Một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính kì dị

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện đề tài "Một số phương pháp giảiphương trình tích phân kì tuyến tính kì dị", với sự say mê, cố gắng củabản thân, cùng với sự chỉ bảo tận tình của thầy

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Mơ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH KÌ DỊ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Mơ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH KÌ DỊ

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS Khuất Văn Ninh

Hà Nội – Năm 2016

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện đề tài "Một số phương pháp giảiphương trình tích phân kì tuyến tính kì dị", với sự say mê, cố gắng củabản thân, cùng với sự chỉ bảo tận tình của thầy giáo hướng dẫn PGS TS.Khuất Văn Ninh Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quátrình hoàn thành khoá luận này.

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy cũng nhưcác thầy cô giáo trong Khoa Toán, các thầy cô giáo trong trường ĐHSP

Hà Nội 2 và các bạn sinh viên đã giúp đỡ em trong thời gian qua

Do khuôn khổ thời gian và trình độ của bản thân còn hạn chế nên khoáluận không thể tránh khỏi những thiếu sót Kính mong được sự đóng góp

ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để đề tài "Một số phươngpháp giải phương trình tích phân tuyến tính kì dị" được hoàn thiện vàphát triển hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016

Sinh viênNguyễn Thị Mơ

Khóa luận này là kết quả của bản thân em đạt được trong quá trình họctập và nghiên cứu, dưới sự chỉ dẫn của PGS TS Khuất Văn Ninh và sựgiúp đỡ của các Thầy, Cô trong khoa Toán Trường Đại học Sư phạm HàNội 2 và của các Thầy, Cô trực tiếp giảng dạy em.

Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản khóa luận này em đã tham khảomột số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài "Một số phương pháp giải phươngtrình tích phân kì tuyến tính kì dị" là kết quả của việc nghiên cứu, họctập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các đềtài khác

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016

Sinh viênNguyễn Thị Mơ

Lời mở đầu 1

1.1 Tích phân xác định 3

1.1.1 Tích phân xác định 3

1.1.2 Tích phân suy rộng loại 1 4

1.1.3 Tích phân suy rộng loại 2 6

1.1.4 Tích phân Euler 8

1.2 Phương pháp biến đổi Laplace 10

1.2.1 Định nghĩa biến đổi Laplace 11

1.2.2 Tính chất của biến đổi Laplace 12

1.3 Tính gần đúng tích phân xác định 19

1.3.1 Đa thức nội suy 19

1.3.2 Công thức hình thang 20

1.3.3 Phương pháp Simpson 22

1.4 Phương trình tích phân kì dị 23

1.4.1 Phương trình tích phân 23

1.4.2 Phương trình tích phân kì dị 25

2 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG

2.1 Phương trình tích phân Abel 29

2.1.1 Phương pháp biến đổi Laplace 29

2.1.2 Ví dụ 32

2.1.3 Bài tập 33

2.2 Phương trình tích phân Abel tổng quát 33

2.2.1 Phương pháp biến đổi Laplace 34

2.2.2 Ví dụ 36

2.2.3 Bài tập 37

2.3 Các phương trình Voterra kì dị yếu 37

2.3.1 Phương pháp biến đổi Laplace 38

2.3.2 Ví dụ 39

2.3.3 Bài tập 40

3 PHƯƠNG PHÁP CẦU PHƯƠNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH KÌ DỊ 41 3.1 Phương trình tích phân Abel và phương trình tích phân tổng quát Abel 42

3.1.1 Phương pháp cầu phương 42

3.1.2 Ví dụ 45

3.1.3 Bài tập 53

3.2 Phương trình Volterra kì dị yếu 54

3.2.1 Phương pháp cầu phương 54

3.2.2 Ví dụ 57

3.2.3 Bài tập 61Kết luận 62Tài liệu tham khảo 63

lý thuyết Toán học Có hai phương pháp giải phương trình tích phân:Phương pháp giải tích cho nghiệm của bài toán dưới dạng biểu thức giảitích Phương pháp số cho nghiệm gần đúng của bài toán dưới dạng bảng

số Luận văn gồm ba chương

Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại một số kiến thức về tích phânxác định, tích phân suy rộng loại 1 và loại 2, tích phân Euler, phươngpháp biến đổi Laplace, các công thức tính gần đúng tích phân xác định.Một số khái niệm về phương trình tích phân, phương trình tích phân kìdị

