Hàm mũ ma trận và ứng dụng với hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN Nguyễn Thị Lan Anh HÀM MŨ MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Lan Anh

HÀM MŨ MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Lan Anh

HÀM MŨ MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Trần Văn Bằng

Hà Nội – Năm 2016

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS Trần Văn Bằng - Người đãtận tình hướng dẫn và giúp đỡ em để em hoàn thành bài khóa luận củamình Đồng thời em cũng xin trân thành cảm ơn các thầy cô trong tổGiải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm HàNội 2 Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốtbài khóa luận này

Trong khuôn khổ của một khóa luận, do điều kiện thời gian, do trình

độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên khôngtránh khỏi những hạn chế những thiếu sót nhất định Vì vậy, em kínhmong nhận được sự đóng góp của các thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 2 tháng 05 năm 2016

Sinh viênNguyễn Thị Lan Anh

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của bản thân em đạt được trong quá trìnhhọc tập và nghiên cứu, dưới sự chỉ dẫn của TS Trần Văn Bằng và sựgiúp đỡ của các Thầy, Cô trong khoa Toán Trường Đại học Sư phạm HàNội 2 và của các Thầy, Cô trực tiếp giảng dạy em

Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản khóa luận này em đã tham khảomột số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài "Hàm mũ ma trận và ứngdụng đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một"

là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không có

sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác

Hà Nội, ngày 2 tháng 05 năm 2016

Sinh viênNguyễn Thị Lan Anh

Mục lục

1.1 Kiến thức cơ bản về ma trận 21.2 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn Mat(n ∗ n, K) 71.3 Hệ phương trình vi phân cấp một 91.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một 11

2 Hàm mũ ma trận và ứng dụng đối với hệ phương trình

2.1 Hàm mũ ma trận 162.2 Ứng dụng đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp

một 222.3 Ví dụ áp dụng 27Tài liệu tham khảo 35

Lời mở đầu

Phương trình vi phân là một trong những chuyên ngành của toán học

nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học và công nghệ, nó đượccoi là cầu nối giữa lí thuyết và ứng dụng Trong đó lí thuyết hệ phươngtrình vi phân tuyến tính cấp một là một lí thuyết quan trọng trong líthuyết phương trình vi phân Việc giải một hệ phương trình vi phân

dù là tuyến tính thì nói chung cũng không đơn giản Trong khóa luậnnày tôi muốn tìm hiểu phương pháp hàm mũ ma trận để giải hệ phươngtrình vi phân tuyến tính Đây là một phương pháp cho ta những côngthức biểu diễn nghiệm của hệ rất gọn và đẹp

Xuất phát từ nhận thức trên và lòng ham mê môn học với sự hướngdẫn tận tình của thầy giáo T.S Trần Văn Bằng, em mạnh dạn chọn

đề tài: "Hàm mũ ma trận và ứng dụng đối với hệ phương trình

vi phân tuyến tính cấp một" để thực hiện khóa luân tốt nghiệp củamình Nội dung của khóa luận bao gồm:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Hàm mũ ma trận và ứng dụng đối với hệ phươngtrình vi phân tuyến tính cấp một

Do lần đầu tiên thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lựcbản thân còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏinhững thiếu sót Em mong nhận được sự đóng góp, ý kiến của thầy cô

và các bạn để đề tài này được hoàn chỉnh và đạt được kết quả cao hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về ma trận, sự hội tụtrong không gian định chuẩn Mat(n ∗ n, K), hệ phương trình vi phân cấpmột và hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một nhằm thuận tiệntrình bày ở các mục sau

Nếu x = (x1, , xn) là một vectơ n chiều thì ta có thể xem x như làmột ma trận n hàng, một cột và do đó

Dễ dàng thấy chuẩn của ma trận có các tính chất sau:

det(λI−B) = det(P (λI−A)P−1) = detP det(λI−A)detP−1 = det(λI−A)

Đặc biệt các hệ số của lũy thừa λ của đa thức det(λI − A) là bấtbiến đối với phép biến đổi đồng dạng Hai bất biết quan trọng nhất đốivới phép đồng dạng là detA và trace(A) (tức là định thức và vết của ma

trận A).

Giả sử cho f là một phép biến đổi tuyến tính của không gian n chiều

Rn trên trường C vào chính nó

f : Rn → Rn.Giả sử h = {h1, , hn} là một cơ sở của không gian Rn Khi đó

trong đó Ki(i = 1, 2, , p) là ma trận có dạng

(tức là các phần tử thuộc đường chéo chính đều bằng λi và các phần tử

kề trên đều bằng 1, các phần tử khác đều bằng 0 Cấp của ma trận này

ta kí hiệu là ni)

Dạng trên đây được gọi là dạng chính tắc Jordan của ma trận A

Do đó(i) Với bất kì ma trận vuông B nào cũng tồn tại ma trận vuông khôngsuy biến P sao cho P BP−1 = A trong đó A là ma trận dạng chínhtắc Jordan

(ii) Giả sử A là ma trận phức và λ1, λ2, , λk là các giá trị riêng (phức)phân biệt của A với bội tương ứng là m1, , mk Khi đó A đồngdạng với ma trận J :

trong đó

Nếu λi là các giá trị riêng đơn với ∀i = 1, k thì ma trận A đồngdạng với ma trận chéo

ma trận Ji có dạng Ji = λiImi + Zi trong đó Imi là ma trận đơn vịcấp mi và

tức là so với Zi đường chéo đơn vị trong Zi2 bị dịch về bên phải mộtđơn vị, còn các phần tử còn lại đều bằng không Suy ra Zmi

Kí hiệu: lim

m→∞Am = A hay Am → A khi m → ∞

Nhận xét 1.1 Dãy {Am} hội tụ khi và chỉ khi mỗi dãy các phần tử

của nó hội tụ Hơn nữa nếu Am = (a(m)ij ), A = (aij) thì

lim

m→∞Am = A ⇔ lim a(m)ij = aij(∀i, j =1, n) Thật vậy

(i) Nếu mỗi dãy các phần tử của {Am} hội tụ thì hiển nhiên dãy matrận đó hội tụ

(ii) Ngược lại, giả sử ta có lim

m→∞Am = A = (aij)m×n thế thì(∀ε > 0)(∃Nε) sao cho ∀m ≥ Nε thì kAm − Ak < εhay

n

X

i,j=1

a(m)ij − aij

< ε ⇔

a(m)ij − aij



1





e3t.Vậy nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân đã cho là







x(t) = C1e−t + C2e3ty(t) = −3C1e−t+ C2e3t

Ví dụ 2.3.2 Giải hệ phương trình sau

det(λI − A) =

λ − 4 −1

5 λ − 2

... 2

Hàm mũ ma trận ứng dụng hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một< /h2>

Chương trình bày khái niệm hàm mũ matrận tính chất mệnh đề từ đưa cấu trúcnghiệm để giải hệ phương trình vi phân. .. bởi

x(t, t0, x0) = Xt0(t)x0.Tổng quát, ta gọi nghiệm phương trình ma trận X(t) =A(t)X ma trận nghiệm hệ (1.6)... số tuyến tính ta biết tồn tại

ma trận thực khơng suy biến P cho ma trận B = P−1AP có mộttrong dạng sau:

là ma trận hệ (2.4 )và đo hàm

x(t) = e(t−t0