Sự ổn định nghiệm tuần hoàn của hệ phương trình vi phân cấp 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN LÊ THỊ NGÂN SỰ ỔN ĐỊNH NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 Chuyên ngành: Toán giải tích Khóa luận tốt nghiệp NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

LÊ THỊ NGÂN

SỰ ỔN ĐỊNH NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Chuyên ngành: Toán giải tích

Khóa luận tốt nghiệp

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Trần Văn Bằng

Hà Nội, 2016

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Văn Bằng- Người

đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em để em hoàn thành bài khóa luậncủa mình Đồng thời em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong

tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán-Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thànhtốt bài khóa luận này

Nhân dịp này em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn bên em, động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình họctập và thực hiện đề tài này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 2 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Lê Thị Ngân

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của bản thân em đạt được trong quá trìnhhọc tập và nghiên cứu, dưới sự chỉ dẫn của TS Trần Văn Bằng và

sự giúp đỡ của các Thầy, Cô trong khoa Toán Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2 và của các Thầy, Cô trực tiếp giảng dạy chúng em

Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản khóa luận này em đã thamkhảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài "Sự ổn định nghiệm tuầnhoàn của hệ phương trình vi phân cấp một" là kết quả của việcnghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp vớikết quả của các đề tài khác

Hà Nội, ngày 2 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Lê Thị Ngân

Mục lục

1.1 Hệ phương trình vi phân cấp một 21.2 Một số kết quả về nghiệm của hệ phương trình vi phân

cấp một 51.2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 51.2.2 Sự thác triển nghiệm 61.3 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân cấp một 71.3.1 Khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov 71.3.2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến

tính cấp một 81.3.3 Tính ổn định của hệ tựa tuyến tính 101.3.4 Tính ổn định của hệ phi tuyến: Phương pháp

2.3 Tính ổn định của nghiệm tuần hoàn 26

Lời mở đầu

Phương trình vi phân là một chuyên ngành thiết yếu của toán học

và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học-kĩ thuật và côngnghệ, nó được coi như cầu nối giữa lí thuyết và ứng dụng Do vậy,việc nghiên cứu phương trình vi phân có ý nghĩa vô cùng quan trọng.Trong đó, nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân

là một trong những bài toán cơ bản của lí thuyết định tính các phươngtrình vi phân

Vì vậy dưới sự hướng dẫn của T.S Trần Văn Bằng, em xin chọn

đề tài “Sự ổn định nghiệm tuần hoàn của hệ phương trình

vi phân cấp một” Nội dung khóa luận được trình bày trong haichương:

Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản và một số kết quả vềnghiệm cũng như một số kết quả về tính ổn định nghiệm của hệphương trình vi phân cấp một

Chương 2 trình bày về tính ổn định nghiệm tuần hoàn của hệphương trình vi phân cấp một

Em xin chân thành cảm ơn T.S Trần Văn Bằng đã tận tình hướngdẫn em đọc tài liệu và tập dượt nghiên cứu

Do lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực bảnthân còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏinhững thiếu sót Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quýthầy cô và bạn đọc để đề tài này hoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn

Hệ n hàm khả vi x1 = ϕ1(t), x2 = ϕ2(t), , xn = ϕn(t) xác địnhtrên khoảng (a, b) được gọi là nghiệm của hệ (1.1) nếu với mọi t ∈ (a, b)điểm (t, ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕn(t)) ∈ I và khi thay chúng vào hệ (1.1) tađược hệ đồng nhất thức trên (a, b).

Tập hợp điểm Γ = {(t, ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕn(t))} với t ∈ (a, b) được

gọi là đường cong tích phân ứng với nghiệm ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕn(t).Hiển nhiên Γ ⊂ Rn+1.

