Một mặt phẳng α đi qua trung điểm của OO′ và tạo với OO′ một góc 30°, α cắt đường tròn đáy theo một dây cung.. Tính độ dài dây cung đó theo R... Hướng dẫn giải Chọn B... Hướng dẫn giải
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
KÌ THI KSCL ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN III
NĂM HỌC 2016 - 2017
Đề thi môn: Toán học
Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 2: Cho hàm số y= −x4−2x2+ Tı̀m khẳng đi ̣nh sai? 3
A Hàm số đa ̣t cực đa ̣i ta ̣i x=0 B Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;0)
C Hàm số đa ̣t cực tiểu ta ̣i x=0 D Hàm số nghi ̣ch biến trên khoảng (0;+∞ )
Câu 3: Cho hàm số y=x3−3x+ có đồ thị 2 ( )C Gọi d là đường thẳng đi qua A(3;20) và có hệ số
góc m Giá trị của m để đường thẳng d cắt ( )C tại 3 điểm phân biệt là
Câu 5: Điều kiê ̣n của tham số m để đồ thi ̣ của hàm số y=2x3−6x+2m cắt tru ̣c hoành ta ̣i ı́t nhất hai
điểm phân biê ̣t là
2
m m
Câu 7: Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga Quãng đường s mét( ) đi được của
đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (giây), hàm số đó là s=6 –t2 t3 Thời điểm t (giây)
mà tại đó vận tốc v m s( / ) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là
Trang 2Câu 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 9 x 2 3x 2 0
biệt x x1; 2 sao cho x1+x2 = 3 là
Câu 14: Trong không gian với hê ̣ tru ̣c Oxyz , cho mặt phẳng ( )P : 2x− −y 2z+ =6 0 Khẳng đi ̣nh nào
sau đây sai?
A Điểm M(1; 3; 2) thuô ̣c mặt phẳng ( )P
B Mô ̣t vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P là n=(2; 1; 2)− −
C Mặt phẳng ( )P cắt tru ̣c hoành ta ̣i điểm ( 3;0;0)H −
D Khoảng cách từ gốc to ̣a đô ̣ O đến mặt phẳng ( )P bằng 2
ln 3
x x
3
a = b = thı̀ tổng a b+ bằng:
Trang 3Câu 19: Đồ thị trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số y= −x4+4x2 Dựa
vào đồ thị bên hãy tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho
phương trình x4−4x2+m− = có đúng hai nghiệm thực phân 2 0
biệt?
A m<0,m= 4 B m<0
C m<2;m= 6 D m<2
Câu 20: Hàm số 3 2x 1 4x
y= − + − có tâ ̣p xác đi ̣nh là
A ℝ B [0;+∞ ) C [ 3;1]− D (−∞;0]
Câu 21: Cho hı̀nh lăng tru ̣ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác đều ca ̣nh a Hı̀nh chiếu của đı̉nh A′
lên trên mă ̣t phẳng đáy trùng với trung điểm H của ca ̣nh BC Go ̣i M là trung điểm của ca ̣nh
AB, góc giữa đường thẳng A M′ với mặt phẳng (ABC) bằng 60° Tı́nh thể tı́ch khối lăng tru ̣
Câu 23: Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol ( )P :y=x2 và đường
thẳng :d y=2x quay xung quanh trục Ox bằng:
A Hàm số đã cho có một cực tiểu duy nhất là y= 1
B Hàm số đã cho chỉ có cực đại duy nhất là 1
Trang 4Câu 28: Xét tı́ch phân 1( 2 ) 2
Câu 30: Cho đường thẳng :d y= −4x+ Đồ thi ̣ cu1 ̉ a hàm số y=x3−3mx+ có hai điểm cực tri ̣ nằm 1
trên đường thẳng d khi:
3
log 5log 25
x x
x x
x x
Câu 34: Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn ( )O và ( )O′ , chiều cao bằng 2R và bán kính đáy
R Một mặt phẳng ( )α đi qua trung điểm của OO′ và tạo với OO′ một góc 30°, ( )α cắt đường tròn đáy theo một dây cung Tính độ dài dây cung đó theo R
Câu 35: Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=2x3+3(m−1)x2+6(m−2)x+2017 nghịch
biến trên khoảng (a b; ) sao cho b a− >3 là
A m>6 B m=9 C m<0 D 0
6
m m
Câu 36: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, AC=5a Hai mặt bên
(SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, cạnh bên SB tạo với đáy một góc bằng 60° Tính
theo a thể tích của khối chóp S ABCD
A 3
Trang 5Câu 37: Trong không gian với hê ̣ to ̣a đô ̣ Oxyz cho mặt phẳng ( )P :x−2y+2x+ =9 0 Mă ̣t cầu ( )S
tâm O tiếp xúc với mặt phẳng ( )P ta ̣i H a b c( ; ; ), tổng a b+ +c bằng:
Câu 40: Mô ̣t hı̀nh nón có bán kı́nh đường tròn đáy bằng 40 cm, đô ̣ dài đường sinh bằng 44cm Thể
tı́ch khối nón này có giá tri ̣ gần đúng là
−
=+ giá trị lớn nhất trên đoạn [0;3] là
Câu 42: Mô ̣t ngôi biê ̣t thự có 10 cây cô ̣t nhà hı̀nh tru ̣ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng 4,2 m Trong
đó, 4 cây cô ̣t trước đa ̣i sảnh có đường kı́nh bằng 40cm , 6 cây cô ̣t còn la ̣i bên thân nhà có đường kı́nh bằng 26cm Chủ nhà dùng loa ̣i sơn giả đá để sơn 10 cây cô ̣t đó Nếu giá của mô ̣t loa ̣i sơn giả đá là 380.000 /đ m2 (kể cả phần thi công) thı̀ người chủ phải chi ı́t nhất bao nhiêu tiền để sơn 10 cây cô ̣t nhà đó (đơn vi ̣ đồng)?
