Tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm của bài toán cân bằng véctơ mạnh suy rộng có tham số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN LƯU THỊ HỒNG THÙY TÍNH NỬA LIÊN TỤC DƯỚI CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ MẠNH SUY RỘNG CÓ THAM SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

LƯU THỊ HỒNG THÙY

TÍNH NỬA LIÊN TỤC DƯỚI CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM

CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ MẠNH

SUY RỘNG CÓ THAM SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Người hướng dẫn khóa luận

TS Nguyễn Văn Tuyên

HÀ NỘI, 2016

Footer Page 1 of 161.

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy Nguyễn Văn Tuyên,thầy đã truyền thụ kiến thức, tận tình giúp đỡ, hướng dẫn em trong suốt quátrình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện khóa luận này

Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, các thầy cô giáo khoa Toán đã giúp đỡ em trong quá trình học tậptại trường và tạo điều kiện cho em để hoàn thành khóa luận này Trong quátrình nghiên cứu, không tránh khỏi nhưng sai sót và hạn chế Em kính mongnhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và toàn thể bạn đọc

để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 4 năm 2016

Lưu Thị Hồng Thùy

Footer Page 2 of 161.

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn VănTuyên khóa luận của em được hoàn thành không trùng với bất kì đề tài nàokhác

Trong khi làm khóa luận này, em đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Lưu Thị Hồng Thùy

Footer Page 3 of 161.

Mục lục

1.1 Một số kiến thức cơ bản về Giải tích lồi 3

1.1.1 Tập lồi 3

1.1.2 Hàm lồi 5

1.1.3 Nón 7

1.2 Bài toán tối ưu véctơ 9

1.2.1 Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự 9

1.2.2 Điểm hữu hiệu 11

1.2.3 Sự tồn tại của điểm hữu hiệu 14

1.2.4 Bài toán tối ưu véctơ (VOP) 15

2 Tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm của bài toán cân bằng véctơ mạnh suy rộng có tham số 17 2.1 Bài toán cân bằng véctơ mạnh suy rộng có tham số 17

2.2 Tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm 21

Footer Page 4 of 161.

Kết luận 31

Footer Page 5 of 161.

Lời mở đầu

Bài toán cân bằng véctơ là mô hình thống nhất của một số bài toán,chẳng hạn như, bài toán tối ưu véctơ, bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ,bài toán bù véctơ và bài toán điểm yên ngựa véctơ (xem [6, 7] và các tài liệuđược trích dẫn trong đó) Nghiên cứu tính ổn định của ánh xạ nghiệm củabài toán cân bằng véctơ là một chủ đề quan trọng trong Lý thuyết tối ưuvéctơ Gần đây, tính nửa liên tục, đặc biệt là tính nửa liên tục dưới của ánh

xạ nghiệm của bài toán tối ưu có tham số, bất đẳng thức biến phân véctơ cótham số và bài toán cân bằng véctơ có tham số đã thu hút sự quan tâm củanhiều nhà toán học (xem [3, 5, 8, 10, 12, 14])

Kỹ thuật vô hướng hóa là một phương pháp tiếp cận hữu hiệu để nghiêncứu tính nửa liên tục dưới và tính liên tục của ánh xạ nghiệm của các bấtđẳng thức biến phân véctơ có tham số và các bài toán cân bằng véctơ cótham số Sử dụng phương pháp vô hướng hóa, Cheng và Zhu [3] đã nghiêncứu tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm củabất đẳng thức biến phân véctơ yếu có tham số trong không gian Euclide hữuhạn chiều Từ các ý tưởng của Cheng và Zhu [3], Gong [9] nghiên cứu tínhliên tục của ánh xạ nghiệm của bài toán cân bằng véctơ yếu có tham số Dựatrên phép biểu diễn vô hướng hóa của ánh xạ nghiệm và tính chất hợp củamột họ ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới, Cheng và các đồng nghiệp [4] đã thiếtlập tính nửa liên tục dưới và tính liên tục của ánh xạ nghiệm của bài toáncân bằng véctơ suy rộng có tham số bằng một chứng minh mới khác với [9]

Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi, có rất ít kết quả về tính liêntục của ánh xạ nghiệm của bài toán cân bằng véctơ mạnh có tham số Trong[8], bằng cách sử dụng một kết quả về tính trù mật và phương pháp vô hướng

Footer Page 6 of 161.