Bây giờ ta coi (x1, x2, , xn) như tọa độ của mỗi điểm trong khônggian n chiều Rn mà ta gọi là không gian pha Khi đó tập hợp điểm

γ = {(ϕ1(t), ϕ2(t), , ϕn(t)) , t ∈ (a, b)}

được gọi là đường cong pha hay quỹ đạo pha Hiển nhiên đường congpha chứa trong không gian pha Không gian Rn+1 được gọi là khônggian pha suy rộng Đường cong tích phân chứa trong không gian phasuy rộng

Bài toán Côsi : Cho điểm (to, xo1, xo2, , xon) ∈ I

Tìm nghiệm x1(t), x2(t), , xn(t) của hệ (1.1) thỏa mãn điềukiện ban đầu:



là vectơ vận tốc của điểm đó Tại mỗi điểm M trong không gian phavectơ vận tốc thay đổi theo thời gian nên ta nói hệ (1.1) xác định một

trường vận tốc không dừng Nếu kí hiệu x là vectơ (x1, x2, , xn), f

là vectơ (f1, f2, , fn) thì hệ (1.1) viết được dưới dạng vectơ sau

dxn

dt = fn(x1, x2, , xn) hay được viết dưới dạng vectơ

1.2 Một số kết quả về nghiệm của hệ phương

trình vi phân cấp một

1.2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Xét bài toán giá trị ban đầu

Định lý 1.1 (Picard-Lindel¨of) Giả sử f : [to−a, to+a]× ¯B (xo, b) −→

Rn là hàm liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz đối với x đều theo

t, tức là tồn tại một hằng số L > 0 sao cho

kf (t, x)−f (t, y) k ≤ Lkx−yk, ∀ (t, x) , (t, y) ∈ [to−a, to+a]× ¯B (xo, b) ,

Giả sử f : D −→ Rn là hàm liên tục trên tập mở D ⊂ R × Rn và

x = x(t) là một nghiệm của phương trình

trên khoảng J = (α, β) ⊂ R Khoảng mở J được gọi là khoảng tồntại cực đại về bên phải của x(t) nếu không tồn tại một khoảng mở

J0 = (α0, β0) với α0 ≤ α và β < β0 sao cho x(t) có thể thác triển trên

J0, tức là tồn tại hàm ˆx(t) xác định trên J0 sao cho ˆx(t) = x(t) vớimọi t ∈ J và ˆx(t) là một nghiệm của (1.4) trên J0 Tương tự ta địnhnghĩa khoảng tồn tại cực đại về bên trái Khoảng tồn tại được gọi làcực đại nếu nó là cực đại đồng thời về cả 2 phía

Định lý 1.2 Giả sử f : D −→ Rn là hàm liên tục trên tập mở

D ⊂ R × Rn và x = x(t) là một nghiệm của phương trình (1.4) Khi

đó x(t) có thể thác triển lên khoảng tồn tại cực đại (w−, w+) Hơn

nữa, nếu khoảng hữu hạn (w−, w+) là khoảng tồn tại cực đại của x(t)thì x(t) sẽ tiến tới biên ∂D của D khi t tiến tới w− hoặc w+.

Thác triển của x(t) không nhất thiết duy nhất và do đó w±phụ thuộc vào cách chọn thác triển Khẳng định ”x(t) sẽ tiến tới ∂Dkhi t → w+”

Định nghĩa 1.2 Giả sử x(t) là một nghiệm của hệ (1.5) xác địnhtrên khoảng [to, +∞)

a) Nghiệm x(t) gọi là ổn định trên khoảng [to, +∞) nếu với mỗi

số ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) của (1.5) trên khoảng

đó với ky(to) − x(to)k < δ ta đều có

ky(t) − x(t)k < ε, ∀t ≥ to

b) Nghiệm x(t) gọi là ổn định tiệm cận trên khoảng [to, +∞) nếu

nó ổn định và tồn tại β > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) với ky(to) −x(to)k < β sẽ thỏa mãn

lim

x→+∞ky(t) − x(t)k = 0

Nếu các số δ, β trong các định nghĩa trên không phụ thuộc vào thờiđiểm ban đầu to thì ta có các khái niệm ổn định đều và ổn định tiệmcận đều Nhận xét rằng bằng cách đặt z(t) = y(t) − x(t), ta chuyểnviệc xét tính ổn định của nghiệm x(t) bất kì của hệ (1.5) về xét tính

ổn định của nghiệm 0 của hệ

˙z = f (t, z(t) + x(t)) − f (t, x(t)) , t ≥ 0

1.3.2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính

cấp mộtXét hệ phương trình vi phân tuyến tính

trong đó A(t) là hàm giá trị ma trận liên tục trên [to, +∞) Theođiều kiện tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình tuyến tính, mọinghiệm của hệ này luôn thác triển được một cách duy nhất trên toànkhoảng [to, +∞)

