Tính chất liên thông của tập nghiệm hữu hiệu các hệ suy rộng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ HẰNG TÍNH CHẤT LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM HỮU HIỆU CÁC HỆ SUY RỘNG KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán giải t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

*************

NGUYỄN THỊ HẰNG

TÍNH CHẤT LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM

HỮU HIỆU CÁC HỆ SUY RỘNG

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

HÀ NỘI, 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

*************

NGUYỄN THỊ HẰNG

TÍNH CHẤT LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM

HỮU HIỆU CÁC HỆ SUY RỘNG

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Người hướng dẫn khoá luận

TS Nguyễn Văn Tuyên

HÀ NỘI, 2016

LỜI CẢM ƠN

Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS Nguyễn VănTuyên, người thầy đã truyền thụ kiến thức, tận tình giúp đỡ, hướng dẫn emtrong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này

Em xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, các thầy cô giáo khoa Toán đã giúp đỡ em trong quá trìnhhọc tập tại trường và tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài khóa luận tốtnghiệp Trong quá trình nghiên cứu, không tránh khỏi những thiếu sót và hạnchế Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo

và toàn thể bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2016Sinh viên

Nguyễn Thị Hằng

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn VănTuyên khóa luận của em được hoàn thành không trùng với bất kì đề tài nàokhác

Trong khi làm khóa luận này, em đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2016Sinh viên

Nguyễn Thị Hằng

Mục lục

1.1 Một số kiến thức cơ bản về Giải tích lồi 3

1.1.1 Tập lồi 3

1.1.2 Hàm lồi 5

1.1.3 Nón 7

1.2 Bài toán tối ưu véctơ 9

1.2.1 Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự 9

1.2.2 Điểm hữu hiệu 11

1.2.3 Sự tồn tại của điểm hữu hiệu 14

1.2.4 Bài toán tối ưu véctơ (VOP) 15

2 Tính chất liên thông của tập nghiệm hữu hiệu các hệ suy rộng 17 2.1 Đặt bài toán 17

2.2 Tính chất liên thông của tập nghiệm hữu hiệu 18

Tài liệu tham khảo 25

LỜI MỞ ĐẦU

Cho A là một tập khác rỗng và f : A × A → R là một song hàm cânbằng, tức là f (x, x) = 0 ∀x ∈ A Xét bài toán

(EP) Tìm x ∈ A thỏa mãn f (x, y) ≥ 0 với mọi y ∈ A

Bài toán này lần đầu tiên được đưa ra vào năm 1955 bởi H Nikaido và K.Isoda(1) nhằm tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash Bài toán (EP) thườngđược sử dụng để thiết lập điểm cân bằng trong Lý thuyết trò chơi (GamesTheory), bởi thế nó còn có tên gọi khác là Bài toán cân bằng (Equilibriumproblem) theo cách gọi của các tác giả L D Muu, W Oettli(2) Bài toáncân bằng khá đơn giản về mặt hình thức nhưng nó bao hàm được nhiều lớpbài toán quan trọng thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau như bài toán tối ưu,bất đẳng thức biến phân, điểm bất động Kakutani, điểm yên ngựa, cân bằngNash, ; nó hợp nhất các bài toán này theo một phương pháp nghiên cứuchung rất tiện lợi

Nếu hàm số f được thay bằng hàm véctơ F : A × A → Y , ở đó Y làmột không gian véctơ tôpô, thì chúng ta có bài toán

(GS) Tìm x ∈ A thỏa mãn F (x, y) /∈ −K với mọi y ∈ A,

với K ∪ {0} là một nón lồi trong Y Bài toán (GS) được gọi là Hệ suy

(1) Nikaido, H., Isoda, K.: A note on non cooperative convex games, Pacific Journal of Mathematics 5 (1995), 807-815.

(2) Muu, L D., Oettli, W.: Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria, Nolinear Anal 18 (1992), 1159–1166.

rộng (Generalized system) hay còn gọi là Bài toán cân bằng véctơ (VectorEquilibrium Problem) Hệ suy rộng là một sự mở rộng tự nhiên của các bàitoán tối ưu véctơ và bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ.

