Phương pháp hàm lyapunov đối với hệ phương trình vi phân cấp một

KHOA TOÁNNguyễn Phương Anh PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC... KHOA TOÁNNguyễn Phương Anh PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV ĐỐI VỚI HỆ

KHOA TOÁN

Nguyễn Phương Anh

PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

KHOA TOÁN

Nguyễn Phương Anh

PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Trần Văn Bằng

Hà Nội – Năm 2016

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới TS Trần Văn Bằng người đã tận tình hướng dẫn

để em có thể hoàn thành khóa luận này Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơnchân thành đến toàn thể thầy cô giáo trong khoa Toán, trường Đại Học

Sư Phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tậptại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trìnhhọc tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Nguyễn Phương Anh

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luậnnày là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin camđoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm

ơn và các thông tin thu trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồngốc

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Phương Anh

Lời mở đầu 1

1.1 Hệ phương trình vi phân cấp một 4

1.2 Ổn định theo nghĩa Lyapunov 9

1.3 Ổn định mũ 11

1.4 Hàm liên tục Lipschitz địa phương 12

1.5 Hàm mũ của ma trận 13

2 Phương pháp hàm Lyapunov đối với hệ phương trình vi phân cấp một 17 2.1 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ 2 chiều 17

2.1.1 Hệ trắc địa 17

2.1.2 Ổn định Lyapunov của nghiệm 0 18

2.1.3 Ổn định tiệm cận của nghiệm 0 21

2.2 Lý thuyết tổng quát cho hệ ô-tô-nôm 22

Lời mở đầu

Lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng trong lý thuyết định

tính phương trình vi phân, được nhiều nhà khoa học trên khắp thế giới

nghiên cứu Các bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có ý nghĩa về

mặt lý thuyết lẫn thực tiễn, có nhiều ứng dụng quan trọng trong giải các

bài toán xuất phát từ thực tế, đòi hỏi phải dùng các lý thuyết và công

cụ toán học hiện đại trong nhiều lĩnh vực (Giải tích, Giải tích hàm, lý

thuyết ma trận, .) Một trong những phương pháp nghiên cứu sự ổn

định quan trọng là phương pháp hàm Lyapunov Khóa luận "Phương

pháp hàm Lyapunov đối với hệ phương trình vi phân cấp một"

tìm hiểu về phương pháp hàm Lyapunov và những vấn đề liên quan

Khóa luận gồm hai chương:

Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" trình bày các kiến thức cần thiết để

sử dụng trong chương 2

Chương 2 "Phương pháp hàm Lyapunov đối với hệ phương trình vi

phân cấp một"

Tác giả khóa luận chân thành cảm ơn TS Trần Văn Bằng đã tận tình

hướng dẫn tác giả đọc các tài liệu và tập dượt nghiên cứu

Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại

học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuận

lợi cho tác giả trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận

này

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế

nên khi làm khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Tác

giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy

cô và bạn đọc Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 01/05/2016

Tác giả khóa luận

Nguyễn Phương Anh

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt

dt = fn(t, x1, x2, , xn).

(1.1)

Trong đó, t gọi là biến độc lập, x1 = x1(t), x2 = x2(t), , xn = xn(t)

là các hàm phải tìm Các hàm fi(i = 1, 2, , n) xác định trong miền Gcủa không gian n + 1 chiều dx1

Định nghĩa 1.2 Nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.1) là tập hợp

đó sao cho chúng thỏa mãn tất cả các phương trình của hệ (1.1).

Bài toán Cauchy

Cho hệ phương trình vi phân (1.1)

Yêu cầu tìm nghiệm x1 = x1(t), x2 = x2(t), , xn = xn(t) thỏa mãnđiều kiện ban đầu x1(t0) = x01, x2(t0) = x02, , xn(t0) = x0n, trong đó

t0, x01, x02, , x0n là các giá trị cho trước tùy ý

Định lý 1.1 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Giả sử

1 Các hàm f1, f2, , fn liên tục trong miền

G = |t − t0| 6 a; x1 − x01 6 b; x2 − x02 6 b; ; ... data-page="13">

nghiệm kì dị.

Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp

a) Hệ phương trình vi phân tuyến tính

Hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp

Một hệ phương trình vi phân cho phi tuyến... ce−γt với t >

Ví dụ 1.3.1 Xét phương trình vi phân ( hệ phương trình)

i) Hàm f gọi liên tục Lipschitz tập U ⊂ Rn tồn

k > cho với x, y ⊂ U ta có... tính phương trình vi phân, tính ổn định quan

trọng Có nhiều khái niệm khác ổn định Phần ta trình bày

một số khái niệm tiêu chuẩn ổn định Lyapunov

Xét hệ phương trình phi tuyến