x
π
=+
∫ Nếu đă ̣t t= 1 cos+ x , ta được:
Câu 44: Trong không gian với hê ̣ to ̣a đô ̣ Oxyz , cho mă ̣t cầu ( )S :x2+y2+z2−4x+2y+6z− =2 0
Mă ̣t cầu ( )S có tâm I và bán kı́nh R là:
Trang 6Câu 46: Trong không gian với hê ̣ to ̣a đô ̣ Oxyz , to ̣a đô ̣ giao điểm của mặt phẳng ( )P : 2x+ − − =y z 2 0
và đường thẳng : 1 2
Câu 47: Trong không gian với hê ̣ to ̣a đô ̣ Oxyz , cho mă ̣t phẳng ( )Q : 2x+2y− − =z 4 0 Go ̣i M , N, P
lần lượt là giao điểm của mặt phẳng ( )Q với ba tru ̣c to ̣a đô ̣ Ox , Oy , Oz Đường cao MH của tam giác MNP có mô ̣t véctơ chı̉ phương là
Câu 48: Phương trı̀nh 52x+ 1−13.5x+ = có hai nghiê ̣m là 6 0 x1, x2, khi đó, tổng x1+x2 bằng
A 1 log 6− 5 B − +2 log 65 C 2 log 6− 5 D − +1 log 65
Câu 49: Go ̣i M và m lần lượt là giá tri ̣ lớn nhất và giá tri ̣ nhỏ nhất của hàm số f x( )=2x−4 6− x
trên đoa ̣n [−3; 6] Tổng M +m có giá tri ̣ là
A 18 B −6 C −12 D −4
Câu 50: Có bao nhiêu giá trị của a trong đoạn ; 2
4
ππ
1 3cos
a
x x
x =+
Trang 7HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Tìm tập nghiệm của bất phương trình log2(x−3)+log2x≥2
Kết hợp điều kiện được: x≥4 Nên tập nghiệm bất phương trình [4;+∞)
Câu 2: Cho hàm số y= −x4−2x2+ Tı̀m khẳng đi ̣nh sai? 3
A Hàm số đa ̣t cực đa ̣i ta ̣i x=0 B Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;0)
C Hàm số đa ̣t cực tiểu ta ̣i x=0 D Hàm số nghi ̣ch biến trên khoảng (0;+∞ )
Hướng dẫn giải Cho ̣n C
Tâ ̣p xác đi ̣nh: D= ℝ
y′ = − x − x= − x x + ; y′ = ⇔ = 0 x 0
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực đại tại x=0
Câu 3: Cho hàm số y=x3−3x+ có đồ thị 2 ( )C Gọi d là đường thẳng đi qua A(3;20) và có hệ số
góc m Giá trị của m để đường thẳng d cắt ( )C tại 3 điểm phân biệt là
Trang 8Câu 5: Điều kiê ̣n của tham số m để đồ thi ̣ của hàm số y=2x3−6x+2m cắt tru ̣c hoành ta ̣i ı́t nhất hai
điểm phân biê ̣t là
2
m m
Nhìn vào bảng biến thiên, để phương trình có ít nhất 2 nghiệm thì − ≤ −4 2m≤ ⇔ − ≤4 2 m≤2
Câu 6: Trong không gian với hê ̣ tru ̣c Oxyz , mă ̣t phẳng ( )Q đi qua ba điểm không thẳng hàng
Trang 9C −9x−6y−4z−30 0= D −9x+6y−4z− = 6 0
Hướng dẫn giải Chọn A
0; 2;32;1;3
MN MP
Câu 7: Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga Quãng đường s mét( ) đi được của
đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (giây), hàm số đó là s=6 –t2 t3 Thời điểm t (giây)
mà tại đó vận tốc v m s( / ) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là
A t=4s B t=2s C t=6s D t=8s
Hướng dẫn giải Chọn B
• y′ =x2 +m
• Hàm số đồng biến trên (−∞ +∞; ) ⇔ x2+m≥0,∀ ∈ −∞ + ∞x ( ; ) ⇔ m≥0
Câu 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 9 x 2 3x 2 0
biệt x x1; 2 sao cho x1+x2 = 3 là
• PT đã cho có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 sao cho x1+x2 = 3 ⇔ PT(2) có hai nghiệm dương
phân biệt t t1, 2 thoả t t1 2 =27 (vì 1 2 3
S P
Trang 10Câu 14: Trong không gian với hê ̣ tru ̣c Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x− −y 2z+ = Khẳng đi ̣nh nào 6 0
sau đây sai?