Chương 2 "Phương pháp biến đổi Laplace giải phương trình tích phântuyến tính kì dị" trình bày phương pháp biến đổi Laplace giải các loạiphương trình tích phân tuyến tính kì dị Sau đó đưa ra ví dụ và bài tập

để áp dụng phương pháp

Chương 3 "Phương pháp cầu phương giải phương trình tích phântuyến tính kì dị" trình bày phương pháp cầu phương giải các loại phươngtrình tích phân tuyến tính kì dị Sau đó đưa ra ví dụ và bài tập để ápdụng phương pháp.

Tác giả luận văn chân thành cảm ơn PGS TS Khuất Văn Ninh đãtận tình hướng dẫn tác giả đọc các tài liệu và tập dượt nghiên cứu Tácgiả cũng xin được cảm ơn các thầy cô giáo đã góp ý chi tiết về cáchtrình bày một số kết quả trong khoá luận Tác giả chân thành cảm ơncác thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt

là tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trìnhhọc đại học và thực hiện bản khóa luận này

Hà Nội, ngày 04/05/2016Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Mơ

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về giải tích cổ điển,như các khái niệm về tích phân xác định, tích phân suy rộng loại 2, tíchphân Euler, và phương pháp biến đổi Laplace, các công thức tính gầnđúng tích phân xác định bằng phương pháp cầu phương Nội dung củachương cũng cần thiết cho việc trình bày các nội dung ở chương sau

1.1 Tích phân xác định

1.1.1 Tích phân xác định

Định nghĩa 1.1 (xem [5], trang 249)

Cho hàm số f (x) xác định và bị chặn trong khoảng đóng [a, b], chia[a, b] thành những khoảng nhỏ bởi các điểm chia:

x0 ≡ a < x1 < x2 < < xi−1 < xi < < xn ≡ b

Đặt ∆xi = xi − xi−1, λ = max

1≤i≤n∆xi

Lấy ξi bất kì ∈ [xi−1, xi], khi đó nếu lim

1.1.2 Tích phân suy rộng loại 1

Định nghĩa 1.2 (xem [5], trang 301)

Giả sử hàm số f (x) xác định với mọi x ≥ a, và khả tích trong bất kìkhoảng hữu hạn [a, A] Khi đó, nếu

Với các tích phân dạng (1.3) và (1.4) cũng có những mệnh đề tương tự.

1.1.3 Tích phân suy rộng loại 2

Định nghĩa 1.3 (xem [5], trang 328)

Giả sử hàm số f (x) bị chặn và khả tích trong khoảng đóng bất kì[a, b − η], với 0 < η < b − a nhưng không khả tích trong bất kì khoảngđóng dạng [b − η, b], f (x) không bị chặn trong lân cận của b, và b đượcgọi là một điểm bất thường của hàm số f (x) Khi đó, nếu

Tương tự, có thể định nghĩa tích phân suy rộng khi nút trái a của khoảng(a, b] là điểm bất thường, hoặc khi hàm số f (x) có điểm bất thường tại

x = c với c ∈ (a, b) Nếu f (x) bị chặn và khả tích trên mọi khoảng hữuhạn [a + η0, b] nhưng f (x) không bị chặn trong lân cận của a và f (x)không khả tích trong mọi khoảng hữu hạn [a, a + η0], điểm a là điểm bấtthường, ta có định nghĩa

Ở đây x = b là một điểm bất thường

1

a + b − 1B(a − 1, b), a > 1, b > 0 (1.12)B(a, 1 − a) = π

Trong công thức (1.16) thay b = 1 − a (xem 0 < a < 1) ta sẽ có:

Γ(a).Γ(1 − a) = B(a, 1 − a), 0 < a < 1

1.2 Phương pháp biến đổi Laplace

Trong mục này, chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản vềphương pháp biến đổi Laplace Phương pháp biến đổi Laplace là công

cụ hữu hiệu để giải phương trình vi phân và phương trình tích phân.Biến đổi Laplace đưa phương trình vi phân và phương trình tích phân

về phương trình đại số có thể dễ dàng giải và từ đó sử dụng phép biếnđổi Laplace ngược cho nghiệm của phương trình đã cho.