Định lý 1.3 Các khẳng định sau đây là đúng:

a) Nghiệm bất kì của (1.6) ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận)khi và chỉ khi nghiệm 0 ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận)

b) Nghiệm 0 của (1.6) ổn định khi và chỉ khi ma trận cơ bản X(t)bất kì đều bị chặn trên khoảng [to, +∞).

c) Nghiệm 0 của (1.6) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi đối với matrận cơ bản X(t) bất kì thì

lim

t→+∞X(t) = 0

Chú ý: Đối với hệ vi phân tuyến tính, như ta đã thấy, sự ổn địnhcủa nghiệm bất kì tương đương với sự ổn định của nghiệm 0 Do đóđối với hệ tuyến tính, đôi khi ta nói hệ ổn định (tương ứng ổn địnhtiệm cận) thay vì nói đến ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận) củamột nghiệm cụ thể

Đối với hệ vi phân tuyến tính có hệ số hằng

kí hiệu là eA hoặc exp(A) Ma trận etA :=

∞

P

k=0

(tA)kk! được gọi là ma trận

c) Nếu Reσ(A) = 0 thì hệ (1.7) không ổn định tiệm cận và nó là

ổn định khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng có phần thực bằng 0 lànửa đơn, tức là các ô Jordan tương ứng có cỡ 1 × 1

1.3.3 Tính ổn định của hệ tựa tuyến tính

Hệ tựa tuyến tính là hệ phương trình vi phân với phần chính làtuyến tính

nghĩa là g(t, x) là "nhỏ" đối với x khi x "nhỏ" Khi đó tính ổn địnhcủa nghiệm 0 của hệ (1.8) được suy ra từ tính ổn định của phần tuyếntính

Định lý 1.5 (Định lí ổn định) Giả sử hàm g(t,x) xác định và liêntục với t ≥ 0, kzk ≤ α, (α > 0) và giả sử

lim

kzk→0

kg(t, z)kkzk = 0đều với 0 ≤ t < +∞ Chẳng hạn g(t, 0) ≡ 0 thỏa mãn Giả sử A là

ma trận hằng và giả thiết rằng Reσ(A) < 0 Khi đó nghiệm 0 của hệ(1.8) là ổn định tiệm cận

Định lý 1.6 (Định lí về tính không ổn định) Giả sử g(t, z) thỏa mãncác giả thiết của của Định lí 1.5 Hơn nữa giả sử A là ma trận hằngvà

Reσ(A) > 0

Khi đó nghiệm 0 của hệ (1.8) là không ổn định

1.3.4 Tính ổn định của hệ phi tuyến: Phương pháp tuyến

tính hóaBây giờ xét phương trình Ôtônôm

Giả sử f ∈ C1(D), ở đó D ⊂ Rn là một tập mở chứa gốc tọa độ 0 và

0 là một điểm tới hạn của f , tức là f (0) = 0 Phương trình ˙x = Ax,

ở đó A là ma trận Jacobi Df (0), gọi là phương trình tuyến tính hóatại điểm 0, và quá trình chuyển phương trình phi tuyến (1.9) thànhphương trình ˙x = Df (0)x gọi là quá trình tuyến tính hóa Nếu phươngtrình (1.9) được viết lại dưới dạng

Định lý 1.7 (Nguyên lí tuyến tính hóa) Điểm cân bằng x = 0 củaphương trình phi tuyến (2.14) là ổn định tiệm cận nếu Reσ(Df (0)) < 0

và nó là không ổn định nếu Reσ(Df (0)) > 0

Chú ý Trong trường hợp

Reσ(Df (0)) ≤ 0 và σ(Df (0)) ∩ iR 6= 0,

ta không thể dùng Nguyên lí tuyến tính hóa trên để khảo sát tính ổnđịnh của nghiệm dừng 0 Trong trường hợp này dáng điệu ổn địnhquyết định bởi bậc cao hơn

Bây giờ, ta mô tả dáng điệu của nghiệm gần điểm cân bằng không

ổn định một cách chi tiết hơn Không giảm tính tổng quát, ta có thểcoi điểm cân bằng ¯x là gốc tọa độ vì nếu không ta chỉ cần đặt z = x− ¯x

và xét hệ mới ˙z = f (z + ¯x) = F (z)

