Luận văn thạc sĩ toán học độ phức tạp tô pô bậc cao và sắp xếp siêu phẳng

ë phùc t¤p tæpæ cõa mët sè khæng gian.. ë phùc t¤p tæpæ bªc cao cõa mët sè khæng gian... th¼tæpæ công âng mët vai trá h¸t sùc quan trång trong vi»c hi»n thüc hâac¡c þ t÷ðng cõa lþ thuy¸t

Möc löc

1.1 Khæng gian ph¥n thî v  tªp ENR 8

1.1.1 Khæng gian ph¥n thî 8

1.1.2 Tªp ENR 9

1.2 çng i·u v  èi çng i·u ký dà 10

1.2.1 C¡c kh¡i ni»m 10

1.2.2 Cæng thùc Kunneth 13

1.2.3 èi çng i·u cõa mët sè khæng gian 15

1.3 S­p x¸p c¡c si¶u ph¯ng v  ¤i sè Orlik-Solomon 16

1.3.1 S­p x¸p c¡c si¶u ph¯ng 16

1.3.2 ¤i sè Orlik- Solomon 19

2 ë phùc t¤p tæpæ bªc cao 22 2.1 C¡c ành ngh¾a 22

2.2 Ch°n tr¶n 28

2.3 Ch°n d÷îi 31

3 ë phùc t¤p tæpæ bªc cao cõa mët sè khæng gian 353.1 ë phùc t¤p tæpæ cõa mët sè khæng gian 353.2 ë phùc t¤p tæpæ bªc cao cõa mët sè khæng gian 413.3 Mët sè ¡nh gi¡ kh¡c 51

T i li»u tham kh£o 56

Mð ¦u

Sau c¡c tiºu thuy¸t vi¹n t÷ðng cõa nh  v«n Ti»p Karel Capek v  gi¡os÷ hâa sinh Isaac Asimov cõa ¤i håc Boston Mÿ, con ng÷íi b­t ¦uquan t¥m ¸n robot â l  nhúng cé m¡y, nhªn input l  c¥u l»nh c¦nph£i l m g¼ v  tü nâ s³ quy¸t ành l m nh÷ th¸ n o, khæng c¦n câ sücan thi»p cõa con ng÷íi

C¡c nghi¶n cùu g¦n ¥y trong lþ thuy¸t robot cho th§y, b¶n c¤nhnhúng chuy¶n ng nh to¡n håc nh÷ i·u khiºn, tèi ÷u, thèng k¶, th¼tæpæ công âng mët vai trá h¸t sùc quan trång trong vi»c hi»n thüc hâac¡c þ t÷ðng cõa lþ thuy¸t robot Câ thº nâi lþ thuy¸t robot tæpæ chia l mhai h÷îng ch½nh: Thù nh§t l  nghi¶n cùu c¡c b i to¡n tæpæ b­t nguçn

tø lþ thuy¸t robot v  kÿ thuªt; thù hai l  ¡p döng c¡c þ t÷ðng, ph÷ìngph¡p cõa tæpæ, nh§t l  tæpæ ¤i sè º gi£i quy¸t c¡c v§n · cõa kÿ thuªt

v  lþ thuy¸t robot

Mët trong nhúng h÷îng nghi¶n cùu r§t quan trång trong nhúng n«mg¦n ¥y l  lþ thuy¸t ë phùc t¤p tæpæ ÷ñc · xu§t bði M.Faber Nâxu§t ph¡t tø b i to¡n lªp k¸ ho¤ch chuyºn ëng trong khæng gian c¡ctr¤ng th¡i X cõa mët h» cì håc Mët chuyºn ëng li¶n töc cõa mëth» ÷ñc biºu di¹n bði mët ÷íng cong li¶n töc γ : [0, 1] → X iºm

A = γ(0) l  tr¤ng th¡i ban ¦u v  iºm B = γ(1) l  tr¤ng th¡i k¸t thóc.Lªp k¸ ho¤ch chuyºn ëng ngh¾a l  cho tr÷îc hai iºm b§t ký A, B ∈ X

ta c¦n mæ t£ ÷íng i tø A tîi B i·u n y ngh¾a l  ta c¦n x¥y düngmët ¡nh x¤ °t t÷ìng ùng méi c°p (A, B) ∈ X × X vîi mët ÷íng ili¶n töc tø A tîi B B i to¡n n y ÷ñc ph¡t biºu b¬ng b i to¡n tæpænh÷ sau.

Cho X l  khæng gian tæpæ, °t

P X = {γ : [0, 1] → X li¶n töc}

l  khæng gian c¡c ÷íng i li¶n töc vîi tæpæ compact mð, x²t ¡nh x¤

π : P X → X × X, π(γ) = (γ(0), γ(1))d¹ th§y ¡nh x¤ π l  mët ph¥n thî (theo ngh¾a Serre), t¼m ¡nh x¤

s : X × X → P Xsao cho πs = idX×X hay ch½nh l  t¼m mët nh¡t c­t cõa ph¥n thî tr¶n.Mët k¸ ho¤ch chuyºn ëng ch½nh l  mët ¡nh x¤ li¶n töc s nh÷ vªy V l³ d¾ nhi¶n c¥u häi ¦u ti¶n °t ra l : " Câ tçn t¤i ¡nh x¤ li¶n töc nh÷tr¶n khæng?" C¥u tr£ líi ÷ñc M.Faber chùng minh r¬ng: "nh x¤ âtçn t¤i khi v  ch¿ khi X l  co rót ÷ñc" Ngh¾a l  ¡nh x¤ s ch¿ tçn t¤itrong tr÷íng hñp r§t ìn gi£n V  c¥u häi têng qu¡t hìn l  li»u câ thºphõ X × X b¬ng ½t nh§t bao nhi¶u tªp mð º tr¶n méi tªp mð â tçnt¤i mët nh¡t c­t li¶n töc cõa π Sè nguy¶n d÷ìng k nhä nh§t m  X × X

câ thº ÷ñc phõ bði k tªp nh÷ tr¶n ÷ñc gåi l  ë phùc t¤p tæpæ T C(X)cõa X Kh¡i ni»m n y ÷ñc M.Faber ÷a ra trong [4] n«m 2001 ¥y l mët b§t bi¸n çng lu¥n