Trang 11A Điểm M(1; 3; 2) thuô ̣c mặt phẳng ( )P
B Mô ̣t vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P là n=(2; 1; 2)− −
C Mặt phẳng ( )P cắt tru ̣c hoành ta ̣i điểm H( 3;0;0)−
D Khoảng cách từ gốc to ̣a đô ̣ O đến mặt phẳng ( )P bằng 2
Hướng dẫn giải Cho ̣n A
Thế to ̣a đô ̣M(1; 3; 2)vào ( )P : 2x−y−2z+ = ta đươ ̣c : 2.1 3 2.2 6 16 0 − − + = Nên A sai
= = +∞ ⇒ = là đường tiê ̣m câ ̣n đứng
Câu 16: Kết quả tı́nh đa ̣o hàm nào sau đây sai?
ln 3
x x
9
91
Trang 121 1
3
a = ⇒a= b = ⇒ =b a+ =b
Câu 19: Đồ thị trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số y= −x4+4x2 Dựa vào đồ thị bên hãy tìm tất
cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x4−4x2+m− = có đúng hai nghiệm 2 0thực phân biệt?
Câu 20: Hàm số 3 2x 1 4x
y= − + − có tâ ̣p xác đi ̣nh là
Câu 21: Cho hı̀nh lăng tru ̣ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác đều ca ̣nh a Hı̀nh chiếu của đı̉nh A′
lên trên mă ̣t phẳng đáy trùng với trung điểm H của ca ̣nh BC Go ̣i M là trung điểm của ca ̣nh
AB, góc giữa đường thẳng A M′ với mặt phẳng (ABC) bằng 60° Tı́nh thể tı́ch khối lăng tru ̣
Gọi α là góc giữa đường thẳng A M′ với mặt phẳng (ABC)
Ta có A H′ ⊥(ABC)⇒ hình chiếu của A M′ trên
Ta đã biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) nếu F x′( )= f x( )
Trang 13Ta có F x′( )=12x3+cosx nên câu C đúng
Câu 23: Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol ( )P :y=x2 và đường
thẳng :d y=2x quay xung quanh trục Ox bằng
Phương trình hoành độ giao điểm x2 =2x⇔ = hoặc x 0 x=2
Do 2x x≥ 2 với x∈(0; 2) nên V =V1−V2 trong đó V1 là thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng :d y=2x , trục Oy , đường thẳng x=2 và trục Ox quay quanh trục Ox; V2 là thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol ( )P , trục
Oy, đường thẳng x=2 và trục Ox quay quanh trục Ox
Từ đó ta suy ra câu D đúng
Câu 24: Cho hàm số 1
2
y= x− x, tìm khẳng định đúng?
A Hàm số đã cho có một cực tiểu duy nhất là y= 1
B Hàm số đã cho chỉ có cực đại duy nhất là 1
Tập xác định D=[0;+∞ )
x y
+
=
−
Trang 14Hướng dẫn giải Chọn B
Cách 1. Nhận xét hàm số 2
x y
=
+ Bậc tử < bậc mẫu suy ra y= là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 0
+ x=1 và x=2 là nghiệm của mẫu số và không phải là nghiệm của tử số Suy ra x=1 và 2
x= là hai tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2 1
2 2
Đáp án C, D sai vì có hai tiệm cận
Câu 27: Tìm tập tất cả các giá trị của a để 21 5 7 2
a > a ?
