Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng véctơ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN NGUYỄN THU HẰNG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích HÀ NỘI, 2016... T

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THU HẰNG

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ

TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

HÀ NỘI, 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THU HẰNG

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ

TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Người hướng dẫn khóa luận

TS Nguyễn Văn Tuyên

HÀ NỘI, 2016

Mục lục

1.1 Một số kiến thức cơ bản về Giải tích lồi 3

1.1.1 Tập lồi 3

1.1.2 Hàm lồi 4

1.1.3 Nón 5

1.2 Bài toán tối ưu véctơ 6

1.2.1 Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự 6

1.2.2 Điểm hữu hiệu 7

1.2.3 Sự tồn tại của điểm hữu hiệu 9

1.2.4 Bài toán tối ưu véctơ (VOP) 9

2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng véctơ 11 2.1 Đặt bài toán 11

2.2 Các trường hợp đặc biệt của bài toán cân bằng véctơ 12

2.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng véctơ 14

Kết luận 19

Lời mở đầu

Cho A là một tập khác rỗng và f : A × A → R là một song hàm cânbằng, tức là f (x, x) = 0 ∀x ∈ A Xét bài toán

(EP) Tìm x ∈ A thỏa mãn f (x, y) ≥ 0 với mọi y ∈ A

Bài toán này lần đầu tiên được đưa ra vào năm 1955 bởi H Nikaido và K.Isoda(1) nhằm tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash Bài toán (EP) thườngđược sử dụng để thiết lập điểm cân bằng trong Lý thuyết trò chơi (GamesTheory), bởi thế nó còn có tên gọi khác là Bài toán cân bằng (EquilibriumProblem) theo cách gọi của các tác giả L D Muu, W Oettli(2) Bài toáncân bằng khá đơn giản về mặt hình thức nhưng nó bao hàm được nhiều lớpbài toán quan trọng thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau như bài toán tối ưu,bất đẳng thức biến phân, điểm bất động Kakutani, điểm yên ngựa, cân bằngNash, ; nó hợp nhất các bài toán này theo một phương pháp nghiên cứuchung rất tiện lợi

Nếu hàm số f được thay bằng hàm véctơ F : A × A → Y , ở đó Y làmột không gian véctơ tôpô, thì chúng ta có bài toán

(VEP) Tìm x ∈ A thỏa mãn F (x, y) /∈ −K với mọi y ∈ A,với K ∪ {0} là một nón lồi trong Y Bài toán (VEP) được gọi là Bài toán cânbằng véctơ (Vector Equilibrium Problem) Bài toán cân bằng véctơ là một sự

mở rộng tự nhiên của các bài toán tối ưu véctơ và bài toán bất đẳng thứcbiến phân véctơ

Một trong những vấn đề nghiên cứu quan trọng của lý thuyết các bàitoán cân bằng đó là đưa ra các điều kiện đảm bảo sự tồn tại nghiệm của các

(1) Nikaido, H., Isoda, K.: A note on non cooperative convex games, Pacific Journal of Mathematics 5 (1995), 807-815.

(2) Muu, L D., Oettli, W.: Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria, Nolinear Anal 18 (1992), 1159–1166.

bài toán này Bằng cách sử dụng lược đồ vô hướng hóa, X H Gong(3) đã đạtđược một số kết quả về sự tồn tại nghiệm hữu hiệu và hữu hiệu Henig củabài toán (VEP).

Mục đích của khóa luận này là trình bày một số kết quả nghiên cứu cơbản về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng véctơ trong không gian véctơtôpô bằng cách sử dụng nguyên lý ánh xạ KKM Các kết quả chính của khóaluận được trình bày trên cơ sở bài báo của K R Kazmi [6]

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 2chương Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về Giải tích lồi và bàitoán tối ưu véctơ Chương 2 trình bày sự tồn tại nghiệm của bài toán cânbằng véctơ

Hà Nội, ngày tháng năm

Tác giả luận văn

Nguyễn Thu Hằng

(3) Gong, X.H.: Efficiency and Henig efficiency for vector equilibrium problems, J Optim Theory Appl 108 (2001), pp 139–154.