1.2.1 Định nghĩa biến đổi Laplace

Định nghĩa 1.6 (xem [6], trang 22)

Biến đổi Laplace của hàm f (x) được định nghĩa với x ≥ 0 là:

lim

s→∞F (s) = 0

1.2.2 Tính chất của biến đổi Laplace

Từ định nghĩa của biến đổi Laplace ta có thể suy ra các tính chất

phương trình tích phân, ta sử dụng bảng biến đổi Laplace cho cáchàm sơ cấp sau:

Bảng 1.1: Biến đổi Laplace sơ cấp

5) Biến đổi Laplace ngược

Nếu biến đổi Laplace của f (x) là F (s) thì ta nói rằng biến đổiLaplace ngược của F (s) là f (x) Nói cách khác ta viết:

trong đó L−1 là toán tử của biến đổi Laplace ngược Tính chất tuyếntính cũng đúng cho phép biến đổi Laplace ngược Điều này có nghĩalà

L−1{aF (s) + bG(s)} = aL−1{F (s)} + bL−1{G(s)}

Nhận thấy rằng có thể sử dụng phần mềm như là Maple hoặc ematica để tìm biến đổi Laplace và biến đổi Laplace ngược

Math-Ta sẽ minh hoạ bằng các ví dụ sau:

Ví dụ 1.2.1 Giải bài toán giá trị ban đầu sau:

y00 + 4y = 0, y(0) = 0, y0(0) = 1 (1.33)

Bằng cách biến đổi Laplace hai vế của phương trình vi phân thường

và ta sử dụng điều kiện ban đầu, ta được

L{y(x)} = Y (s),L{y00(x)} = s2L{y(x)} − sy(0) − y0(0) (1.34)

= s2Y (s) − s − 1

Do đó

Y (s) = 1

s2 + 4 =

12

6) Định lý về tích chập cho biến đổi Laplace

Đây là định lí quan trọng sẽ được dùng trong giải phương trình tíchphân Nhân(hạch) của phương trình tích phân

được gọi là hạch sai phân nếu nó phụ thuộc vào hiệu số x − t Ví

dụ là: ex−t, sin (x − t) và cos (x − t) Phương trình tích phân (1.40)

có hạch sai phân có thể được biểu thị là:

chập được tính như sau:

Để minh hoạ cho việc sử dụng định lý này ta tìm hiểu ví dụ sau

Ví dụ 1.2.2 Giải phương trình tích phân sau:

Thấy rằng f1(x) = ex và f2(x) = y(x) Vế phải là tích chập (f1 ∗

f2)(x) Điều này có nghĩa là nếu ta lấy biến đổi Laplace cả hai vế,

s − 1



Phương pháp biến đổi Laplace sẽ được sử dụng để giải phương trìnhtích phân Volterra loại 1, loại 2 và phương trình tích phân tuyếntính kì dị

và công thức Simpson

1.3.1 Đa thức nội suy

Định nghĩa 1.7 (xem [5], trang 60)

Giả sử hàm số y(x) xác định trên [a, b] ta không biết biểu thức giảitích của nó, ta chỉ biết giá trị của nó là y0, y1, , yn tương ứng với các

Khi đó đa thức Pn(x) được gọi là đa thức nội suy

Định nghĩa 1.8 (xem [5], trang 61)

Đa thức nội suy Lagrange bậc nhất là đa thức bậc nhất, kí hiệu

là L1(x) có đồ thị đi qua hai điểm (x0, y0) và (x1, y1) cho trước và đượctính theo công thức:

L1(x) = y0 x − x1

x0 − x1 + y1.