21<a<7 B 0<a<1 C a>1 D a>0
Hướng dẫn giải Chọn B
Vì a=0 không thỏa mãn đề bài nên xét a>0 Khi đó
2 5 7
x
Hướng dẫn giải Chọn B
Đặt
2
2 2
Trang 15Hướng dẫn giải Chọn B
Gọi M x y( 0; 0) là tiếp điểm Ta có:
Tiếp tuyến tại điểm M(1;2) có phương trình: y=9(x−1)+ ⇔2 y=9x−7
Câu 30: Cho đường thẳng :d y= −4x+ Đồ thi ̣ cu1 ̉ a hàm số y=x3−3mx+ có hai điểm cực tri ̣ nằm 1
trên đường thẳng d khi
A m=1 B m= −1 C m=3 D m=2
Hướng dẫn giải Chọn D
Đă ̣t y= f x( )=x3−3mx Ta có f′( )x = y′=3x2−3m Để hàm số có 2 cực tri ̣ thı̀ phương trı̀nh 0
y′= có hai nghiê ̣m phân biê ̣t ⇔m> 0
Thực hiê ̣n phép chia f x( ) cho f′( )x ta được: ( ) 1 ( ) 2 1
3
f x = x f′ x − mx+ Với m> phương trı̀nh 0 y′=0 có hai nghiê ̣m phân biê ̣t: x , 1 x2 Khi đó f′( )x1 = f′( )x2 = 0
Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực tri ̣ có phương trı̀nh: y= −2mx+1
Để 2 điểm cực tri ̣ nằm trên đường thẳng d y: = −4x+1thı̀ 2− m= − ⇔4 m= 2
Câu 31: Cho hàm sốy= f x( ) liên tục trên đoạn [a b; ] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
Câu 32: Giải phương trình: 3 8.32 15 0
x x
3
log 5log 25
x x
x x
x x
Trang 16Xét phương trình hoành độ giao điểm của các đường Ta có:
Câu 34: Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn ( )O và ( )O′ , chiều cao bằng 2R và bán kính đáy
R Một mặt phẳng ( )α đi qua trung điểm của OO′ và tạo với OO′ một góc 30°, ( )α cắt đường tròn đáy theo một dây cung Tính độ dài dây cung đó theo R
Dựng OH ⊥ AB ⇒AB⊥(OIH)⇒(OIH) (⊥ IAB)
Trang 17Theo bài ta được OIH=30°
Câu 35: Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=2x3+3(m−1)x2+6(m−2)x+2017 nghịch
biến trên khoảng (a b; ) sao cho b a− >3 là
A m>6 B m=9 C m<0 D 0
6
m m
TH2: ∆ > ⇔0 m≠ ⇒3 y′ có hai nghiệm x x1, 2(x2 >x1)
⇒ Hàm số luôn nghịch biến trên (x x1; 2)
Yêu cầu đề bài:
Câu 36: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, AC=5a Hai mặt bên
(SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, cạnh bên SB tạo với đáy một góc bằng 60° Tính
theo a thể tích của khối chóp S ABCD
Hướng dẫn giải Chọn A
Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông
góc với đáy suy ra SA⊥(ABCD)
(SB ABCD, )=(SB AB, )=SBA=60°
Do đó:
Đường cao SA= ABtan 60° =a 3
Diện tích đáy S ABCD =AB BC = AB AC2−AB2 =a 25a2−a2 =2a2 6
3 ABCD 3
V = SA S = a a = a
Câu 37: Trong không gian với hê ̣ to ̣a đô ̣ Oxyz cho mặt phẳng ( )P :x−2y+2z+ =9 0 Mă ̣t cầu ( )S
tâm O tiếp xúc với mặt phẳng ( )P ta ̣i H a b c( ; ; ), tổng a b+ +c bằng:
S
A
D
Trang 18A −1 B 1 C 2 D −2
Hướng dẫn giải Chọn A
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua O(0;0;0) và vuông góc với ( )P
Giả sử hình chóp có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Khi đó, BD=a 2
Tam giác SBD vuông cân tại S nên SD=SB=a và 2
B C
Trang 19Hướng dẫn giải Chọn D
Khối lập phương có thể tích bằng 1 có độ dài các cạnh bằng 1 Suy ra bán kính khối cầu ngoại
Câu 40: Mô ̣t hı̀nh nón có bán kı́nh đường tròn đáy bằng 40 cm, đô ̣ dài đường sinh bằng 44cm Thể
tı́ch khối nón này có giá tri ̣ gần đúng là
A 30700cm 3 B 92090cm 3 C 30697cm 3 D 92100cm 3
Hướng dẫn giải Chọn A
−
=+ có giá trị lớn nhất trên đoạn [0;3] là
Hướng dẫn Chọn D
Ta có:
( )
2 2
2 31
Câu 42: Mô ̣t ngôi biê ̣t thự có 10 cây cô ̣t nhà hı̀nh tru ̣ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng 4,2 m Trong
đó, 4 cây cô ̣t trước đa ̣i sảnh có đường kı́nh bằng 40cm , 6 cây cô ̣t còn la ̣i bên thân nhà có đường kı́nh bằng 26cm Chủ nhà dùng loa ̣i sơn giả đá để sơn 10 cây cô ̣t đó Nếu giá của mô ̣t loa ̣i sơn giả đá là 380.000 /đ m2 (kể cả phần thi công) thı̀ người chủ phải chi ı́t nhất bao nhiêu tiền để sơn 10 cây cô ̣t nhà đó (đơn vi ̣ đồng)?