hóa, Gong và Yao là những người đầu tiên nghiên cứu tính nửa liên tục dướicủa ánh xạ nghiệm của bài toán cân bằng véctơ mạnh có tham số, nó đượcgọi là nghiệm hữu hiệu của hệ suy rộng có tham số Cheng và Li [5] đã nghiêncứu tính liên tục và nửa liên tục dưới của các tập nghiệm của bài toán cânbằng véctơ mạnh có tham số và bài toán cân bằng véctơ yếu có tham số, nóđược gọi là tập nghiệm hữu hiệu và tập nghiệm hữu hiệu yếu của hệ suy rộng

có tham số đã được trình bày trong [8] và [9] Các kết quả của Cheng và Li[5] về tính chất liên tục của ánh xạ nghiệm không đòi hỏi giả thiết về tínhcompact đều Điều này thực sự đã cải tiến các kết quả đạt được trong [8, 9]

Tuy nhiên, trong các bài báo [5, 8, 9], tính nửa liên tục của ánh xạnghiệm hữu hiệu được nghiên cứu nhờ vào kỹ thuật vô hướng hóa, tập nghiệm

f -hữu hiệu hoặc một tập một điểm đối với một hàm số f tuyến tính liên tục

cố định thuộc nón đối ngẫu hoặc nó phải chứa các thông tin về tập nghiệm.Hiển nhiên, từ quan điểm thực tế điều này không hoàn toàn hợp lí

Mục đích của khóa luận này là nghiên cứu tính chất nửa liên tục dướicủa ánh xạ nghiệm hữu hiệu bài toán cân bằng véctơ mạnh có tham số Cáckết quả chính của khóa luận được trình bày trên cơ sở bài báo gần đây của

Xu và Li [15] đăng trên tạp chí Positivity năm 2013 Trong bài báo này, cáctác giả đưa ra một giả thiết mới không bao gồm bất kỳ thông tin nào về tậpnghiệm và nghiên cứu tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm của bài toáncân bằng véctơ mạnh suy rộng có tham số trường hợp tập nghiệm f -hữu hiệu

Định nghĩa 1.1 Tập X ⊂ Rn được gọi là tập lồi nếu với mọi x1, x2 ∈ X vàvới mọi λ ∈ [0, 1] thì (1 − λ)x1 + λx2 ∈ X.

Bổ đề 1.1 Cho I là tập chỉ số bất kì Nếu các tập Xi ⊂ Rn (i ∈ I), là cáctập lồi thì tập X = T

suy ra (1 − λ)x + λy ∈ T

i∈I

Xi, ∀i ∈ I Vậy X là tập lồi

Bổ đề 1.2 Cho X, Y là tập lồi trong Rn và các số thực t, µ Khi đó, tX + µY

tX + µY Vậy tX + µY là tập lồi

Định nghĩa 1.2 Một điểm x được gọi là tổ hợp lồi của các điểm x1, x2, , xm,nếu tồn tại các số thực không âm λ1, λ2, , λm sao cho

x = λ1x1 + λ2x2 + + λmxmvà

Chứng minh Cho B là một hình cầu đơn vị Nếu x1 ∈ int X, x2 ∈ int X,khi đó, ta có thể tìm ε > 0 sao cho x1 + εB ⊂ X và x2 + εB ⊂ X Do đó,(1 − λ)x1+ λx2+ εB ⊂ X với λ ∈ [0, 1] Vì vậy, (1 − λ)x1+ λx2 ∈ int X Vậyint X là tập lồi.

Để chứng minh phần 2 của bổ đề, ta cho xk → x và yk → y với xk ∈ X

và yk ∈ X Khi đó, dãy của các điểm: (1 − λ)xk+ λyk được chứa trong X vàhội tụ tới (1 − λ)x + λy ∈X Vậy X là tập lồi

Miền hữu hiệu của f : dom f := {x ∈ Rn | f (x) < +∞}

Định nghĩa 1.6 Hàm f được gọi là hàm lõm nếu −f là hàm lồi.

Hàm f được gọi là hàm chính thường nếu f (x) > −∞, với mọi x ∈ Rn

và tồn tại ¯x ∈ Rn sao cho f (¯x) < +∞

Định lý 1.1 Hàm f : Rn → R là hàm lồi khi và chỉ khi epif là tập lồi trên

Rn × R

Chứng minh Giả sử f là hàm lồi và lấy hai điểm bất kỳ

(x, v1), (y, v2) ∈ epif, λ ∈ [0, 1]

Ta có (1 − λ)(x, v1) + λ(y, v2) = ((1 − λ)x + λy, (1 − λ)v1+ λv2) Do f là hàmlồi nên f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y) ≤ (1 − λ)v1 + λv2 Do đó(1 − λ)(x, v1) + λ(y, v2) ∈ epif , vậy epif là tập lồi