Kh¡i ni»m ë phùc t¤p tæpæ T C(X) cõa khæng gian X thüc ch§tch½nh l  kh¡i ni»m gièng Shwarz ÷ñc ành ngh¾a trong [13], ¡p döngvîi ph¥n thî (P X, π, X ×X, B), vîi thî B çng lu¥n vîi khæng gian c¡cnót ΩX trong X Do â c¡c t½nh ch§t cõa T C(X) công nh÷ c¡c ¡nh

gi¡ ch°n tr¶n, ch°n d÷îi công câ thº nhªn d÷ñc tø c¡c k¸t qu£ t÷ìng tücho gièng Shwarz.

N«m 2009 Rudyak ¢ têng qu¡t hâa kh¡i ni»m n y º ành ngh¾a kh¡ini»m ë phùc t¤p tæpæ bªc n ≥ 2 b§t ký cõa X, cán gåi l  ë phùc t¤ptæpæ bªc cao cõa X, mët kh¡i ni»m công câ nhúng ùng döng rã r ngtrong lþ thuy¸t robot ë phùc t¤p tæpæ bªc n ÷ñc ành ngh¾a thængqua gièng Shwarz cõa ph¥n thî (XJn, en, Xn, F ) (trong ch÷ìng 2) v  khi

÷a v· tr÷íng hñp n = 2 th¼ ho n to n tròng ë phùc t¤p tæpæ thængth÷íng T÷ìng tü ë phùc t¤p tæpæ, ë phùc t¤p tæpæ bªc cao công l mët b§t bi¸n çng lu¥n Khæng nhúng th¸ v· þ ngh¾a vªt lþ công têngqu¡t hìn ë phùc t¤p tæpæ thæng th÷íng t÷ìng ùng cho b i to¡n lªpk¸ ho¤ch chuyºn ëng cho mët ræbæt, hay lªp k¸ ho¤ch chuyºn ëng tøtr¤ng th¡i n y tîi tr¤ng th¡i kh¡c Cán ë phùc t¤p tæpæ bªc n t÷ìngùng vîi b i to¡n lªp k¸ ho¤ch chuyºn ëng cho (n − 1) ræbæt còng xu§tph¡t tø mët iºm, hay l  tø mët tr¤ng th¡i ban ¦u ta lªp k¸ ho¤chchuyºn ëng tîi (n − 1) tr¤ng th¡i kh¡c

Mët iºm núa l  kh¡i ni»m ë phùc t¤p tæpæ v  ë phùc t¤p tæpæbªc cao cõa khæng gian X r§t g¦n vîi kh¡i ni»m cat(X) trong ph¤m tròLusternik - Schnirelman

Vi»c t½nh to¡n ë phùc t¤p tæpæ thæng th÷íng r§t khâ kh«n, trongtr÷íng hñp têng qu¡t ta ch¿ câ th¸ ÷a ra mët sè ch°n tr¶n, ch°n d÷îicho nâ Tuy nhi¶n công ¢ câ r§t nhi·u k¸t qu£ trong vi»c t½nh to¡n ëphùc t¤p tæpæ cho m°t c¦u, di»n Riemann, khæng gian c§u h¼nh tr¶n

Rm, ph¦n bò cõa s­p x¸p generic c¡c si¶u ph¯ng tuy¸n t½nh phùc, dâ

l  c¡c k¸t qu£ cõa M.Faber, Daniel C Cohen, Yuzvinsky ë phùc t¤ptæpæ bªc cao công t÷ìng tü, tùc l  trong tr÷íng hñp têng qu¡t ta công

ch¿ câ thº ÷a ra ÷ñc c¡c ch°n tr¶n v  ch°n d÷îi cho nâ v  công ch¿ câthº t½nh to¡n ÷ñc trong mët sè tr÷íng hñp cö thº.

Luªn v«n n y nh¬m t¼m hiºu hai kh¡i ni»m tr¶n, °c bi»t l  ë phùct¤p tæpæ bªc cao Chóng tæi công cè g­ng ¡p döng c¡c ki¸n thùc håc

÷ñc º t½nh to¡n ë phùc t¤p tæpæ bªc cao cho mët sè khæng gian ch÷a

÷ñc c¡c t¡c gi£ kh¡c t½nh to¡n, nhúng khæng gian n y ¢ câ k¸t qu£t½nh to¡n cho ë phùc t¤p tæpæ thæng th÷íng, v  ÷a ra mët sè ch°ntr¶n, ch°n d÷îi cho mët sè khæng gian m  chóng tæi s³ ti¸p töc nghi¶ncùu v  t½nh to¡n v· sau

Luªn v«n ÷ñc chia l m 3 ch÷ìng vîi nëi dung nh÷ sau

Ch÷ìng 1 tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc chu©n bà c¦n thi¸t nh÷ c¡c ki¸nthùc cì b£n v· khæng gian ph¥n thî, èi çng i·u ký dà, s­p x¸p c¡csi¶u ph¯ng v  ¤i sè Orlik-Solomon

Ch÷ìng 2 nghi¶n cùu c¡c kh¡i ni»m v· ë phùc t¤p tæpæ, gièngShwarz cõa mët ph¥n thî, ë phùc t¤p tæpæ bªc cao v  ÷a ra mët sèc¡c ch°n tr¶n v  ch°n d÷îi cho chóng