Điểm gốc tọa độ 0 được gọi là điểm tới hạn hyperbolic của f nếu

f (0) = 0 và σ(Df (0)) ∩ iR = ∅ tức là Df (0) chỉ có các giá trị riêng

λ với Reλ 6= 0 Điểm cân bằng hyperbolic 0 gọi là điểm hút nếu tất

cả các giá trị riêng của ma trận Df (0) có phần thực âm (tương ứngdương) Trong trường hợp còn lại, điểm cân bằng 0 gọi là điểm yênngựa

Ma trận mũ etA gọi là hyperbolic nếu ma trận vuông A không cócác giá trị riêng có phần thực bằng 0

Với những điểm tới hạn hyperbolic chúng ta có các định lí quantrọng dưới đây

Định lý 1.8 (Định lí Harman-Grobman) Giả sử D là một lân cận củagốc tọa độ và f ∈ C1(D) Nếu 0 là điểm tới hạn hyperbolic của f thìtồn tại các lân cận U, V của gốc tọa độ và một đồng phôi h : U → Vbiến các quỹ đạo của phương trình tuyến tính hóa ˙x = Df (0)x (khichúng thuộc U) thành các quỹ đạo của phương trình phi tuyến (1.10),

bảo toàn hướng.

Định lý 1.9 (Định lí đa tạp ổn định) Giả sử f ∈ Cr(D) và giả sử

A = Df (0) có k giá trị riêng với phần thực âm λ1, , λk, và n − k giátrị riêng với phần thực dương λk+1, , λn Khi đó tồn tại các Cr− đatạp Ws = Ws(0) và Wu = Wu(0) có số chiều lần lượt là k và n − k,với Ws ∩ Wu = 0, xác định trong một lân cận của điểm x = 0, lầnlượt tiếp xúc với các không gian con Es = Es(0) = span{e1, , ek}

và Eu = Eu(0) = span{ek+1, , en}, ở đó {ei}n

i=1 là cơ sở gồm cácvectơ riêng của A ứng với các giá trị riêng {λi}n

i=1 sao cho:

i, Ws và Wu là bất biến, tức là nếu p ∈ Ws (tương ứng với p ∈ Wu)thì x(t, p) ∈ Ws (tương ứng với x(t, p) ∈ Ws)

ii, p ∈ Ws khi và chỉ khi lim

Chương 2

Tính ổn định nghiệm tuần hoàn

của hệ phương trình vi phân cấp một

tuần hoàn

Giả sử D là một tập mở trong Rn và f : R × D −→ Rn là hàmliên tục theo cả hai biến và Lipschitz đối với biến thứ hai, và giả sửu(., τ, ξ) là nghiệm tồn tại cực đại của bài toán Cauchy

Định lý 2.1 Giả sử f (t, x) là hàm liên tục theo cả hai biến, Lipschitzđối với biến thứ hai và T - tuần hoàn theo t, tức là

Giả sử u(., τ, ξ) là một nghiệm T tuần hoàn của phương trình ˙x =

f (t, x) Bởi tính tuần hoàn ta có

(t−(0, ξ)), (t+(0, ξ)
= J(τ, ξ) = R

Do đó không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử τ ≤ 0 Bây giờ đặt

ξo = u(0, τ, ξ) và chú ý rằng

u(t, 0, ξo) = u(t, τ, ξ),

từ tính T - tuần hoàn của u(., τ, ξ) suy ra

uT(ξo) = u(T, 0, ξo) = u(T, τ, ξ) = u(0, τ, ξ) = ξo

Điều kiện đủ

Nếu ξ ∈ D là một điểm bất động của uT thì đặtx(t) = u(t + T, 0, ξ) với t ∈ J (0, ξ) − T Khi đó ta có x(0) =u(T, 0, ξ) = uT(ξ) = ξ và

˙x(t) = u(t + T, 0, ξ) = f (t + T, x(t)) = f (t, x(t)) Do đó x là nghiệmcủa bài toán giá trị ban đầu

˙x = f (t, x), x(0) = ξ, và do tính duy nhất nghiệm ta suy rax(t) = u(t + T, 0, ξ) = u(t, 0, ξ), ∀t ∈ J (0, ξ) − T

Bằng quy nạp ta nhận được u(., 0, ξ) xác định trên cả R và là mộtnghiệm T - tuần hoàn của ˙x = f (t, x)