Định nghĩa 1.1 Tập X ⊂ Rn được gọi là tập lồi nếu với mọi x1, x2 ∈ X vàvới mọi λ ∈ [0, 1] thì (1 − λ)x1 + λx2 ∈ X.

Bổ đề 1.1 Cho I là tập chỉ số bất kì Nếu các tập Xi ⊂ Rn (i ∈ I), là cáctập lồi thì tập X = T

Miền hữu hiệu của f : dom f := {x ∈ Rn | f (x) < +∞}.

Đồ thị của hàm f : gphf := {(x, v) ∈ Rn × R | v = f(x)}

Trên đồ thị của f : epif := {(x, v) ∈ Rn× R | v ≥ f(x)}

Định nghĩa 1.6 Hàm f được gọi là hàm lõm nếu −f là hàm lồi

Hàm f được gọi là hàm chính thường nếu f (x) > −∞, với mọi x ∈ Rn

và tồn tại ¯x ∈ Rn sao cho f (¯x) < +∞

Định lý 1.1 Hàm f : Rn → R là hàm lồi khi và chỉ khi epif là tập lồi trên

Rn × R

Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Jensen) Cho f : Rn → R Hàm f là lồi khi vàchỉ khi với mọi λ1, λ2, , λm ≥ 0;Pm

i=1λi = 1; ∀x1, x2, , xm ∈ Rn Ta có:f

C được gọi là nón lồi nếu C là một nón và C là một tập lồi

Định nghĩa 1.8 Cho C là một nón lồi, kí hiệu l(C) := C ∩ (−C) (phầntuyến tính của nón C)

(i) C được gọi là nón nhọn nếu l(C) = {0}

(ii) C được gọi là nón đúng nếu cl(C) + C\l(C) ⊆ C, hoặc tương đương

Bổ đề 1.5 Nếu X là tập lồi thì cone (X) là một tập lồi

Định nghĩa 1.10 Cho x ⊂ Rn, tập CX(x) = cone (X − x) được gọi là nóncác phương chấp nhận được của X tại x

Định nghĩa 1.11 Cho X ⊂ Rn là một tập lồi Tập

X∞ = {d ∈ Rn | X + d ⊂ X}

được gọi là nón lùi xa của X.

Định nghĩa 1.12 Cho C là một nón trong Rn Tập

Co = {y ∈ Rn : hy, xi ≤ 0, ∀x ∈ C}

được gọi là nón cực của C

Định nghĩa 1.13 Cho X là một tập lồi trong Rn và x ∈ X Tập

NX(x) = [cone (X − x)]ođược gọi là nón pháp tuyến đối với X tại x

Nhận xét 1.1 v ∈ NX(x) ⇔ hv, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ X

1.2 Bài toán tối ưu véctơ

1.2.1 Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự

Cho một tập hợp E tuỳ ý, một quan hệ hai ngôi trong E được địnhnghĩa bởi một tập con B của tập hợp tích E × E Điều này có nghĩa là mộtphần tử x ∈ E có quan hệ với y ∈ E nếu (x, y) ∈ B

Định nghĩa 1.14 Cho B là một quan hệ hai ngôi trong E Ta nói quan hệnày là:

(i) Phản xạ nếu (x, x) ∈ B với mọi x ∈ E;

(ii) Đối xứng nếu(x, y) ∈ B suy ra (y, x) ∈ B với mỗi x, y ∈ E;

(iii) Bắc cầu nếu (x, y) ∈ B,(y, z) ∈ B suy ra (x, z) ∈ B với x, y, z ∈ B;(iv) Đầy đủ hoặc liên thông nếu (x, y) ∈ B hoặc (y, x) ∈ B với mỗi x, y ∈

E, x 6= y;

(v) Tuyến tính trong trường hợp E là không gian véctơ thực nếu (x, y) ∈ Bsuy ra (tx + z, ty + z) ∈ B với mọi x, y, z ∈ E, t > 0;

(vi) Đóng trong trường hợp E là không gian véctơ tôpô, nếu nó là đóng nhưmột tập con của không gian tích E × E.