Ch÷ìng 3 tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· ë phùc t¤p tæpæ thæng th÷íngcõa mët sè khæng gian v  mð rëng c¡c ph÷ìng ph¡p t½nh to¡n cö thº ëphùc t¤p tæpæ bªc cao cho c¡c khæng gian â Ngo i ra cán ÷a ra mët

sè ch°n tr¶n ho°c ch°n d÷îi cho mët sè khæng gian quan trång

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n, ch¿ b£o v  gióp ï tªnt¼nh cõa th¦y PGS TS Nguy¹n Vi»t Dông, sü né lüc cõa b£n th¥n v 

sü ëng vi¶n cõa b¤n b±

Mët l¦n núa t¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi th¦y h÷îngd¨n PGS TS Nguy¹n Vi»t Dông, tîi c¡c th¦y cæ trong Vi»n to¡n håc

¢ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi cho t¡c gi£ ho n th nh luªn v«n n y T¡cgi£ công xin c£m ìn t§t c£ b¤n b± °c bi»t l  c¡c b¤n lîp cao håc k17Vi»n to¡n Cho dò ¢ cè g­ng, nh÷ng do thíi gian v  ki¸n thùc cõa b£nth¥n cán h¤n ch¸ n¶n luªn v«n khæng tr¡nh khäi sai sât T¡c gi£ mong

sü ch¿ b£o tªn t¼nh cõa c¡c th¦y cæ v  c¡c b¤n

H  Nëi, th¡ng 8 n«m 2011

T¡c gi£

Nguy¹n V«n Ninh

Ch֓ng 1

Ki¸n thùc chu©n bà

1.1 Khæng gian ph¥n thî v  tªp ENR

1.1.1 Khæng gian ph¥n thî

Cho p : E → B l  ¡nh x¤ li¶n töc tø khæng gian E l¶n khæng gian B

ành ngh¾a 1.1.1 Cho X l  mët khæng gian tæpæ Ta nâi r¬ng ¡nh x¤

p : E → B thäa m¢n i·u ki»n n¥ng çng lu¥n èi vîi khæng gian X n¸uvîi b§t ký ¡nh x¤ f : X → E v  b§t ký mët ph²p bi¸n d¤ng φt : X → Bthäa m¢n φ0 = pf ·u tçn t¤i mët ph²p bi¸n d¤ng ft : X → E cõa

f0 = f sao cho φt = pft

Khæng gian ph¥n thî ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau

ành ngh¾a 1.1.2 Cho E v  B l  c¡c khæng gian tæpæ nh x¤

p : E → B gåi l  mët ph¥n thî (hay mët khæng gian ph¥n thî) theo ngh¾aHurewicz (t÷ìng ùng theo ngh¾a Serre) n¸u nâ thäa m¢n i·u ki»n n¥ng

çng lu¥n cho mët khæng gian tæpæ (t÷ìng ùng cho mët polyhedron)b§t ký

Thüc t¸ h¦u h¸t c¡c ph¥n thî ÷ñc mæ t£ ·u l  ph¥n thî theo ngh¾aSere Trong to n bë luªn v«n n y khi nâi ¸n ph¥n thî ta hiºu l  ph¥n

thî theo ngh¾a Sere, v  ÷ñc gåi ìn gi£n l  mët ph¥n thî.

ành ngh¾a 1.1.3 Khæng gian E ÷ñc gåi l  khæng gian to n thº, B

÷ñc gåi l  ¡y v  vîi b ∈ B th¼ Fb = p−1(b) ÷ñc gåi l  thî tr¶n iºm b.Ph¥n thî p : E → B vîi thî ti¶u biºu l  F ÷ñc kþ hi»u l  (E, p, B, F )

ành ngh¾a 1.1.4 Hai ph¥n thî p1 : E1 → B v  p2 : E2 → B ÷ñcgåi l  t÷ìng ÷ìng çng lu¥n n¸u tçn t¤i c¡c ¡nh x¤ f : E1 → E2 v 

g : E2 → E1 thäa m¢n gf ' idE 1, fg ' idE 2 v  p2f = p1, p1g = p2

ành ngh¾a 1.1.5 Cho p : E → B l  ¡nh x¤ li¶n töc, A l  tªp con cõa

B Mët nh¡t c­t li¶n töc tr¶n A cõa p l  ¡nh x¤ li¶n töc s : A → E thäam¢n ps = idA Mët nh¡t c­t cõa ph¥n thî (E, p, B, F ), l  mët ¡nh x¤li¶n töc s : B → E thäa m¢n ps = idB

M»nh · 1 (Xem[3], M 8.10) Gi£ sû X l  khæng gian Hausdorff v 

l  hñp húu h¤n cõa c¡c tªp ENR Khi â X công l  ENR

M»nh · 2 (Xem [3], M 8.12) N¸u tªp con X ⊂ Rn l  compact àaph÷ìng v  co rót ia ph÷ìng th¼ X l  co rót l¥n cªn, do â X l  ENR.1.2 çng i·u v  èi çng i·u ký dà

1.2.1 C¡c kh¡i ni»m

Vîi méi sè nguy¶n q ≥ 0 ta gåi ìn h¼nh ti¶u chu©n q- chi·u l  tªp con

∆q = {x ∈ Rq+1 | x0 + x1 + + xq = 1, xi ≥ 0} cõa khæng gian Euclide

Rq+1 ∆q câ q + 1 ¿nh kþ hi»u l  e0, e1, , eq, ei = (0, , 0,

i+1

∨

1 , 0, , 0),tåa ë thù i + 1 b¬ng 1 Ta ành ngh¾a ¡nh x¤:

V· m°t h¼nh håc, ¡nh x¤ ξj n y ÷a ∆q−1 v o m°t èi di»n vîi ¿nh ej

ành ngh¾a 1.2.8 Cho X l  khæng gian tæpæ Mët ìn h¼nh ký dà q chi·u, hay q - ìn h¼nh ký dà trong X l  mët ¡nh x¤ li¶n töc: σq : ∆q → X.Gåi SqX l  nhâm Abel tü do sinh bði c¡c ìn h¼nh ký dà q - chi·u cõa

Do â ta câ phùc ký dà SX = (SqX, ∂) vîi SqX = 0 khi q < 0

−→ Sq+1(X) −→ S∂q+1 q(X) −→ S∂q q−1(X) −→

ành ngh¾a 1.2.9 Cho X l  khæng gian tæpæ Khi â çng i·u H∗SXcõa phùc SX = (SqX, ∂) ÷ñc gåi l  çng i·u ký dà nguy¶n cõa X Kþhi»u l  H∗X

Cö thº, HqSX = ker∂q/Im∂q+1 ÷ñc gåi l  nhâm çng i·u ký dà thù

q cõa X

Cho X, Y l  hai khæng gian tæpæ v  f : X → Y l  ¡nh x¤ li¶n töc Khi

â vîi méi q ¡nh x¤ f c£m sinh çng c§u fq : SqX → SqY C¡c ¡nh x¤

fq : SqX → SqY thäa m¢n fq−1∂ = ∂fq, tùc l  c¡c ¡nh x¤ {fq}lªp th nhmët ¡nh x¤ d¥y chuy·n m  ta v¨n kþ hi»u l  f : SX → SY nh x¤ d¥ychuy·n n y c£m sinh mët çng c§u tr¶n çng i·u f∗ : HqX → HqY vîimåi q ≥ 0, thäa m¢n

Tø â ta câ h» qu£ sau

H» qu£ 1 [10] N¸u f : X → Y l  mët t÷ìng ÷ìng çng lu¥n th¼ c¡c

¡nh x¤ c£m sinh f∗ : HqX → HqY l  ¯ng c§u vîi måi q

Trong ành ngh¾a c¡c nhâm çng i·u ð tr¶n c¡c h» sè trong c¡c nhâm

SqX ÷ñc l§y trong Z Mët c¡ch têng qu¡t ta câ thº ành ngh¾a çng

i·u vîi h» sè b§t ký nh÷ sau

Cho G l  mët nhâm Abel b§t ký T¡c ëng h m tû − ⊗ZG v o phùc

ành ngh¾a 1.2.10 çng i·u cõa phùc S(X; G) = (SqX ⊗ZG; ¯∂) gåi

l  çng i·u ký dà cõa X vîi h» sè trong G Kþ hi»u l  H∗(X; G)

Cö thº, Hq(X; G) = ker ¯∂q/Im ¯∂q+1 l  nhâm çng i·u ký dà thù q cõa

X vîi h» sè trong G

Mët c¡ch ìn gi£n ta câ thº xem méi ph¦n tû cõa nhâm Sq(X; G) =

SqX ⊗Z G nh÷ l  mët têng h¼nh thùc P

gσσq, trong â σq l  c¡c ình¼nh ký dà q - chi·u cõa X, gσ ∈ G, thay cho c¡c h» sè nσ ∈ Z nh÷ trong

→ HomZ(Sq−1X; G) → Homδq Z(SqX; G) δ→ Homq+1 Z(Sq+1X; G) →

ð ¥y δ = HomZ(∂; G) gåi l  ¡nh x¤ èi bi¶n

ành ngh¾a 1.2.11 Cho X l  khæng gian tæpæ Khi â èi çng i·ucõa èi phùc S∗(X; G) = Hom(SX; G) = (HomZ(SqX; G); δ) gåi l  èi

çng i·u ký dà cõa X vîi h» sè trong G Kþ hi»u : H∗(X; G)

Cö thº, Hq(X; G) = kerδq+1/Imδq gåi l  nhâm èi çng i·u ký dàthù q cõa X vîi h» sè trong G.

Tr÷íng hñp G = Z ta gåi H∗(X;Z) l  èi çng i·u ký dà nguy¶n cõa

X v  th÷íng kþ hi»u l  H∗(X)

Nhªn x²t: T½nh ch§t b§t bi¸n çng lu¥n v¨n óng èi vîi çng i·u

v  èi çng i·u ký dà vîi h» sè b§t ký

Trong â t½ch ð v¸ ph£i l  t½ch trong R T½ch n y câ mèi quan h» vîi

¡nh x¤ èi bi¶n δ nh÷ sau

Bê · 1.2.1 (Xem [10],B 3.6) δ(ϕ ∪ ψ) = δϕ ∪ ψ + (−1)kϕ ∪ δ(ψ) vîi

ϕ ∈ Sk(X; R) v  ψ ∈ Sl(X; R)

Tø cæng thùc δ(ϕ ∪ ψ) = δϕ ∪ ψ ± ϕ ∪ δ(ψ) ta câ ϕ ∪ δψ = ±δ(ϕ ∪ ψ)n¸u δϕ = 0 v  δϕ ∪ ψ = δ(ϕ ∪ ψ) n¸u δψ = 0 Tø â t½ch cup c£m sinhmët t½ch (ta v¨n gåi l  t½ch cup) tr¶n èi çng i·u

Hk(X; R) × Hl(X; R) −→ H∪ k+l(X; R)

Mët t½nh ch§t quan trång cõa t½ch cup l  t½nh gi¡o ho¡n ph¥n bªc.