Như chúng ta biết rằng việc một trong các vấn đề quan trọng khi nghiêncứu hệ suy rộng đó là nghiên cứu các tính chất tôpô của tập nghiệm, chẳnghạn như: tính chất liên thông, tính chất đóng, tính chất trù mật,

Trong khóa luận này, chúng tôi tập trung nghiên cứu tính chất liênthông của tập nghiệm hữu hiệu của hệ suy rộng với các song hàm đơn điệutrong các không gian lồi địa phương Các kết quả chính của khóa luận đượctrình bày trên cơ sở bài báo của Gong và Yao [5]

Khóa luận được chia thành hai chương Chương 1 trình bày một số kiếnthức cơ bản về Giải tích lồi và Bài toán tối ưu véctơ

Chương 2 nghiên cứu tính chất liên thông của tập nghiệm hữu hiệu củacác hệ suy rông

Định nghĩa 1.1 Tập X ⊂ Rn được gọi là tập lồi nếu với mọi x1, x2 ∈ X vàvới mọi λ ∈ [0, 1] thì (1 − λ)x1 + λx2 ∈ X.

Bổ đề 1.1 Cho I là tập chỉ số bất kì Nếu các tập Xi ⊂ Rn (i ∈ I), là cáctập lồi thì tập X = T

suy ra (1 − λ)x + λy ∈

i∈I

Xi, ∀i ∈ I Vậy X là tập lồi

Bổ đề 1.2 Cho X, Y là tập lồi trong Rn và các số thực t, µ Khi đó, tX + µY

tX + µY Vậy tX + µY là tập lồi

Định nghĩa 1.2 Một điểm x được gọi là tổ hợp lồi của các điểm x1, x2, , xm,nếu tồn tại các số thực không âm λ1, λ2, , λm sao cho

x = λ1x1 + λ2x2 + + λmxmvà

Chứng minh Cho B là một hình cầu đơn vị Nếu x1 ∈ int X, x2 ∈ int X,khi đó, ta có thể tìm ε > 0 sao cho x1 + εB ⊂ X và x2 + εB ⊂ X Do đó,(1 − λ)x1+ λx2+ εB ⊂ X với λ ∈ [0, 1] Vì vậy, (1 − λ)x1+ λx2 ∈ int X Vậyint X là tập lồi.

Để chứng minh phần 2 của bổ đề, ta cho xk → x và yk → y với xk ∈ X

và yk ∈ X Khi đó, dãy của các điểm: (1 − λ)xk+ λyk được chứa trong X vàhội tụ tới (1 − λ)x + λy ∈X Vậy X là tập lồi

Miền hữu hiệu của f : dom f := {x ∈ Rn | f (x) < +∞}

Định nghĩa 1.6 Hàm f được gọi là hàm lõm nếu −f là hàm lồi.

Hàm f được gọi là hàm chính thường nếu f (x) > −∞, với mọi x ∈ Rn

và tồn tại ¯x ∈ Rn sao cho f (¯x) < +∞

Định lý 1.1 Hàm f : Rn → R là hàm lồi khi và chỉ khi epif là tập lồi trên

Rn × R

Chứng minh Giả sử f là hàm lồi và lấy hai điểm bất kỳ

(x, v1), (y, v2) ∈ epif, λ ∈ [0, 1]

Ta có (1 − λ)(x, v1) + λ(y, v2) = ((1 − λ)x + λy, (1 − λ)v1+ λv2) Do f là hàmlồi nên f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y) ≤ (1 − λ)v1 + λv2 Do đó(1 − λ)(x, v1) + λ(y, v2) ∈ epif , vậy epif là tập lồi

Ngược lại, giả sử epif là tập lồi và x, y ∈ dom f, λ ∈ [0, 1] Khi đó ta có(x, f (x)), (y, f (y)) ∈ epif , do epif lồi nên (1 − λ)(x, f (x)) + λ(y, f (y)) ∈ epifhay ((1 − λ)x + λy, (1 − λ)f (x) + λf (y)) ∈ epif , suy ra f ((1 − λ)x + λy) ≤

λf (x) + (1 − λ)f (y) Vậy ta được f là hàm lồi

Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Jensen) Cho f : Rn → R Hàm f là lồi khi vàchỉ khi với mọi λ1, λ2, , λm ≥ 0;Pm

i=1λi = 1; ∀x1, x2, , xm ∈ Rn Ta có:f

+ Nếu 0 ≤ λk+1 < 1 từ

C được gọi là nón lồi nếu C là một nón và C là một tập lồi.