x − x0

Định nghĩa 1.9 (xem [5], trang 61)

Đa thức nội suy Lagrange bậc hai là đa thức bậc hai, L2(x) có đồthị đi qua ba điểm (x0, y0), (x1, y1) và (x2, y2), được tính theo công thức:

L2(x) = y0 (x − x1)(x − x2)

(x0 − x1)(x0 − x2) + y1

(x − x0)(x − x2)(x1 − x0)(x1 − x2) + y2

(x − x0)(x − x1)(x2 − x0)(x2 − x1)

trong đó f (x) là một hàm số xác định liên tục trong khoảng [a, b]

Dùng hệ phân điểm đều, chia [a, b] thành n đoạn con bằng nhau bởi cácđiểm chia :

x0 ≡ a, x1 = a + h, , xi = a + ih, , xn ≡ b; i = 0, n,

h := ∆xi = xi − xi−1 = b − a

n , i = 1, n.

Tại các điểm chia, ta tính : f (xi) và đặt :

Để tính tích phân ở vế phải của (1.55) ta thay hàm số lấy tích phân

f (x) bởi các đa thức nội suy bậc nhất Lagrange L1(x) trong các khoảng[x0, x1], [x1, x2], , [xn−1, xn] (dĩ nhiên trong các khoảng khác nhau, có

đa thức nội suy khác nhau)

Sai số | Sn− I |≤ Mh

3

12, M ≥ supx∈[a,b] | f00(x) |

1.3.3 Phương pháp Simpson

Khi xây dựng công thức hình thang chúng ta đã xấp xỉ f (x) bởi các

đa thức nội suy bậc nhất, bây giờ ta sẽ xấp xỉ f (x) bởi các đa thức nộisuy bậc hai, do đó trong mỗi khoảng xấp xỉ cần đến ba nút, vì thế phảichia [a, b] thành 2n khoảng bằng nhau bởi các điểm chia

ở bên trong và bên ngoài của dấu tích phân Các hàm f (x) và K(x, t)cho trước Chú ý rằng các cận của tích phân: g(x) và h(x) có thể là cáchàm, hằng số hoặc hỗn hợp.

Phương trình tích phân xuất hiện trong nhiều dạng Tuỳ theo các giớihạn của tích phân mà người ta nghiên cứu hai loại chủ yếu sau:

1 Nếu các giới hạn của tích phân là không thay đổi, thì tích phân đượcgọi là phương trình tích phân Fredholm, nó có dạng:

trong đó a và b là các hằng số, λ là tham số cho trước

2 Nếu ít nhất một cận tích phân là biến, thì phương trình được gọi làphương trình tích phân Volterra, nó có dạng:

Ngoài ra, có hai loại riêng biệt khác, tuỳ theo sự xuất hiện của hàm

ẩn u(x), được định nghĩa như sau:

1 Nếu hàm ẩn u(x) xuất hiện chỉ ở dưới dấu tích phân của phươngtrình Fredholm hoặc Volterra, thì được gọi là phương trình tíchphân Fredholm hoặc Volterra loại 1

2 Nếu hàm ẩn u(x) xuất hiện cả ở trong và ngoài của dấu tích phâncủa phương trình Fredholm hoặc Volterra, thì được gọi là phươngtrình tích phân Fredholm hoặc Volterra loại 2

gọi là kì dị nếu một trong các cận của tích phân: g(x), h(x) hoặc cả hai

là vô hạn Hơn nữa, các phương trình trên được gọi là kì dị nếu nhânK(x, t) không bị chặn tại một hoặc nhiều điểm trong khoảng lấy tích

phân Chúng ta sẽ xét các phương trình có dạng sau:

Hai dạng chuẩn tắc này tương ứng được gọi là phương trình tích phânAbel tổng quát và phương trình tích phân kì dị yếu tương ứng Với α = 1

và phương trình tích phân kì dị yếu lần lượt là:

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI

LAPLACE GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN

TÍNH KÌ DỊ

Phương trình tích phân Abel xuất hiện ở nhiều lĩnh vực của khoa học

và thực tiễn như là kính hiển vi, địa chấn học, thiên văn học, phát xạđiện tử, tán xạ nguên tử, xét nghiệm máu, chụp X-quang, Chươngnày trình bày cách tính nghiệm chính xác của phương trình tích phân

kì dị bằng phương pháp biến đổi Laplace và một số ví dụ cơ bản chophương pháp này

2.1 Phương trình tích phân Abel

Phương trình Abel là phương trình tích phân kì dị

2.1.1 Phương pháp biến đổi Laplace

Mặc dù phương pháp biến đổi Laplace đã được sử dụng ở trước, tuynhiên bản tóm tắt ngắn gọn sẽ là hữu ích

Xét phương trình tích phân Abel

Lấy biến đổi Laplace cả hai vế của (2.3) ta được

√

trong đó Γ là hàm số Gamma, và Γ(12) = √

π Ở chương trước, chúng ta

đã định nghĩa hàm Gamma và một vài tính chất của nó

Phương trình (2.6) có thể được viết lại là:

Sử dụng

L{y0(x)} = sL{y(x)} − y(0), (2.10)

vào trong (2.8) ta được

f (x) = xn, n là số nguyên dương, Bảng 2.1 có thể sử dụng để đánh giátích phân trong bài toán Abel

Bảng 2.1: Đối với tích phân có dạng u(x) =

u(x) 2c √

x 4

3x

3 2

16

15x

5 2

Bảng 2.2: Đối với tích phân có dạng u(x) =

√

πxn+12

f (t) c t1 t3 t5 tn2

2.1.2 Ví dụ

Dưới đây là ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 2.1.1 Giải phương trình tích phân Abel sau:

x

Z

0

2√tp(x − t)dt =

p(x − t)dt =

12

d

dx(x

2) = x (2.16)

Ví dụ 2.1.3 Giải phương trình tích phân Abel sau:

được gọi là Phương trình tích phân tổng quát Abel trong đó α là hằng

số, 0 < α < 1, f (x) là một hàm số xác định, và u(x) là ẩn hàm Trườnghợp đặc biệt của phương trình tích phân trên khi α = 1 đã xét ở trên

Biểu thức (x − t)−α được gọi là nhân của phương trình tích phân Abel,hoặc đơn giản là nhân Abel.

2.2.1 Phương pháp biến đổi Laplace

Lấy biến đổi Laplace hai vế của (2.19) dẫn đến

3 Ẩn hàm u(x) trong (2.19) đã thay thế bởi f (t) và f0(t) trong (2.28)

√2

√32π

ddx

√2

3 πx

3

!

= x2 (2.33)

2.3 Các phương trình Voterra kì dị yếu

Các phương trình tích phân Volterra kì dị yếu loại 2 có dạng

trong đó β là hằng số Phương trình (2.35) được gọi là phương trìnhtổng quát Voterra kì dị yếu Phương trình tích phân kì dị yêú và kì dịyếu tổng quát được xếp vào phương trình tích phân kì dị với nhân kì dị

K(x, t) = √ 1

x − t,

[g(x) − g(t)]α,

tương ứng Nhân được gọi là kì dị yếu nếu như tính kì dị có thể chuyểnđổi bằng cách thay đổi biến.

Phương trình tích phân kì dị Volterra (2.34) và (2.35) đã được nghiêncứu nhiều trong giải tích và phương pháp số Trong phần này ta sẽ sửdụng một phương pháp biến đổi Laplace để giải phương trình tích phânVolterra kì dị

2.3.1 Phương pháp biến đổi Laplace

Phương pháp biến đổi Laplace đã được sử dụng ở trước và các tínhchất đã được thể hện chi tiết ở chương trước Nhắc lại là biến đổi Laplacecủa tích chập (f1 ∗ f2)(x) là:

Lấy biến đổi Laplace cả hai vế của (2.37) ta được

L(u(x)) = L(f (x)) + L(x−α)L(u(x)), (2.38)

hoặc tương đương với

U (s) = F (s) + Γ(1 − α)