta chọn phép biến đổi P−1x = (x 1 /x 2 ), x 1 ∈ R2, x 2 ∈ R2,

0 = x 2 +  −1

0

 u;

Từ (1.24) và (1.25) ta có

x1(t) = eA1 (t) x1(0) +

t Z 0

eA1 (t−τ )  1

0

 u(τ )dτ ;

x2(t) =  1

0

 u(t).

Như vậy, nghiệm của hệ (1.31) là

2 t − √

3cos

√ 3

2 t −2 sin

√ 3

2 t

2 sin

√ 3

√ 3

2 t + √

3cos

√ 3

e−1/2(t−τ ) − sin

√ 3

2 (t − τ ) − √

3cos

√ 3

2 (t − τ )

2 sin

√ 3

2 (t − τ )

! u(τ )dτ ;

x2(t) =  1

0

 u(t).

Trong ví dụ này, N = 0; vì thế không xuất hiện thành phần dạng xung trongtrạng thái nhanh

trong đó

N =  0 1

0 0

 , B =  −1

−1



Nghiệm của hệ trên là

NiBu(i)(t)

=  −x2(0)δ(t) + u(t) + ˙u(t) u(t)



Vì thế

x1(t) = −x2(0)δ(t) + u(t) + ˙u(t);

Xét hai trường hợp đặc biệt

1. Cho hàm điều khiển là hàm bước nhảy đơn vị

1.3 Tính điều khiển được của hệ phương trình vi phân suy

biến tuyến tính với hệ số hằng

R(x1(0)) = {w ∈ Rn| tồn tại t1 > 0 và điều khiển u(t) ∈ Cph−1: x(t1) = w},

là một không gian con trong không gian vectơ n chiều

Ký hiệu

< E|B >=Im[B, EB, , En−1B],

trong đó n là số chiều của ma trận E Ở đây [B, EB, , ] là ma trận tạo bởi các

ma trận được sắp xếp liên tiếp cạnh nhau

Chứng minh Xét vectơ đa thức

f (t) = a0(t − t1)h−1+ a1(t − t1)h−2+ + ah−2(t − t1) + ah−1.

Ta có

f(0)(t1) = ah−1= u0,

f0(t1) = ah−2= u1, ,

eAt = f0(t)I + f1(t)A + + fn−1(t)An−1.

Định lý 1.3 (xem[2], trang25) Cho R(0) là tập các trạng thái đạt được từ trạngthái ban đầu x1(0) = 0 Khi đó

R(0) =< A1|B1 > ⊕ < N |B2 >,

trong đó ⊕ là tổng trực tiếp trong không gian vectơ

Chứng minh Giả sử x ∈ R(0), khi ấy tồn tại t1> 0 sao cho

x1(t1) =

t 1

Z 0

eA1 (t 1 −τ ) B1u(τ )dτ, x2(t1) = −

h−1 X i=0

NiB2u(i)(t1).

Như vậy, hiển nhiên, x 2 (t 1 ) ∈< N |B 2 > Hơn nữa theo Định lý Hamilton ta có

eA1 t = β0(t)I + β1(t)A1+ + βn1−1(t)An1 −1

eA1 (t 1 −τ ) B1u(τ )dτ =

n 1 −1 X i=0

Ai1B1

t 1

Z 0

βi(t1− τ )u(τ )dτ ∈< A1|B1 >

mà x(t) = (x1(t)/x2(t)) với mọi t nên x(t1) ∈< A1|B1> ⊕ < N |B2> Vì thế,

R(0) ⊆< A1|B1 > ⊕ < N |B2 > (1.34)Mặt khác, cho bất kỳ x = (x 1 /x 2 ) ∈< A 1 |B 1 > ⊕ < N |B 2 >, với x 1 ∈< A 1 |B 1 >,

x2∈< N |B2 >, từ x2 ∈< N |B2 > tồn tại x2i∈ R m , i = 0, 1, 2, , h − 1 sao cho

x2 = −

h−1 X i=0

NiB2x2i.

Từ Bổ đề (1.3), cho t > 0, luôn tồn tại một đa thức f2(s) có bậc h − 1 sao cho

f2(i)(t) = x2i Chọn điều khiển

u(t) = u1(t) + f2(t),

với u 1 (t) sẽ được xây dựng sau Khi ấy ta có

x 1 (t) =

t Z 0

eA1 (t−τ )

B 1 u 1 (τ )dτ +

t Z 0

Ai1B 1

t Z 0

eA1 (t−τ ) B1f2(τ )dτ.