Định nghĩa 1.8 Cho C là một nón lồi, kí hiệu l(C) := C ∩ (−C) (phầntuyến tính của nón C)

(i) C được gọi là nón nhọn nếu l(C) = {0}

(ii) C được gọi là nón đúng nếu cl(C) + C\l(C) ⊆ C, hoặc tương đương

cl(C) + C\l(C) ⊆ C\l(C)

Ví dụ 1.2 Trong không gian Rn, cho

C = Rn+ = {x ∈ Rn | xi ≥ 0, i = 1, 2, , n}

Khi đó, C là một nón lồi.

Thật vậy, với mọi x ∈ C thì xi ≥ 0, i = 1, 2, , n và với mọi α > 0 tacó: αx = (αx1, αx2, , αxn), αxi ≥ 0, i = 1, 2, , n Do đó αx ∈ C, vậy C làmột nón

Mặt khác, với mọi x, y ∈ C thì αxi ≥ 0, αyi ≥ 0, i = 1, 2, , n và với mọi

λ ∈ [0, 1] ta có (1 − λ)x + λy = ((1 − λ)x1+ λy1, , (1 − λ)xn+ λyn) ∈ C, nên

C là một tập lồi Vậy C là một nón lồi

Bổ đề 1.4 Cho C là một nón lồi Khi đó, nếu x1 ∈ C, x2 ∈ C, , xm ∈ C và

Bổ đề 1.5 Nếu X là tập lồi thì cone (X) là một tập lồi

Định nghĩa 1.10 Cho x ⊂ Rn, tập CX(x) = cone (X − x) được gọi là nóncác phương chấp nhận được của X tại x

Định nghĩa 1.11 Cho X ⊂ Rn là một tập lồi Tập

X∞ = {d ∈ Rn | X + d ⊂ X}

được gọi là nón lùi xa của X

Định nghĩa 1.12 Cho C là một nón trong Rn Tập

Co = {y ∈ Rn : hy, xi ≤ 0, ∀x ∈ C}

được gọi là nón cực của C

Định nghĩa 1.13 Cho X là một tập lồi trong Rn và x ∈ X Tập

NX(x) = [cone (X − x)]ođược gọi là nón pháp tuyến đối với X tại x

Nhận xét 1.1 v ∈ NX(x) ⇔ hv, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ X

1.2.1 Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự

Cho một tập hợp E tuỳ ý, một quan hệ hai ngôi trong E được địnhnghĩa bởi một tập con B của tập hợp tích E × E Điều này có nghĩa là mộtphần tử x ∈ E có quan hệ với y ∈ E nếu (x, y) ∈ B

Định nghĩa 1.14 Cho B là một quan hệ hai ngôi trong E Ta nói quan hệnày là:

(i) Phản xạ nếu (x, x) ∈ B với mọi x ∈ E;

(ii) Đối xứng nếu(x, y) ∈ B suy ra (y, x) ∈ B với mỗi x, y ∈ E;

(iii) Bắc cầu nếu (x, y) ∈ B,(y, z) ∈ B suy ra (x, z) ∈ B với x, y, z ∈ B;(iv) Đầy đủ hoặc liên thông nếu (x, y) ∈ B hoặc (y, x) ∈ B với mỗi x, y ∈

Để làm rõ định nghĩa này, chúng ta xét một số ví dụ cổ điển sau Cho

E là một cộng đồng dân cư của một thành phố và chúng ta định nghĩa quan

hệ hai ngôi như sau (số dân cư được gán bởi x, y, z, )

1 (x, y) ∈ B1 nếu x, y là những người tuổi cao hoặc có tuổi.