Định nghĩa 1.15 Quan hệ hai ngôi là một quan hệ thứ tự nếu nó là phản

là quan hệ hai ngôi được định nghĩa bởi C; x >C y nếu x >C y và không phải

là y >C x, hay là x ∈ y + C\l(C) Khi int C 6= 0, x C y nghĩa là x >K y với

K = {0} ∪ int C

1.2.2 Điểm hữu hiệu

Cho E là không gian véctơ tôpô thực với quan hệ thứ tự (>) được sinhbởi một nón lồi C

Định nghĩa 1.16 Cho A là một tập con khác rỗng của E Ta nói rằng:(i) x ∈ A là một điểm hữu hiệu lí tưởng (hoặc cực tiểu lí tưởng) của A tươngứng với C nếu y > x, ∀y ∈ A;

Tập các điểm cực tiểu lí tưởng của A được kí hiệu là IM in (A | C)

(ii) x ∈ A là điểm hữu hiệu (cực tiểu-Pareto hoặc cực tiểu) của A tương ứngvới C nếu x > y, y ∈ A thì y > x;

Tập các điểm hữu hiệu của A kí hiệu là M in(A | C)

(iii) x ∈ A là điểm hữu hiệu thực sự (toàn cục) của A tương ứng với C nếutồn tại một nón lồi K 6= E với int K ⊇ C\l(C) sao cho x ∈ M in(A | K);

Kí hiệu tập các điểm hữu hiệu toàn cục của A là P rM in(A | C)

(iv) Giả sử int C 6= ∅, x ∈ A là một điểm hữu hiệu yếu của A tương ứng với

C nếu x ∈ M in(A | {0} ∪ int C);

Tập các điểm hữu hiệu yếu của A kí hiệu là W M in(A | C)

Cho:

A = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1, y 6 0 ∪ {(x, y) : x > 0, −1 ≤ y ≤ 0} ;

Từ định nghĩa của các điểm hữu hiệu, ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.1 Cho A ⊆ E thì :

(i) x ∈ IM in(A) khi và chỉ khi x ∈ A và A ⊆ x + C;

(ii) x ∈ IM in(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − C) ⊆ x+ l(C) hoặc tương đương:

6 ∃y ∈ A sao cho x > y Đặc biệt khi C là nhọn, x ∈ M in(A) khi và chỉ khi

A ∩ (x − C) = {x};

(iii) Khi C 6= E, x ∈ W M in(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − int C) = ∅ hoặc tươngđương với 6 ∃y ∈ A sao cho x  y

Mệnh đề 1.2 Cho tập khác rỗng A ⊆ E có:

P rM in(A) ⊆ M in(A) ⊆ W M in(A)

Hơn nữa, nếu IM in(A) 6= ∅ thì IM in(A) = M in(A) và nó là tập mộtđiểm khi C là nhọn

Định nghĩa 1.17 Cho x ∈ E Tập A ∩ (x − C) được gọi là một nhát cắt Atại x và kí hiệu Ax

Mệnh đề 1.3 Cho x ∈ E với Ax 6= ∅ Ta có :

(i) IM in(Ax) ⊆ IM in(A) nếu IM in(A) 6= ∅;

(ii) M in(Ax) ⊆ M in(A);

(iii) W M in(Ax) ⊆ W M in(A)

Nhận xét 1.2 Quan hệ P rM in(Ax) ⊆ P rM inA nói chung không đúng trừmột số trường hợp đặc biệt