Ngược lại, giả sử epif là tập lồi và x, y ∈ dom f, λ ∈ [0, 1] Khi đó ta có(x, f (x)), (y, f (y)) ∈ epif , do epif lồi nên (1 − λ)(x, f (x)) + λ(y, f (y)) ∈ epifhay ((1 − λ)x + λy, (1 − λ)f (x) + λf (y)) ∈ epif , suy ra f ((1 − λ)x + λy) ≤(1 − λ)f (x) + λf (y) Vậy ta được f là hàm lồi

Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Jensen) Cho f : Rn → R Hàm f là lồi khi vàchỉ khi với mọi λ1, λ2, , λm ≥ 0;Pm

i=1λi = 1; ∀x1, x2, , xm ∈ Rn Ta có:f

+ Nếu 0 ≤ λk+1 < 1 từ

Footer Page 11 of 161.

Pk+1 i=1 λi = 1 ta có Pk

C được gọi là nón lồi nếu C là một nón và C là một tập lồi

Định nghĩa 1.8 Cho C là một nón lồi, kí hiệu l(C) := C ∩ (−C) (phầntuyến tính của nón C)

(i) C được gọi là nón nhọn nếu l(C) = {0}

(ii) C được gọi là nón đúng nếu cl(C) + C\l(C) ⊆ C, hoặc tương đương

cl(C) + C\l(C) ⊆ C\l(C)

Ví dụ 1.2 Trong không gian Rn, cho

C = Rn+ = {x ∈ Rn | xi ≥ 0, i = 1, 2, , n}

Footer Page 12 of 161.

Khi đó, C là một nón lồi.

Thật vậy, với mọi x ∈ C thì xi ≥ 0, i = 1, 2, , n và với mọi α > 0 tacó: αx = (αx1, αx2, , αxn), αxi ≥ 0, i = 1, 2, , n Do đó αx ∈ C, vậy C làmột nón

Mặt khác, với mọi x, y ∈ C, mọi α > 0 thì αxi ≥ 0, αyi ≥ 0, i = 1, 2, , n vàvới mọi λ ∈ [0, 1] ta có (1−λ)x+λy = ((1−λ)x1+λy1, , (1−λ)xn+λyn) ∈ C,nên C là một tập lồi Vậy C là một nón lồi

Bổ đề 1.4 Cho C là một nón lồi Khi đó, nếu x1 ∈ C, x2 ∈ C, , xm ∈ C và

Bổ đề 1.5 Nếu X là tập lồi thì cone (X) là một tập lồi

Định nghĩa 1.10 Cho x ⊂ Rn, tập CX(x) = cone (X − x) được gọi là nóncác phương chấp nhận được của X tại x

Định nghĩa 1.11 Cho X ⊂ Rn là một tập lồi Tập

X∞ = {d ∈ Rn | X + d ⊂ X}

được gọi là nón lùi xa của X

Định nghĩa 1.12 Cho C là một nón trong Rn Tập

Co = {y ∈ Rn : hy, xi ≤ 0, ∀x ∈ C}

được gọi là nón cực của C

Footer Page 13 of 161.

Định nghĩa 1.13 Cho X là một tập lồi trong Rn và x ∈ X Tập

NX(x) = [cone (X − x)]ođược gọi là nón pháp tuyến đối với X tại x

Nhận xét 1.1 v ∈ NX(x) ⇔ hv, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ X

1.2 Bài toán tối ưu véctơ

1.2.1 Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự

Cho một tập hợp E tuỳ ý, một quan hệ hai ngôi trong E được địnhnghĩa bởi một tập con B của tập hợp tích E × E Điều này có nghĩa là mộtphần tử x ∈ E có quan hệ với y ∈ E nếu (x, y) ∈ B

Định nghĩa 1.14 Cho B là một quan hệ hai ngôi trong E Ta nói quan hệnày là:

(i) Phản xạ nếu (x, x) ∈ B với mọi x ∈ E;

(ii) Đối xứng nếu(x, y) ∈ B suy ra (y, x) ∈ B với mỗi x, y ∈ E;

(iii) Bắc cầu nếu (x, y) ∈ B, (y, z) ∈ B suy ra (x, z) ∈ B với x, y, z ∈ B;(iv) Đầy đủ hoặc liên thông nếu (x, y) ∈ B hoặc (y, x) ∈ B với mỗi x, y ∈

Để làm rõ định nghĩa này, chúng ta xét một số ví dụ cổ điển sau Cho

E là một cộng đồng dân cư của một thành phố và chúng ta định nghĩa quan

hệ hai ngôi như sau (số dân cư được gán bởi x, y, z, )

Footer Page 14 of 161.