2 (x, y) ∈ B2 nếu x, y là hai giới tính khác nhau

3 (x, y) ∈ B3 nếu x, y là những người có họ

Ta thấy rằng B1 là phản xạ, bắc cầu, không đối xứng, đầy đủ B2 khôngphản xạ, đối xứng, không bắc cầu, không đầy đủ B3 là phản xạ, không bắccầu, đối xứng, không đầy đủ

Định nghĩa 1.15 Quan hệ hai ngôi là một quan hệ thứ tự nếu nó là phản

là quan hệ hai ngôi được định nghĩa bởi C; x >C y nếu x ≥C y và không phải

là y ≥C x, hay là x ∈ y + C\l(C) Khi int C 6= 0, x C y nghĩa là x >K y với

x >C y khi và chỉ khi xi ≥ yi với i = 1, , n và ít nhất một bất đẳngthức là ngặt;

x ≥C y khi và chỉ khi xi > yi với mọi i = 1, , n

1.2.2 Điểm hữu hiệu

Cho E là không gian véctơ tôpô thực với quan hệ thứ tự (≥) được sinhbởi một nón lồi C

Định nghĩa 1.16 Cho A là một tập con khác rỗng của E Ta nói rằng:(i) x ∈ A là một điểm hữu hiệu lí tưởng (hoặc cực tiểu lí tưởng) của A tươngứng với C nếu y ≥ x, ∀y ∈ A;

Tập các điểm cực tiểu lí tưởng của A được kí hiệu là IM in (A | C).(ii) x ∈ A là điểm hữu hiệu (cực tiểu-Pareto hoặc cực tiểu) của A tương ứngvới C nếu x ≥ y, y ∈ A thì y ≥ x;

Tập các điểm hữu hiệu của A kí hiệu là M in(A | C)

(iii) x ∈ A là điểm hữu hiệu thực sự (toàn cục) của A tương ứng với C nếutồn tại một nón lồi K 6= E với int K ⊇ C\l(C) sao cho x ∈ M in(A | K);

Kí hiệu tập các điểm hữu hiệu toàn cục của A là P rM in(A | C)

(iv) Giả sử int C 6= ∅, x ∈ A là một điểm hữu hiệu yếu của A tương ứng với

C nếu x ∈ M in(A | {0} ∪ int C);

Tập các điểm hữu hiệu yếu của A kí hiệu là W M in(A | C)

Ví dụ 1.4 Cho:

A = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1, y 6 0 ∪ {(x, y) : x ≥ 0, −1 ≤ y ≤ 0} ;

B = A ∪ {(−2, −2)}

Nếu cho C = R2+, ta có:

IM in(B) = P rM in(B) = M in(B) = W M in(B) = {(−2, −2)};

P rM in(A) = M in(A) = W M in(A) = A

Từ định nghĩa của các điểm hữu hiệu, ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.1 Cho A ⊆ E thì :

(i) x ∈ IM in(A) khi và chỉ khi x ∈ A và A ⊆ x + C;

(ii) x ∈ IM in(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − C) ⊆ x+ l(C) hoặc tương đương:

6 ∃y ∈ A sao cho x > y Đặc biệt khi C là nhọn, x ∈ M in(A) khi và chỉ khi

A ∩ (x − C) = {x};

(iii) Khi C 6= E, x ∈ W M in(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − int C) = ∅ hoặc tươngđương với 6 ∃y ∈ A sao cho x  y

Mệnh đề 1.2 Cho tập khác rỗng A ⊆ E có:

P rM in(A) ⊆ M in(A) ⊆ W M in(A)

Hơn nữa, nếu IM in(A) 6= ∅ thì IM in(A) = M in(A) và nó là tập mộtđiểm khi C là nhọn