ành lþ 1.2.2 (Xem [10], l 3.12) Cho R l  v nh giao ho¡n.Vîi måilîp èi çng i·u α ∈ Hk(X; R) v  β ∈ Hl(X; R) th¼ α∪β = (−1)klβ ∪α

Vîi t½ch nh÷ tr¶n H∗(X; R) trð th nh v nh giao ho¡n ph¥n bªc, ph¦n

Mð rëng ành ngh¾a t½ch cup ta ành ngh¾a t½ch cross nh÷ sau: Cho

X, Y l  2 khæng gian tæpæ, R l  v nh giao ho¡n Gåi p1, p2 l¦n l÷ñt

l  c¡c ph²p chi¸u l¶n X v  Y t÷ìng ùng Khi â ¡nh x¤ H∗(X; R) ×

H∗(Y ; R) −→ H× ∗(X × Y ; R) cho bði a × b = p∗

1(a) ∪ p∗2(b) l  mët ¡nh x¤song tuy¸n t½nh Ð ¥y

p∗1 : H∗(X; R) → H∗(X × Y ; R)

p∗2 : H∗(Y ; R) → H∗(X × Y ; R)Khi â theo t½nh ch§t phê döng cõa t½ch tenxì tçn t¤i duy nh§t çngc§u H∗(X; R) ⊗ H∗(Y ; R) −→ H× ∗(X × Y ; R) sao cho a ⊗ b 7→ a × b (tav¨n gåi l  t½ch cross) nh x¤ n y trð th nh çng c§u v nh n¸u ta ànhngh¾a ph²p nh¥n trong t½ch tenxì cõa c¡c v nh ph¥n bªc cho bði cængthùc (a ⊗ b)(c ⊗ d) = (−1)|b||c|ac ⊗ bd, ð ¥y |x| l  chi·u cõa x Cæng thùc

n y gåi l  cæng thùc Kunneth Vîi cæng thùc tr¶n ta câ

ành lþ 1.2.3 (Xem [10], l 3.15)T½ch cross H∗(X; R)⊗H∗(Y ; R) −→

H∗(X × Y ; R) l  mët ¯ng c§u v nh n¸u X v  Y l  CW - phùc v 

Hk(Y ; R) l  c¡c R - modun tü do húu h¤n sinh vîi måi k

ành lþ n y cho ph²p ta x¡c ành èi çng di·u cõa khæng gian t½chkhi bi¸t èi çng i·u cõa c¡c khæng gian th nh ph¦n °c bi»t khi X

l  mët CW - phùc v  Hk(X; R) l  c¡c R - modun tü do húu h¤n sinhvîi måi k th¼ H∗((X)n; R) ∼= H∗(X; R) ⊗ ⊗ H∗(X; R)

1.2.3 èi çng i·u cõa mët sè khæng gian

Trong ph¦n n y ta s³ giîi thi»u k¸t qu£ v· èi çng i·u cõa mët sèkhæng gian C¡c k¸t qu£ n y s³ ÷ñc dòng trong ch÷ìng 3

M»nh · 4 [3] Cho Sk l  m°t c¦u k chi·u khi â :

uiuj = 0 vîi måi i, j

M»nh · 6 [10] X = Σg, g > 1 l  m°t Riemann compact vîi gièng g.Khi â H∗(X) sinh bði c¡c ph¦n tû u1, , ug, v1, , vg ∈ H1(X) vîi quanh» uiuj = vivj = uivj = 0 vîi måi i 6= j, u2

i = vi2 = 0 v  uivi 6= 0

Mët khæng gian núa âng vai trá h¸t sùc quan trång trong lþ thuy¸t

æng lu¥n l  khæng gian c§u h¼nh tr¶n Rm Vîi k > 1 v  m ≥ 2 °t

F (Rm; k) = (x1, , xk) ∈ (Rm)k | xi 6= xj vîi i 6= j l  khæng gian c§uh¼nh k iºm tr¶n Rm Khi â èi çng i·u cõa khæng gian c§u h¼nh

÷ñc x¡c ành bði

M»nh · 7 [9] V nh èi çng i·u H∗(F (Rm; k)) sinh bði c¡c ph¦n tû

eij ∈ Hm−1(F (Rm; k)), 1 ≤ i 6= j ≤ k vîi quan h» e2

ij = 0 v  eijejt +

ejteti+ etieij = 0 vîi måi 1 ≤ i, j, t ≤ k

1.3 S­p x¸p c¡c si¶u ph¯ng v  ¤i sè Orlik-Solomon

Ph¦n cuèi còng cõa ch÷ìng n y chóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc

cì b£n cõa lþ thuy¸t s­p x¸p c¡c si¶u ph¯ng, °c bi»t l  kh¡i ni»m v·

¤i sè Orlik - Solomon

1.3.1 S­p x¸p c¡c si¶u ph¯ng

ành ngh¾a 1.3.13 Mët s­p x¸p c¡c si¶u ph¯ng A l  mët tªp húu h¤nc¡c si¶u ph¯ng trong khæng gian vectì V ∼= Kr, vîi K l  mët tr÷íng.Trong luªn v«n ta luæn x²t K = C

Vîi méi si¶u ph¯ng H trong khæng gian húu h¤n chi·u V ∼= Kr tçnt¤i α = (a1, , ar) ∈ Kr, α 6= 0 v  a ∈ K sao cho H = {v ∈ V | α.vT =a} = {(x1, , xr) ∈ Kr | a1x1 + + arxr = a}, hay ta nâi H câ ph÷ìngtr¼nh a1x1 + + arxr = a