Chú ý a) Từ chứng minh trên ta suy ra ξ ∈ D là một điểm bấtđộng của uT khi và chỉ khi u(., 0, ξ) là một nghiệm T - tuần hoàn của

˙x = f (t, x)

b) Đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính

˙x = A(t)x + a(t),

toán tử dịch chuyển uT cho bởi dom(uT) = Rn và

uT(ξ) = U (t, 0)ξ +

Z T 0

A(t + T ) = A(t), a(t + T ) = a(t), ∀t ∈ R, T > 0

Định lý 2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính T - tuần hoàn (2.1)

có một nghiệm T - tuần hoàn khi và chỉ khi nó có nghiệm bị chặn.Chứng minh Điều kiện cần Hiển nhiên

Điều kiện đủ Từ Định lí 2.1 suy ra (2.1) có nghiệm T - tuần hoànkhi và chỉ khi tồn tại ξ ∈ Rn sao cho

ở đó

η =

Z T 0

U (T, τ )a(τ )dτ

và U (T ) = U (T, 0) Do đó ta chỉ cần chỉ ra rằng khi (2.2) không giảiđược thì (2.1) chỉ có nghiệm không bị chặn Từ kết quả của Đại sốtuyến tính ta biết rằng (2.2) không có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại

U (T, τ )a(τ )dτ, ξ ∈ Rn, t ∈ R,với ξ ∈ Rn nào đó Do đó suy ra

x(T ) = U (T )ξ + η (2.4)

và

˙x(t + kT ) = A(t + kT )x(t + kT ) + a(t + kT ) = A(t)x(t + kT ) + a(t),

với mọi k ∈ N và t ∈ R Từ đây do tính duy nhất nghiệm, xk(t) =x(t + kT ) là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu

˙

y = A(t)y + a(t), y(0) = x(kT )

Từ (2.4) suy ra

xk(T ) = x((k + 1)T ) = u(T )x(kT ) + η,

có duy nhất một nghiệm liên tục bị chặn u : R −→ R khi và chỉ khi

etA là hyberbolic Khi đó nghiệm u cho bởi

là các phép chiếu tương ứng với

Rn = Es⊕ Eu

Chứng minh Điều kiện cần: Nếu (2.5) có duy nhất nghiệm trongBC(R, Rn) thì phương trình thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thườngtrong BC(R, Rn) Nếu etA không là hyperbolic thì tồn tại λ = iω ∈σ(A) ∩ iR Từ đó suy ra hàm

t 7→ ceiωt, c ∈ Rn\ {0} ,

là một nghiệm phức bị chặn không tầm thường của ˙x = Ax Táchphần thực và phần ảo của nghiệm này ta được nghiệm không tầmthường trong BC(R, Rn) Do đó etA phải là hyperbolic

Điều kiện đủ: Nếu etA là hyperbolic thì mọi nghiệm không tầmthường của ˙x = Ax là không bị chặn Do đó, ˙x = Ax chỉ có nghiệmtầm thường trong BC(R, Rn) và do vậy (2.5) chỉ có thể có nhiều nhấtmột nghiệm trong BC(R, Rn) Từ đây chỉ cần chứng minh (2.6) làmột nghiệm của (2.5) trong BC(R, Rn) Ta biết rằng tồn tại các hằng

≤ 2β

α kgk∞,

với mọi t ∈ R Từ đó u bị chặn và theo Định lý về tính khả vi của tíchphân phụ thuộc tham số ta được u khả vi liên tục và

˙u(t) = Psg(t) +

Z t

−∞

Ae(t−τ )APsg(τ )dτ+ Pug(t) −

Z +∞

t

Ae(t−τ )APug(τ )dτ

= g(t) + Au(t),

với mọi t ∈ Rn Định lý đã được chứng minh

Hệ quả 2.1 Giả sử A là ma trận hằng và etA là hyperbolic Khi đóphương trình vi phân tuyến tính T - tuần hoàn

và ma trận hằng B ∈ Cn×n sao cho U (t, 0) = Q(t)etB, với mọi t ∈ R.Chứng minh Đặt U (t) = U (t, 0) và

V (t) = U (t + T )U−1(T ) = U (t + T )U (0, T )

Khi đó ˙V (t) = ˙U (t + T )U−1(T ) = A(t + T )V (t) = A(t)V (t), với mọi