Chứng minh Lấy x ∈ P rM in(A) Nếu x 6∈ M in(A) có y ∈ A và x − y ∈C\l(C) Lấy nón lồi K, K 6= E với int K ⊆ C\l(C) và x ∈ M in(A | K) Thì

x − y ∈ int K ⊆ K\l(K) Điều này mâu thuẫn với x ∈ M in(A | K) suy ra

P rM in(A) ⊆ M in(A)

Lấy x ∈ M in(A) Nếu x 6∈ W M in(A) theo Mệnh đề 1.1 tồn tại y ∈ Asao cho x − y ∈ int C Do C 6= E, int C ⊆ C\l(C) nên ta có x − y ∈ C\l(C).Điều này mâu thuẫn với x ∈ M inA Vậy M in(A) ⊆ W M in(A).

Rõ ràng, IM in(A) ⊆ M in(A) Nếu IM in(A) 6= ∅, cho x ∈ IM in(A)thì x ∈ M in(A) Cho y ∈ M in(A) thì y ≥ x vì vậy x ≥ y Lấy một điểm bất

kỳ z ∈ A có z ≥ x vì x ∈ IM in(A) suy ra z ≥ y là y ∈ IM in(A) Do đó,

IM in(A) = M in(A) Ngoài ra, nếu C là nhọn x ≥ y và y ≥ x chỉ có thể xảy

ra trường hợp x = y Vậy IM inA là tập một điểm

Định nghĩa 1.17 Cho x ∈ E Tập A ∩ (x − C) được gọi là một nhát cắt Atại x và kí hiệu Ax

Mệnh đề 1.3 Cho x ∈ E với Ax 6= ∅ Ta có :

(i) IM in(Ax) ⊆ IM in(A) nếu IM in(A) 6= ∅;

(ii) M in(Ax) ⊆ M in(A);

(iii) W M in(Ax) ⊆ W M in(A)

Chứng minh (i) Cho y ∈ IM in(Ax) và z ∈ IM inA có Ax ⊆ y + C và

Chứng minh tương tự cho W M in

Nhận xét 1.2 Quan hệ P rM in(Ax) ⊆ P rM inA nói chung không đúng trừmột số trường hợp đặc biệt

1.2.3 Sự tồn tại của điểm hữu hiệu

Định nghĩa 1.18 Cho lưới {xα : α ∈ I} từ E được gọi là lưới giảm

(tương ứng với C) nếu xα >C xβ với α, β ∈ I, β > α

Định nghĩa 1.19 Cho A ⊆ E được gọi là C- đầy đủ (tương ứng C- đầy

đủ mạnh) nếu nó không có phủ dạng {(xα− cl(C))c : α ∈ I} (tương ứng{(xα − C)c : α ∈ I}) với {xα} là một lưới giảm trong A

Định lý 1.3 Giả sử C là một nón lồi đúng và A là một tập khác rỗng trong

E Thì M in(A | C) 6= ∅ khi và chỉ khi A có một nhát cắt C- đầy đủ và khácrỗng

Chứng minh Nếu M in(A | C) 6= ∅ thì mọi điểm của tập này cho ta một nhátcắt C- đầy đủ vì không tồn tại lưới giảm Ngược lại, cho Ax khác rỗng làmột nhát cắt C- đầy đủ của A Theo Mệnh đề 1.3 thì ta chỉ cần chứng minh

M in(Ax | C) 6= ∅ Xét tập P bao gồm tất cả các lưới giảm trong A Vì A 6= ∅suy ra P 6= ∅ Với a, b ∈ P ta viết a  b nếu b ⊆ a Rõ ràng () là quan hệthứ tự trong P , và một xích bất kì trong P đều có cận trên Thật vậy, giả sử{aλ; λ ∈ Λ} là một xích trong P Gọi B là tập tất cả các tập con hữu hạn Bcủa Λ được sắp thứ tự bởi bao hàm và đặt

aB = ∪ {aα : α ∈ B} Và

ao = ∪ {aB : B ∈ B} Thì ao là một phần tử của P và ao  aα với mọi α ∈ Λ nghĩa là ao là một cậntrên của xích này Áp dụng bổ đề Zorn, tồn tại phần tử lớn nhất của P , kí hiệu