Si¶u ph¯ng H ÷ñc gåi l  si¶u ph¯ng tuy¸n t½nh n¸u a = 0, l  si¶uph¯ng affine n¸u a 6= 0 Tªp c¡c si¶u ph¯ng (H1, , Hk) gåi l  ëc lªpn¸u h» {α1, , αk} t÷ìng ùng l  ëc lªp tuy¸n t½nh, gåi l  phö thuëcn¸u h» {α1, , αk} phö thuëc tuy¸n t½nh D¹ th§y n¸u V l  khæng gian rchi·u th¼ tªp gçm mët si¶u ph¯ng l  tªp ëc lªp, b§t ký tªp gçm p > rsi¶u ph¯ng ·u phö thuëc

ành ngh¾a 1.3.14 Cho s­p x¸p A:

i) A ÷ñc gåi l  s­p x¸p t¥m n¸u T

H∈AH 6= ∅, A ÷ñc gåi l  s­p x¸paffine n¸u T

H∈AH = ∅.ii) A gåi l  s­p x¸p ð và tr½ têng qu¡t n¸u:

kþ hi»u l  cA trong Kr+1 gçm si¶u ph¯ng H0

0 câ ph÷ìng tr¼nh x0 = 0 v c¡c si¶u ph¯ng H0 ÷ñc x¡c ành nh÷ sau Vîi méi H ∈ A, H câ ph÷ìngtr¼nh a1x1 + + arxr = a ta °t t÷ìng ùng mët si¶u ph¯ng H0 trong

Kr+1 câ ph÷ìng tr¼nh a1x1 + + arxr = ax0 Khi â ta th§y cA l  mëts­p x¸p t¥m, ÷ñc gåi l  nân tr¶n A N¸u A câ l si¶u ph¯ng trong khænggian r- chi·u th¼ cA câ l + 1 si¶u ph¯ng trong khæng gian (r + 1)- chi·u.Ng÷ñc l¤i, tø mët s­p x¸p t¥m (thüc ch§t) c¡c si¶u ph¯ng tuy¸n t½nh

ta câ thº x¥y düng mët s­p x¸p affine nh÷ sau: B¬ng mët ph²p bi¸n êitåa ë ta gi£ sû A chùa si¶u ph¯ng H0 câ ph÷ìng tr¼nh x0 = 0 X²t si¶uph¯ng H0

0 câ ph÷ìng tr¼nh x0 = 1 °t dA = {H ∩ H0

0 | H ∈ A} Khi âd¹ th§y dA l  s­p x¸p affine trong H0 , ÷ñc gåi l  gi£i nân cõa A N¸u

A câ l si¶u ph¯ng trong khæng gian r- chi·u th¼ dA câ l − 1 si¶u ph¯ngtrong khæng gian (r − 1)- chi·u

ành ngh¾a 1.3.15 S­p x¸p A gçm l si¶u ph¯ng trong khæng gian rchi·u gåi l  generic méi h» (H1, , Hk), Hi ∈ A, k ≤ r ·u ëc lªp.

ành ngh¾a 1.3.16 Cho s­p x¸p A Khi â:

H∈A

Hgåi l  ph¦n bò cõa A

Khi A l  mët s­p x¸p trong khæng gian vectì phùc r - chi·u, th¼ ph¦n

bò M = M(A) l  mët a t¤p 2r - chi·u thüc li¶n thæng ÷íng Ng÷íi

ta mong muèn nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t tæpæ cõa M nh÷ t½nh nhâm cìb£n, nhâm çng lu¥n bªc cao, , °c bi»t l  x¡c ành kiºu çng lu¥ncõa M M»nh · sau cho ta mèi quan h» giúa ph¦n bò cõa mët s­p x¸p

A v  ph¦n bò cõa nân tr¶n A

M»nh · 8 ([11], M 5.1) Cho A l  mët s­p x¸p affine v  °t cA l nân tr¶n A Khi â

M (cA) ≈ M (A ×C∗)

T÷ìng tü, n¸u A l  mët s­p x¸p t¥m th¼ M(A) ≈ M(dA) ×C∗

K¸t qu£ nêi ti¸ng v· kiºu çng lu¥n cõa ph¦n bò cõa mët s­p x¸pgeneric trong khæng gian phùc l  ành lþ cõa Hattori sau ¥y Tr÷îch¸t gåi Tm l  xuy¸n m chi·u, méi tªp con I ⊂ {1, , m} °t : Tm

I ={(z1, , zm) ∈ Tm | zj = 1, vîi j /∈ I}

ành lþ 1.3.4 (Xem[11]) A l  s­p x¸p affine l si¶u ph¯ng ð và tr½ têngqu¡t trong Cr v  gi£ sû l ≥ r + 1 Khi â ph¦n bò M = M(A) câ kiºu

çng lu¥n cõa

|I|=r

TIl

Khi A l  s­p x¸p t¥m, generic trong khæng gian r- chi·u gçm l si¶uph¯ng (l ≥ r) th¼ dA l  s­p s¸p affine gçm (l − 1) si¶u ph¯ng ð và tr½têng qu¡t trong khæng gian (r − 1)- chi·u p döng M»nh · 8 v  ành

lþ 1.3.4 ta ÷ñc

H» qu£ 2 Cho A l  s­p x¸p generic gçm l si¶u ph¯ng tuy¸n t½nh trong

Cr v  gi£ sû l ≥ r + 1 Khi â ph¦n bò M = M(A) câ kiºu çng lu¥ncõa

1.3.2 ¤i sè Orlik- Solomon

Vîi mët s­p x¸p A tòy þ trong khæng gian vectì phùc, ng÷íi ta câthº x¥y düng ÷ñc mët ¤i sè A ¯ng c§u vîi ¤i sè èi çng i·u cõaph¦n bò, th÷íng ÷ñc gåi l  ¤i sè Orlik - Solomon º thuªn ti»n chovi»c theo dãi ð ¥y chóng tæi tr¼nh b y l¤i khi A l  s­p x¸p t¥m