1 (x, y) ∈ B1 nếu x, y là những người tuổi cao hoặc có tuổi.

2 (x, y) ∈ B2 nếu x, y là hai giới tính khác nhau

3 (x, y) ∈ B3 nếu x, y là những người có họ

Ta thấy rằng B1 là phản xạ, bắc cầu, không đối xứng, đầy đủ B2 khôngphản xạ, đối xứng, không bắc cầu, không đầy đủ B3 là phản xạ, không bắccầu, đối xứng, không đầy đủ

Định nghĩa 1.15 Quan hệ hai ngôi là một quan hệ thứ tự nếu nó là phản

là quan hệ hai ngôi được định nghĩa bởi C; x >C y nếu x >C y và không phải

là y >C x, hay là x ∈ y + C\l(C) Khi int C 6= 0, x C y nghĩa là x >K y với

x >C y khi và chỉ khi xi > yi với i = 1, , n và ít nhất một bất đẳngthức là ngặt;

x >C y khi và chỉ khi xi > yi với mọi i = 1, , n

1.2.2 Điểm hữu hiệu

Cho E là không gian véctơ tôpô thực với quan hệ thứ tự (>) được sinhbởi một nón lồi C

Định nghĩa 1.16 Cho A là một tập con khác rỗng của E Ta nói rằng:(i) x ∈ A là một điểm hữu hiệu lí tưởng (hoặc cực tiểu lí tưởng) của A tươngứng với C nếu y > x, ∀y ∈ A;

Tập các điểm cực tiểu lí tưởng của A được kí hiệu là IM in (A | C).(ii) x ∈ A là điểm hữu hiệu (cực tiểu-Pareto hoặc cực tiểu) của A tương ứngvới C nếu x > y, y ∈ A thì y > x;

Tập các điểm hữu hiệu của A kí hiệu là M in(A | C)

(iii) x ∈ A là điểm hữu hiệu thực sự (toàn cục) của A tương ứng với C nếutồn tại một nón lồi K 6= E với int K ⊇ C\l(C) sao cho x ∈ M in(A | K);

Kí hiệu tập các điểm hữu hiệu toàn cục của A là P rM in(A | C)

(iv) Giả sử int C 6= ∅, x ∈ A là một điểm hữu hiệu yếu của A tương ứng với

C nếu x ∈ M in(A | {0} ∪ int C);

Tập các điểm hữu hiệu yếu của A kí hiệu là W M in(A | C)

IM in(B) = P rM in(B) = M in(B) = W M in(B) = {(−2, −2)};

P rM in(A) = M in(A) = W M in(A) = A

Từ định nghĩa của các điểm hữu hiệu, ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.1 Cho A ⊆ E thì :

(i) x ∈ IM in(A) khi và chỉ khi x ∈ A và A ⊆ x + C;

(ii) x ∈ IM in(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − C) ⊆ x+ l(C) hoặc tương đương:

6 ∃y ∈ A sao cho x > y Đặc biệt khi C là nhọn, x ∈ M in(A) khi và chỉ khi

A ∩ (x − C) = {x};

(iii) Khi C 6= E, x ∈ W M in(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − int C) = ∅ hoặc tươngđương với 6 ∃y ∈ A sao cho x  y

Mệnh đề 1.2 Cho tập khác rỗng A ⊆ E có:

P rM in(A) ⊆ M in(A) ⊆ W M in(A)

Hơn nữa, nếu IM in(A) 6= ∅ thì IM in(A) = M in(A) và nó là tập mộtđiểm khi C là nhọn

Chứng minh Lấy x ∈ P rM in(A) Nếu x 6∈ M in(A) có y ∈ A và x − y ∈C\l(C) Lấy nón lồi K, K 6= E với int K ⊆ C\l(C) và x ∈ M in(A | K) Thì

x − y ∈ int K ⊆ K\l(K) Điều này mâu thuẫn với x ∈ M in(A | K) suy ra

P rM in(A) ⊆ M in(A)

Footer Page 17 of 161.

Lấy x ∈ M in(A) Nếu x 6∈ W M in(A) theo Mệnh đề 1.1 tồn tại y ∈ Asao cho x − y ∈ int C Do C 6= E, int C ⊆ C\l(C) nên ta có x − y ∈ C\l(C).Điều này mâu thuẫn với x ∈ M inA Vậy M in(A) ⊆ W M in(A).