1.2.3 Sự tồn tại của điểm hữu hiệu

Định nghĩa 1.18 Cho lưới {xα : α ∈ I} từ E được gọi là lưới giảm

(tương ứng với C) nếu xα >C xβ với α, β ∈ I, β > α

Định nghĩa 1.19 Cho A ⊆ E được gọi là C- đầy đủ (tương ứng C- đầy

đủ mạnh) nếu nó không có phủ dạng {(xα− cl(C))c : α ∈ I} (tương ứng{(xα − C)c : α ∈ I}) với {xα} là một lưới giảm trong A

Định lý 1.3 Giả sử C là một nón lồi đúng và A là một tập khác rỗng trong

E Thì M in(A | C) 6= ∅ khi và chỉ khi A có một nhát cắt C- đầy đủ và khácrỗng

1.2.4 Bài toán tối ưu véctơ (VOP)

Cho X là một tập con khác rỗng của một không gian tôpô và F là mộtánh xạ đa trị từ X vào E, ở đây E là không gian véctơ tôpô thực được xắpthứ tự bởi nón lồi C

Xét VOP :

minF (x)với ràng buộc x ∈ X

Điểm x ∈ X được gọi là tối ưu (cực tiểu hoặc hữu hiệu) của VOP nếu

y − x ∈ P, ∀x, y ∈ Y ; f : X × X → Y với f (x, x) = 0 với mọi x ∈ X Bài toáncân bằng véctơ được phát biểu như sau:

(VEP) Tìm x ∈ A thỏa mãn f (x, y) /∈ −int P với mọi y ∈ A, (2.1)

ở đó int P là phần trong của P Bài toán này bao phủ các lớp bài toán quantrọng như: bài toán tối ưu hóa véctơ , bài toán bù véctơ , bài toán điểm bấtđộng, bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ Nếu y = R, P = R+ thì bàitoán (VEP) quay về bài toán cân bằng:

(EP) Tìm x ∈ A thỏa mãn f (x, y) ≥ 0 với mọi y ∈ A (2.2)Bài toán (EP) được đề xuất và nghiên cứu bởi Blum và Oettli trong [2] Trongkhóa luận này, chúng ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán cân

bằng véctơ bằng cách sử dụng nguyên lý ánh xạ KKM-Fan(1) , ở đó hàm f

có dạng

f (x, y) = g(x, y) + h(x, y) (2.3)Các kết quả được trình bày trong chương này được dựa trên bài báo [6]

2.2 Các trường hợp đặc biệt của bài toán cân bằng

véctơ

Trong mục này chúng ta trình bày một số ví dụ quan trọng của bàitoán cân bằng véctơ (VEP) Trong các ví dụ bên dưới, ta kí hiệu X∗ là đốingẫu của X và h·, ·i cặp đối ngẫu trên X∗ × X

Định nghĩa 2.1 Hàm số f (·, ·) : K × K → Y được gọi là P -đơn điệu khi vàchỉ khi

f (x, y) + f (y, x) ∈ −P, ∀x, y ∈ K

(i) Bài toán tối ưu véctơ

Cho φ : K → Y , ở đó Y được sắp thứ tự bởi nón P Xét bài toán tối

Khi đó, bài toán (2.4) trùng với (VEP) nếu f là P -đơn điệu

(b) Nếu φ : X → Y là P -lồi và khả vi Gateaux, thì bài toán (2.4) và bài toán

(1) Fan, K.: A generalization of Tychonoff’s fixed point theorem, Math Ann 142 (1961) 305-310.

bất đẳng thức biến phân véctơ (vector variational inequality problem):

(VVI) Tìm x ∈ K thỏa mãn h∇φ(x), y − xi /∈ −int P, ∀y ∈ K (2.5)

có cùng tập nghiệm (xem (2)) Bằng cách đặt, f (x, y) = h∇φ(x), y − xi, thìbài toán (2.5) chính là một trường hợp đặc biệt của bài toán (VEP) Trongtrường hợp này, hàm f là P -đơn điệu vì ∇φ(·) là P -đơn điệu