Với t > 0, đặt f 1 (s) = sh(s − t)h Khi đó f 1 (s) không đồng nhất bằng không vàtheo Bổ đề (1.2) thì tồn tại một vectơ z ∈ Rn1 sao cho

eA1 (t−τ ) B1u1(τ )dτ = W(f1, t)z,

ta có

t Z 0

eA1 (t−τ ) B1u1(τ )dτ =

t Z 0

eA1 (t−τ ) B1f12(τ )B1τeAτ(t−τ )zdτ

= [

t Z 0

f1(τ )eA1 (t−τ ) B1Bτ1eAτ(t−τ )f1(τ )dτ ]z

= [

t Z 0

f1(t − τ )eA1 (t−τ ) B1B1τeAτ(t−τ )f1(t − τ )dτ ]z

= [

t Z 0

eA1 (t−τ )

B 1 u 1 (τ )dτ = x 1 −ex 1 + W (f 1 , t)z = x 1

Ta có

h−1 X i=0

NiB2u(i)1 (t)

= −

h−1 X i=0

NiB2x2i(t) − [

h−1 X i=0

NiB2(u(t) − f2(t))(i)]

= −

h−1 X i=0

NiB2f2(i)(t) −

h−1 X i=0

NiB2u(i)(t) +

h−1 X i=0

NiB2f2(i)(t)

= −

h−1 X i=0

NiB2u(i)(t) = x2(t).

Vậy

x2(t) = x2−

h−1 X i=0

là tập trạng thái đạt được từ điểm ban đầu x1(0) khi điều khiển u(t) ≡ 0

Nếu R là tập đạt được của hệ (1.21) xác định như là hợp của tất cả cáctập đạt được từ mọi trạng thái ban đầu x1(0) ∈ Rn1, thì

R = [

x (0) R(x 1 (0)).

Và R cũng có thể biểu diễn dưới dạng

R = [

x 1 (0) (R(0) + H(x1(0)) = Rn1 ⊕ < N |B2 > (1.35)Hiển nhiên 0 ∈ R.

0 = x 2 +  −1

0

 u;

0

 , B 2 =  −1

0

 , N = 0, C 1 = (0 1), C 2 = 0.

Tập đạt được của hệ từ điều kiện ban đầu x 1 (0) = 0 là

R = R(0) = R2, R(0) =< N |B2 >= R2.

Cả hai là toàn bộ không gian vectơ Trạng thái nghiệm của hệ này là

x(t) = −

h−1 X i=0

NiB2u(i)(t) =  u(t) + ˙u(t)

u(t)



Cho bất kỳ w = [w1/w2] ∈ R2 và t1> 0, phương trình x(t1) = w suy ra

u(t1) = w2, ˙u(t1) = w1− w2.

Như vậy, phương trình thứ nhất cố định giá trị của u(t) tại thời điểm t1 vàphương trình thứ hai cho sự thay đổi vận tốc của u(t) tại t1 Rõ ràng, u(t) sẽtăng hay giảm mạnh tại t1 nếuw1 và w2 khác nhau rõ rệt Chiến lược điều khiểnnày khó thực hiện trong hệ thống cơ học thay đổi chậm hay hệ thống hóa học

1.3.2 Điều khiển được, điều khiển được tương đối, R - điều khiển được, và

điều khiển được dạng xung

Điều khiển được, điều khiển được tương đối, R - điều khiển được và điềukhiển được dạng xung là bốn khái niệm quan trọng trong hệ suy biến Bởi sửdụng bốn khái niệm này, chúng ta có một hiểu biết đúng đắn của điều khiểnđược bởi điều khiển đầu vào Tính điều khiển được cũng phản ánh sự khác biệtcủa hệ suy biến và hệ thông thường

Định nghĩa 1.7 Hệ (1.21) được gọi là điều khiển được nếu, cho bất kỳ t1 >

0, x(0) ∈ Rn và w ∈ Rn, thì tồn tại một điều khiển u(t) ∈ Cph−1 sao cho x(t 1 ) = w.

Xét hệ (1.21) dưới dạng hệ con chậm - nhanh, chúng ta có:

trình vi phân thường tuyến tính dưới đây (xem [2], trang 310 hoặc [1]).