là a∗ = {xα : α ∈ I} ∈ P Bây giờ, giả sử ngược lại M in(Ax | C) = ∅ Chúng

ta sẽ chứng minh {(xα− cl(C))c : α ∈ I} phủ Ax Ta chỉ ra với mỗi y ∈ Ax

có α ∈ I mà (xα− cl(C))c chứa y Giả sử phản chứng y ∈ xα− cl(C), ∀α ∈ I

Vì M in(Ax | C) = ∅ có z ∈ Ax với y >C z Do tính đúng của C nên

x − α >C z, (α ∈ I) Thêm z vào lưới a∗ ta thấy rằng lưới này không thể lớnnhất, dẫn tới mâu thuẫn Vậy định lý được chứng minh

1.2.4 Bài toán tối ưu véctơ (VOP)

Cho X là một tập con khác rỗng của một không gian tôpô và F là mộtánh xạ đa trị từ X vào E, ở đây E là không gian véctơ tôpô thực được xắpthứ tự bởi nón lồi C

Xét VOP :

minF (x)với ràng buộc x ∈ X

Điểm x ∈ X được gọi là tối ưu (cực tiểu hoặc hữu hiệu) của VOP nếu

Bổ đề 1.6 Giả sử C là lồi, X là tập compact khác rỗng và F là C- liên tụctrên trong X với F (x) + C là C-đầy đủ, đóng với mọi x ∈ X thì F (X) là C-đầy đủ.

Chứng minh Giả sử phản chứng rằng F (X) không là C-đầy đủ Điều này cónghĩa là có một lưới giảm {aα : α ∈ I} của F (X) sao cho

{(aα − cl(C))c : α ∈ I}

là phủ của F (X) Lấy xα ∈ X với aα ∈ F (xα) Không mất tính tổng quát,giả sử lim xα = x ∈ X Khi đó, với mỗi lân cận V của F (x) trong E có mộtchỉ số β ∈ I sao cho

Kí hiệu bao đóng của D là cl(D) Một tập con M lồi khác rỗng của nón lồi Cgọi là cơ sở của C nếu C = cone (M ) và 0 /∈ cl(D) Dễ dàng thấy rằng C] 6= ∅khi và chỉ khi C có một cơ sở.

Cho tập A ⊂ X, A 6= ∅ và cho ánh xạ F : A × A → Y Xét hệ suy rộng:

(GS) tìm x ∈ A sao cho F (x, y) /∈ −C\{0} ∀y ∈ A (2.1)Một điểm x thỏa mãn điều kiện (2.1) được gọi là một nghiệm hữu hiệu của(GS) Tập nghiệm hữu hiệu của (GS) được kí hiệu là V (A, F ) Nếu int C 6= ∅,thì một véctơ x được gọi là một nghiệm hữu hiệu yếu của (GS) nếu

F (x, y) /∈ −int C ∀y ∈ A

Tập tất cả các nghiệm hữu hiệu yếu của (GS) được kí hiệu bởi VW(A, F )

Lấy f ∈ C∗\{0} Một véctơ x ∈ A được gọi là nghiệm f -hữu hiệu của(GS) nếu

f (F (x, y)) ≥ 0 ∀y ∈ A

Tập tất cả các nghiệm f -hữu hiệu của (GS) được kí hiệu bởi Vf(A, F )

Trong phần này, trước hết chúng tôi trình bày một định lý về tính trùmật của tập các nghiệm hữu hiệu thực sự dương trong tập nghiệm hữu hiệucủa hệ suy rộng Sau đó, chúng tôi sẽ nhận được một kết quả về tính liênthông của tập nghiệm hữu hiệu cuả hệ suy rộng

Cho ϕ : A × A −→ Y Ánh xạ ϕ được gọi là C-đơn điệu trên A × A nếu

ϕ(x, y) + ϕ(y, x) ∈ −C, ∀x, y ∈ A

Ánh xạ ϕ được gọi là C- đơn điệu mạnh trên A × A nếu ϕ là C- đơn