(ii) Bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ

Cho T : K → L(X, Y ), ở đó L(X,Y) là không gian các toán tử tuyếntính bị chặn từ X tới Y Bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ được phátbiểu như sau:

(VVI) Tìm x ∈ K thỏa mãn hT x, y − x i − int P, ∀y ∈ K (2.6)Bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ được đề xuất bởi Giannessi và cácđồng nghiệp vào năm 1980 (xem (3)) Đặt f (x, y) = hT x, y − xi, thì (V V I) ⇔(V EP )

(iii)Bài toán bù véctơ

Đây là trường hợp đặc biệt của ví dụ trước Cho K là một nón lồi đóngtrong X P -nón đối ngẫu yếu KPw+ của K được định nghĩa như sau:

KPw+ = {l ∈ L(X, Y ) : hl, xi /∈ −intP, ∀x ∈ K}

P -nón đối ngẫu mạnh KPs+ được định nghĩa bởi

KPs+ = {l ∈ L(X, Y ) : hl, xi ∈ P, ∀x ∈ K} Cho T : X → L(X, Y ) là một ánh xạ Khi đó, các bài toán bù véctơ đượcphát biểu như sau:

Tìm x ∈ X sao cho x ∈ K, T x ∈ KPw+, hT x, xi /∈ intP, (2.7)

(2) Chen, G Y., Craven, B D.: Existence and continuity for vector optimization, J Optim Theor Appl 81 (1994), 459–468

(3) Cottle, R W., Giannessi, F., Lions, J L.: Theorems of alternative, quadratic programs and tarity problems, in: Variational Inequalities and Complementarity Problems, pp 151-186, New York(1980)

Tìm x ∈ X sao cho x ∈ K, T x ∈ KPs+, hT x, xi /∈ intP (2.8)Bài toán (2.8) ⇒ bài toán (2.6) ⇒ bài toán (2.7) (xem (4)) Mặt khác bàitoán (2.6) tương đương với (VEP)

(iv) Bài toán điểm bất động

Với mỗi x ∈ K, đặt

F (x) := {z ∈ K : hT (x), y − zi /∈ −intP, ∀y ∈ K} Khi đó, bài toán điểm bất động được phát biểu như sau:

Khi đó, bài toán (2.9) tương đương với bài toán (VEP) (xem (5))

2.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng véctơ

Trong mục này chúng ta chứng minh một vài kết quả tồn tại nghiệmcủa (VEP) trong trường hợp sau

Định nghĩa 2.3 Cho (Y, P ) là một không gian véctơ tôpô được sắp thứ tự.Một ánh xạ T : X → Y được gọi là P -lồi khi và chỉ khi đối với mỗi cặp

x, y ∈ X và λ ∈ [0, 1] ta có

T (λy + (1 − λ)x) ≤ pλT (y) + (1 − λ)T (x)

Bổ đề 2.1 (Xem (6)) Cho (Y, P ) là không gian véctơ tôpô được sắp thứ tựbởi một hình nón lồi đóng nhọn Khi đó, với mọi x, y ∈ X, ta có

(i) y − x ∈ intP và y /∈ intP kéo theo x /∈ intP ;

(ii) y − x ∈ P và y /∈ intP kéo theo x /∈ intP ;

(iii) y − x ∈ − intP và y /∈ − intP kéo theo x /∈ − intP ;

(iv) y − x ∈ −P và y /∈ − intP kéo theo x /∈ − intP

Định lý 2.1 Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:

(i) X là một không quan véctơ tô pô thực, K ⊂ X là một tập khác rỗng, lồi ,đóng; (Y, P ) là một không gian véctơ tôpô được sắp thứ tự bởi một hình nónlồi đóng nhọn P trong Y