Xét hệ

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) = x0;

trong đó x ∈ Rn, u ∈ Rm, y ∈ Rr, A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m, là các ma trận hằng.(a) Nghiệm của hệ (1.41) là

x(t) = eAtx(0) +

t Z 0

eA(t−τ )Bu(τ )dτ

(b) Tính điều khiển được

Hệ (1.41) là điều khiển được khi và chỉ khi

rank[sI − A, B] = n, ∀s ∈ C,

hay tương đương với

rank[B, AB, , An−1B] = n.

Định lý 1.4 (xem[2], trang29)

(1) Hệ con chậm (1.38) là điều khiển được khi và chỉ khi

rank[sE − A, B] = n, ∀s ∈ C và s là hữu hạn, (1.42)trong đó C là không gian các số phức

(2) Các mệnh đề sau là tương đương:

(a) Hệ con nhanh (1.39) là điều khiển được

(3) Các mệnh đề sau là tương đương:

(a) Hệ (1.21) là điều khiển được

(b) Cả hai hệ con nhanh và chậm là điều khiển được

(c) rank[B1, A1B1, , An1 −1

1 B1] = n1 và rank[B2, N B2, , Nh−1B2] = n2.(d) rank[sE − A B] = n, ∀s ∈ C, s hữu hạn, và rank[E B] = n.

Như vậy, sN − I là khả nghịch Chúng ta có

rank[sE − A, B] = n2+rank[sI − A1, B1].

Do đó (1.43) thỏa mãn nếu và chỉ nếu rank[sE − A, B] = n, ∀s ∈ C và s hữu hạn.Như vậy, (1.42) được chứng minh

(2) Theo định nghĩa, nếu hệ con nhanh (1.39) là điều khiển được thì< N |B2 >=

Rn2, hay rank[B2, N B2, , Nh−1B2] = n2 Vì thế (a) và (b) là tương đương.Hơn nữa, (N, B2) là điều khiển được nếu và chỉ nếu

rank[sI − N, B2] = n2, ∀s ∈ σ(N ), (1.44)trong đóσ(N ) = {s : s ∈ C, |sI − N | = 0} VìN là lũy linh, σ(N ) = {0} Phươngtrình (1.44) là đúng nếu và chỉ nếu rank[−N B 2 ] =rank[N, B 2 ] = n 2 Vì thế (b)

và (c) là tương đương

Để chứng minh tương đương giữa (c) và (d), chúng ta cần chú ý

rank[E B] =rank[QEP QB] = n1+rank[N B2]

điều này có nghĩa là rank[N B2] = n2 là tương đương với rank[E B] = n. Nhưvậy, (c) và (d) là tương đương

Điều kiện tương đương giữa (d) và (e) được chứng minh một cách tươngtự

(3) Ta chứng minh (a) tương đương với (c)

Giả sử (a) thỏa mãn và x1(0) = 0, theo định nghĩa điều khiển được, cho bất kỳ

t 1 > 0 và w ∈ Rn, tồn tại một điều khiểnu(t) ∈ Cph−1 sao cho x(t 1 ) = w Theo giảthiết R(0) =< A 1 |B 1 > ⊕ < N |B 2 >= Rn, hay rank[B 1 , A 1 B 1 , , An1 −1

Bây giờ chúng ta chứng minh sự tương đương giữa (c) và (e) Cho Q và P

là phép biến đổi ma trận từ (1.21) đến (1.23), và

ˆ

Q =diag(Q, Q, , Q) ∈ Rn2×n2; ˆ

Như vậy, D 1 có hạng đầy đủ theo hàng nếu và chỉ nếu

Ta cóNi= 0, i ≥ h (h ≤ n 2 ),theo Định lý Hamilton giả sử tồn tạiβ 0 , β 1 , , β n 1 −1,sao cho

Vì thế, D¯1 ( hay D1) có hạng đầy đủ theo hàng khi và chỉ khi cả hai (A1, B1) và

(N, B2) là điều khiển được, hay nói cách khác, hệ (1.21) là điều khiển được Nhưvậy, (a) và (e) là tương đương

vị trí của chuyển động trong không gian, nhưng khó có thể biết được các tọa độbiểu thị vận tốc và gia tốc của chuyển động Nói cách khác, ta chỉ có thể quansát được đầu ra của trạng thái trong một không gian con nào đó Vì vậy chúng

ta đi đến khái niệm điều khiển được tương đối (về không gian con dưới đây).Giả sử K là ma trận l × n chiều, rankK = l, l ≤ n Có thể coi K là ma trậncủa phép biến đổi tuyến tính từ không gian Rn vào không gian Rl Để sáng rõhơn trong trình bày, ta giả thiết K là ma trận l × n chiều Ta cũng có thể giảthiết K là ma trận n × n chiều có rankK = l Khi đó có thể coi K là ma trậncủa phép biến đổi tuyến tính từ không gian Rn vào không gian Rn

Định nghĩa 1.8 Hệ (1.21) được gọi là K - điều khiển được (tức là điều khiểnđược tương đối đối với không gian conKx = 0) nếu với mọix0, tồn tại¯t (¯t < ∞),tồn tại u(t) là hàm liên tục từng khúc sao cho Kx(¯ t) = 0.