A 15.835.000 B 13.627.000 C 16.459.000 D 14.647.000
Hướng dẫn Chọn A (Đáp án này do trường cho sẵn)
Diện tích xung quanh của một cái cột được tính bởi công thức: S xq =2πRh
Tổng diện tích xung quanh của 10 cái cột là: 4 2 0, 2.4, 2( π )+6 2 0,13.4, 2( π )=13, 272π
Tổng số tiền cần chi là: 13,272π×380.000 15.844.000≈
Câu này không có đáp án, chắc ý họ là gần nhất với số nào
Câu 43: Xét tı́ch phân 2
0
sin 2 d
1 cos
x x I
x
π
=+
∫ Nếu đă ̣t t= 1 cos+ x , ta được:
Đặt t= 1 cos+ x⇒t2= +1 cosx⇒2 dt t = −sin dx x
Trang 20Câu 44: Trong không gian với hê ̣ to ̣a đô ̣ Oxyz , cho mă ̣t cầu ( )S :x2+y2+z2−4x+2y+6z− =2 0
Mă ̣t cầu ( )S có tâm I và bán kı́nh R là:
A I(−2;1;3 ,) R=2 3 B I(2; 1; 3 ,− − ) R= 12
C I(2; 1; 3 ,− − ) R=4 D I(−2;1;3 ,) R=4
Hướng dẫn Chọn C
Mặt cầu có phương trình tổng quát là: x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d = 0
Câu 46: Trong không gian với hê ̣ to ̣a đô ̣ Oxyz , to ̣a đô ̣ giao điểm của mặt phẳng ( )P : 2x+ − − =y z 2 0
và đường thẳng : 1 2
t y
t x
22
1
2632
022
22
y x t
z y x
t z
t y
t x
Trang 21
Vậy a+b+c=1.
Câu 47: Trong không gian với hê ̣ to ̣a đô ̣ Oxyz , cho mă ̣t phẳng ( )Q : 2x+2y− − =z 4 0 Go ̣i M , N, P
lần lượt là giao điểm của mặt phẳng ( )Q với ba tru ̣c to ̣a đô ̣ Ox, Oy , Oz Đường cao MH của tam giác MNP có mô ̣t véctơ chı̉ phương là
2: x+ y−z− = ⇔ x + y − z = ⇒M N P −
t y x
22
0
Gọi H là chân đường cao từ M của ∆ABC ta có:
Câu 48: Phương trı̀nh 52x+ 1−13.5x+ = có hai nghiê ̣m là 6 0 x1, x2, khi đó, tổng x1+x2 bằng
A 1 log 6− 5 B − +2 log 65 C 2 log 6− 5 D − +1 log 65
−
⇔
=+
−
+
13log5
3log
2log5
35
25065.135.5065.135
5 5
5 2
1 2
x
Vậy x1 + x2 =−1+log5 3+log5 2=−1+log56
Câu 49: Go ̣i M và m lần lượt là giá tri ̣ lớn nhất và giá tri ̣ nhỏ nhất của hàm số f x( )=2x−4 6− x
trên đoa ̣n [−3; 6] Tổng M +m có giá tri ̣ là
1 3cos
a
x x
x =+
Hướng dẫn giải Chọn B
Đặt t= 1 3cos+ x⇒t2 = +1 3cosx⇒2 dt t= −3sin d x x
Đổi cận: + Với x=0⇒t=2
+ Với x=a⇒t= 1+3cosa =A