(ii) g : X × X → Y có các tính chất sau: g(x, x) = 0, ∀x ∈ K g là P-đơn điệu;

∀x, y ∈ K hàm t ∈ [0, 1] → g(ty + (1 − t)x, y) là liên tục tại 0+; g là một P-lồi

và liên tục theo biến thứ hai

(iii) h : X × X → Y có các tính chất sau: h(x, x) = 0, ∀x ∈ K; h là liên tụctheo biến thứ nhất; h là một P-lồi theo biến thứ hai

(iv) Tồn tại một tập lồi compact khác rỗng C của K sao cho mỗi x ∈C\coreKC tồn tại a ∈ coreKC sao cho

Hartmann-Để chứng minh Định lý 2.1, trước tiên chúng ta sẽ chứng minh ba bổ

đề sau

Bổ đề 2.2 (Nguyên lý ánh xạ KKM-Fan, xem(7) ) Cho C là một tập conkhác rỗng của X và S : C ⇒ X là một ánh xạ thỏa mãn tính chất: với mỗitập con hữu hạn {x1, , xn} của C, ta có:

Bổ đề 2.3 Tồn tại x ∈ C sao cho

h(x, y) − g(y, x) /∈ −intP, ∀y ∈ C

Bổ đề 2.4 Các mệnh đề sau đây là tương đương:

(A) x ∈ C, h(x, y) − g(y, x) /∈ −intP, ∀y ∈ C;

(B) x ∈ C, h(x, y) + g(y, x) /∈ −intP, ∀y ∈ C

Bổ đề 2.5 Giả sử φ : K → Y là P -lồi, x0 ∈ coreKC, φ(x0) /∈ int P vàφ(y) /∈ int P ∀y ∈ C Khi đó, ta có φ(y) /∈ −int P, ∀y ∈ K

Nhận xét: Giả thiết (iv) trong Định lý 2.1 có thể thay bằng giả thiếtsau:

(iv)∗ Tồn tại một tập con lồi compact khác rỗng B trong K sao cho mỗi

x ∈ K\B tồn tại a ∈ B thỏa mãn

g(x, a) + h(x, a) ∈ −intP (2.10)Định lý 2.2 Giả sử các điều kiện (i)-(iii) của Định lý 2.1 và (iv)∗ đúng.Khi đó, tồn tại x ∈ B sao cho

g(x, y) + h(x, y) /∈ −intP, ∀y ∈ K

(7) Fan, K.: A generalization of Tychonoff’s fixed point theorem, Math Ann 142 (1961) 305-310.

Định nghĩa 2.4 Một ánh xạ đa trị P -đơn điệu T : K → 2L(X,Y ) được gọi là

P -đơn điệu cực đại khi và chỉ khi với mỗi cặp

(u, x) ∈ L(X, Y ) × K : hv ư u, y ư xi /∈ ưintP, ∀y ∈ K, v ∈ T y ⇒ u ∈ T x

(u, x) ∈ L(X, Y ) × K : hưu, y ư xi ư g(y, x) /∈ ưintP, ∀y ∈ K

⇒ g(x, y) ư hu, y ư xi /∈ ưintP, ∀y ∈ K (21)Định nghĩa 2.6 Một ánh xạ g : K × K → Y với g(x, x) = 0, ∀x ∈ K đượcgọi là P -đơn điệu cực đại khi và chỉ khi với mỗi x ∈ K và mỗi ánh xạ P -lồi

Bây giờ, chúng ta có định lý sau

Định lý 2.3 Giả sử các điều kiện (i) và (iii) của Định lý 2.1, và giả sử cácđiều kiện sau đây được thỏa mãn:

(ii)∗ g : K × K → Y có các tính chất sau g(x, x) = 0, ∀x ∈ K; g là P -đơnđiệu và P -đơn điệu cực đại (được định nghĩa trong (2.12)); g là lồi và nửa