Mệnh đề 1.1 Hệ (1.21) được gọi là K - điều khiển được khi và chỉ khi

Định nghĩa 1.9 Hệ (1.21) được gọi là R - điều khiển được nếu với bất kỳ

t1 > 0, x1(0) ∈ R và w ∈ R, thì luôn tồn tại một điều khiển u(t) ∈ Cph−1 sao cho

x(t1) = w.

Định lý 1.5 (xem[2], trang34) Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) Hệ (1.21) là R - điều khiển được

(ii) Hệ con chậm (1.38) là điều khiển được

(iii) rank[sE − A, B] = n, ∀s ∈ C, s hữu hạn

,

trong đó k ≥ n1 là một số nguyên dương bất kỳ, ví dụ k =rankE hay n Ma trận

D2 có hạng đầy đủ theo hàng là kn

Chứng minh Trước hết ta chứng minh sự tương đương giữa (i) và (ii)

Cho x(0) = 0 ∈ R, theo định nghĩa hệ (1.21) là R - điều khiển được thì

R(0) =< A1|B1 > ⊕ < N |B2 >= Rn1 ⊕ < N |B2>

Như vậy, < A1|B1 >= Rn1 Hệ con chậm (1.38) là điều khiển được và ngược lại.Như vậy, (i) và (ii) là tương đương

Sự tương đương giữa (ii), (iii), và (iv) là kết quả trực tiếp của Định lý (1.4).

Sự tương đương giữa (iv) và (v) được chứng minh một cách tương tự nhưcách chứng minh của (3) (e) trong Định lý (1.4)

Định lý này, kết hợp với Định lý (1.4), nói rằng hệ (1.21) là R - điều khiểnđược nếu nó là điều khiển được, nhưng ngược lại là không đúng

Ví dụ 1.13 Từ định nghĩa của R - điều khiển được, hệ sau

N ˙x = x + Bu;

trong đó N là ma trận lũy linh, thì luôn luôn là R - điều khiển được

Rõ ràng, các khái niệm điều khiển được và R - điều khiển được chỉ liên quantới trạng thái cuối của hệ, là một phần tử trong không gian trạng thái Mặtkhác, theo nhận xét trước đây trong không gian trạng thái, cũng tồn tại thànhphần dạng xung đặt lên hoặc là điều kiện ban đầu hoặc là do bước nhảy trongđiều khiển đầu vào u ∈ Cph−1 và các đạo hàm của nó Vì vậy, cần phải phân tíchảnh hưởng của điều khiển ở dạng xung lên trạng thái nghiệm

Theo phần1.2, không có dạng xung trong trạng thái conx1(t)khi u ∈ Cph−1

và dạng xung trong x2(t) thì được định nghĩa bởi

x 2τ (t) = −

h−1 X i=0

δ(i−1)(t)Nix 2 (0) −

h−1 X i=0

NiB 2 ∆ τ (u(i)(t)) (1.46)

và khi u(t) ≡ 0, ∆τ(u(i)(t)) = 0, chúng ta có

x2τ = −

h−1 X i=1

h−1 X i=1

δ(i−1)(t − τ )Niw. (1.48)Khi đó Iτ =0(x2(0), t) miêu tả hoạt động dạng xung ở x(t) tại điều kiện ban đầu

x2(0) Iτ(w, t) bao gồm tất cả các các dạng xung có thể thực hiện được ở x(t)

Điều khiển được, điều khiển tương đối, R - điều khiển điềukhiển dạng xung bốn khái niệm quan trọng hệ suy biến Bởi sửdụng bốn khái niệm này, có hiểu biết đắn điều khiển? ?ược điều khiển đầu... lược điều khiểnnày khó thực hệ thống học thay đổi chậm hay hệ thống hóa học

1.3.2 Điều khiển được, điều khiển tương đối, R - điều khiển được, và

điều khiển. .. hàm điều khiển hàm bước nhảy đơn vị

1.3 Tính điều khiển hệ phương trình vi phân suy< /h3>

biến