ành ngh¾a 1.3.17 Cho A l  mët s­p x¸p tr¶n K K l  mët v nh giaoho¡n °t

H∈A

KeH

v  °t E = E(A) = Λ(E1) l  ¤i sè ngo i cõa E1

Chó þ : E1 câ mët K- cì sð chùa c¡c ph¦n tû eH t÷ìng ùng vîic¡c si¶u ph¯ng cõa A Ta vi¸t uv = u ∧ v v  chó þ r¬ng e2

H = 0 v 

eHeK = −eKeH vîi H, K ∈ A ¤i sè E l  ph¥n bªc N¸u |A| = n th¼

ð ¥y E0 = K, E1 nh÷ tr¶n, Ep ÷ñc sinh tr¶n K bði t§t c£ c¡c ph¦n tû

câ d¤ng eH 1 eHp vîi Hk ∈ A

A = γ(0) l  tr¤ng th¡i ban ¦u v  iºm B = γ(1) l  tr¤ng th¡i cuèicòng cõa h» thèng Khæng gian X l  li¶n thæng ÷íng khi v  ch¿ khi tømët tr¤ng th¡i ban ¦u b§t ký ta câ thº di chuyºn ¸n mët tr¤ng th¡ib§t ký kh¡c b¬ng mët chuyºn ëng li¶n töc.

Ng÷íi ta quan t¥m tîi vi»c ÷a ra thuªt to¡n º t¼m c¡c chuyºn ëngnh÷ vªy Cö thº ch¿ ra mët thuªt to¡n cho t÷ìng ùng méi c°p iºm(A, B) cõa X, coi nh÷ c°p tr¤ng th¡i  ban ¦u - k¸t thóc , vîi mëtchuyºn ëng li¶n töc γ câ tr¤ng th¡i ban ¦u l  A v  tr¤ng th¡i k¸t thóc

l  B

B i to¡n vªt lþ tr¶n ÷ñc ph¡t biºu l¤i theo ngæn ngú to¡n håc nh÷sau

Cho X l  mët khæng gian tæpæ °t P X = {γ : [0, 1] → X li¶n töc}

l  khæng gian c¡c ÷íng i li¶n töc trong X vîi tæpæ compact mð

X²t ¡nh x¤

π : P X → X × X

γ 7→ (γ(0), γ(1))

D¹ th§y ¥y l  mët ph¥n thî theo ngh¾a Serre.(Xem [14],H» qu£ 3)

ành ngh¾a 2.1.20 Mët thuªt to¡n k¸ ho¤ch chuyºn ëng l  mët nh¡tc­t cõa ph¥n thî n y, ngh¾a l  t¼m ¡nh x¤ li¶n töc

s : X × X → P Xtho£ m¢n : πs = idX×X

Nh÷ vªy ch¿ ra mët thuªt to¡n lªp k¸ ho¤ch chuyºn ëng câ ngh¾a l ch¿ ra sü tçn t¤i cõa mët nh¡t c­t nh÷ vªy

C¥u häi ¦u ti¶n °t ra l  : " Câ tçn t¤i mët nh¡t c­t s nh÷ tr¶n haykhæng?" C¥u tr£ líi ch½nh l  ành lþ sau ¥y

ành lþ 2.1.6 [4] Cho X l  khæng gian tæpæ Nh¡t c­t s : X ×X → P Xtçn t¤i khi v  ch¿ khi X l  co rót ÷ñc

Chùng minh

+ Gi£ sû tçn t¤i nh¡t c­t s : X × X → P X Cè ành mët iºm A0 ∈ X.X²t hå ¡nh x¤:

ht : X → X, ht(B) = s(A0, B)(t)vîi B ∈ X, t ∈ [0, 1] Ta câ h1(B) = B, h0(B) = A0

Vªy X co rót ÷ñc v· A0 bði hå ht

+ Ng÷ñc l¤i, gi£ sû r¬ng câ çng lu¥n li¶n töc ht : X → X tho£ m¢n

h (A) = A, h (A) = A vîi b§t ký A ∈ X X²t c°p (A, B) ∈ X × X

Nh÷ vªy, nh¡t c­t ch¿ tçn t¤i trong tr÷íng hñp r§t ìn gi£n Trongtr÷íng hñp têng qu¡t nâi chung l  khæng tçn t¤i nh¡t c­t li¶n töc s.Ngay c£ khi ta gi£m bît y¶u c¦u v· t½nh li¶n töc cõa s, th¼ º tçn t¤inh¡t c­t s, ½t nh§t khæng gian X ph£i l  khæng gian li¶n thæng ÷íng.

Do â tø ¥y ta luæn gi£ thi¸t c¡c khæng gian l  li¶n thæng ÷íng

C¥u häi têng qu¡t hìn v· thuªt to¡n k¸ ho¤ch chuyºn ëng l  li»u ta

câ thº phõ X × X bði c¡c tªp con cõa nâ sao cho tr¶n méi tªp con âtçn t¤i nh¡t c­t li¶n töc s cõa π v  c¦n ½t nh§t bao nhi¶u tªp con nh÷th¸ i·u n y d¨n ¸n kh¡i ni»m ë phùc t¤p tæpæ do M.Faber ÷a ranh÷ sau

ành ngh¾a 2.1.21 [4] Cho X l  khæng gian tæpæ li¶n thæng ÷íng ëphùc t¤p tæpæ cõa X l  sè nguy¶n d÷ìng b² nh§t T C(X) = k tho£ m¢n

X × X câ thº phõ bði k tªp mð U1, , Uk sao cho tr¶n méi Ui tçn t¤imët nh¡t c­t li¶n töc si : Ui → P X tùc l  πsi = idUi vîi måi i = 1, , k.N¸u khæng tçn t¤i sè k nh÷ tr¶n th¼ ta nâi T C(X) = ∞