Rõ ràng, IM in(A) ⊆ M in(A) Nếu IM in(A) 6= ∅, cho x ∈ IM in(A)thì x ∈ M in(A) Cho y ∈ M in(A) thì y ≥ x vì vậy x ≥ y Lấy một điểm bất

kỳ z ∈ A có z ≥ x vì x ∈ IM in(A) suy ra z ≥ y là y ∈ IM in(A) Do đó,

IM in(A) = M in(A) Ngoài ra, nếu C là nhọn x > y và y ≥ x chỉ có thể xảy

ra trường hợp x = y Vậy IM inA là tập một điểm

Định nghĩa 1.17 Cho x ∈ E Tập A ∩ (x − C) được gọi là một nhát cắt Atại x và kí hiệu Ax

Mệnh đề 1.3 Cho x ∈ E với Ax 6= ∅ Ta có :

(i) IM in(Ax) ⊆ IM in(A) nếu IM in(A) 6= ∅;

(ii) M in(Ax) ⊆ M in(A);

(iii) W M in(Ax) ⊆ W M in(A)

Chứng minh (i) Cho y ∈ IM in(Ax) và z ∈ IM inA có Ax ⊆ y + C và

Chứng minh tương tự cho W M in

Nhận xét 1.2 Quan hệ P rM in(Ax) ⊆ P rM inA nói chung không đúng trừmột số trường hợp đặc biệt

Footer Page 18 of 161.

1.2.3 Sự tồn tại của điểm hữu hiệu

Định nghĩa 1.18 Cho lưới {xα : α ∈ I} từ E được gọi là lưới giảm

(tương ứng với C) nếu xα >C xβ với α, β ∈ I, β > α

Định nghĩa 1.19 Cho A ⊆ E được gọi là C- đầy đủ (tương ứng C- đầy

đủ mạnh) nếu nó không có phủ dạng {(xα− cl(C))c : α ∈ I} (tương ứng{(xα − C)c : α ∈ I}) với {xα} là một lưới giảm trong A

Định lý 1.3 Giả sử C là một nón lồi đúng và A là một tập khác rỗng trong

E Thì M in(A | C) 6= ∅ khi và chỉ khi A có một nhát cắt C- đầy đủ và khácrỗng

Chứng minh Nếu M in(A | C) 6= ∅ thì mọi điểm của tập này cho ta một nhátcắt C- đầy đủ vì không tồn tại lưới giảm Ngược lại, cho Ax khác rỗng làmột nhát cắt C- đầy đủ của A Theo Mệnh đề 1.3 thì ta chỉ cần chứng minh

M in(Ax | C) 6= ∅ Xét tập P bao gồm tất cả các lưới giảm trong A Vì A 6= ∅suy ra P 6= ∅ Với a, b ∈ P ta viết a  b nếu b ⊆ a Rõ ràng () là quan hệthứ tự trong P , và một xích bất kì trong P đều có cận trên Thật vậy, giả sử{aλ; λ ∈ Λ} là một xích trong P Gọi B là tập tất cả các tập con hữu hạn Bcủa Λ được sắp thứ tự bởi bao hàm và đặt

aB = ∪ {aα : α ∈ B} Và

ao = ∪ {aB : B ∈ B} Thì ao là một phần tử của P và ao  aα với mọi α ∈ Λ nghĩa là ao là một cậntrên của xích này Áp dụng bổ đề Zorn, tồn tại phần tử lớn nhất của P , kí hiệu

là a∗ = {xα : α ∈ I} ∈ P Bây giờ, giả sử ngược lại M in(Ax | C) = ∅ Chúng

ta sẽ chứng minh {(xα− cl(C))c : α ∈ I} phủ Ax Ta chỉ ra với mỗi y ∈ Ax

có α ∈ I mà (xα− cl(C))c chứa y Giả sử phản chứng y ∈ xα− cl(C), ∀α ∈ I

Footer Page 19 of 161.

Vì M in(Ax | C) = ∅ có z ∈ Ax với y >C z Do tính đúng của C nên

x − α >C z, (α ∈ I) Thêm z vào lưới a∗ ta thấy rằng lưới này không thể lớnnhất, dẫn tới mâu thuẫn Vậy định lý được chứng minh

1.2.4 Bài toán tối ưu véctơ (VOP)

Cho X là một tập con khác rỗng của một không gian tôpô và F là mộtánh xạ đa trị từ X vào E, ở đây E là không gian véctơ tôpô thực được sắpthứ tự bởi nón lồi C

Xét VOP :

min F (x)với ràng buộc x ∈ X

Điểm x ∈ X được gọi là tối ưu (cực tiểu hoặc hữu hiệu) của VOP nếu