Nhªn x²t: Tø ành ngh¾a ta th§y kh¡i ni»m ë phùc t¤p tæpæ thücch§t ch½nh l  kh¡i ni»m gièng Shwarz khi ¡p döng l¶n ph¥n thî (P X, π, X×

X, B), ð ¥y B çng lu¥n vîi ΩX l  khæng gian c¡c nót trong X (Xem[14],tr 99) Cö thº gièng Shwarz cõa mët ph¥n thî ÷ñc ành ngh¾a nh÷sau

ành ngh¾a 2.1.22 [13] Cho (E, p, B, F ) l  khæng gian ph¥n thî Sènguy¶n d÷ìng k nhä nh§t sao cho B câ thº phõ bði k tªp mð U1, , Uk

m  tr¶n méi Ui tçn t¤i l¡t c­t li¶n töc cõa p, ngh¾a l  tçn t¤i si : Ui → Eli¶n töc sao cho psi = idUi(i = 1, , k) gåi l  gièng Shwarz hay gièng cõaph¥n thî (E, p, B, F ) Kþ hi»u l  genus(E, p, B, F ) hay g(p)

Chó þ *:(Xem [14]) Cho ¡nh x¤ li¶n töc f : X → Y , X, Y l  c¡ckhæng gian li¶n thæng ÷íng Khi â tçn t¤i mët ph¥n thî p : E → Y v mët t÷ìng ÷ìng çng lu¥n h : X → E sao cho biºu ç sau giao ho¡n:

f A A A

p

Yhìn núa b§t ký hai ph¦n thî thäa m¢n i·u ki»n tr¶n ·u t÷ìng ÷ìng

çng lu¥n vîi nhau

Lþ thuy¸t ë phùc t¤p tæpæ ph¡t triºn r§t m¤nh trong nhúng n«mg¦n ¥y vîi c¡c cæng tr¼nh cõa M.Faber, F.Cohen, S.Yuzvinsky, N«m

2009, Y.Rudyak mð rëng kh¡i ni»m â th nh ë phùc t¤p tæpæ bªc caocõa khæng gian X nh÷ sau

°t Jn = [0, 1] ∨ [0, 1] ∨ ∨ [0, 1] l  k¸t cõa n o¤n th¯ng ìn và t¤i iºm

ành ngh¾a 2.1.23 [12] Cho X l  khæng gian tæpæ li¶n thæng ÷íng.

ë phùc t¤p tæpæ bªc n cõa X, kþ hi»u T Cn(X) l  gièng Shwarz ph¥nthî (XJ n, en, Xn, F ), vîi thî F

Tø ành ngh¾a ta th§y vîi n = 2 th¼ T C2(X) = T C(X), ngh¾a l 

T Cn(X) l  mð rëng cõa T C(X) C¡c M»nh · 9 v  M»nh · 10 cho tath§y ë phùc t¤p tæpæ bªc cao v¨n cán giú ÷ñc nhi·u t½nh ch§t quantrång cõa ë phùc t¤p tæpæ T C(X)

M»nh · 9 Vîi méi n ≥ 2 b§t ký, X l  khæng gian tæpæ th¼ T Cn(X) = 1khi v  ch¿ khi X l  co rót ÷ñc

s : Xn → XJn vîi s(A1, A2, , An) = ([A1, A1], [A1, A2], , [A1, An]).Khi â s l  ¡nh x¤ c¦n t¼m.

T÷ìng tü khi êi vai trá cõa X v  Y ta câ T Cn(X) ≤ T Cn(Y ) Tø â

T Cn(X) = T Cn(Y )

Þ ngh¾a vªt lþ: T÷ìng tü ë phùc t¤p tæpæ, ë phùc t¤p tæpæ bªc caocông li¶n h» ch°t ch³ vîi lþ thuy¸t robot Cö thº n¸u X l  khæng gianc¡c tr¤ng th¡i cõa mët h» cì håc th¼ cho mët iºm (x1, , xn) ∈ Xn cângh¾a l  cho mët bë gçm n tr¤ng th¡i cõa h» B i to¡n lªp k¸ ho¤chchuyºn ëng b¥y gií y¶u c¦u chuyºn ëng çng thíi h» thèng tø iºm

x1 ¸n (n − 1) iºm x2, , xn cán l¤i mët c¡ch li¶n töc Hay câ thº hiºuc¡ch kh¡c l  ta ph£i câ k¸ ho¤ch º (n − 1) robot còng xu§t ph¡t tø

iºm x1 v  di chuyºn çng thíi tîi (n − 1) iºm x2, , xn

Công gièng nh÷ èi vîi ë phùc t¤p tæpæ T C(X), vi»c t½nh to¡n ëphùc t¤p tæpæ bªc cao T Cn(X) cho mët khæng gian tæpæ b§t ký l  mëtth¡ch thùc lîn Thæng th÷íng ng÷íi ta ch¿ ÷a ra ÷ñc mët sè ¡nh gi¡,ch°n tr¶n, ch°n d÷îi cho b§t bi¸n n y

2.2 Ch°n tr¶n

Do h¦u h¸t c¡c khæng gian c¡c tr¤ng th¡i cõa mët h» cì håc ·u câkiºu çng lu¥n cõa mët CW - phùc húu h¤n chi·u n¶n b­t ¦u tø ¥y tach¿ x²t X câ kiºu çng lu¥n cõa mët CW - phùc húu h¤n ành lþ quantrång sau ¥y cho ta mët ch°n tr¶n kh¡ tèt

ành lþ 2.2.7 [13] Cho (E, p, B, F ) l  khæng gian ph¥n thî, thî F l (r − 1) - li¶n thæng v  ¡y B l  CW - phùc k- chi·u Khi â

g(p) < k + 1

r + 1 + 1.